+--------------------------------------------------------------------------------------------+
   |Kapitola:             |   1   ZÁKLADNÍ POJMY Z TEORIE MNOŽIN                                |
   +--------------------------------------------------------------------------------------------+

   

             Ve vstupní kapitole si připomeneme základní množinové pojmy, jejichž znalost je
   potřebná při dalším studiu. Tyto pojmy jsou většinou dobře známé ze střední školy.

   

   +--------------------------------------------------------------------------------------------+
   |Modul:                    |   1.1 Operace s množinami                                       |
   +--------------------------------------------------------------------------------------------+

   

   Cílem tohoto modulu je:

   -         zopakovat si základní množinové operace.

   

   +--------------------------------------------------------------------------------------------+
   |Učební jednotka:          |   1.1.1 Operace s množinami                                     |
   +--------------------------------------------------------------------------------------------+

   

   Definice.

   Nechť A, B jsou množiny.

   a)      Jestliže pro každý prvek , říkáme, že množina A je podmnožinou B a píšeme

   b)      Jestliže platí současně  píšeme A = B a říkáme, že množiny A a B jsou si rovny.

   c)      Průnik množin A, B je množina

   d)      Sjednocení množin A, B je množina

   e)      Rozdíl množin A, B je množina

   

   Příklad 1.

   Jsou dány množiny  Pro tyto množiny je

   

   Úloha 1.

   Řešení:  Platí

   

   +--------------------------------------------------------------------------------------------+
   |Modul:                    |   1.2 Zobrazení                                                 |
   +--------------------------------------------------------------------------------------------+

   

   Cílem tohoto modulu je

   -         seznámit se s pojmy kartézského součinu, binární relace a zobrazení.

   

   +--------------------------------------------------------------------------------------------+
   |Učební jednotka:          |   1.2.1 Zobrazení                                               |
   +--------------------------------------------------------------------------------------------+

   

   

   Příklad 2.

   Uvažujme množiny  Kartézským součinem množin A, B je množina

   Množina  je jednou z mnoha (přesně ze 64) možných binárních relací z množiny A do množiny B.
   Tato množina R[1] není zobrazení z množiny A do množiny B, neboť prvku  jsou přiřazeny dva
   prvky množiny B.

   Binární relace  je zobrazení z množiny A do množiny B.

   Binární relace  je zobrazení z množiny A na množinu B.

   Binární relace  je zobrazení z množiny A do množiny B.

   Binární relace  je zobrazení z množiny A na množinu B.

   

   Úloha 2.

   Jsou dány množiny .

   a)      Vytvořte kartézský součin X x Y.

   b)      Sestrojte všechny dvouprvkové binární relace z množiny X do množiny Y.

   c)      Které z vytvořených binárních relací jsou zobrazení a jaký je jejich typ?

   d)      Uveďte binární relace z množiny X do množiny Y, které jsou zobrazením z množiny X na
   množinu Y, ale nejsou zobrazením množiny X na množinu Y.

   Řešení:

   a)      ,

   b)      , , , ,

   , .

   c)       jsou zobrazení množiny X na množinu Y, jsou zobrazení množiny X do množiny Y, nejsou
   zobrazení.

   d)        Jsou to binární relace  a .

   

                                               TEST 1

   

   A. Teoretická část

   Rozhodněte, zda jsou následující tvrzení pravdivá.

   1.      Každé dvě množiny mající stejný počet prvků jsou si rovny.

   2.      Průnik dvou množin má vždy méně prvků než jejich sjednocení.

   3.      Kartézský součin můžeme považovat za binární relaci.

   4.      Množina přirozených čísel je podmnožinou množiny celých čísel.

   5.      Pro každé dvě množiny A, B platí A - B = B - A.

   6.      Pro každé dvě množiny A, B platí .

   7.      Pro každé dvě množiny A, B platí .

   8.      Každé zobrazení množiny A na množinu B je zobrazením množiny A do množiny B.

   9.      Kartézský součin množin  má pět prvků.

   10.  Platí .

   

   

   B. Praktická část

   1.      Pro množiny  sestrojte množiny

   a)                 

   b)                 

   c)                 

   d)                 

   e)                 

   f) 

   g)                 

   h)                 

   

   +-----------------------------------------------+
   |Správné odpovědi                               |
   +-----------------------------------------------+

   

   A. 1. ne;   2. ne;   3. ano;   4. ano;   5. ne;   6. ano;   7. ano;   8. ano;   9. ne;   10.
   ne.

   B.     1.  a)

       b)

             c)

             d)

             e)

             f)

             g)

   i)

   

   

   

  DODATKY KE KAPITOLE 1

   

    Klíčová slova

   Operace s množinami, kartézský součin, binární relace, zobrazení.