+--------------------------------------------------------------------------------------------+ |Kapitola: | 4 DETERMINANTY | +--------------------------------------------------------------------------------------------+ V následující kapitole bude definován determinant, budou uvedeny některé jeho vlastnosti a budou předvedeny metody výpočtu determinantů. Při studiu využijete řadu pojmů, které jste se naučili v předchozí kapitole věnované maticím. Uvidíte, že determinant lze interpretovat jako reálné číslo přiřazované čtvercovým maticím, odkud vyplývá těsná souvislost mezi maticemi a determinanty. Determinanty lze rovněž využít jako prostředek k řešení systémů lineárních rovnic. S tím se seznámíte v následující kapitole, která je věnována právě této problematice. +--------------------------------------------------------------------------------------------+ |Modul: | 4.1 Pojem determinantu | +--------------------------------------------------------------------------------------------+ Cílem tohoto modulu je - zavést pomocný pojem permutace množiny, - definovat determinant, - ukázat výpočet determinantu podle definice. +--------------------------------------------------------------------------------------------+ |Učební jednotka: | 4.1.1 Definice determinantu | +--------------------------------------------------------------------------------------------+ Příklad 21. Nechť množina Všechny její permutace jsou Počet prvků množiny M je počet všech jejích permutací je 3! = 3.2.1 = 6. Úloha 29. Je dána množina Určete a) počet všech jejích permutací; b) počet permutací, které mají na prvním místě písmeno a. Řešení: a) 24; b) 6. Úloha 30. Určete počet všech sudých čtyřciferných čísel sestavených z cifer 1, 2, 3, 4. Řešení: 12. Úloha 31. Určete počet inverzí v následujících permutacích množiny a rozhodněte, zda jsou sudé nebo liché: a) b) c) d) Řešení: a) 0, sudá; b) 1, lichá; c) 3, lichá; d) 6, sudá. +--------------------------------------------------------------------------------------------+ |Učební jednotka: | 4.1.2 Výpočet determinantů řádu n = 2 a n = 3 | +--------------------------------------------------------------------------------------------+ Úloha 32. Vypočtěte determinanty: a) b) c) d) Řešení: a) 19; b) 0; c) –4ab; d) –6. Výpočet lze schematicky znázornit pomocí šipek, jak vidíte na následující kresbě. Výpočet determinantu podle tohoto schématu se nazývá Sarrusovo pravidlo (původcem je francouzský matematik Pierre Fréderic Sarrus (1798-1858)). Úloha 33. Vypočtěte následující determinanty a) b) c) d) e) Řešení: a) –7; b) –58; c) 0; d) 6; e) x-x^2; f) Úloha 34. Určete všechna pro která platí Řešení: Příklad 22. Determinanty řádu n = 1 a jejich hodnoty jsou např. Přestože symbol determinantu je formálně stejný jako označení absolutní hodnoty reálného čísla, nesmíme oba pojmy ztotožňovat. TEST 9 A. Teoretická část 1. Počet všech permutací množiny je roven (ano-ne) 2. Determinanty jsou reálná čísla přiřazovaná čtvercovým maticím. (ano-ne) 3. Podle definice determinantu (UL, str. 54) lze teoreticky spočítat determinant libovolného řádu. (ano-ne) 4. V determinantu řádu n=4 může být člen . (ano-ne) 5. V determinantu řádu n=4 může být . (ano-ne) 6. V determinantu řádu n=4 má člen znaménko +. (ano-ne) 7. Neexistují determinanty řádu n=1. (ano-ne) 8. Sarrusovo pravidlo platí pro výpočet determinantu řádu n=3. (ano-ne) B. Praktická část 1. Určete počet inverzí v uvedených permutacích množiny . a) 2,4,1,3,5; b) 5,6,3,4,1,2. Zjistěte, která z uvedených permutací je sudá a která je lichá. 2. V lavici sedí 6 žáků. Určete, a) kolika způsoby je můžeme v lavici rozsadit; b) kolika způsoby je můžeme v lavici rozsadit, chtějí-li 2 sedět vedle sebe. 3. Vypočtěte determinanty řádu n=2: a) . 4. Vypočtěte determinanty řádu n=3: a) . 5. Řešte rovnice: a) +-----------------------------------------------------------+ | Správné odpovědi | +-----------------------------------------------------------+ A. 1. ano, 2. ano, 3. ano, 4. ano, 5. ne, 6. ano, 7. ne, 8. ano. B. 1.a) 3; 1.b) 12; 2.a) 5!=120; 2.b) 2.4!=48; 3.a) 11; 3.b) 1; 3.c) –3; 4.a) 100; 4.b) 0; 4.c) ; 5.a) ; 5.b) ; 5.c) ; 5.d) . Doporučené úlohy pro procvičování: Sbírka úloh S1, př. 14 - 17, 19. +--------------------------------------------------------------------------------------------+ |Modul: | 4.2 Vlastnosti determinantů | +--------------------------------------------------------------------------------------------+ Cílem modulu je - naučit se počítat determinanty rozvojem podle prvků vhodného řádku (sloupce), - uvést některé vlastnosti determinantů zjednodušujících jejich výpočet, - ukázat praktický způsob určování regulárnosti, příp. singulárnosti matic. +--------------------------------------------------------------------------------------------+ |Učební jednotka: | 4.2.1 Výpočet determinantu rozvojem | +--------------------------------------------------------------------------------------------+ Tato metoda výpočtu determinantu se používá zejména pro determinanty řádů větších než tři, lze ji však použít i pro výpočet determinantů řádu n -L- 3. Příklad 23. Mějme determinant . Doplněk prvku získáme vynecháním 1. řádku a 1. sloupce daného determinantu. Je tedy Dále je např. Algebraický doplněk určitého prvku vznikne z doplňku tohoto prvku tak, že jej opatříme znaménkem + nebo – podle toho, je-li součet řádkového a sloupcového indexu prvku sudý nebo lichý. Např. Doplněk prvku a jeho algebraický doplněk se tedy liší pouze znaménkem. Úloha 35. V determinantu Řešení: Pro názornost neuvádíme. Hodnota determinantu je rovna součtu součinů všech prvků i-tého řádku s jejich algebraickými doplňky. Úloha 36. Rozvojem podle 1. řádku vypočtěte determinanty a) . Řešení: a) 0; b) –6. Úloha 37. Vypočtěte determinant z úlohy 15 rozvojem nejprve podle 2. řádku a potom podle 1. a 3. sloupce. Úloha 38. Vypočtěte determinanty rozvojem podle uvedených řad: a) Řešení: a) –24; b) –98. Na výpočtu determinantu v úloze 10.b) si uvědomte, že výpočet determinantu se zjednoduší, zvolíme-li si řadu obsahující nulové prvky. Příklad 24. Následující determinant jsme rozvinuli nejprve podle 5. řádku, vzniklý determinant 4. řádu podle 4. sloupce a poslední determinant 3. řádu podle 1. sloupce. Postupně jsme získali Úloha 39. Rozvojem podle řady obsahující písmena vypočtěte determinanty Řešení: a) –a+c; b) –3a-b-2c+d; c) 16a+33b+28c-45d. +--------------------------------------------------------------------------------------------+ |Učební jednotka: | 4.2.2 Vlastnosti determinantů | +--------------------------------------------------------------------------------------------+ Příklad 25. Uvažme determinanty Determinant ad a) je roven 0 podle důsledku věty 4.4 na str. 62. Determinant ad b) je roven nule podle věty 4.7 na str. 63 (1. a 3. sloupec jsou závislé). Podle téže věty je i determinant ad c) roven 0 (3. řádek je 6-ti násobek 2. řádku). V determinantu ad d) je 3. řádek dvojnásobek 1. řádku a determinant je rovněž nulový. Determinant ad e) je roven 12(-1)7=-84 podle věty 4.8 na str. 65. Pro výpočet determinantu ad f) platí 2(-1)(-3)5=30 podle vět 4.3 a 4.8. Úloha 40. Určete hodnotu determinantu, aniž byste ji počítali, je-li Řešení: a) –28; b) 1; c) –1200; d) 0; e) 0. Viděli jste, že výpočet determinantu, jehož matice má trojúhelníkový tvar, je velmi pohodlný. Před výpočtem determinantu lze jeho matici uvést na trojúhelníkový a teprve potom determinant vypočítat. Úloha 41. Vypočtěte determinant tak, že jeho matici převedete nejprve na trojúhelníkový tvar, je-li Řešení: a) –35; b) –116; c) 0; d) –570 (nejprve vytkněte z druhého řádku 2 a z prvního řádku 5). Na závěr této učební jednotky se vrátíme k pojmu regulární a singulární matice, který byl uveden ve 3. kapitole v učební jednotce 3.3.2. Věta 4.9 v LA na str. 67 uvádí, jak lze určit regulárnost, příp. singulárnost, matice pomocí hodnoty jejího determinantu. V příkladě 4.9 na str. 68 vidíte praktické použití věty. TEST 10 A. Teoretická část Vyberte správná tvrzení. 1. Determinant řádu n lze rozvinout a) podle libovolné řady; b) pouze podle některého řádku; c) pouze podle některého sloupce; d) pouze podle prvního sloupce. 2. V determinantu řádu n lze stanovit doplněk a) každého prvku; b) každého nenulového prvku; c) pouze prvků na hlavní diagonále. 3. Doplněk prvku a jeho algebraický doplněk se liší pouze znaménkem; a) jsou si v absolutní hodnotě rovny; b) jsou si rovny. 4. Pro doplněk A[12] prvku a[12] a jeho algebraický doplněk platí 5. Pro doplněk A[31] prvku a[31] a jeho algebraický doplněk platí 6. Nechť A je tvrzení „determinant je roven 0“, B je tvrzení „v determinantu jsou dvě řady stejné“. Správná implikace je a) . 7. Determinant je roven 0, platí-li a) jedna řada je tvořena nulami; b) dvě řady jsou stejné; c) jedna řada je k-násobek jiné řady, s ní rovnoběžné; d) jedna řada je lineární kombinací ostatních s ní rovnoběžných řad. 8. Nechť A je čtvercová matice řádu n, k reálné číslo. Pro determinanty matic A a k.A platí a) det k.A = k.det A; b) det k.A = k^n det A. B. Praktická část 1. Vypočtěte determinanty rozvojem podle uvedených řad. . 2. Vypočtěte determinant rozvojem podle nejvhodnější řady, je-li 3. Bez výpočtu stanovte determinant matice A a rozhodněte o její regulárnosti, je-li +------------------------------------------------------------+ | Správné odpovědi | +------------------------------------------------------------+ A. 1.a); 2. a); 3.a), b); 5.a); 6.b); 7.a), b), c), d). B. 1.a) 18; 1b) 100; 2.a) –1224; 2.b) –24; 2.c) –124a + 46b + 20c + 218d 3.a) det A = -7 regulární; 3.b) det A = 15 regulární; 3.c) det A = 0 singulární; 3.d) det A = 0 singulární. +--------------------------------------------------------------------------------------------+ |Modul: | 4.3 Kondenzační metoda | +--------------------------------------------------------------------------------------------+ Cílem modulu je - uvést další způsob výpočtu determinantů. +--------------------------------------------------------------------------------------------+ |Učební jednotka: | 4.3.1 Kondenzační metoda výpočtu determinantů | +--------------------------------------------------------------------------------------------+ Úloha 42. Vypočtěte následující determinanty kondenzační metodou: Řešení: a) –58; b) 16; c) d) –24; e) –4; f) 38. TEST 11 1. Vypočtěte hodnotu následujících determinantů kondenzační metodou: +-----------------------------------------------------------+ |Správné odpovědi | +-----------------------------------------------------------+ 1. a) –2; 1. b) –9; 1. c) 48; 1. d) 360; e) xyz – xyt – xzt – yzt - xyzt; f) 160. CVIČENÍ 3 1. Vypočtěte determinanty řádu n = 3 pomocí Sarrusova pravidla. . 2. Řešte rovnice 3. Vypočtěte determinant řádu n = 4 rozvojem podle uvedené řady, je-li 4. Vypočtěte determinant kondenzační metodou, je-li 5. Je dána čtvercová matice D řádu n = 4 pro jejíž determinant platí det D = 4. Určete a) zda je D regulární; b) hodnost h(D) matice D; c) det D^T; d) det 3D. DODATKY KE KAPITOLE 4 Klíčová slova Determinant, řádek a sloupec determinantu, hlavní a vedlejší diagonála determinantu, řád determinantu, Sarrusovo pravidlo, rozvoj determinantu podle zvolené řady, kondenzační metoda výpočtu determinantu. Doporučená literatura pro hlubší studium DOLANSKÝ, P. a kol. Matematika pro distanční studium. 1. vyd. Plzeň: ZUČ, 2000, 196 s., ISBN 80-7082-643-6, strany 50-60.