+--------------------------------------------------------------------------------------------+ |Kapitola: | 6 MATICOVÁ ALGEBRA | +--------------------------------------------------------------------------------------------+ Ve 2. kapitole věnované maticím jste se v modulech 3.2 a 3.4 seznámili s početními operacemi s maticemi a odvodili jste jejich vlastnosti. Viděli jste, že tyto operace jsou analogické operacím s reálnými čísly. Některé z nich (sčítání a odčítání matic, násobení matice reálným číslem) mají vlastnosti shodné s obdobnými operacemi prováděnými s reálnými čísly, jiné (součin matic) mají vlastnosti odlišné. V této kapitole své poznatky rozšíříte o výpočet inverzní matice, která je analogická převrácené hodnotě reálného čísla. Pomocí zmíněných operací naučíte se řešit rovnice, kde neznámou bude právě matice. Omezíme se již jen na čtvercové matice. +--------------------------------------------------------------------------------------------+ |Modul: | 6.1 Inverzní matice | +--------------------------------------------------------------------------------------------+ Cílem modulu je - zavést pojem inverzní matice ke čtvercové matici, - zvládnout výpočet inverzní matice pomocí eliminační metody i pomocí determinantů. +--------------------------------------------------------------------------------------------+ |Učební jednotka: | 6.1.1 Definice inverzní matice | +--------------------------------------------------------------------------------------------+ Už jsme se zmínili o analogii mezi početními operacemi s reálnými čísly a početními operacemi s maticemi. Připomeňte si, že pro každé nenulové reálné číslo r a jeho převrácenou hodnotu Pro matici a její inverzní matici platí obdobný vztah a používá se stejné označení. Definice inverzní matice je v UL na str. 95, ve větě 6.1 na str. 96 je uvedena nutná a postačující podmínka pro existenci inverzní matice. Příklad 29. K maticím inverzní matice vůbec neexistují, neboť všechny jsou singulární, tj. platí (viz učební jednotka 4.2.3). Věta 6.2 na str. 99 a následující poznámka uvádějí další vlastnost inverzních matic. Po prostudování teorie si pro ilustraci projděte postup pro určení inverzní matice uvedený v příkladu 6.1 na str. 96-97. Proveďte zkoušku podle důsledku na str. 100, tj. vypočtěte součiny AA^-1 a A-1A. V obou případech musíte získat jednotkovou matici E řádu 2. +--------------------------------------------------------------------------------------------+ |Učební jednotka: | 6.1.2 Výpočet inverzní matice eliminací | +--------------------------------------------------------------------------------------------+ Metoda, pomocí které byla v příkladě 6.1 na str. 96 stanovena k dané matici matice inverzní, není pro matice vyšších řádů vhodná. Efektivnější metoda je popsána v LA na str. 97-98 a je použita k výpočtu inverzních matic v případech 6.2 a 6.3 na str. 98-99. Podle postupu zde uvedeného řešte následující úlohy. Úloha 48. Stanovte inverzní matici A^-1 k matici A, je-li Ve všech případech proveďte zkoušku, tj. ověřte platnost vztahu , kde E je jednotková matice vhodného řádu. Řešení: +--------------------------------------------------------------------------------------------+ |Učební jednotka: | 6.1.3 Výpočet inverzní matice pomocí determinantů | +--------------------------------------------------------------------------------------------+ Druhá z metod výpočtu inverzní matice, kterou se naučíte, je popsána větou 6.3 na str. 100. V následujícím příkladu 6.4 na str.101 je předvedeno její praktické použití. Úloha 49. Určete inverzní matice k maticím z úlohy 48 užitím věty 6.3 (UL, str. 100). TEST 14 1. Zjistěte, zda k matici A existuje inverzní matice, je-li 2. Pomocí eliminační metody stanovte k matici A matici inverzní, je-li 3. Pomocí determinantu stanovte k matici A matici inverzní, je-li +---------------------------------------------------+ |Správné odpovědi | +---------------------------------------------------+ 1. a) 2. 3. Doporučené úlohy pro procvičování: S1, př. 45, str. 26. +--------------------------------------------------------------------------------------------+ |Modul: | 6.2 Maticové rovnice | +--------------------------------------------------------------------------------------------+ Cílem modulu je - naučit se řešit maticové rovnice, - ukázat na analogie a odlišnosti mezi maticovou algebrou a operacemi s reálnými čísly. +--------------------------------------------------------------------------------------------+ |Učební jednotka: | 6.2.1 Maticové rovnice | +--------------------------------------------------------------------------------------------+ Prostudujte věty 6.4 a 6.5 v LA na straně 102-103 a příklady 6.5 a 6.6 na str. 103-104. Uvědomte si, že neznámou matici počítáme z maticové rovnice obdobně jako reálnou neznámou x z rovnice algebraické. Přitom roli reálného čísla 0 hraje nulová matice 0, roli reálného čísla 1 hraje vhodná jednotková matice. Platí totiž Při řešení maticové rovnice je třeba dále uvážit, že násobení matic na rozdíl od násobení reálných čísel není komutativní a že dělení matic nahrazujeme násobením inverzní maticí. Příklad 30. Nechť A, B, E jsou matice takové, že všechny následující maticové operace jsou definovány. Uvažme maticovou rovnici s neznámou maticí X. Pro vypočtení matice X postupujeme stejně jako při řešení lineární rovnice s jednou neznámou. Nejprve výrazy obsahující neznámou matici X převedeme na levou stranu. Dostaneme Na levé straně vytkneme zprava matici X, tj. Za předpokladu, že matice A – 2B je regulární, vynásobíme zleva poslední rovnici maticí a dostaneme odkud je Příklad 31. Řešme maticovou rovnici z příkladu 2, je-li Platí Protože existuje matice a uvažovaná maticová rovnice má jediné řešení. Libovolnou z metod výpočtu inverzních matic dostaneme Dále je a hledaná matice X je tvaru Úloha 50. Řešte maticovou rovnici AX = B – 3X + A, je-li Řešení: a) rovnice nemá řešení; b) +--------------------------------------------------------------------------------------------+ |Učební jednotka: |6.2.2 Řešení soustavy rovnic inverzní maticí | +--------------------------------------------------------------------------------------------+ Vraťte se ke kapitole 5 v LA a v poznámce 5.1 na str. 73 si znovu přečtěte, jak lze pomocí matic zapsat systém lineárních rovnic. Příklad 32. Mějme soustavu rovnic Tuto soustavu můžeme přepsat na tvar kde Příklad 33. Jestliže je matice A soustavy regulární, pak k ní existuje matice inverzní a soustava rovnic má jediné řešení, které lze zapsat pomocí inverzní matice ve tvaru Řešme pomocí inverzní matice systém rovnic z příkladu 32. Platí Potom Úloha 51. Pomocí inverzní matice řešte systém rovnic Řešení: a) c) Matice soustavy je singulární, soustavu nelze řešit pomocí inverzní matice. TEST 15 Řešte následující úkoly: 1. Rozhodněte, které z uvedených matic jsou regulární a které singulární: 2. Určete tak, aby matice A byla regulární, je-li 3. K maticím určete inverzní matice a) eliminační metodou, b) pomocí determinantů. 4. Řešte maticové rovnice je-li 5. Určete matici X, která vyhovuje rovnici XA = C – BX, je-li 6. Pomocí inverzní matice řešte soustavu rovnic +-----------------------------------------------------------+ |Správné odpovědi | +-----------------------------------------------------------+ 1. A je singulární; B,C jsou regulární; D není ani singulární, ani regulární; F je regulární. 2. a) 3. 4. 5. 6. a) nelze řešit pomocí inverzní matice (A je singulární); c) nelze řešit pomocí inverzní matice (A není čtvercová). Doporučené úlohy pro procvičování: S1, př. 45 - 49 na str. 26-30. CVIČENÍ 5 1. Zjistěte, pro kterou hodnotu parametru existuje k matici A inverzní matice A^-1 a pak ji určete, je-li 2. K dané matici určete matici inverzní A^-1 pomocí a) eliminační metody, b) determinantů. 3. Řešte maticovou rovnici X + A^2 = 3A – XB pro matice 4. Pomocí inverzní matice řešte soustavu rovnic DODATKY KE KAPITOLE 6 Klíčová slova Matice, determinant matice, matice regulární a singulární, matice adjungovaná, matice inverzní, maticové rovnice, maticový zápis systému lineárních rovnic, řešení systému rovnic inverzní maticí. Doporučená literatura pro hlubší studium Ze seznamu literatury uvedeného v LA na straně 125 upozorňujeme na učebnice [4], strany 251-288, [12], strany 174-176, 190-191. DOLANSKÝ, P. a kol. Matematika pro distanční studium. 1. vyd. Plzeň: ZUČ, 2000, 196 s., ISBN 80-7082-643-6, strany 64-66, 72.