Lineární algebra Teorie a řešené příklady Robert Mařík 26. září 2008 c Robert Mařík, 2008 × Obsah 1 Hodnost 4 Úloha 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Úloha 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Determinant 32 Úloha 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Úloha 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Úloha 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Úloha 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Úloha 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Úloha 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3 Inverzní matice 62 Úloha 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Úloha 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Úloha 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4 Soustavy lineárních rovnic 93 c Robert Mařík, 2008 × Úloha 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Úloha 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Úloha 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Úloha 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Úloha 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 5 Shrnutí 212 c Robert Mařík, 2008 × 1 Hodnost Definice (hodnost matice). Buď A matice. Hodností matice rozumíme maximální počet lineárně nezávislých řádků matice. Hodnost matice A označujeme h(A). Poznámka 1 (lineární závislost a nezávislost algebraických vektorů). Buď A matice o m řádcích. * Je-li h(A) = m, jsou řádky tvořeny lineárně nezávislými vektory. * Je-li h(A) < m, jsou řádky tvořeny lineárně závislými vektory. * h(A) > m nenastane. Hodnost c Robert Mařík, 2008 × 1 Hodnost Definice (hodnost matice). Buď A matice. Hodností matice rozumíme maximální počet lineárně nezávislých řádků matice. Hodnost matice A označujeme h(A). Poznámka 1 (lineární závislost a nezávislost algebraických vektorů). Buď A matice o m řádcích. * Je-li h(A) = m, jsou řádky tvořeny lineárně nezávislými vektory. * Je-li h(A) < m, jsou řádky tvořeny lineárně závislými vektory. * h(A) > m nenastane. Hodnost c Robert Mařík, 2008 × 1 Hodnost Definice (hodnost matice). Buď A matice. Hodností matice rozumíme maximální počet lineárně nezávislých řádků matice. Hodnost matice A označujeme h(A). Poznámka 1 (lineární závislost a nezávislost algebraických vektorů). Buď A matice o m řádcích. * Je-li h(A) = m, jsou řádky tvořeny lineárně nezávislými vektory. * Je-li h(A) < m, jsou řádky tvořeny lineárně závislými vektory. * h(A) > m nenastane. Hodnost c Robert Mařík, 2008 × 1 Hodnost Definice (hodnost matice). Buď A matice. Hodností matice rozumíme maximální počet lineárně nezávislých řádků matice. Hodnost matice A označujeme h(A). Poznámka 1 (lineární závislost a nezávislost algebraických vektorů). Buď A matice o m řádcích. * Je-li h(A) = m, jsou řádky tvořeny lineárně nezávislými vektory. * Je-li h(A) < m, jsou řádky tvořeny lineárně závislými vektory. * h(A) > m nenastane. Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Definice (schodovitý tvar). Řekneme, že matice A je ve schodovitém tvaru, jestliže případné nulové řádky jsou uspořádány na konci matice a nenulové jsou uspořádány tak, že každý následující řádek začíná větším počtem nul než řádek předchozí. Věta 1 (hodnost matice ve schodovitém tvaru). Hodnost matice, která je ve schodovitém tvaru je rovna počtu jejích nenulových řádků. Příklad 1. Matice A = 2 2 2 3 -1 5 0 0 1 0 0 3 0 0 0 -1 2 1 0 0 0 0 0 0 je ve schodovitém tvaru a h(A) = 3. Matice B = 2 2 2 3 -1 5 0 0 1 0 0 3 0 0 3 -1 2 1 není ve schodovitém tvaru a její hodnost na první pohled nepoznáme. Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Definice (schodovitý tvar). Řekneme, že matice A je ve schodovitém tvaru, jestliže případné nulové řádky jsou uspořádány na konci matice a nenulové jsou uspořádány tak, že každý následující řádek začíná větším počtem nul než řádek předchozí. Věta 1 (hodnost matice ve schodovitém tvaru). Hodnost matice, která je ve schodovitém tvaru je rovna počtu jejích nenulových řádků. Příklad 1. Matice A = 2 2 2 3 -1 5 0 0 1 0 0 3 0 0 0 -1 2 1 0 0 0 0 0 0 je ve schodovitém tvaru a h(A) = 3. Matice B = 2 2 2 3 -1 5 0 0 1 0 0 3 0 0 3 -1 2 1 není ve schodovitém tvaru a její hodnost na první pohled nepoznáme. Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Definice (schodovitý tvar). Řekneme, že matice A je ve schodovitém tvaru, jestliže případné nulové řádky jsou uspořádány na konci matice a nenulové jsou uspořádány tak, že každý následující řádek začíná větším počtem nul než řádek předchozí. Věta 1 (hodnost matice ve schodovitém tvaru). Hodnost matice, která je ve schodovitém tvaru je rovna počtu jejích nenulových řádků. Příklad 1. Matice A = 2 2 2 3 -1 5 0 0 1 0 0 3 0 0 0 -1 2 1 0 0 0 0 0 0 je ve schodovitém tvaru a h(A) = 3. Matice B = 2 2 2 3 -1 5 0 0 1 0 0 3 0 0 3 -1 2 1 není ve schodovitém tvaru a její hodnost na první pohled nepoznáme. Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Definice (schodovitý tvar). Řekneme, že matice A je ve schodovitém tvaru, jestliže případné nulové řádky jsou uspořádány na konci matice a nenulové jsou uspořádány tak, že každý následující řádek začíná větším počtem nul než řádek předchozí. Věta 1 (hodnost matice ve schodovitém tvaru). Hodnost matice, která je ve schodovitém tvaru je rovna počtu jejích nenulových řádků. Příklad 1. Matice A = 2 2 2 3 -1 5 0 0 1 0 0 3 0 0 0 -1 2 1 0 0 0 0 0 0 je ve schodovitém tvaru a h(A) = 3. Matice B = 2 2 2 3 -1 5 0 0 1 0 0 3 0 0 3 -1 2 1 není ve schodovitém tvaru a její hodnost na první pohled nepoznáme. Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Věta 2 (operace zachovávající hodnost matice). Následující operace nemění hodnost matice: * vynechání řádku složeného ze samých nul, nebo vynechání řádku, který je totožný s jiným řádkem, nebo vynechání řádku, který je násobkem jiného řádku * vynásobení nebo vydělení libovolného řádku nenulovým číslem * záměna pořadí libovolného počtu řádků * ponechání jednoho řádku beze změny a opakované přičtení libovolných násobků tohoto řádku k nenulovým násobkům ostatních řádků matice Věta 3. Libovolnou matici lze konečným počtem úprav z Věty 2 převést do schodovitého tvaru. Věta 4. Transponování nemění hodnost matice. Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Věta 2 (operace zachovávající hodnost matice). Následující operace nemění hodnost matice: * vynechání řádku složeného ze samých nul, nebo vynechání řádku, který je totožný s jiným řádkem, nebo vynechání řádku, který je násobkem jiného řádku * vynásobení nebo vydělení libovolného řádku nenulovým číslem * záměna pořadí libovolného počtu řádků * ponechání jednoho řádku beze změny a opakované přičtení libovolných násobků tohoto řádku k nenulovým násobkům ostatních řádků matice Věta 3. Libovolnou matici lze konečným počtem úprav z Věty 2 převést do schodovitého tvaru. Věta 4. Transponování nemění hodnost matice. Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Věta 2 (operace zachovávající hodnost matice). Následující operace nemění hodnost matice: * vynechání řádku složeného ze samých nul, nebo vynechání řádku, který je totožný s jiným řádkem, nebo vynechání řádku, který je násobkem jiného řádku * vynásobení nebo vydělení libovolného řádku nenulovým číslem * záměna pořadí libovolného počtu řádků * ponechání jednoho řádku beze změny a opakované přičtení libovolných násobků tohoto řádku k nenulovým násobkům ostatních řádků matice Věta 3. Libovolnou matici lze konečným počtem úprav z Věty 2 převést do schodovitého tvaru. Věta 4. Transponování nemění hodnost matice. Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Věta 2 (operace zachovávající hodnost matice). Následující operace nemění hodnost matice: * vynechání řádku složeného ze samých nul, nebo vynechání řádku, který je totožný s jiným řádkem, nebo vynechání řádku, který je násobkem jiného řádku * vynásobení nebo vydělení libovolného řádku nenulovým číslem * záměna pořadí libovolného počtu řádků * ponechání jednoho řádku beze změny a opakované přičtení libovolných násobků tohoto řádku k nenulovým násobkům ostatních řádků matice Věta 3. Libovolnou matici lze konečným počtem úprav z Věty 2 převést do schodovitého tvaru. Věta 4. Transponování nemění hodnost matice. Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Věta 2 (operace zachovávající hodnost matice). Následující operace nemění hodnost matice: * vynechání řádku složeného ze samých nul, nebo vynechání řádku, který je totožný s jiným řádkem, nebo vynechání řádku, který je násobkem jiného řádku * vynásobení nebo vydělení libovolného řádku nenulovým číslem * záměna pořadí libovolného počtu řádků * ponechání jednoho řádku beze změny a opakované přičtení libovolných násobků tohoto řádku k nenulovým násobkům ostatních řádků matice Věta 3. Libovolnou matici lze konečným počtem úprav z Věty 2 převést do schodovitého tvaru. Věta 4. Transponování nemění hodnost matice. Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Věta 2 (operace zachovávající hodnost matice). Následující operace nemění hodnost matice: * vynechání řádku složeného ze samých nul, nebo vynechání řádku, který je totožný s jiným řádkem, nebo vynechání řádku, který je násobkem jiného řádku * vynásobení nebo vydělení libovolného řádku nenulovým číslem * záměna pořadí libovolného počtu řádků * ponechání jednoho řádku beze změny a opakované přičtení libovolných násobků tohoto řádku k nenulovým násobkům ostatních řádků matice Věta 3. Libovolnou matici lze konečným počtem úprav z Věty 2 převést do schodovitého tvaru. Věta 4. Transponování nemění hodnost matice. Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Věta 2 (operace zachovávající hodnost matice). Následující operace nemění hodnost matice: * vynechání řádku složeného ze samých nul, nebo vynechání řádku, který je totožný s jiným řádkem, nebo vynechání řádku, který je násobkem jiného řádku * vynásobení nebo vydělení libovolného řádku nenulovým číslem * záměna pořadí libovolného počtu řádků * ponechání jednoho řádku beze změny a opakované přičtení libovolných násobků tohoto řádku k nenulovým násobkům ostatních řádků matice Věta 3. Libovolnou matici lze konečným počtem úprav z Věty 2 převést do schodovitého tvaru. Věta 4. Transponování nemění hodnost matice. Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Najděte hodnost matice A. A = 3 -1 0 1 -2 2 1 -1 2 -3 3 -2 -1 1 -2 2 -5 1 -2 2 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 -7 1 -4 5 0 -6 2 -4 5 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 2 2 0 0 0 1 1 0 0 2 1 -1 2 -3 0 1 1 0 0 0 0 8 -4 5 h (A) = 3 Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Najděte hodnost matice A. A = 3 -1 0 1 -2 2 1 -1 2 -3 3 -2 -1 1 -2 2 -5 1 -2 2 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 -7 1 -4 5 0 -6 2 -4 5 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 2 2 0 0 0 1 1 0 0 2 1 -1 2 -3 0 1 1 0 0 0 0 8 -4 5 h (A) = 3 * Zvolíme červený řádek jako klíčový. * Tento řádek zůstává a píšeme ho jako první. Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Najděte hodnost matice A. A = 3 -1 0 1 -2 2 1 -1 2 -3 3 -2 -1 1 -2 2 -5 1 -2 2 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 -7 1 -4 5 0 -6 2 -4 5 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 2 2 0 0 0 1 1 0 0 2 1 -1 2 -3 0 1 1 0 0 0 0 8 -4 5 h (A) = 3 2R1 - 3R2 = . . . (-3) 2 Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Najděte hodnost matice A. A = 3 -1 0 1 -2 2 1 -1 2 -3 3 -2 -1 1 -2 2 -5 1 -2 2 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 -7 1 -4 5 0 -6 2 -4 5 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 2 2 0 0 0 1 1 0 0 2 1 -1 2 -3 0 1 1 0 0 0 0 8 -4 5 h (A) = 3 2R3 - 3R2 = . . . (-3) 2 Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Najděte hodnost matice A. A = 3 -1 0 1 -2 2 1 -1 2 -3 3 -2 -1 1 -2 2 -5 1 -2 2 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 -7 1 -4 5 0 -6 2 -4 5 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 2 2 0 0 0 1 1 0 0 2 1 -1 2 -3 0 1 1 0 0 0 0 8 -4 5 h (A) = 3 R4 - R2 = . . . (-1) Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Najděte hodnost matice A. A = 3 -1 0 1 -2 2 1 -1 2 -3 3 -2 -1 1 -2 2 -5 1 -2 2 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 -7 1 -4 5 0 -6 2 -4 5 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 2 2 0 0 0 1 1 0 0 2 1 -1 2 -3 0 1 1 0 0 0 0 8 -4 5 h (A) = 3 První řádek zůstává. Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Najděte hodnost matice A. A = 3 -1 0 1 -2 2 1 -1 2 -3 3 -2 -1 1 -2 2 -5 1 -2 2 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 -7 1 -4 5 0 -6 2 -4 5 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 2 2 0 0 0 1 1 0 0 2 1 -1 2 -3 0 1 1 0 0 0 0 8 -4 5 h (A) = 3 * Další klíčový řádek bude jeden z červených řádků. * Protože by vytváření dalších nul bylo složitější, uděláme mezikrok vytvoříme nejprve jedničku. * Druhý řádek ponecháme na svém místě. Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Najděte hodnost matice A. A = 3 -1 0 1 -2 2 1 -1 2 -3 3 -2 -1 1 -2 2 -5 1 -2 2 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 -7 1 -4 5 0 -6 2 -4 5 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 2 2 0 0 0 1 1 0 0 2 1 -1 2 -3 0 1 1 0 0 0 0 8 -4 5 h (A) = 3 Zvolíme červený řádek jako klíčový a provedeme R2 - R3 = . . . (-1) Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Najděte hodnost matice A. A = 3 -1 0 1 -2 2 1 -1 2 -3 3 -2 -1 1 -2 2 -5 1 -2 2 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 -7 1 -4 5 0 -6 2 -4 5 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 2 2 0 0 0 1 1 0 0 2 1 -1 2 -3 0 1 1 0 0 0 0 8 -4 5 h (A) = 3 Vytvoříme jedničku i v dalším řádku: R2 - R4 = . . . . (-1) Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Najděte hodnost matice A. A = 3 -1 0 1 -2 2 1 -1 2 -3 3 -2 -1 1 -2 2 -5 1 -2 2 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 -7 1 -4 5 0 -6 2 -4 5 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 2 2 0 0 0 1 1 0 0 2 1 -1 2 -3 0 1 1 0 0 0 0 8 -4 5 h (A) = 3 * Řádek R3 je násobkem řádku R4. * Jeden z nich můžeme tedy odstranit. Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Najděte hodnost matice A. A = 3 -1 0 1 -2 2 1 -1 2 -3 3 -2 -1 1 -2 2 -5 1 -2 2 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 -7 1 -4 5 0 -6 2 -4 5 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 2 2 0 0 0 1 1 0 0 2 1 -1 2 -3 0 1 1 0 0 0 0 8 -4 5 h (A) = 3 * Odstranili jsme třetí řádek. * První řádek zůstává. * Nový klíčový řádek bude řádek s jedničkou. Píšeme jej jako druhý. Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Najděte hodnost matice A. A = 3 -1 0 1 -2 2 1 -1 2 -3 3 -2 -1 1 -2 2 -5 1 -2 2 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 -7 1 -4 5 0 -6 2 -4 5 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 2 2 0 0 0 1 1 0 0 2 1 -1 2 -3 0 1 1 0 0 0 0 8 -4 5 h (A) = 3 Vytvoříme nulu místo čísla -5. Provedeme tedy 5R3 + R2 = . . . 5 Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Najděte hodnost matice A. A = 3 -1 0 1 -2 2 1 -1 2 -3 3 -2 -1 1 -2 2 -5 1 -2 2 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 -7 1 -4 5 0 -6 2 -4 5 2 1 -1 2 -3 0 -5 3 -4 5 0 2 2 0 0 0 1 1 0 0 2 1 -1 2 -3 0 1 1 0 0 0 0 8 -4 5 h (A) = 3 * Matice je ve schodovitém tvaru. * Schodovitý tvar má tři řádky. * h (A) = 3. Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Najděte hodnost matice B. B = 1 2 -5 1 -2 3 1 -4 6 -2 -1 2 -1 1 6 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 -5 11 3 4 0 4 -6 2 4 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -18 18 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -1 1 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9 9 h (B) = 4 Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Najděte hodnost matice B. B = 1 2 -5 1 -2 3 1 -4 6 -2 -1 2 -1 1 6 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 -5 11 3 4 0 4 -6 2 4 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -18 18 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -1 1 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9 9 h (B) = 4 * Řádek R1 bude klíčový. * Zůstane jako první a pomocí něj budeme nulovat zbylá čísla v prvním sloupci. Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Najděte hodnost matice B. B = 1 2 -5 1 -2 3 1 -4 6 -2 -1 2 -1 1 6 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 -5 11 3 4 0 4 -6 2 4 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -18 18 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -1 1 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9 9 h (B) = 4 Vynulujeme prvek b21. Provedeme -3R1 + R2. -3 Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Najděte hodnost matice B. B = 1 2 -5 1 -2 3 1 -4 6 -2 -1 2 -1 1 6 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 -5 11 3 4 0 4 -6 2 4 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -18 18 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -1 1 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9 9 h (B) = 4 Vynulujeme prvek b31. Provedeme R1 + R3. Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Najděte hodnost matice B. B = 1 2 -5 1 -2 3 1 -4 6 -2 -1 2 -1 1 6 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 -5 11 3 4 0 4 -6 2 4 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -18 18 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -1 1 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9 9 h (B) = 4 Prvek b41 je nulový a tento řádek tedy stačí pouze opsat. Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Najděte hodnost matice B. B = 1 2 -5 1 -2 3 1 -4 6 -2 -1 2 -1 1 6 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 -5 11 3 4 0 4 -6 2 4 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -18 18 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -1 1 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9 9 h (B) = 4ˇ První řádek (původně klíčový) zůstane. * Červeně označený řádek obsahuje jedničku na začátku a zvolíme jej jako další klíčový řádek. To je nejšikovnější, protože b42 = 1, zatímco b22 = -5 a b23 = 4. Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Najděte hodnost matice B. B = 1 2 -5 1 -2 3 1 -4 6 -2 -1 2 -1 1 6 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 -5 11 3 4 0 4 -6 2 4 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -18 18 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -1 1 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9 9 h (B) = 4 Vynulujeme prvek b22. Provedeme 5R4 + R2. 5 Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Najděte hodnost matice B. B = 1 2 -5 1 -2 3 1 -4 6 -2 -1 2 -1 1 6 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 -5 11 3 4 0 4 -6 2 4 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -18 18 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -1 1 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9 9 h (B) = 4 Vynulujeme prvek b32. Provedeme -4R4 + R2. -4 Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Najděte hodnost matice B. B = 1 2 -5 1 -2 3 1 -4 6 -2 -1 2 -1 1 6 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 -5 11 3 4 0 4 -6 2 4 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -18 18 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -1 1 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9 9 h (B) = 4 * Poslední řádek můžeme vydělit číslem 18. * Ostatní řádky zůstanou. Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Najděte hodnost matice B. B = 1 2 -5 1 -2 3 1 -4 6 -2 -1 2 -1 1 6 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 -5 11 3 4 0 4 -6 2 4 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -18 18 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -1 1 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9 9 h (B) = 4 * První dva řádky zůstanou. * Prvek b34 = -1 je šikovnější pro další úpravy, než b33 = 26. Proto jako další klíčový volíme řádek R4. Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Najděte hodnost matice B. B = 1 2 -5 1 -2 3 1 -4 6 -2 -1 2 -1 1 6 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 -5 11 3 4 0 4 -6 2 4 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -18 18 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -1 1 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9 9 h (B) = 4 Vynulujeme prvek b33. Provedeme 26R4 + R3. 26 Hodnost c Robert Mařík, 2008 × Najděte hodnost matice B. B = 1 2 -5 1 -2 3 1 -4 6 -2 -1 2 -1 1 6 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 -5 11 3 4 0 4 -6 2 4 0 1 3 -4 1 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -18 18 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 26 -17 9 0 0 -1 1 0 1 2 -5 1 -2 0 1 3 -4 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 9 9 h (B) = 4 * Matice je ve schodovitém tvaru. * Schodovitý tvar má čtyři řádky. Hodnost je čtyři. Hodnost c Robert Mařík, 2008 × 2 Determinant Determinant c Robert Mařík, 2008 × Definice (determinant). Buď A Rn×n čtvercová matice řádu n. Determinant matice A je reálné číslo det A přiřazené matici A následujícím způsobem: * Je-li A matice řádu 1, tj. A = (a11), je det A = a11. * Máme-li definován determinant z matice řádu (n-1) označme symbolem Mij determinant matice řádu (n-1), která vznikne z matice A vynecháním i-tého řádku a j-tého sloupce. Definujme algebraický doplněk Aij prvku aij jako součin Aij = (-1)i+j Mij . * Konečně, definujme determinant řádu n následovně: zvolíme libovolný index i {1, 2, . . . n} a definujeme det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin. (1) Píšeme též |A| a je-li A = (aij ), píšeme zkráceně |aij |. Determinant c Robert Mařík, 2008 × Najděte následující determinant a b i j = a(-1)1+1 |j| + b(-1)1+2 |i| = aj - bi Determinant 2 × 2 tedy počítáme tak, že násobíme prvky v hlavní diagonále a odečteme součin prvků ve vedlejší diagonále. Determinant c Robert Mařík, 2008 × Najděte následující determinant a b c i j k x y z = a(-1)1+1 j k y z + b(-1)1+2 i k x z + c(-1)1+3 i j x y = a(jz - ky) - b(iz - kx) + c(iy - jx) = ajz - aky - biz + bkx + ciy - cjx a b c = ajz + iyc + xbk - (cjx + kya + zbi)i j k x y z a b c i j k Sarussovo pravidlo Determinant c Robert Mařík, 2008 × Definice (regulární a singulární matice). Buď A čtvercová matice. Je-li det A = 0, říkáme, že matice A je singulární, v opačném případě říkáme, že je regulární. Věta 5 (determinant matice ve schodovitém tvaru). Determinant matice, která je ve schodovitém tvaru je roven součinu prvků v hlavní diagonále. Věta 6 (operace zachovávající hodnotou determinantu). Následující operace nemění hodnotu determinantu matice: * přičtení lineární kombinace ostatních řádků (sloupců) k jinému řádku (sloupci) * ponechání jednoho řádku (sloupce) beze změny a opakované přičtení libovolných násobků tohoto řádku (sloupce) k ostatním řádkům (sloupcům) matice * transponování matice Determinant c Robert Mařík, 2008 × Definice (regulární a singulární matice). Buď A čtvercová matice. Je-li det A = 0, říkáme, že matice A je singulární, v opačném případě říkáme, že je regulární. Věta 5 (determinant matice ve schodovitém tvaru). Determinant matice, která je ve schodovitém tvaru je roven součinu prvků v hlavní diagonále. Věta 6 (operace zachovávající hodnotou determinantu). Následující operace nemění hodnotu determinantu matice: * přičtení lineární kombinace ostatních řádků (sloupců) k jinému řádku (sloupci) * ponechání jednoho řádku (sloupce) beze změny a opakované přičtení libovolných násobků tohoto řádku (sloupce) k ostatním řádkům (sloupcům) matice * transponování matice Determinant c Robert Mařík, 2008 × Definice (regulární a singulární matice). Buď A čtvercová matice. Je-li det A = 0, říkáme, že matice A je singulární, v opačném případě říkáme, že je regulární. Věta 5 (determinant matice ve schodovitém tvaru). Determinant matice, která je ve schodovitém tvaru je roven součinu prvků v hlavní diagonále. Věta 6 (operace zachovávající hodnotou determinantu). Následující operace nemění hodnotu determinantu matice: * přičtení lineární kombinace ostatních řádků (sloupců) k jinému řádku (sloupci) * ponechání jednoho řádku (sloupce) beze změny a opakované přičtení libovolných násobků tohoto řádku (sloupce) k ostatním řádkům (sloupcům) matice * transponování matice Determinant c Robert Mařík, 2008 × Definice (regulární a singulární matice). Buď A čtvercová matice. Je-li det A = 0, říkáme, že matice A je singulární, v opačném případě říkáme, že je regulární. Věta 5 (determinant matice ve schodovitém tvaru). Determinant matice, která je ve schodovitém tvaru je roven součinu prvků v hlavní diagonále. Věta 6 (operace zachovávající hodnotou determinantu). Následující operace nemění hodnotu determinantu matice: * přičtení lineární kombinace ostatních řádků (sloupců) k jinému řádku (sloupci) * ponechání jednoho řádku (sloupce) beze změny a opakované přičtení libovolných násobků tohoto řádku (sloupce) k ostatním řádkům (sloupcům) matice * transponování matice Determinant c Robert Mařík, 2008 × Definice (regulární a singulární matice). Buď A čtvercová matice. Je-li det A = 0, říkáme, že matice A je singulární, v opačném případě říkáme, že je regulární. Věta 5 (determinant matice ve schodovitém tvaru). Determinant matice, která je ve schodovitém tvaru je roven součinu prvků v hlavní diagonále. Věta 6 (operace zachovávající hodnotou determinantu). Následující operace nemění hodnotu determinantu matice: * přičtení lineární kombinace ostatních řádků (sloupců) k jinému řádku (sloupci) * ponechání jednoho řádku (sloupce) beze změny a opakované přičtení libovolných násobků tohoto řádku (sloupce) k ostatním řádkům (sloupcům) matice * transponování matice Determinant c Robert Mařík, 2008 × Věta 7 (další operace s determinantem). Následující operace mění hodnotu determinantu popsaným způsobem: * přehozením dvou řádků (sloupců) determinant mění znaménko * vydělíme-li jeden řádek (sloupec) nenulovým číslem a, zmenší se hodnota determinantu a-krát Poznámka 2. Podle předchozí věty, platí 2 4 8 -1 2 4 0 1 12 = 2 1 2 4 -1 2 4 0 1 12 = 2.4. 1 2 1 -1 2 1 0 1 3 . Poznámka 3 (Laplaceova věta pro sloupce). det A = a1j A1j + a2j A2j + + anj Anj , Poznámka 4. Řádek nebo sloupec, podle kterého provádíme rozvoj, je vhodné volit tak, aby obsahoval co nejvíce nulových prvků. Determinant c Robert Mařík, 2008 × Věta 7 (další operace s determinantem). Následující operace mění hodnotu determinantu popsaným způsobem: * přehozením dvou řádků (sloupců) determinant mění znaménko * vydělíme-li jeden řádek (sloupec) nenulovým číslem a, zmenší se hodnota determinantu a-krát Poznámka 2. Podle předchozí věty, platí 2 4 8 -1 2 4 0 1 12 = 2 1 2 4 -1 2 4 0 1 12 = 2.4. 1 2 1 -1 2 1 0 1 3 . Poznámka 3 (Laplaceova věta pro sloupce). det A = a1j A1j + a2j A2j + + anj Anj , Poznámka 4. Řádek nebo sloupec, podle kterého provádíme rozvoj, je vhodné volit tak, aby obsahoval co nejvíce nulových prvků. Determinant c Robert Mařík, 2008 × Věta 7 (další operace s determinantem). Následující operace mění hodnotu determinantu popsaným způsobem: * přehozením dvou řádků (sloupců) determinant mění znaménko * vydělíme-li jeden řádek (sloupec) nenulovým číslem a, zmenší se hodnota determinantu a-krát Poznámka 2. Podle předchozí věty, platí 2 4 8 -1 2 4 0 1 12 = 2 1 2 4 -1 2 4 0 1 12 = 2.4. 1 2 1 -1 2 1 0 1 3 . Poznámka 3 (Laplaceova věta pro sloupce). det A = a1j A1j + a2j A2j + + anj Anj , Poznámka 4. Řádek nebo sloupec, podle kterého provádíme rozvoj, je vhodné volit tak, aby obsahoval co nejvíce nulových prvků. Determinant c Robert Mařík, 2008 × Věta 7 (další operace s determinantem). Následující operace mění hodnotu determinantu popsaným způsobem: * přehozením dvou řádků (sloupců) determinant mění znaménko * vydělíme-li jeden řádek (sloupec) nenulovým číslem a, zmenší se hodnota determinantu a-krát Poznámka 2. Podle předchozí věty, platí 2 4 8 -1 2 4 0 1 12 = 2 1 2 4 -1 2 4 0 1 12 = 2.4. 1 2 1 -1 2 1 0 1 3 . Poznámka 3 (Laplaceova věta pro sloupce). det A = a1j A1j + a2j A2j + + anj Anj , Poznámka 4. Řádek nebo sloupec, podle kterého provádíme rozvoj, je vhodné volit tak, aby obsahoval co nejvíce nulových prvků. Determinant c Robert Mařík, 2008 × Vypočtěte následující determinant. 1 2 -1 2 2 -3 1 0 0 -2 0 0 1 2 1 -4 = (-2) (-1)3+2 1 -1 2 2 1 0 1 1 -4 = (-2) (-1) -4 + 4 + 0 - (2 + 0 + 8) = -20 Determinant c Robert Mařík, 2008 × Vypočtěte následující determinant. 1 2 -1 2 2 -3 1 0 0 -2 0 0 1 2 1 -4 = (-2) (-1)3+2 1 -1 2 2 1 0 1 1 -4 = (-2) (-1) -4 + 4 + 0 - (2 + 0 + 8) = -20 Rozvoj: prvek (-1)řádek+sloupec (determinant nižšího řádu) Determinant c Robert Mařík, 2008 × Vypočtěte následující determinant. 1 2 -1 2 2 -3 1 0 0 -2 0 0 1 2 1 -4 = (-2) (-1)3+2 1 -1 2 2 1 0 1 1 -4 = (-2) (-1) -4 + 4 + 0 - (2 + 0 + 8) = -20 1 -1 2 2 1 0 1 1 -4 1 -1 2 2 1 0 Determinant c Robert Mařík, 2008 × Vypočtěte následující determinant. 1 2 -1 2 2 -3 1 0 0 -2 0 0 1 2 1 -4 = 2 (-1)1+4 2 -3 1 0 -2 0 1 2 1 + (-4) (-1)4+4 1 2 -1 2 -3 1 0 -2 0 = (-2) [-4 + 0 + 0 - (-2 + 0 + 0)] - 4 [0 + 4 + 0 - (0 - 2 + 0)] = (-2) (-2) - 4 6 = -20 Vypočteme ten stejný determinant rozvojem podle posledního sloupce. Determinant c Robert Mařík, 2008 × Vypočtěte následující determinant. 1 2 -1 2 2 -3 1 0 0 -2 0 0 1 2 1 -4 = 2 (-1)1+4 2 -3 1 0 -2 0 1 2 1 + (-4) (-1)4+4 1 2 -1 2 -3 1 0 -2 0 = (-2) [-4 + 0 + 0 - (-2 + 0 + 0)] - 4 [0 + 4 + 0 - (0 - 2 + 0)] = (-2) (-2) - 4 6 = -20 Poslední sloupec obsahuje dva nenulové prvky a rozvoj tedy bude obsahovat dva determinanty nižšího řádu. Determinant c Robert Mařík, 2008 × Vypočtěte následující determinant. 1 2 -1 2 2 -3 1 0 0 -2 0 0 1 2 1 -4 = 2 (-1)1+4 2 -3 1 0 -2 0 1 2 1 + (-4) (-1)4+4 1 2 -1 2 -3 1 0 -2 0 = (-2) [-4 + 0 + 0 - (-2 + 0 + 0)] - 4 [0 + 4 + 0 - (0 - 2 + 0)] = (-2) (-2) - 4 6 = -20 Determinanty třetího řádu dopočítáme Sarussovým pravidlem. Determinant c Robert Mařík, 2008 × Vypočtěte následující determinant. 2 0 -3 3 1 4 3 -1 1 -4 8 0 0 3 -1 2 = 0 -8 -9 5 1 4 3 -1 0 -8 5 1 0 3 -1 2 = 1 (-1)2+1 -8 -9 5 -8 5 1 3 -1 2 = -1 -8 5 2 + (-8) (-1) 5 + 3 (-9) 1 - (5 5 3 + 1 (-1) (-8) + 2 (-9) (-8)) = -1 -80 + 40 - 27 - (75 + 8 + 144) = - -67 - 227 = 294 Determinant c Robert Mařík, 2008 × Vypočtěte následující determinant. 2 0 -3 3 1 4 3 -1 1 -4 8 0 0 3 -1 2 = 0 -8 -9 5 1 4 3 -1 0 -8 5 1 0 3 -1 2 = 1 (-1)2+1 -8 -9 5 -8 5 1 3 -1 2 = -1 -8 5 2 + (-8) (-1) 5 + 3 (-9) 1 - (5 5 3 + 1 (-1) (-8) + 2 (-9) (-8)) = -1 -80 + 40 - 27 - (75 + 8 + 144) = - -67 - 227 = 294 Druhý řádek bude klíčový. Determinant c Robert Mařík, 2008 × Vypočtěte následující determinant. 2 0 -3 3 1 4 3 -1 1 -4 8 0 0 3 -1 2 = 0 -8 -9 5 1 4 3 -1 0 -8 5 1 0 3 -1 2 = 1 (-1)2+1 -8 -9 5 -8 5 1 3 -1 2 = -1 -8 5 2 + (-8) (-1) 5 + 3 (-9) 1 - (5 5 3 + 1 (-1) (-8) + 2 (-9) (-8)) = -1 -80 + 40 - 27 - (75 + 8 + 144) = - -67 - 227 = 294 Upravíme první řádek. Pozor! Řádky nepřehazujeme. (-2) Determinant c Robert Mařík, 2008 × Vypočtěte následující determinant. 2 0 -3 3 1 4 3 -1 1 -4 8 0 0 3 -1 2 = 0 -8 -9 5 1 4 3 -1 0 -8 5 1 0 3 -1 2 = 1 (-1)2+1 -8 -9 5 -8 5 1 3 -1 2 = -1 -8 5 2 + (-8) (-1) 5 + 3 (-9) 1 - (5 5 3 + 1 (-1) (-8) + 2 (-9) (-8)) = -1 -80 + 40 - 27 - (75 + 8 + 144) = - -67 - 227 = 294 Upravíme třetí řádek. (-1) Determinant c Robert Mařík, 2008 × Vypočtěte následující determinant. 2 0 -3 3 1 4 3 -1 1 -4 8 0 0 3 -1 2 = 0 -8 -9 5 1 4 3 -1 0 -8 5 1 0 3 -1 2 = 1 (-1)2+1 -8 -9 5 -8 5 1 3 -1 2 = -1 -8 5 2 + (-8) (-1) 5 + 3 (-9) 1 - (5 5 3 + 1 (-1) (-8) + 2 (-9) (-8)) = -1 -80 + 40 - 27 - (75 + 8 + 144) = - -67 - 227 = 294 Poslední řádek pouze opíšeme. Determinant c Robert Mařík, 2008 × Vypočtěte následující determinant. 2 0 -3 3 1 4 3 -1 1 -4 8 0 0 3 -1 2 = 0 -8 -9 5 1 4 3 -1 0 -8 5 1 0 3 -1 2 = 1 (-1)2+1 -8 -9 5 -8 5 1 3 -1 2 = -1 -8 5 2 + (-8) (-1) 5 + 3 (-9) 1 - (5 5 3 + 1 (-1) (-8) + 2 (-9) (-8)) = -1 -80 + 40 - 27 - (75 + 8 + 144) = - -67 - 227 = 294 * Vytvoříme Laplaceův rozvoj podle prvního sloupce. * Červený prvek zůstane, bude vynásoben výrazem (-1)řádek + sloupec . * Vynecháme první sloupec a druhý řádek. Determinant c Robert Mařík, 2008 × Vypočtěte následující determinant. 2 0 -3 3 1 4 3 -1 1 -4 8 0 0 3 -1 2 = 0 -8 -9 5 1 4 3 -1 0 -8 5 1 0 3 -1 2 = 1 (-1)2+1 -8 -9 5 -8 5 1 3 -1 2 = -1 -8 5 2 + (-8) (-1) 5 + 3 (-9) 1 - (5 5 3 + 1 (-1) (-8) + 2 (-9) (-8)) = -1 -80 + 40 - 27 - (75 + 8 + 144) = - -67 - 227 = 294 -8 -9 5 -8 5 1 3 -1 2 -8 -9 5 -8 5 1 Determinant c Robert Mařík, 2008 × Vypočtěte následující determinant. 2 0 -3 3 1 4 3 -1 1 -4 8 0 0 3 -1 2 = 0 -8 -9 5 1 4 3 -1 0 -8 5 1 0 3 -1 2 = 1 (-1)2+1 -8 -9 5 -8 5 1 3 -1 2 = -1 -8 5 2 + (-8) (-1) 5 + 3 (-9) 1 - (5 5 3 + 1 (-1) (-8) + 2 (-9) (-8)) = -1 -80 + 40 - 27 - (75 + 8 + 144) = - -67 - 227 = 294 Determinant c Robert Mařík, 2008 × Vypočtěte následující determinant. 2 0 -3 3 1 4 3 -1 1 -4 8 0 0 3 -1 2 = 0 -8 -9 5 1 4 3 -1 0 -8 5 1 0 3 -1 2 = 1 (-1)2+1 -8 -9 5 -8 5 1 3 -1 2 = -1 -8 5 2 + (-8) (-1) 5 + 3 (-9) 1 - (5 5 3 + 1 (-1) (-8) + 2 (-9) (-8)) = -1 -80 + 40 - 27 - (75 + 8 + 144) = - -67 - 227 = 294 Determinant c Robert Mařík, 2008 × Vypočtěte následující determinant. 2 0 -3 3 1 4 3 -1 1 -4 8 0 0 3 -1 2 = 0 -8 -9 5 1 4 3 -1 0 -8 5 1 0 3 -1 2 = 1 (-1)2+1 -8 -9 5 -8 5 1 3 -1 2 = -1 -8 5 2 + (-8) (-1) 5 + 3 (-9) 1 - (5 5 3 + 1 (-1) (-8) + 2 (-9) (-8)) = -1 -80 + 40 - 27 - (75 + 8 + 144) = - -67 - 227 = 294 Determinant c Robert Mařík, 2008 × Vypočtěte následující determinant. 2 3 0 4 1 2 1 1 3 4 1 1 1 2 2 -1 = 2 3 0 4 1 2 1 1 2 2 0 0 -1 -2 0 -3 = 1 (-1)2+3 2 3 4 2 2 0 -1 -2 -3 = -1 2 2 3 4 1 1 0 -1 -2 -3 = -2 [-6 - 8 + 0 - (-4 + 0 - 9)] = -2 (-1) = 2 Determinant c Robert Mařík, 2008 × Vypočtěte následující determinant. 2 3 0 4 1 2 1 1 3 4 1 1 1 2 2 -1 = 2 3 0 4 1 2 1 1 2 2 0 0 -1 -2 0 -3 = 1 (-1)2+3 2 3 4 2 2 0 -1 -2 -3 = -1 2 2 3 4 1 1 0 -1 -2 -3 = -2 [-6 - 8 + 0 - (-4 + 0 - 9)] = -2 (-1) = 2 * Druhý řádek bude klíčový a budeme vytvářet nuly ve třetím sloupci (obsahuje už jednu nulu a obsahuje nejmenší čísla). * První řádek už nulu ve třetím soupci má, takže jej jenom opíšeme. * Dáváme pozor na to, abychom nezaměnili pořadí řádků. Determinant c Robert Mařík, 2008 × Vypočtěte následující determinant. 2 3 0 4 1 2 1 1 3 4 1 1 1 2 2 -1 = 2 3 0 4 1 2 1 1 2 2 0 0 -1 -2 0 -3 = 1 (-1)2+3 2 3 4 2 2 0 -1 -2 -3 = -1 2 2 3 4 1 1 0 -1 -2 -3 = -2 [-6 - 8 + 0 - (-4 + 0 - 9)] = -2 (-1) = 2 (-1) Vytvoříme nulu z prvku a33. Determinant c Robert Mařík, 2008 × Vypočtěte následující determinant. 2 3 0 4 1 2 1 1 3 4 1 1 1 2 2 -1 = 2 3 0 4 1 2 1 1 2 2 0 0 -1 -2 0 -3 = 1 (-1)2+3 2 3 4 2 2 0 -1 -2 -3 = -1 2 2 3 4 1 1 0 -1 -2 -3 = -2 [-6 - 8 + 0 - (-4 + 0 - 9)] = -2 (-1) = 2 (-2) Vytvoříme nulu z prvku a43. Determinant c Robert Mařík, 2008 × Vypočtěte následující determinant. 2 3 0 4 1 2 1 1 3 4 1 1 1 2 2 -1 = 2 3 0 4 1 2 1 1 2 2 0 0 -1 -2 0 -3 = 1 (-1)2+3 2 3 4 2 2 0 -1 -2 -3 = -1 2 2 3 4 1 1 0 -1 -2 -3 = -2 [-6 - 8 + 0 - (-4 + 0 - 9)] = -2 (-1) = 2 Rozvineme determinant podle třetího sloupce. prvek (-1)řádek+sloupec (determinant nižšího řádu) Determinant c Robert Mařík, 2008 × Vypočtěte následující determinant. 2 3 0 4 1 2 1 1 3 4 1 1 1 2 2 -1 = 2 3 0 4 1 2 1 1 2 2 0 0 -1 -2 0 -3 = 1 (-1)2+3 2 3 4 2 2 0 -1 -2 -3 = -1 2 2 3 4 1 1 0 -1 -2 -3 = -2 [-6 - 8 + 0 - (-4 + 0 - 9)] = -2 (-1) = 2 Vytkneme číslo 2 ve druhém řádku. Determinant c Robert Mařík, 2008 × Vypočtěte následující determinant. 2 3 0 4 1 2 1 1 3 4 1 1 1 2 2 -1 = 2 3 0 4 1 2 1 1 2 2 0 0 -1 -2 0 -3 = 1 (-1)2+3 2 3 4 2 2 0 -1 -2 -3 = -1 2 2 3 4 1 1 0 -1 -2 -3 = -2 [-6 - 8 + 0 - (-4 + 0 - 9)] = -2 (-1) = 2 Použijeme Sarusovo pravidlo: 2 3 4 1 1 0 -1 -2 -3 2 3 4 1 1 0 Determinant c Robert Mařík, 2008 × Vypočtěte následující determinant. 2 3 0 4 1 2 1 1 3 4 1 1 1 2 2 -1 = 2 3 0 4 1 2 1 1 2 2 0 0 -1 -2 0 -3 = 1 (-1)2+3 2 3 4 2 2 0 -1 -2 -3 = -1 2 2 3 4 1 1 0 -1 -2 -3 = -2 [-6 - 8 + 0 - (-4 + 0 - 9)] = -2 (-1) = 2 Determinant c Robert Mařík, 2008 × 3 Inverzní matice Definice (inverzní matice). Buď A Rn×n čtvercová matice řádu n. Jestliže existuje čtvercová matice A-1 řádu n, splňující vztahy A-1 A = I = AA-1 , nazýváme matici A-1 inverzní maticí k matici A. Poznámka 5 (metoda výpočtu). Čtvercovou matici A převedeme pomocí řádkových úprav totožných s úpravami zachovávajícími hodnost matice na matici jednotkovou. Tytéž úpravy současně provádíme na jednotkové matici a z jednotkové matice takto vznikne matice inverzní A-1 . Věta 8 (existence inverzní matice). Nechť matice A je čtvercová. Potom inverzní matice A-1 existuje právě tehdy, když je matice A regulární, tj. det(A) = 0. Inverzní matice c Robert Mařík, 2008 × 3 Inverzní matice Definice (inverzní matice). Buď A Rn×n čtvercová matice řádu n. Jestliže existuje čtvercová matice A-1 řádu n, splňující vztahy A-1 A = I = AA-1 , nazýváme matici A-1 inverzní maticí k matici A. Poznámka 5 (metoda výpočtu). Čtvercovou matici A převedeme pomocí řádkových úprav totožných s úpravami zachovávajícími hodnost matice na matici jednotkovou. Tytéž úpravy současně provádíme na jednotkové matici a z jednotkové matice takto vznikne matice inverzní A-1 . Věta 8 (existence inverzní matice). Nechť matice A je čtvercová. Potom inverzní matice A-1 existuje právě tehdy, když je matice A regulární, tj. det(A) = 0. Inverzní matice c Robert Mařík, 2008 × 3 Inverzní matice Definice (inverzní matice). Buď A Rn×n čtvercová matice řádu n. Jestliže existuje čtvercová matice A-1 řádu n, splňující vztahy A-1 A = I = AA-1 , nazýváme matici A-1 inverzní maticí k matici A. Poznámka 5 (metoda výpočtu). Čtvercovou matici A převedeme pomocí řádkových úprav totožných s úpravami zachovávajícími hodnost matice na matici jednotkovou. Tytéž úpravy současně provádíme na jednotkové matici a z jednotkové matice takto vznikne matice inverzní A-1 . Věta 8 (existence inverzní matice). Nechť matice A je čtvercová. Potom inverzní matice A-1 existuje právě tehdy, když je matice A regulární, tj. det(A) = 0. Inverzní matice c Robert Mařík, 2008 × Inverzní matice je "protijed" k maticovému násobení A X = B A-1 (A X) = A-1 B (A-1 A) X = A-1 B I X = A-1 B X = A-1 B Inverzní matice c Robert Mařík, 2008 × Inverzní matice je "protijed" k maticovému násobení A X = B A-1 (A X) = A-1 B (A-1 A) X = A-1 B I X = A-1 B X = A-1 B Vynásobíme zleva maticí inverzní. Inverzní matice c Robert Mařík, 2008 × Inverzní matice je "protijed" k maticovému násobení A X = B A-1 (A X) = A-1 B (A-1 A) X = A-1 B I X = A-1 B X = A-1 B Použijeme asociativní zákon pro násobení. Inverzní matice c Robert Mařík, 2008 × Inverzní matice je "protijed" k maticovému násobení A X = B A-1 (A X) = A-1 B (A-1 A) X = A-1 B I X = A-1 B X = A-1 B Použijeme definici inverzní matice. Inverzní matice c Robert Mařík, 2008 × Inverzní matice je "protijed" k maticovému násobení A X = B A-1 (A X) = A-1 B (A-1 A) X = A-1 B I X = A-1 B X = A-1 B * Jednotková matice je neutrálním prvkem vzhledem k násobení. * Teď už vidíme, že pokud bychom násobili inverzní maticí zprava, obdrželi bychom vztah A X A-1 = B A-1 , ze kterého hledané X nelze tak snadno vyjádřit. Inverzní matice c Robert Mařík, 2008 × K dané matici A určete matici inverzní A-1 . A = 6 -4 -17 -1 1 3 2 -1 -6 6 -4 -17 1 0 0 -1 1 3 0 1 0 2 -1 -6 0 0 1 -1 1 3 0 1 0 0 2 1 1 6 0 0 1 0 0 2 1 -1 0 3 0 -1 -1 0 1 0 0 2 1 0 0 1 1 2 -2 1 0 0 3 7 -5 0 1 0 0 2 1 0 0 1 1 2 -2 A-1 = 3 7 -5 0 2 1 1 2 -2 Inverzní matice c Robert Mařík, 2008 × K dané matici A určete matici inverzní A-1 . A = 6 -4 -17 -1 1 3 2 -1 -6 6 -4 -17 1 0 0 -1 1 3 0 1 0 2 -1 -6 0 0 1 -1 1 3 0 1 0 0 2 1 1 6 0 0 1 0 0 2 1 -1 0 3 0 -1 -1 0 1 0 0 2 1 0 0 1 1 2 -2 1 0 0 3 7 -5 0 1 0 0 2 1 0 0 1 1 2 -2 A-1 = 3 7 -5 0 2 1 1 2 -2 Zapíšeme matici A a jednotkovou matici vedle sebe. Inverzní matice c Robert Mařík, 2008 × K dané matici A určete matici inverzní A-1 . A = 6 -4 -17 -1 1 3 2 -1 -6 6 -4 -17 1 0 0 -1 1 3 0 1 0 2 -1 -6 0 0 1 -1 1 3 0 1 0 0 2 1 1 6 0 0 1 0 0 2 1 -1 0 3 0 -1 -1 0 1 0 0 2 1 0 0 1 1 2 -2 1 0 0 3 7 -5 0 1 0 0 2 1 0 0 1 1 2 -2 A-1 = 3 7 -5 0 2 1 1 2 -2 Druhý řádek volíme jako klíčový, protože číslo -1 je vhodnější pro vytváření nul než čísla 6 a 2. Klíčový řádek píšeme jako první. Inverzní matice c Robert Mařík, 2008 × K dané matici A určete matici inverzní A-1 . A = 6 -4 -17 -1 1 3 2 -1 -6 6 -4 -17 1 0 0 -1 1 3 0 1 0 2 -1 -6 0 0 1 -1 1 3 0 1 0 0 2 1 1 6 0 0 1 0 0 2 1 -1 0 3 0 -1 -1 0 1 0 0 2 1 0 0 1 1 2 -2 1 0 0 3 7 -5 0 1 0 0 2 1 0 0 1 1 2 -2 A-1 = 3 7 -5 0 2 1 1 2 -2 Upravíme prvek a11 = 6 na nulu. 6 Inverzní matice c Robert Mařík, 2008 × K dané matici A určete matici inverzní A-1 . A = 6 -4 -17 -1 1 3 2 -1 -6 6 -4 -17 1 0 0 -1 1 3 0 1 0 2 -1 -6 0 0 1 -1 1 3 0 1 0 0 2 1 1 6 0 0 1 0 0 2 1 -1 0 3 0 -1 -1 0 1 0 0 2 1 0 0 1 1 2 -2 1 0 0 3 7 -5 0 1 0 0 2 1 0 0 1 1 2 -2 A-1 = 3 7 -5 0 2 1 1 2 -2 Upravíme prvek a31 = 2 na nulu. 2 Inverzní matice c Robert Mařík, 2008 × K dané matici A určete matici inverzní A-1 . A = 6 -4 -17 -1 1 3 2 -1 -6 6 -4 -17 1 0 0 -1 1 3 0 1 0 2 -1 -6 0 0 1 -1 1 3 0 1 0 0 2 1 1 6 0 0 1 0 0 2 1 -1 0 3 0 -1 -1 0 1 0 0 2 1 0 0 1 1 2 -2 1 0 0 3 7 -5 0 1 0 0 2 1 0 0 1 1 2 -2 A-1 = 3 7 -5 0 2 1 1 2 -2 Nový klíčový řádek bude třetí řádek. Napíšeme jej jako druhý v pořadí. Inverzní matice c Robert Mařík, 2008 × K dané matici A určete matici inverzní A-1 . A = 6 -4 -17 -1 1 3 2 -1 -6 6 -4 -17 1 0 0 -1 1 3 0 1 0 2 -1 -6 0 0 1 -1 1 3 0 1 0 0 2 1 1 6 0 0 1 0 0 2 1 -1 0 3 0 -1 -1 0 1 0 0 2 1 0 0 1 1 2 -2 1 0 0 3 7 -5 0 1 0 0 2 1 0 0 1 1 2 -2 A-1 = 3 7 -5 0 2 1 1 2 -2 Upravíme prvek a12 = 1 na nulu. (-1) Inverzní matice c Robert Mařík, 2008 × K dané matici A určete matici inverzní A-1 . A = 6 -4 -17 -1 1 3 2 -1 -6 6 -4 -17 1 0 0 -1 1 3 0 1 0 2 -1 -6 0 0 1 -1 1 3 0 1 0 0 2 1 1 6 0 0 1 0 0 2 1 -1 0 3 0 -1 -1 0 1 0 0 2 1 0 0 1 1 2 -2 1 0 0 3 7 -5 0 1 0 0 2 1 0 0 1 1 2 -2 A-1 = 3 7 -5 0 2 1 1 2 -2 Upravíme prvek a22 = 2 na nulu. (-2) Inverzní matice c Robert Mařík, 2008 × K dané matici A určete matici inverzní A-1 . A = 6 -4 -17 -1 1 3 2 -1 -6 6 -4 -17 1 0 0 -1 1 3 0 1 0 2 -1 -6 0 0 1 -1 1 3 0 1 0 0 2 1 1 6 0 0 1 0 0 2 1 -1 0 3 0 -1 -1 0 1 0 0 2 1 0 0 1 1 2 -2 1 0 0 3 7 -5 0 1 0 0 2 1 0 0 1 1 2 -2 A-1 = 3 7 -5 0 2 1 1 2 -2 Nový klíčový řádek bude řádek poslední. Inverzní matice c Robert Mařík, 2008 × K dané matici A určete matici inverzní A-1 . A = 6 -4 -17 -1 1 3 2 -1 -6 6 -4 -17 1 0 0 -1 1 3 0 1 0 2 -1 -6 0 0 1 -1 1 3 0 1 0 0 2 1 1 6 0 0 1 0 0 2 1 -1 0 3 0 -1 -1 0 1 0 0 2 1 0 0 1 1 2 -2 1 0 0 3 7 -5 0 1 0 0 2 1 0 0 1 1 2 -2 A-1 = 3 7 -5 0 2 1 1 2 -2 Druhý řádek zůstane, má nulu na místě a23. Inverzní matice c Robert Mařík, 2008 × K dané matici A určete matici inverzní A-1 . A = 6 -4 -17 -1 1 3 2 -1 -6 6 -4 -17 1 0 0 -1 1 3 0 1 0 2 -1 -6 0 0 1 -1 1 3 0 1 0 0 2 1 1 6 0 0 1 0 0 2 1 -1 0 3 0 -1 -1 0 1 0 0 2 1 0 0 1 1 2 -2 1 0 0 3 7 -5 0 1 0 0 2 1 0 0 1 1 2 -2 A-1 = 3 7 -5 0 2 1 1 2 -2 Upravíme prvek a13 = 3 na nulu. 3 (-1) Inverzní matice c Robert Mařík, 2008 × K dané matici A určete matici inverzní A-1 . A = 6 -4 -17 -1 1 3 2 -1 -6 6 -4 -17 1 0 0 -1 1 3 0 1 0 2 -1 -6 0 0 1 -1 1 3 0 1 0 0 2 1 1 6 0 0 1 0 0 2 1 -1 0 3 0 -1 -1 0 1 0 0 2 1 0 0 1 1 2 -2 1 0 0 3 7 -5 0 1 0 0 2 1 0 0 1 1 2 -2 A-1 = 3 7 -5 0 2 1 1 2 -2 Matice vlevo je ve schodovitém tvaru a inverzní matice je tedy napravo. Inverzní matice c Robert Mařík, 2008 × K dané matici A najděte matici inverzní A-1 . A = 1 0 4 1 -1 1 1 2 6 1 0 4 1 0 0 1 -1 1 0 1 0 1 2 6 0 0 1 1 -1 1 0 1 0 0 1 3 1 -1 0 0 3 5 0 -1 1 1 0 4 1 0 0 0 1 3 1 -1 0 0 0 -4 -3 2 1 1 0 0 -2 2 1 0 4 0 -5 2 3 0 0 4 3 -1 -1 1 0 0 -2 2 1 0 1 0 -5/4 2/4 3/4 0 0 1 3/4 -1/4 -1/4 ; A-1 = 1 4 -8 8 4 -5 2 3 3 -2 -1 Inverzní matice c Robert Mařík, 2008 × K dané matici A najděte matici inverzní A-1 . A = 1 0 4 1 -1 1 1 2 6 1 0 4 1 0 0 1 -1 1 0 1 0 1 2 6 0 0 1 1 -1 1 0 1 0 0 1 3 1 -1 0 0 3 5 0 -1 1 1 0 4 1 0 0 0 1 3 1 -1 0 0 0 -4 -3 2 1 1 0 0 -2 2 1 0 4 0 -5 2 3 0 0 4 3 -1 -1 1 0 0 -2 2 1 0 1 0 -5/4 2/4 3/4 0 0 1 3/4 -1/4 -1/4 ; A-1 = 1 4 -8 8 4 -5 2 3 3 -2 -1 Začneme se zadanou maticí a s 3 × 3 jednotkovou maticí. Inverzní matice c Robert Mařík, 2008 × K dané matici A najděte matici inverzní A-1 . A = 1 0 4 1 -1 1 1 2 6 1 0 4 1 0 0 1 -1 1 0 1 0 1 2 6 0 0 1 1 -1 1 0 1 0 0 1 3 1 -1 0 0 3 5 0 -1 1 1 0 4 1 0 0 0 1 3 1 -1 0 0 0 -4 -3 2 1 1 0 0 -2 2 1 0 4 0 -5 2 3 0 0 4 3 -1 -1 1 0 0 -2 2 1 0 1 0 -5/4 2/4 3/4 0 0 1 3/4 -1/4 -1/4 ; A-1 = 1 4 -8 8 4 -5 2 3 3 -2 -1 Inverzní matice c Robert Mařík, 2008 × K dané matici A najděte matici inverzní A-1 . A = 1 0 4 1 -1 1 1 2 6 1 0 4 1 0 0 1 -1 1 0 1 0 1 2 6 0 0 1 1 -1 1 0 1 0 0 1 3 1 -1 0 0 3 5 0 -1 1 1 0 4 1 0 0 0 1 3 1 -1 0 0 0 -4 -3 2 1 1 0 0 -2 2 1 0 4 0 -5 2 3 0 0 4 3 -1 -1 1 0 0 -2 2 1 0 1 0 -5/4 2/4 3/4 0 0 1 3/4 -1/4 -1/4 ; A-1 = 1 4 -8 8 4 -5 2 3 3 -2 -1 Upravíme a11 = 1 na nulu. (-1) Inverzní matice c Robert Mařík, 2008 × K dané matici A najděte matici inverzní A-1 . A = 1 0 4 1 -1 1 1 2 6 1 0 4 1 0 0 1 -1 1 0 1 0 1 2 6 0 0 1 1 -1 1 0 1 0 0 1 3 1 -1 0 0 3 5 0 -1 1 1 0 4 1 0 0 0 1 3 1 -1 0 0 0 -4 -3 2 1 1 0 0 -2 2 1 0 4 0 -5 2 3 0 0 4 3 -1 -1 1 0 0 -2 2 1 0 1 0 -5/4 2/4 3/4 0 0 1 3/4 -1/4 -1/4 ; A-1 = 1 4 -8 8 4 -5 2 3 3 -2 -1 Upravíme a31 = 1 na nulu. (-1) Inverzní matice c Robert Mařík, 2008 × K dané matici A najděte matici inverzní A-1 . A = 1 0 4 1 -1 1 1 2 6 1 0 4 1 0 0 1 -1 1 0 1 0 1 2 6 0 0 1 1 -1 1 0 1 0 0 1 3 1 -1 0 0 3 5 0 -1 1 1 0 4 1 0 0 0 1 3 1 -1 0 0 0 -4 -3 2 1 1 0 0 -2 2 1 0 4 0 -5 2 3 0 0 4 3 -1 -1 1 0 0 -2 2 1 0 1 0 -5/4 2/4 3/4 0 0 1 3/4 -1/4 -1/4 ; A-1 = 1 4 -8 8 4 -5 2 3 3 -2 -1 Inverzní matice c Robert Mařík, 2008 × K dané matici A najděte matici inverzní A-1 . A = 1 0 4 1 -1 1 1 2 6 1 0 4 1 0 0 1 -1 1 0 1 0 1 2 6 0 0 1 1 -1 1 0 1 0 0 1 3 1 -1 0 0 3 5 0 -1 1 1 0 4 1 0 0 0 1 3 1 -1 0 0 0 -4 -3 2 1 1 0 0 -2 2 1 0 4 0 -5 2 3 0 0 4 3 -1 -1 1 0 0 -2 2 1 0 1 0 -5/4 2/4 3/4 0 0 1 3/4 -1/4 -1/4 ; A-1 = 1 4 -8 8 4 -5 2 3 3 -2 -1 Upravíme a12 = -1 na nulu. Inverzní matice c Robert Mařík, 2008 × K dané matici A najděte matici inverzní A-1 . A = 1 0 4 1 -1 1 1 2 6 1 0 4 1 0 0 1 -1 1 0 1 0 1 2 6 0 0 1 1 -1 1 0 1 0 0 1 3 1 -1 0 0 3 5 0 -1 1 1 0 4 1 0 0 0 1 3 1 -1 0 0 0 -4 -3 2 1 1 0 0 -2 2 1 0 4 0 -5 2 3 0 0 4 3 -1 -1 1 0 0 -2 2 1 0 1 0 -5/4 2/4 3/4 0 0 1 3/4 -1/4 -1/4 ; A-1 = 1 4 -8 8 4 -5 2 3 3 -2 -1 Upravíme prvek a32 = 3 na nulu. (-3) Inverzní matice c Robert Mařík, 2008 × K dané matici A najděte matici inverzní A-1 . A = 1 0 4 1 -1 1 1 2 6 1 0 4 1 0 0 1 -1 1 0 1 0 1 2 6 0 0 1 1 -1 1 0 1 0 0 1 3 1 -1 0 0 3 5 0 -1 1 1 0 4 1 0 0 0 1 3 1 -1 0 0 0 -4 -3 2 1 1 0 0 -2 2 1 0 4 0 -5 2 3 0 0 4 3 -1 -1 1 0 0 -2 2 1 0 1 0 -5/4 2/4 3/4 0 0 1 3/4 -1/4 -1/4 ; A-1 = 1 4 -8 8 4 -5 2 3 3 -2 -1 Inverzní matice c Robert Mařík, 2008 × K dané matici A najděte matici inverzní A-1 . A = 1 0 4 1 -1 1 1 2 6 1 0 4 1 0 0 1 -1 1 0 1 0 1 2 6 0 0 1 1 -1 1 0 1 0 0 1 3 1 -1 0 0 3 5 0 -1 1 1 0 4 1 0 0 0 1 3 1 -1 0 0 0 -4 -3 2 1 1 0 0 -2 2 1 0 4 0 -5 2 3 0 0 4 3 -1 -1 1 0 0 -2 2 1 0 1 0 -5/4 2/4 3/4 0 0 1 3/4 -1/4 -1/4 ; A-1 = 1 4 -8 8 4 -5 2 3 3 -2 -1 Upravíme a23 = 3 na nulu. 3 4 Inverzní matice c Robert Mařík, 2008 × K dané matici A najděte matici inverzní A-1 . A = 1 0 4 1 -1 1 1 2 6 1 0 4 1 0 0 1 -1 1 0 1 0 1 2 6 0 0 1 1 -1 1 0 1 0 0 1 3 1 -1 0 0 3 5 0 -1 1 1 0 4 1 0 0 0 1 3 1 -1 0 0 0 -4 -3 2 1 1 0 0 -2 2 1 0 4 0 -5 2 3 0 0 4 3 -1 -1 1 0 0 -2 2 1 0 1 0 -5/4 2/4 3/4 0 0 1 3/4 -1/4 -1/4 ; A-1 = 1 4 -8 8 4 -5 2 3 3 -2 -1 Upravíme prvek a13 = 4 na nulu. Inverzní matice c Robert Mařík, 2008 × K dané matici A najděte matici inverzní A-1 . A = 1 0 4 1 -1 1 1 2 6 1 0 4 1 0 0 1 -1 1 0 1 0 1 2 6 0 0 1 1 -1 1 0 1 0 0 1 3 1 -1 0 0 3 5 0 -1 1 1 0 4 1 0 0 0 1 3 1 -1 0 0 0 -4 -3 2 1 1 0 0 -2 2 1 0 4 0 -5 2 3 0 0 4 3 -1 -1 1 0 0 -2 2 1 0 1 0 -5/4 2/4 3/4 0 0 1 3/4 -1/4 -1/4 ; A-1 = 1 4 -8 8 4 -5 2 3 3 -2 -1 Vydělíme. Inverzní matice c Robert Mařík, 2008 × K dané matici A najděte matici inverzní A-1 . A = 1 0 4 1 -1 1 1 2 6 1 0 4 1 0 0 1 -1 1 0 1 0 1 2 6 0 0 1 1 -1 1 0 1 0 0 1 3 1 -1 0 0 3 5 0 -1 1 1 0 4 1 0 0 0 1 3 1 -1 0 0 0 -4 -3 2 1 1 0 0 -2 2 1 0 4 0 -5 2 3 0 0 4 3 -1 -1 1 0 0 -2 2 1 0 1 0 -5/4 2/4 3/4 0 0 1 3/4 -1/4 -1/4 ; A-1 = 1 4 -8 8 4 -5 2 3 3 -2 -1 Inverzní matice vznikla v pravé polovině. Z této matice lze vytknout společný jmenovatel 1 4 . Inverzní matice c Robert Mařík, 2008 × 4 Soustavy lineárních rovnic Uvažujme následující tři problémy: Najděte všechna reálná čísla x1, x2, splňující: Úloha 1 : 4x1 + 5x2 = 7 x1 - 2x2 = 4 Úloha 2 : 4 1 x1 + 5 -2 x2 = 7 4 Úloha 3 4 5 1 -2 x1 x2 = 7 4 Všechny problémy jsou ekvivalentní a jedná se o jiný zápis téhož. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Definice (soustava lineárních rovnic). Soustavou m lineárních rovnic o n neznámých nazýváme soustavu rovnic a11x1 + a12x2 + a13x3 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + a23x3 + + a2nxn = b2 a31x1 + a32x2 + a33x3 + + a3nxn = b3 (S) ... am1x1 + am2x2 + am3x3 + + amnxn = bm Proměnné x1, x2, . . . , xn nazýváme neznámé. Reálná čísla aij nazýváme koeficienty levých stran, reálná čísla bj koeficienty pravých stran soustavy rovnic. Řešením soustavy rovnic rozumíme uspořádanou n-tici reálných čísel [t1, t2, . . . , tn] po jejichž dosazení za neznámé (v tomto pořadí) do soustavy dostaneme ve všech rovnicích identity. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Definice (matice soustavy). Matici A = a11 a12 a13 a1n a21 a22 a23 a2n ... ... ... ... am1 am2 am3 amn (2) nazýváme maticí soustavy (S). Matici Ar = a11 a12 a13 a1n b1 a21 a22 a23 a2n b2 ... ... ... ... ... am1 am2 am3 amn bm (3) nazýváme rozšířenou maticí soustavy (S). Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Poznámka 6 (vektorový zápis soustavy lineárních rovnic). a11 a21 ... am1 x1 + a12 a22 ... am2 x2 + a13 a23 ... am3 x3 + + a1n a2n ... amn xn = b1 b2 ... bm Poznámka 7 (maticový zápis soustavy lineárních rovnic). a11 a12 a1n a21 a22 a2n ... ... ... ... am1 am2 amn x1 x2 ... xn = b1 b2 ... bm Ax = b. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Věta 9 (Frobeniova věta, Kronecker­Capelliho věta). Soustava (S) je řešitelná právě tehdy, když její matice soustavy (2) a rozšířená matice soustavy (3) mají stejnou hodnost, tj. h(A) = h(Ar). * Soustava nemá řešení, pokud h(A) = h(Ar). * Soustava má právě jedno řešení, pokud h(A) = h(Ar) = n. * Soustava má nekonečně mnoho řešení, pokud h(A) = h(Ar) < n. Tato řešení lze vyjádřit pomocí (n - h(A)) nezávislých parametrů. Definice (homogenní soustava lineárních rovnic). Platí-li v soustavě (S) b1 = b2 = = bm = 0 , nazývá se soustava (S) homogenní. Poznámka 8 (triviální řešení). Homogenní soustava lineárních rovnic je vždy řešitelná. Po dosazení okamžitě vidíme, že n-tice x1 = 0, x2 = 0, . . . , xn = 0 je řešením. Toto řešení nazýváme triviální. U homogenních soustav lineárních rovnic tedy buď existuje pouze triviální řešení, nebo existuje nekonečně mnoho řešení. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Věta 9 (Frobeniova věta, Kronecker­Capelliho věta). Soustava (S) je řešitelná právě tehdy, když její matice soustavy (2) a rozšířená matice soustavy (3) mají stejnou hodnost, tj. h(A) = h(Ar). * Soustava nemá řešení, pokud h(A) = h(Ar). * Soustava má právě jedno řešení, pokud h(A) = h(Ar) = n. * Soustava má nekonečně mnoho řešení, pokud h(A) = h(Ar) < n. Tato řešení lze vyjádřit pomocí (n - h(A)) nezávislých parametrů. Definice (homogenní soustava lineárních rovnic). Platí-li v soustavě (S) b1 = b2 = = bm = 0 , nazývá se soustava (S) homogenní. Poznámka 8 (triviální řešení). Homogenní soustava lineárních rovnic je vždy řešitelná. Po dosazení okamžitě vidíme, že n-tice x1 = 0, x2 = 0, . . . , xn = 0 je řešením. Toto řešení nazýváme triviální. U homogenních soustav lineárních rovnic tedy buď existuje pouze triviální řešení, nebo existuje nekonečně mnoho řešení. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Věta 9 (Frobeniova věta, Kronecker­Capelliho věta). Soustava (S) je řešitelná právě tehdy, když její matice soustavy (2) a rozšířená matice soustavy (3) mají stejnou hodnost, tj. h(A) = h(Ar). * Soustava nemá řešení, pokud h(A) = h(Ar). * Soustava má právě jedno řešení, pokud h(A) = h(Ar) = n. * Soustava má nekonečně mnoho řešení, pokud h(A) = h(Ar) < n. Tato řešení lze vyjádřit pomocí (n - h(A)) nezávislých parametrů. Definice (homogenní soustava lineárních rovnic). Platí-li v soustavě (S) b1 = b2 = = bm = 0 , nazývá se soustava (S) homogenní. Poznámka 8 (triviální řešení). Homogenní soustava lineárních rovnic je vždy řešitelná. Po dosazení okamžitě vidíme, že n-tice x1 = 0, x2 = 0, . . . , xn = 0 je řešením. Toto řešení nazýváme triviální. U homogenních soustav lineárních rovnic tedy buď existuje pouze triviální řešení, nebo existuje nekonečně mnoho řešení. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Věta 9 (Frobeniova věta, Kronecker­Capelliho věta). Soustava (S) je řešitelná právě tehdy, když její matice soustavy (2) a rozšířená matice soustavy (3) mají stejnou hodnost, tj. h(A) = h(Ar). * Soustava nemá řešení, pokud h(A) = h(Ar). * Soustava má právě jedno řešení, pokud h(A) = h(Ar) = n. * Soustava má nekonečně mnoho řešení, pokud h(A) = h(Ar) < n. Tato řešení lze vyjádřit pomocí (n - h(A)) nezávislých parametrů. Definice (homogenní soustava lineárních rovnic). Platí-li v soustavě (S) b1 = b2 = = bm = 0 , nazývá se soustava (S) homogenní. Poznámka 8 (triviální řešení). Homogenní soustava lineárních rovnic je vždy řešitelná. Po dosazení okamžitě vidíme, že n-tice x1 = 0, x2 = 0, . . . , xn = 0 je řešením. Toto řešení nazýváme triviální. U homogenních soustav lineárních rovnic tedy buď existuje pouze triviální řešení, nebo existuje nekonečně mnoho řešení. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Věta 9 (Frobeniova věta, Kronecker­Capelliho věta). Soustava (S) je řešitelná právě tehdy, když její matice soustavy (2) a rozšířená matice soustavy (3) mají stejnou hodnost, tj. h(A) = h(Ar). * Soustava nemá řešení, pokud h(A) = h(Ar). * Soustava má právě jedno řešení, pokud h(A) = h(Ar) = n. * Soustava má nekonečně mnoho řešení, pokud h(A) = h(Ar) < n. Tato řešení lze vyjádřit pomocí (n - h(A)) nezávislých parametrů. Definice (homogenní soustava lineárních rovnic). Platí-li v soustavě (S) b1 = b2 = = bm = 0 , nazývá se soustava (S) homogenní. Poznámka 8 (triviální řešení). Homogenní soustava lineárních rovnic je vždy řešitelná. Po dosazení okamžitě vidíme, že n-tice x1 = 0, x2 = 0, . . . , xn = 0 je řešením. Toto řešení nazýváme triviální. U homogenních soustav lineárních rovnic tedy buď existuje pouze triviální řešení, nebo existuje nekonečně mnoho řešení. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Věta 9 (Frobeniova věta, Kronecker­Capelliho věta). Soustava (S) je řešitelná právě tehdy, když její matice soustavy (2) a rozšířená matice soustavy (3) mají stejnou hodnost, tj. h(A) = h(Ar). * Soustava nemá řešení, pokud h(A) = h(Ar). * Soustava má právě jedno řešení, pokud h(A) = h(Ar) = n. * Soustava má nekonečně mnoho řešení, pokud h(A) = h(Ar) < n. Tato řešení lze vyjádřit pomocí (n - h(A)) nezávislých parametrů. Definice (homogenní soustava lineárních rovnic). Platí-li v soustavě (S) b1 = b2 = = bm = 0 , nazývá se soustava (S) homogenní. Poznámka 8 (triviální řešení). Homogenní soustava lineárních rovnic je vždy řešitelná. Po dosazení okamžitě vidíme, že n-tice x1 = 0, x2 = 0, . . . , xn = 0 je řešením. Toto řešení nazýváme triviální. U homogenních soustav lineárních rovnic tedy buď existuje pouze triviální řešení, nebo existuje nekonečně mnoho řešení. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 6x1+2x2- x3+7x4 = 0 4x1+2x2-3x3+5x4 = -4 x1+ x2- x3- x4 = 0 x1 + x3 = 3 Ar 6 2 -1 7 0 4 2 -3 5 -4 1 1 -1 -1 0 1 0 1 0 3 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 2 -7 5 -16 0 2 -7 7 -18 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 -3 9 -12 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 0 2 -2 Ar 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 0 2 -2 2x4 = -2 x4 = -1 -3x3 + 7x4 = -10 -3x3 - 7 = -10 x2 - 2x3 - x4 = -3 x2 - 2 + 1 = -3 x1 + x3 = 3 x1 + 1 = 3Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 6x1+2x2- x3+7x4 = 0 4x1+2x2-3x3+5x4 = -4 x1+ x2- x3- x4 = 0 x1 + x3 = 3 Ar 6 2 -1 7 0 4 2 -3 5 -4 1 1 -1 -1 0 1 0 1 0 3 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 2 -7 5 -16 0 2 -7 7 -18 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 -3 9 -12 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 0 2 -2 Ar 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 0 2 -2 2x4 = -2 x4 = -1 -3x3 + 7x4 = -10 -3x3 - 7 = -10 x2 - 2x3 - x4 = -3 x2 - 2 + 1 = -3 x1 + x3 = 3 x1 + 1 = 3 Napíšeme rozšířenou matici soustavy Ar. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 6x1+2x2- x3+7x4 = 0 4x1+2x2-3x3+5x4 = -4 x1+ x2- x3- x4 = 0 x1 + x3 = 3 Ar 6 2 -1 7 0 4 2 -3 5 -4 1 1 -1 -1 0 1 0 1 0 3 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 2 -7 5 -16 0 2 -7 7 -18 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 -3 9 -12 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 0 2 -2 Ar 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 0 2 -2 2x4 = -2 x4 = -1 -3x3 + 7x4 = -10 -3x3 - 7 = -10 x2 - 2x3 - x4 = -3 x2 - 2 + 1 = -3 x1 + x3 = 3 x1 + 1 = 3 * Jako klíčový řádek zvolíme řádek poslední. * Tento řádek napíšeme jako první. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 6x1+2x2- x3+7x4 = 0 4x1+2x2-3x3+5x4 = -4 x1+ x2- x3- x4 = 0 x1 + x3 = 3 Ar 6 2 -1 7 0 4 2 -3 5 -4 1 1 -1 -1 0 1 0 1 0 3 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 2 -7 5 -16 0 2 -7 7 -18 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 -3 9 -12 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 0 2 -2 Ar 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 0 2 -2 2x4 = -2 x4 = -1 -3x3 + 7x4 = -10 -3x3 - 7 = -10 x2 - 2x3 - x4 = -3 x2 - 2 + 1 = -3 x1 + x3 = 3 x1 + 1 = 3 R3 - R4 = . . . (-1) Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 6x1+2x2- x3+7x4 = 0 4x1+2x2-3x3+5x4 = -4 x1+ x2- x3- x4 = 0 x1 + x3 = 3 Ar 6 2 -1 7 0 4 2 -3 5 -4 1 1 -1 -1 0 1 0 1 0 3 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 2 -7 5 -16 0 2 -7 7 -18 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 -3 9 -12 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 0 2 -2 Ar 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 0 2 -2 2x4 = -2 x4 = -1 -3x3 + 7x4 = -10 -3x3 - 7 = -10 x2 - 2x3 - x4 = -3 x2 - 2 + 1 = -3 x1 + x3 = 3 x1 + 1 = 3 R2 - 4R4 = . . . (-4) Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 6x1+2x2- x3+7x4 = 0 4x1+2x2-3x3+5x4 = -4 x1+ x2- x3- x4 = 0 x1 + x3 = 3 Ar 6 2 -1 7 0 4 2 -3 5 -4 1 1 -1 -1 0 1 0 1 0 3 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 2 -7 5 -16 0 2 -7 7 -18 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 -3 9 -12 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 0 2 -2 Ar 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 0 2 -2 2x4 = -2 x4 = -1 -3x3 + 7x4 = -10 -3x3 - 7 = -10 x2 - 2x3 - x4 = -3 x2 - 2 + 1 = -3 x1 + x3 = 3 x1 + 1 = 3 R1 - 6R4 = . . . (-6) Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 6x1+2x2- x3+7x4 = 0 4x1+2x2-3x3+5x4 = -4 x1+ x2- x3- x4 = 0 x1 + x3 = 3 Ar 6 2 -1 7 0 4 2 -3 5 -4 1 1 -1 -1 0 1 0 1 0 3 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 2 -7 5 -16 0 2 -7 7 -18 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 -3 9 -12 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 0 2 -2 Ar 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 0 2 -2 2x4 = -2 x4 = -1 -3x3 + 7x4 = -10 -3x3 - 7 = -10 x2 - 2x3 - x4 = -3 x2 - 2 + 1 = -3 x1 + x3 = 3 x1 + 1 = 3 První řádek zůstane a druhý řádek bude novým klíčovým řádkem. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 6x1+2x2- x3+7x4 = 0 4x1+2x2-3x3+5x4 = -4 x1+ x2- x3- x4 = 0 x1 + x3 = 3 Ar 6 2 -1 7 0 4 2 -3 5 -4 1 1 -1 -1 0 1 0 1 0 3 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 2 -7 5 -16 0 2 -7 7 -18 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 -3 9 -12 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 0 2 -2 Ar 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 0 2 -2 2x4 = -2 x4 = -1 -3x3 + 7x4 = -10 -3x3 - 7 = -10 x2 - 2x3 - x4 = -3 x2 - 2 + 1 = -3 x1 + x3 = 3 x1 + 1 = 3 -2R2 + R3 = . . . (-2) Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 6x1+2x2- x3+7x4 = 0 4x1+2x2-3x3+5x4 = -4 x1+ x2- x3- x4 = 0 x1 + x3 = 3 Ar 6 2 -1 7 0 4 2 -3 5 -4 1 1 -1 -1 0 1 0 1 0 3 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 2 -7 5 -16 0 2 -7 7 -18 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 -3 9 -12 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 0 2 -2 Ar 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 0 2 -2 2x4 = -2 x4 = -1 -3x3 + 7x4 = -10 -3x3 - 7 = -10 x2 - 2x3 - x4 = -3 x2 - 2 + 1 = -3 x1 + x3 = 3 x1 + 1 = 3 -2R2 + R4 = . . . (-2) Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 6x1+2x2- x3+7x4 = 0 4x1+2x2-3x3+5x4 = -4 x1+ x2- x3- x4 = 0 x1 + x3 = 3 Ar 6 2 -1 7 0 4 2 -3 5 -4 1 1 -1 -1 0 1 0 1 0 3 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 2 -7 5 -16 0 2 -7 7 -18 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 -3 9 -12 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 0 2 -2 Ar 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 0 2 -2 2x4 = -2 x4 = -1 -3x3 + 7x4 = -10 -3x3 - 7 = -10 x2 - 2x3 - x4 = -3 x2 - 2 + 1 = -3 x1 + x3 = 3 x1 + 1 = 3 * První dva řádky zůstanou. * Třetí řádek bude novým klíčovým řádkem a zůstane také. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 6x1+2x2- x3+7x4 = 0 4x1+2x2-3x3+5x4 = -4 x1+ x2- x3- x4 = 0 x1 + x3 = 3 Ar 6 2 -1 7 0 4 2 -3 5 -4 1 1 -1 -1 0 1 0 1 0 3 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 2 -7 5 -16 0 2 -7 7 -18 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 -3 9 -12 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 0 2 -2 Ar 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 0 2 -2 2x4 = -2 x4 = -1 -3x3 + 7x4 = -10 -3x3 - 7 = -10 x2 - 2x3 - x4 = -3 x2 - 2 + 1 = -3 x1 + x3 = 3 x1 + 1 = 3 -R3 + R4 = . . . (-1) Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 6x1+2x2- x3+7x4 = 0 4x1+2x2-3x3+5x4 = -4 x1+ x2- x3- x4 = 0 x1 + x3 = 3 Ar 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 0 2 -2 2x4 = -2 x4 = -1 -3x3 + 7x4 = -10 -3x3 - 7 = -10 x3 = 1 x2 - 2x3 - x4 = -3 x2 - 2 + 1 = -3 x2 = -2 x1 + x3 = 3 x1 + 1 = 3 x1 = 2 Jediné řešení je [x1 = 2, x2 = -2, x3 = 1, x4 = -1]. Rozšířená matice soustavy je řádkově ekvivalentní modré matici, která je ve schodovitém tvaru. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 6x1+2x2- x3+7x4 = 0 4x1+2x2-3x3+5x4 = -4 x1+ x2- x3- x4 = 0 x1 + x3 = 3 Ar 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 0 2 -2 2x4 = -2 x4 = -1 -3x3 + 7x4 = -10 -3x3 - 7 = -10 x3 = 1 x2 - 2x3 - x4 = -3 x2 - 2 + 1 = -3 x2 = -2 x1 + x3 = 3 x1 + 1 = 3 x1 = 2 Jediné řešení je [x1 = 2, x2 = -2, x3 = 1, x4 = -1].ˇ Soustava má řešení, neboť h (A) = h (Ar) = 4. Navíc n = 4 (počet neznámých) a soustava má tedy jediné řešení (nula parametrů). * Začneme dopočítávat neznámé. Napíšeme rovnici odpovídající poslednímu řádku . . . Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 6x1+2x2- x3+7x4 = 0 4x1+2x2-3x3+5x4 = -4 x1+ x2- x3- x4 = 0 x1 + x3 = 3 Ar 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 0 2 -2 2x4 = -2 x4 = -1 -3x3 + 7x4 = -10 -3x3 - 7 = -10 x3 = 1 x2 - 2x3 - x4 = -3 x2 - 2 + 1 = -3 x2 = -2 x1 + x3 = 3 x1 + 1 = 3 x1 = 2 Jediné řešení je [x1 = 2, x2 = -2, x3 = 1, x4 = -1]. a řešíme vzhledem k x4. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 6x1+2x2- x3+7x4 = 0 4x1+2x2-3x3+5x4 = -4 x1+ x2- x3- x4 = 0 x1 + x3 = 3 Ar 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 0 2 -2 2x4 = -2 x4 = -1 -3x3 + 7x4 = -10 -3x3 - 7 = -10 x3 = 1 x2 - 2x3 - x4 = -3 x2 - 2 + 1 = -3 x2 = -2 x1 + x3 = 3 x1 + 1 = 3 x1 = 2 Jediné řešení je [x1 = 2, x2 = -2, x3 = 1, x4 = -1]. Napíšeme rovnici odpovídající předposlednímu řádku. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 6x1+2x2- x3+7x4 = 0 4x1+2x2-3x3+5x4 = -4 x1+ x2- x3- x4 = 0 x1 + x3 = 3 Ar 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 0 2 -2 2x4 = -2 x4 = -1 -3x3 + 7x4 = -10 -3x3 - 7 = -10 x3 = 1 x2 - 2x3 - x4 = -3 x2 - 2 + 1 = -3 x2 = -2 x1 + x3 = 3 x1 + 1 = 3 x1 = 2 Jediné řešení je [x1 = 2, x2 = -2, x3 = 1, x4 = -1]. Dosadíme x4 = -1 . . . Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 6x1+2x2- x3+7x4 = 0 4x1+2x2-3x3+5x4 = -4 x1+ x2- x3- x4 = 0 x1 + x3 = 3 Ar 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 0 2 -2 2x4 = -2 x4 = -1 -3x3 + 7x4 = -10 -3x3 - 7 = -10 x3 = 1 x2 - 2x3 - x4 = -3 x2 - 2 + 1 = -3 x2 = -2 x1 + x3 = 3 x1 + 1 = 3 x1 = 2 Jediné řešení je [x1 = 2, x2 = -2, x3 = 1, x4 = -1]. a řešíme vzhledem k x3. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 6x1+2x2- x3+7x4 = 0 4x1+2x2-3x3+5x4 = -4 x1+ x2- x3- x4 = 0 x1 + x3 = 3 Ar 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 0 2 -2 2x4 = -2 x4 = -1 -3x3 + 7x4 = -10 -3x3 - 7 = -10 x3 = 1 x2 - 2x3 - x4 = -3 x2 - 2 + 1 = -3 x2 = -2 x1 + x3 = 3 x1 + 1 = 3 x1 = 2 Jediné řešení je [x1 = 2, x2 = -2, x3 = 1, x4 = -1]. Napíšeme rovnici odpovídající druhému řádku. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 6x1+2x2- x3+7x4 = 0 4x1+2x2-3x3+5x4 = -4 x1+ x2- x3- x4 = 0 x1 + x3 = 3 Ar 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 0 2 -2 2x4 = -2 x4 = -1 -3x3 + 7x4 = -10 -3x3 - 7 = -10 x3 = 1 x2 - 2x3 - x4 = -3 x2 - 2 + 1 = -3 x2 = -2 x1 + x3 = 3 x1 + 1 = 3 x1 = 2 Jediné řešení je [x1 = 2, x2 = -2, x3 = 1, x4 = -1]. Dosadíme x4 = -1 a x3 = 1 . . . Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 6x1+2x2- x3+7x4 = 0 4x1+2x2-3x3+5x4 = -4 x1+ x2- x3- x4 = 0 x1 + x3 = 3 Ar 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 0 2 -2 2x4 = -2 x4 = -1 -3x3 + 7x4 = -10 -3x3 - 7 = -10 x3 = 1 x2 - 2x3 - x4 = -3 x2 - 2 + 1 = -3 x2 = -2 x1 + x3 = 3 x1 + 1 = 3 x1 = 2 Jediné řešení je [x1 = 2, x2 = -2, x3 = 1, x4 = -1]. a vyřešíme vzhledem k x2. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 6x1+2x2- x3+7x4 = 0 4x1+2x2-3x3+5x4 = -4 x1+ x2- x3- x4 = 0 x1 + x3 = 3 Ar 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 0 2 -2 2x4 = -2 x4 = -1 -3x3 + 7x4 = -10 -3x3 - 7 = -10 x3 = 1 x2 - 2x3 - x4 = -3 x2 - 2 + 1 = -3 x2 = -2 x1 + x3 = 3 x1 + 1 = 3 x1 = 2 Jediné řešení je [x1 = 2, x2 = -2, x3 = 1, x4 = -1]. Napíšeme rovnici odpovídající prvnímu řádku. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 6x1+2x2- x3+7x4 = 0 4x1+2x2-3x3+5x4 = -4 x1+ x2- x3- x4 = 0 x1 + x3 = 3 Ar 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 0 2 -2 2x4 = -2 x4 = -1 -3x3 + 7x4 = -10 -3x3 - 7 = -10 x3 = 1 x2 - 2x3 - x4 = -3 x2 - 2 + 1 = -3 x2 = -2 x1 + x3 = 3 x1 + 1 = 3 x1 = 2 Jediné řešení je [x1 = 2, x2 = -2, x3 = 1, x4 = -1]. Dosadíme x3 = 1. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 6x1+2x2- x3+7x4 = 0 4x1+2x2-3x3+5x4 = -4 x1+ x2- x3- x4 = 0 x1 + x3 = 3 Ar 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 0 2 -2 2x4 = -2 x4 = -1 -3x3 + 7x4 = -10 -3x3 - 7 = -10 x3 = 1 x2 - 2x3 - x4 = -3 x2 - 2 + 1 = -3 x2 = -2 x1 + x3 = 3 x1 + 1 = 3 x1 = 2 Jediné řešení je [x1 = 2, x2 = -2, x3 = 1, x4 = -1]. Najdeme x1 = 2. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 6x1+2x2- x3+7x4 = 0 4x1+2x2-3x3+5x4 = -4 x1+ x2- x3- x4 = 0 x1 + x3 = 3 Ar 1 0 1 0 3 0 1 -2 -1 -3 0 0 -3 7 -10 0 0 0 2 -2 2x4 = -2 x4 = -1 -3x3 + 7x4 = -10 -3x3 - 7 = -10 x3 = 1 x2 - 2x3 - x4 = -3 x2 - 2 + 1 = -3 x2 = -2 x1 + x3 = 3 x1 + 1 = 3 x1 = 2 Jediné řešení je [x1 = 2, x2 = -2, x3 = 1, x4 = -1]. Vypočítali jsme všechny neznámé. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu rovnic 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 x1 +2x3- x4+2x5 = 3 x1+2x2+2x3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 Ar 3 -2 6 2 -4 5 1 0 2 -1 2 3 1 2 2 0 0 1 2 -6 4 2 -4 5 1 0 2 -1 2 3 0 -2 0 5 -10 -4 0 2 0 1 -2 -2 0 -6 0 4 -8 -1 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 6 -12 -6 0 0 0 7 -14 -7 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 1 -2 -1 Ar 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 1 -2 -1 x4 - 2 x5 = -1 x5 = t x4 = 2t - 1 2x2 + x4 - 2x5 = -2 x1 + 2x3 - x4 + 2x5 = 3 x1 + 2 x3 - (2t - 1) + 2t = 3Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu rovnic 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 x1 +2x3- x4+2x5 = 3 x1+2x2+2x3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 Ar 3 -2 6 2 -4 5 1 0 2 -1 2 3 1 2 2 0 0 1 2 -6 4 2 -4 5 1 0 2 -1 2 3 0 -2 0 5 -10 -4 0 2 0 1 -2 -2 0 -6 0 4 -8 -1 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 6 -12 -6 0 0 0 7 -14 -7 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 1 -2 -1 Ar 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 1 -2 -1 x4 - 2 x5 = -1 x5 = t x4 = 2t - 1 2x2 + x4 - 2x5 = -2 x1 + 2x3 - x4 + 2x5 = 3 x1 + 2 x3 - (2t - 1) + 2t = 3 Napíšeme rozšířenou matici soustavy. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu rovnic 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 x1 +2x3- x4+2x5 = 3 x1+2x2+2x3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 Ar 3 -2 6 2 -4 5 1 0 2 -1 2 3 1 2 2 0 0 1 2 -6 4 2 -4 5 1 0 2 -1 2 3 0 -2 0 5 -10 -4 0 2 0 1 -2 -2 0 -6 0 4 -8 -1 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 6 -12 -6 0 0 0 7 -14 -7 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 1 -2 -1 Ar 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 1 -2 -1 x4 - 2 x5 = -1 x5 = t x4 = 2t - 1 2x2 + x4 - 2x5 = -2 x1 + 2x3 - x4 + 2x5 = 3 x1 + 2 x3 - (2t - 1) + 2t = 3 Druhý řádek bude klíčový a opíšeme jej na první místo. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu rovnic 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 x1 +2x3- x4+2x5 = 3 x1+2x2+2x3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 Ar 3 -2 6 2 -4 5 1 0 2 -1 2 3 1 2 2 0 0 1 2 -6 4 2 -4 5 1 0 2 -1 2 3 0 -2 0 5 -10 -4 0 2 0 1 -2 -2 0 -6 0 4 -8 -1 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 6 -12 -6 0 0 0 7 -14 -7 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 1 -2 -1 Ar 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 1 -2 -1 x4 - 2 x5 = -1 x5 = t x4 = 2t - 1 2x2 + x4 - 2x5 = -2 x1 + 2x3 - x4 + 2x5 = 3 x1 + 2 x3 - (2t - 1) + 2t = 3 Spravíme první řádek. (-3) Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu rovnic 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 x1 +2x3- x4+2x5 = 3 x1+2x2+2x3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 Ar 3 -2 6 2 -4 5 1 0 2 -1 2 3 1 2 2 0 0 1 2 -6 4 2 -4 5 1 0 2 -1 2 3 0 -2 0 5 -10 -4 0 2 0 1 -2 -2 0 -6 0 4 -8 -1 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 6 -12 -6 0 0 0 7 -14 -7 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 1 -2 -1 Ar 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 1 -2 -1 x4 - 2 x5 = -1 x5 = t x4 = 2t - 1 2x2 + x4 - 2x5 = -2 x1 + 2x3 - x4 + 2x5 = 3 x1 + 2 x3 - (2t - 1) + 2t = 3 Spravíme třetí řádek. (-1) Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu rovnic 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 x1 +2x3- x4+2x5 = 3 x1+2x2+2x3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 Ar 3 -2 6 2 -4 5 1 0 2 -1 2 3 1 2 2 0 0 1 2 -6 4 2 -4 5 1 0 2 -1 2 3 0 -2 0 5 -10 -4 0 2 0 1 -2 -2 0 -6 0 4 -8 -1 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 6 -12 -6 0 0 0 7 -14 -7 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 1 -2 -1 Ar 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 1 -2 -1 x4 - 2 x5 = -1 x5 = t x4 = 2t - 1 2x2 + x4 - 2x5 = -2 x1 + 2x3 - x4 + 2x5 = 3 x1 + 2 x3 - (2t - 1) + 2t = 3 Spravíme poslední řádek. (-2) Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu rovnic 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 x1 +2x3- x4+2x5 = 3 x1+2x2+2x3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 Ar 3 -2 6 2 -4 5 1 0 2 -1 2 3 1 2 2 0 0 1 2 -6 4 2 -4 5 1 0 2 -1 2 3 0 -2 0 5 -10 -4 0 2 0 1 -2 -2 0 -6 0 4 -8 -1 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 6 -12 -6 0 0 0 7 -14 -7 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 1 -2 -1 Ar 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 1 -2 -1 x4 - 2 x5 = -1 x5 = t x4 = 2t - 1 2x2 + x4 - 2x5 = -2 x1 + 2x3 - x4 + 2x5 = 3 x1 + 2 x3 - (2t - 1) + 2t = 3 * První řádek zůstane. * Červený řádek bude nový klíčový řádek a napíšeme jej jako druhý. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu rovnic 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 x1 +2x3- x4+2x5 = 3 x1+2x2+2x3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 Ar 3 -2 6 2 -4 5 1 0 2 -1 2 3 1 2 2 0 0 1 2 -6 4 2 -4 5 1 0 2 -1 2 3 0 -2 0 5 -10 -4 0 2 0 1 -2 -2 0 -6 0 4 -8 -1 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 6 -12 -6 0 0 0 7 -14 -7 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 1 -2 -1 Ar 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 1 -2 -1 x4 - 2 x5 = -1 x5 = t x4 = 2t - 1 2x2 + x4 - 2x5 = -2 x1 + 2x3 - x4 + 2x5 = 3 x1 + 2 x3 - (2t - 1) + 2t = 3 Spravíme druhý řádek. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu rovnic 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 x1 +2x3- x4+2x5 = 3 x1+2x2+2x3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 Ar 3 -2 6 2 -4 5 1 0 2 -1 2 3 1 2 2 0 0 1 2 -6 4 2 -4 5 1 0 2 -1 2 3 0 -2 0 5 -10 -4 0 2 0 1 -2 -2 0 -6 0 4 -8 -1 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 6 -12 -6 0 0 0 7 -14 -7 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 1 -2 -1 Ar 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 1 -2 -1 x4 - 2 x5 = -1 x5 = t x4 = 2t - 1 2x2 + x4 - 2x5 = -2 x1 + 2x3 - x4 + 2x5 = 3 x1 + 2 x3 - (2t - 1) + 2t = 3 Spravíme poslední řádek. 3 Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu rovnic 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 x1 +2x3- x4+2x5 = 3 x1+2x2+2x3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 Ar 3 -2 6 2 -4 5 1 0 2 -1 2 3 1 2 2 0 0 1 2 -6 4 2 -4 5 1 0 2 -1 2 3 0 -2 0 5 -10 -4 0 2 0 1 -2 -2 0 -6 0 4 -8 -1 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 6 -12 -6 ÷6 0 0 0 7 -14 -7 ÷7 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 1 -2 -1 Ar 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 1 -2 -1 x4 - 2 x5 = -1 x5 = t x4 = 2t - 1 2x2 + x4 - 2x5 = -2 x1 + 2x3 - x4 + 2x5 = 3 x1 + 2 x3 - (2t - 1) + 2t = 3 Zelené řádky můžeme vydělit čísly 6 a 7. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu rovnic 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 x1 +2x3- x4+2x5 = 3 x1+2x2+2x3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 Ar 3 -2 6 2 -4 5 1 0 2 -1 2 3 1 2 2 0 0 1 2 -6 4 2 -4 5 1 0 2 -1 2 3 0 -2 0 5 -10 -4 0 2 0 1 -2 -2 0 -6 0 4 -8 -1 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 6 -12 -6 0 0 0 7 -14 -7 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 1 -2 -1 Ar 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 1 -2 -1 x4 - 2 x5 = -1 x5 = t x4 = 2t - 1 2x2 + x4 - 2x5 = -2 x1 + 2x3 - x4 + 2x5 = 3 x1 + 2 x3 - (2t - 1) + 2t = 3 Poslední dva řádky jsou stejné a stačí dále pracovat jenom s jedním z nich. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu rovnic 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 x1 +2x3- x4+2x5 = 3 x1+2x2+2x3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 Ar 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 1 -2 -1 x4 - 2 x5 = -1 x5 = t x4 = 2t - 1 2x2 + x4 - 2x5 = -2 2 x2 + (2t - 1) - 2t = -2 x2 = - 1 2 x1 + 2x3 - x4 + 2x5 = 3 x1 + 2 x3 - (2t - 1) + 2t = 3 x3 = u x1 + 2u - (2t - 1) + 2t = 3 x1 = 2 - 2u Řešení je [2 - 2u, - 1 2 , u, 2t - 1, t], kde t a u jsou parametry. * Rozšířená matice soustavy má hodnost 3, matice soustavy také. Systém proto má řešení. * Počet parametrů je neznámé - hodnost = 5 - 3 = 2. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu rovnic 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 x1 +2x3- x4+2x5 = 3 x1+2x2+2x3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 Ar 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 1 -2 -1 x4 - 2 x5 = -1 x5 = t x4 = 2t - 1 2x2 + x4 - 2x5 = -2 2 x2 + (2t - 1) - 2t = -2 x2 = - 1 2 x1 + 2x3 - x4 + 2x5 = 3 x1 + 2 x3 - (2t - 1) + 2t = 3 x3 = u x1 + 2u - (2t - 1) + 2t = 3 x1 = 2 - 2u Řešení je [2 - 2u, - 1 2 , u, 2t - 1, t], kde t a u jsou parametry. Napíšeme rovnici příslušnou poslednímu řádku. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu rovnic 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 x1 +2x3- x4+2x5 = 3 x1+2x2+2x3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 Ar 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 1 -2 -1 x4 - 2 x5 = -1 x5 = t x4 = 2t - 1 2x2 + x4 - 2x5 = -2 2 x2 + (2t - 1) - 2t = -2 x2 = - 1 2 x1 + 2x3 - x4 + 2x5 = 3 x1 + 2 x3 - (2t - 1) + 2t = 3 x3 = u x1 + 2u - (2t - 1) + 2t = 3 x1 = 2 - 2u Řešení je [2 - 2u, - 1 2 , u, 2t - 1, t], kde t a u jsou parametry. * Jsou zde dvě neznámé, ale jenom jedna rovnice. Jednu z neznámých volíme rovnu parametru. * Buď tedy x5 = t, kde t je libovolné reálné číslo. Vypočteme x4. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu rovnic 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 x1 +2x3- x4+2x5 = 3 x1+2x2+2x3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 Ar 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 1 -2 -1 x4 - 2 x5 = -1 x5 = t x4 = 2t - 1 2x2 + x4 - 2x5 = -2 2 x2 + (2t - 1) - 2t = -2 x2 = - 1 2 x1 + 2x3 - x4 + 2x5 = 3 x1 + 2 x3 - (2t - 1) + 2t = 3 x3 = u x1 + 2u - (2t - 1) + 2t = 3 x1 = 2 - 2u Řešení je [2 - 2u, - 1 2 , u, 2t - 1, t], kde t a u jsou parametry. Napíšeme rovnici odpovídající dalšímu řádku. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu rovnic 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 x1 +2x3- x4+2x5 = 3 x1+2x2+2x3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 Ar 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 1 -2 -1 x4 - 2 x5 = -1 x5 = t x4 = 2t - 1 2x2 + x4 - 2x5 = -2 2 x2 + (2t - 1) - 2t = -2 x2 = - 1 2 x1 + 2x3 - x4 + 2x5 = 3 x1 + 2 x3 - (2t - 1) + 2t = 3 x3 = u x1 + 2u - (2t - 1) + 2t = 3 x1 = 2 - 2u Řešení je [2 - 2u, - 1 2 , u, 2t - 1, t], kde t a u jsou parametry. Dosadíme za x4 a x5. Zůstává pouze neznámá x2. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu rovnic 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 x1 +2x3- x4+2x5 = 3 x1+2x2+2x3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 Ar 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 1 -2 -1 x4 - 2 x5 = -1 x5 = t x4 = 2t - 1 2x2 + x4 - 2x5 = -2 2 x2 + (2t - 1) - 2t = -2 x2 = - 1 2 x1 + 2x3 - x4 + 2x5 = 3 x1 + 2 x3 - (2t - 1) + 2t = 3 x3 = u x1 + 2u - (2t - 1) + 2t = 3 x1 = 2 - 2u Řešení je [2 - 2u, - 1 2 , u, 2t - 1, t], kde t a u jsou parametry. Nalezneme x2. Dostáváme 2x2 = -2 - 2t + 1 + 2t a odsud určíme x2. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu rovnic 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 x1 +2x3- x4+2x5 = 3 x1+2x2+2x3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 Ar 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 1 -2 -1 x4 - 2 x5 = -1 x5 = t x4 = 2t - 1 2x2 + x4 - 2x5 = -2 2 x2 + (2t - 1) - 2t = -2 x2 = - 1 2 x1 + 2x3 - x4 + 2x5 = 3 x1 + 2 x3 - (2t - 1) + 2t = 3 x3 = u x1 + 2u - (2t - 1) + 2t = 3 x1 = 2 - 2u Řešení je [2 - 2u, - 1 2 , u, 2t - 1, t], kde t a u jsou parametry. Napíšeme rovnici odpovídající prvnímu řádku. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu rovnic 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 x1 +2x3- x4+2x5 = 3 x1+2x2+2x3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 Ar 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 1 -2 -1 x4 - 2 x5 = -1 x5 = t x4 = 2t - 1 2x2 + x4 - 2x5 = -2 2 x2 + (2t - 1) - 2t = -2 x2 = - 1 2 x1 + 2x3 - x4 + 2x5 = 3 x1 + 2 x3 - (2t - 1) + 2t = 3 x3 = u x1 + 2u - (2t - 1) + 2t = 3 x1 = 2 - 2u Řešení je [2 - 2u, - 1 2 , u, 2t - 1, t], kde t a u jsou parametry. * Dosadíme. Po dosazení zůstanou neznámé x1 a x3. Jedna z těchto neznámých musí být parametr. * Volme např. x3 = u, kde u je libovolné reálné číslo. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu rovnic 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 x1 +2x3- x4+2x5 = 3 x1+2x2+2x3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 Ar 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 1 -2 -1 x4 - 2 x5 = -1 x5 = t x4 = 2t - 1 2x2 + x4 - 2x5 = -2 2 x2 + (2t - 1) - 2t = -2 x2 = - 1 2 x1 + 2x3 - x4 + 2x5 = 3 x1 + 2 x3 - (2t - 1) + 2t = 3 x3 = u x1 + 2u - (2t - 1) + 2t = 3 x1 = 2 - 2u Řešení je [2 - 2u, - 1 2 , u, 2t - 1, t], kde t a u jsou parametry. Vypočteme x1. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu rovnic 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 x1 +2x3- x4+2x5 = 3 x1+2x2+2x3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 Ar 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 1 -2 -1 x4 - 2 x5 = -1 x5 = t x4 = 2t - 1 2x2 + x4 - 2x5 = -2 2 x2 + (2t - 1) - 2t = -2 x2 = - 1 2 x1 + 2x3 - x4 + 2x5 = 3 x1 + 2 x3 - (2t - 1) + 2t = 3 x3 = u x1 + 2u - (2t - 1) + 2t = 3 x1 = 2 - 2u Řešení je [2 - 2u, - 1 2 , u, 2t - 1, t], kde t a u jsou parametry. Vyřešeno! Jsme šikovní. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu rovnic 3x1-2x2+6x3+2x4-4x5 = 5 x1 +2x3- x4+2x5 = 3 x1+2x2+2x3 = 1 2x1-6x2+4x3+2x4-4x5 = 5 Ar 1 0 2 -1 2 3 0 2 0 1 -2 -2 0 0 0 1 -2 -1 x4 - 2 x5 = -1 x5 = t x4 = 2t - 1 2x2 + x4 - 2x5 = -2 2 x2 + (2t - 1) - 2t = -2 x2 = - 1 2 x1 + 2x3 - x4 + 2x5 = 3 x1 + 2 x3 - (2t - 1) + 2t = 3 x3 = u x1 + 2u - (2t - 1) + 2t = 3 x1 = 2 - 2u Řešení je [2 - 2u, - 1 2 , u, 2t - 1, t], kde t a u jsou parametry. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 2x1+2x2-2x3+ x4 = 1 x1+2x2+ x3-2x4 = 1 3x1+4x2- x3+2x4 = 5 x1+3x2+3x3-2x4 = 4 Ar 2 2 -2 1 1 1 2 1 -2 1 3 4 -1 2 5 1 3 3 -2 4 1 2 1 -2 1 0 -2 -4 5 -1 0 -2 -4 8 2 0 1 2 0 3 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 5 5 0 0 0 8 8 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 Ar 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 x4 = 1 x2 + 2 x3 = 3 x3 = t x2 = 3 - 2t x1 + 2x2 + x3 - 2x4 = 1 x1 + 2(3 - 2t) + t - 2 1 = 1 x1 = -3 + 3t Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 2x1+2x2-2x3+ x4 = 1 x1+2x2+ x3-2x4 = 1 3x1+4x2- x3+2x4 = 5 x1+3x2+3x3-2x4 = 4 Ar 2 2 -2 1 1 1 2 1 -2 1 3 4 -1 2 5 1 3 3 -2 4 1 2 1 -2 1 0 -2 -4 5 -1 0 -2 -4 8 2 0 1 2 0 3 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 5 5 0 0 0 8 8 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 Ar 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 x4 = 1 x2 + 2 x3 = 3 x3 = t x2 = 3 - 2t x1 + 2x2 + x3 - 2x4 = 1 x1 + 2(3 - 2t) + t - 2 1 = 1 x1 = -3 + 3t Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 2x1+2x2-2x3+ x4 = 1 x1+2x2+ x3-2x4 = 1 3x1+4x2- x3+2x4 = 5 x1+3x2+3x3-2x4 = 4 Ar 2 2 -2 1 1 1 2 1 -2 1 3 4 -1 2 5 1 3 3 -2 4 1 2 1 -2 1 0 -2 -4 5 -1 0 -2 -4 8 2 0 1 2 0 3 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 5 5 0 0 0 8 8 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 Ar 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 x4 = 1 x2 + 2 x3 = 3 x3 = t x2 = 3 - 2t x1 + 2x2 + x3 - 2x4 = 1 x1 + 2(3 - 2t) + t - 2 1 = 1 x1 = -3 + 3tDruhý řádek bude klíčový, protože a21 = 1. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 2x1+2x2-2x3+ x4 = 1 x1+2x2+ x3-2x4 = 1 3x1+4x2- x3+2x4 = 5 x1+3x2+3x3-2x4 = 4 Ar 2 2 -2 1 1 1 2 1 -2 1 3 4 -1 2 5 1 3 3 -2 4 1 2 1 -2 1 0 -2 -4 5 -1 0 -2 -4 8 2 0 1 2 0 3 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 5 5 0 0 0 8 8 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 Ar 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 x4 = 1 x2 + 2 x3 = 3 x3 = t x2 = 3 - 2t x1 + 2x2 + x3 - 2x4 = 1 x1 + 2(3 - 2t) + t - 2 1 = 1 x1 = -3 + 3t(-2)R2 + R1 (-2) Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 2x1+2x2-2x3+ x4 = 1 x1+2x2+ x3-2x4 = 1 3x1+4x2- x3+2x4 = 5 x1+3x2+3x3-2x4 = 4 Ar 2 2 -2 1 1 1 2 1 -2 1 3 4 -1 2 5 1 3 3 -2 4 1 2 1 -2 1 0 -2 -4 5 -1 0 -2 -4 8 2 0 1 2 0 3 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 5 5 0 0 0 8 8 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 Ar 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 x4 = 1 x2 + 2 x3 = 3 x3 = t x2 = 3 - 2t x1 + 2x2 + x3 - 2x4 = 1 x1 + 2(3 - 2t) + t - 2 1 = 1 x1 = -3 + 3t(-3)R2 + R3 (-3) Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 2x1+2x2-2x3+ x4 = 1 x1+2x2+ x3-2x4 = 1 3x1+4x2- x3+2x4 = 5 x1+3x2+3x3-2x4 = 4 Ar 2 2 -2 1 1 1 2 1 -2 1 3 4 -1 2 5 1 3 3 -2 4 1 2 1 -2 1 0 -2 -4 5 -1 0 -2 -4 8 2 0 1 2 0 3 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 5 5 0 0 0 8 8 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 Ar 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 x4 = 1 x2 + 2 x3 = 3 x3 = t x2 = 3 - 2t x1 + 2x2 + x3 - 2x4 = 1 x1 + 2(3 - 2t) + t - 2 1 = 1 x1 = -3 + 3t(-1)R2 + R4 (-1) Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 2x1+2x2-2x3+ x4 = 1 x1+2x2+ x3-2x4 = 1 3x1+4x2- x3+2x4 = 5 x1+3x2+3x3-2x4 = 4 Ar 2 2 -2 1 1 1 2 1 -2 1 3 4 -1 2 5 1 3 3 -2 4 1 2 1 -2 1 0 -2 -4 5 -1 0 -2 -4 8 2 0 1 2 0 3 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 5 5 0 0 0 8 8 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 Ar 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 x4 = 1 x2 + 2 x3 = 3 x3 = t x2 = 3 - 2t x1 + 2x2 + x3 - 2x4 = 1 x1 + 2(3 - 2t) + t - 2 1 = 1 x1 = -3 + 3t Dalším klíčovým řádkem bude poslední řádek, protože a42 = 1 je lepší než a22 = a23 = -2. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 2x1+2x2-2x3+ x4 = 1 x1+2x2+ x3-2x4 = 1 3x1+4x2- x3+2x4 = 5 x1+3x2+3x3-2x4 = 4 Ar 2 2 -2 1 1 1 2 1 -2 1 3 4 -1 2 5 1 3 3 -2 4 1 2 1 -2 1 0 -2 -4 5 -1 0 -2 -4 8 2 0 1 2 0 3 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 5 5 0 0 0 8 8 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 Ar 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 x4 = 1 x2 + 2 x3 = 3 x3 = t x2 = 3 - 2t x1 + 2x2 + x3 - 2x4 = 1 x1 + 2(3 - 2t) + t - 2 1 = 1 x1 = -3 + 3t2R4 + R2 2 Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 2x1+2x2-2x3+ x4 = 1 x1+2x2+ x3-2x4 = 1 3x1+4x2- x3+2x4 = 5 x1+3x2+3x3-2x4 = 4 Ar 2 2 -2 1 1 1 2 1 -2 1 3 4 -1 2 5 1 3 3 -2 4 1 2 1 -2 1 0 -2 -4 5 -1 0 -2 -4 8 2 0 1 2 0 3 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 5 5 0 0 0 8 8 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 Ar 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 x4 = 1 x2 + 2 x3 = 3 x3 = t x2 = 3 - 2t x1 + 2x2 + x3 - 2x4 = 1 x1 + 2(3 - 2t) + t - 2 1 = 1 x1 = -3 + 3t2R4 + R3 2 Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 2x1+2x2-2x3+ x4 = 1 x1+2x2+ x3-2x4 = 1 3x1+4x2- x3+2x4 = 5 x1+3x2+3x3-2x4 = 4 Ar 2 2 -2 1 1 1 2 1 -2 1 3 4 -1 2 5 1 3 3 -2 4 1 2 1 -2 1 0 -2 -4 5 -1 0 -2 -4 8 2 0 1 2 0 3 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 5 5 0 0 0 8 8 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 Ar 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 x4 = 1 x2 + 2 x3 = 3 x3 = t x2 = 3 - 2t x1 + 2x2 + x3 - 2x4 = 1 x1 + 2(3 - 2t) + t - 2 1 = 1 x1 = -3 + 3tPrvní dva řádky zůstanou. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 2x1+2x2-2x3+ x4 = 1 x1+2x2+ x3-2x4 = 1 3x1+4x2- x3+2x4 = 5 x1+3x2+3x3-2x4 = 4 Ar 2 2 -2 1 1 1 2 1 -2 1 3 4 -1 2 5 1 3 3 -2 4 1 2 1 -2 1 0 -2 -4 5 -1 0 -2 -4 8 2 0 1 2 0 3 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 5 5 ÷5 0 0 0 8 8 ÷8 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 Ar 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 x4 = 1 x2 + 2 x3 = 3 x3 = t x2 = 3 - 2t x1 + 2x2 + x3 - 2x4 = 1 x1 + 2(3 - 2t) + t - 2 1 = 1 x1 = -3 + 3tPoslední řádky můžeme vydělit. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 2x1+2x2-2x3+ x4 = 1 x1+2x2+ x3-2x4 = 1 3x1+4x2- x3+2x4 = 5 x1+3x2+3x3-2x4 = 4 Ar 2 2 -2 1 1 1 2 1 -2 1 3 4 -1 2 5 1 3 3 -2 4 1 2 1 -2 1 0 -2 -4 5 -1 0 -2 -4 8 2 0 1 2 0 3 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 5 5 0 0 0 8 8 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 Ar 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 x4 = 1 x2 + 2 x3 = 3 x3 = t x2 = 3 - 2t x1 + 2x2 + x3 - 2x4 = 1 x1 + 2(3 - 2t) + t - 2 1 = 1 x1 = -3 + 3t Poslední dva řádky jsou stejné a stačí uvažovat pouze jeden z nich. Vynecháme tedy poslední řádek. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 2x1+2x2-2x3+ x4 = 1 x1+2x2+ x3-2x4 = 1 3x1+4x2- x3+2x4 = 5 x1+3x2+3x3-2x4 = 4 Ar 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 x4 = 1 x2 + 2 x3 = 3 x3 = t x2 = 3 - 2t x1 + 2x2 + x3 - 2x4 = 1 x1 + 2(3 - 2t) + t - 2 1 = 1 x1 - 4t + t + 4 = 1 x1 - 3t = -3 x1 = 3t - 3 Řešení je x1 = -3 + 3t x2 = 3 - 2t x3 = t x4 = 1 kde t R. * Rozšířená matice soustavy je ve schodovitém tvaru. * h (A) = 3, h (Ar) = 3, n = 4 * Soustava má nekonečně mnoho řešení s jedním parametrem. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 2x1+2x2-2x3+ x4 = 1 x1+2x2+ x3-2x4 = 1 3x1+4x2- x3+2x4 = 5 x1+3x2+3x3-2x4 = 4 Ar 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 x4 = 1 x2 + 2 x3 = 3 x3 = t x2 = 3 - 2t x1 + 2x2 + x3 - 2x4 = 1 x1 + 2(3 - 2t) + t - 2 1 = 1 x1 - 4t + t + 4 = 1 x1 - 3t = -3 x1 = 3t - 3 Řešení je x1 = -3 + 3t x2 = 3 - 2t x3 = t x4 = 1 kde t R. Napíšeme rovnici odpovídající poslednímu řádku. Tím známe x4. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 2x1+2x2-2x3+ x4 = 1 x1+2x2+ x3-2x4 = 1 3x1+4x2- x3+2x4 = 5 x1+3x2+3x3-2x4 = 4 Ar 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 x4 = 1 x2 + 2 x3 = 3 x3 = t x2 = 3 - 2t x1 + 2x2 + x3 - 2x4 = 1 x1 + 2(3 - 2t) + t - 2 1 = 1 x1 - 4t + t + 4 = 1 x1 - 3t = -3 x1 = 3t - 3 Řešení je x1 = -3 + 3t x2 = 3 - 2t x3 = t x4 = 1 kde t R. Napíšeme rovnici odpovídající prostřednímu řádku. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 2x1+2x2-2x3+ x4 = 1 x1+2x2+ x3-2x4 = 1 3x1+4x2- x3+2x4 = 5 x1+3x2+3x3-2x4 = 4 Ar 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 x4 = 1 x2 + 2 x3 = 3 x3 = t x2 = 3 - 2t x1 + 2x2 + x3 - 2x4 = 1 x1 + 2(3 - 2t) + t - 2 1 = 1 x1 - 4t + t + 4 = 1 x1 - 3t = -3 x1 = 3t - 3 Řešení je x1 = -3 + 3t x2 = 3 - 2t x3 = t x4 = 1 kde t R. * Ze dvou neznámých bude jedna rovna parametru. * Nechť například x3 = t, kde t je libovolné reálné číslo. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 2x1+2x2-2x3+ x4 = 1 x1+2x2+ x3-2x4 = 1 3x1+4x2- x3+2x4 = 5 x1+3x2+3x3-2x4 = 4 Ar 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 x4 = 1 x2 + 2 x3 = 3 x3 = t x2 = 3 - 2t x1 + 2x2 + x3 - 2x4 = 1 x1 + 2(3 - 2t) + t - 2 1 = 1 x1 - 4t + t + 4 = 1 x1 - 3t = -3 x1 = 3t - 3 Řešení je x1 = -3 + 3t x2 = 3 - 2t x3 = t x4 = 1 kde t R. Nalezneme x2. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 2x1+2x2-2x3+ x4 = 1 x1+2x2+ x3-2x4 = 1 3x1+4x2- x3+2x4 = 5 x1+3x2+3x3-2x4 = 4 Ar 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 x4 = 1 x2 + 2 x3 = 3 x3 = t x2 = 3 - 2t x1 + 2x2 + x3 - 2x4 = 1 x1 + 2(3 - 2t) + t - 2 1 = 1 x1 - 4t + t + 4 = 1 x1 - 3t = -3 x1 = 3t - 3 Řešení je x1 = -3 + 3t x2 = 3 - 2t x3 = t x4 = 1 kde t R. Pokračujeme k další rovnici. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 2x1+2x2-2x3+ x4 = 1 x1+2x2+ x3-2x4 = 1 3x1+4x2- x3+2x4 = 5 x1+3x2+3x3-2x4 = 4 Ar 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 x4 = 1 x2 + 2 x3 = 3 x3 = t x2 = 3 - 2t x1 + 2x2 + x3 - 2x4 = 1 x1 + 2(3 - 2t) + t - 2 1 = 1 x1 - 4t + t + 4 = 1 x1 - 3t = -3 x1 = 3t - 3 Řešení je x1 = -3 + 3t x2 = 3 - 2t x3 = t x4 = 1 kde t R. Dosadíme za x2, x3 a x4. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 2x1+2x2-2x3+ x4 = 1 x1+2x2+ x3-2x4 = 1 3x1+4x2- x3+2x4 = 5 x1+3x2+3x3-2x4 = 4 Ar 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 x4 = 1 x2 + 2 x3 = 3 x3 = t x2 = 3 - 2t x1 + 2x2 + x3 - 2x4 = 1 x1 + 2(3 - 2t) + t - 2 1 = 1 x1 - 4t + t + 4 = 1 x1 - 3t = -3 x1 = 3t - 3 Řešení je x1 = -3 + 3t x2 = 3 - 2t x3 = t x4 = 1 kde t R. Upravíme. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 2x1+2x2-2x3+ x4 = 1 x1+2x2+ x3-2x4 = 1 3x1+4x2- x3+2x4 = 5 x1+3x2+3x3-2x4 = 4 Ar 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 x4 = 1 x2 + 2 x3 = 3 x3 = t x2 = 3 - 2t x1 + 2x2 + x3 - 2x4 = 1 x1 + 2(3 - 2t) + t - 2 1 = 1 x1 - 4t + t + 4 = 1 x1 - 3t = -3 x1 = 3t - 3 Řešení je x1 = -3 + 3t x2 = 3 - 2t x3 = t x4 = 1 kde t R. Upravíme. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 2x1+2x2-2x3+ x4 = 1 x1+2x2+ x3-2x4 = 1 3x1+4x2- x3+2x4 = 5 x1+3x2+3x3-2x4 = 4 Ar 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 x4 = 1 x2 + 2 x3 = 3 x3 = t x2 = 3 - 2t x1 + 2x2 + x3 - 2x4 = 1 x1 + 2(3 - 2t) + t - 2 1 = 1 x1 - 4t + t + 4 = 1 x1 - 3t = -3 x1 = 3t - 3 Řešení je x1 = -3 + 3t x2 = 3 - 2t x3 = t x4 = 1 kde t R. Nalezneme x1. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu 2x1+2x2-2x3+ x4 = 1 x1+2x2+ x3-2x4 = 1 3x1+4x2- x3+2x4 = 5 x1+3x2+3x3-2x4 = 4 Ar 1 2 1 -2 1 0 1 2 0 3 0 0 0 1 1 x4 = 1 x2 + 2 x3 = 3 x3 = t x2 = 3 - 2t x1 + 2x2 + x3 - 2x4 = 1 x1 + 2(3 - 2t) + t - 2 1 = 1 x1 - 4t + t + 4 = 1 x1 - 3t = -3 x1 = 3t - 3 Řešení je x1 = -3 + 3t x2 = 3 - 2t x3 = t x4 = 1 kde t R. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1 - x3+3x4 = 0 x1+x2 - x4- x5 = 0 5x1+x2-4x3+3x4-9x5 = 0 x1-x2-2x3+ x4-5x5 = 0 1 0 -1 3 0 0 1 1 0 -1 -1 0 5 1 -4 3 -9 0 1 -1 -2 1 -5 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 -4 -4 8 -4 0 0 -2 -2 2 -4 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 -1 -1 2 -1 0 0 -1 -1 1 -2 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -2 -2 0 0 0 0 -3 -3 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0 -1 -1 0 h(A) = 3 = h(Ar) n = 5, 2 parametry Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1 - x3+3x4 = 0 x1+x2 - x4- x5 = 0 5x1+x2-4x3+3x4-9x5 = 0 x1-x2-2x3+ x4-5x5 = 0 1 0 -1 3 0 0 1 1 0 -1 -1 0 5 1 -4 3 -9 0 1 -1 -2 1 -5 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 -4 -4 8 -4 0 0 -2 -2 2 -4 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 -1 -1 2 -1 0 0 -1 -1 1 -2 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -2 -2 0 0 0 0 -3 -3 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0 -1 -1 0 h(A) = 3 = h(Ar) n = 5, 2 parametry Napíšeme rozšířenou matici soustavy. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1 - x3+3x4 = 0 x1+x2 - x4- x5 = 0 5x1+x2-4x3+3x4-9x5 = 0 x1-x2-2x3+ x4-5x5 = 0 1 0 -1 3 0 0 1 1 0 -1 -1 0 5 1 -4 3 -9 0 1 -1 -2 1 -5 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 -4 -4 8 -4 0 0 -2 -2 2 -4 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 -1 -1 2 -1 0 0 -1 -1 1 -2 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -2 -2 0 0 0 0 -3 -3 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0 -1 -1 0 h(A) = 3 = h(Ar) n = 5, 2 parametry Zvolíme klíčový řádek (s jedničkou na začátku a nejnižšími ciframi na dalších pozicích). Tento řádek opíšeme jako první. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1 - x3+3x4 = 0 x1+x2 - x4- x5 = 0 5x1+x2-4x3+3x4-9x5 = 0 x1-x2-2x3+ x4-5x5 = 0 1 0 -1 3 0 0 1 1 0 -1 -1 0 5 1 -4 3 -9 0 1 -1 -2 1 -5 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 -4 -4 8 -4 0 0 -2 -2 2 -4 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 -1 -1 2 -1 0 0 -1 -1 1 -2 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -2 -2 0 0 0 0 -3 -3 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0 -1 -1 0 h(A) = 3 = h(Ar) n = 5, 2 parametry Vynulujeme prvek a11. -1 Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1 - x3+3x4 = 0 x1+x2 - x4- x5 = 0 5x1+x2-4x3+3x4-9x5 = 0 x1-x2-2x3+ x4-5x5 = 0 1 0 -1 3 0 0 1 1 0 -1 -1 0 5 1 -4 3 -9 0 1 -1 -2 1 -5 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 -4 -4 8 -4 0 0 -2 -2 2 -4 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 -1 -1 2 -1 0 0 -1 -1 1 -2 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -2 -2 0 0 0 0 -3 -3 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0 -1 -1 0 h(A) = 3 = h(Ar) n = 5, 2 parametry Vynulujeme prvek a31. -5 Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1 - x3+3x4 = 0 x1+x2 - x4- x5 = 0 5x1+x2-4x3+3x4-9x5 = 0 x1-x2-2x3+ x4-5x5 = 0 1 0 -1 3 0 0 1 1 0 -1 -1 0 5 1 -4 3 -9 0 1 -1 -2 1 -5 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 -4 -4 8 -4 0 0 -2 -2 2 -4 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 -1 -1 2 -1 0 0 -1 -1 1 -2 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -2 -2 0 0 0 0 -3 -3 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0 -1 -1 0 h(A) = 3 = h(Ar) n = 5, 2 parametry Vynulujeme prvek a41. -1 Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1 - x3+3x4 = 0 x1+x2 - x4- x5 = 0 5x1+x2-4x3+3x4-9x5 = 0 x1-x2-2x3+ x4-5x5 = 0 1 0 -1 3 0 0 1 1 0 -1 -1 0 5 1 -4 3 -9 0 1 -1 -2 1 -5 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 -4 -4 8 -4 0 ÷4 0 -2 -2 2 -4 0 ÷2 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 -1 -1 2 -1 0 0 -1 -1 1 -2 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -2 -2 0 0 0 0 -3 -3 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0 -1 -1 0 h(A) = 3 = h(Ar) n = 5, 2 parametry První dva řádky opíšeme, poslední dva vydělíme společným dělitelem všech čísel v řádku. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1 - x3+3x4 = 0 x1+x2 - x4- x5 = 0 5x1+x2-4x3+3x4-9x5 = 0 x1-x2-2x3+ x4-5x5 = 0 1 0 -1 3 0 0 1 1 0 -1 -1 0 5 1 -4 3 -9 0 1 -1 -2 1 -5 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 -4 -4 8 -4 0 0 -2 -2 2 -4 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 -1 -1 2 -1 0 0 -1 -1 1 -2 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -2 -2 0 0 0 0 -3 -3 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0 -1 -1 0 h(A) = 3 = h(Ar) n = 5, 2 parametry První řádek opíšme, druhý řádek bude klíčový a opíšme jej také. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1 - x3+3x4 = 0 x1+x2 - x4- x5 = 0 5x1+x2-4x3+3x4-9x5 = 0 x1-x2-2x3+ x4-5x5 = 0 1 0 -1 3 0 0 1 1 0 -1 -1 0 5 1 -4 3 -9 0 1 -1 -2 1 -5 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 -4 -4 8 -4 0 0 -2 -2 2 -4 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 -1 -1 2 -1 0 0 -1 -1 1 -2 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -2 -2 0 0 0 0 -3 -3 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0 -1 -1 0 h(A) = 3 = h(Ar) n = 5, 2 parametry Nulujeme a32. -1 Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1 - x3+3x4 = 0 x1+x2 - x4- x5 = 0 5x1+x2-4x3+3x4-9x5 = 0 x1-x2-2x3+ x4-5x5 = 0 1 0 -1 3 0 0 1 1 0 -1 -1 0 5 1 -4 3 -9 0 1 -1 -2 1 -5 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 -4 -4 8 -4 0 0 -2 -2 2 -4 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 -1 -1 2 -1 0 0 -1 -1 1 -2 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -2 -2 0 0 0 0 -3 -3 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0 -1 -1 0 h(A) = 3 = h(Ar) n = 5, 2 parametry Nulujeme a42. -1 Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1 - x3+3x4 = 0 x1+x2 - x4- x5 = 0 5x1+x2-4x3+3x4-9x5 = 0 x1-x2-2x3+ x4-5x5 = 0 1 0 -1 3 0 0 1 1 0 -1 -1 0 5 1 -4 3 -9 0 1 -1 -2 1 -5 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 -4 -4 8 -4 0 0 -2 -2 2 -4 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 -1 -1 2 -1 0 0 -1 -1 1 -2 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -2 -2 0 ÷2 0 0 0 -3 -3 0 ÷3 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0 -1 -1 0 h(A) = 3 = h(Ar) n = 5, 2 parametry Vydělíme poslední dva řádky společným dělitelem všech čísel v řádku. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1 - x3+3x4 = 0 x1+x2 - x4- x5 = 0 5x1+x2-4x3+3x4-9x5 = 0 x1-x2-2x3+ x4-5x5 = 0 1 0 -1 3 0 0 1 1 0 -1 -1 0 5 1 -4 3 -9 0 1 -1 -2 1 -5 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 -4 -4 8 -4 0 0 -2 -2 2 -4 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 -1 -1 2 -1 0 0 -1 -1 1 -2 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -2 -2 0 0 0 0 -3 -3 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0 -1 -1 0 h(A) = 3 = h(Ar) n = 5, 2 parametry Poslední dva řádky jsou shodné a stačí uvažovat pouze jeden z nich. Tím je matice převedena do schodovitého tvaru. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1 - x3+3x4 = 0 x1+x2 - x4- x5 = 0 5x1+x2-4x3+3x4-9x5 = 0 x1-x2-2x3+ x4-5x5 = 0 1 0 -1 3 0 0 1 1 0 -1 -1 0 5 1 -4 3 -9 0 1 -1 -2 1 -5 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 -4 -4 8 -4 0 0 -2 -2 2 -4 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 -1 -1 2 -1 0 0 -1 -1 1 -2 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -2 -2 0 0 0 0 -3 -3 0 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0 -1 -1 0 h(A) = 3 = h(Ar) n = 5, 2 parametry Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1 - x3+3x4 = 0 x1+x2 - x4- x5 = 0 5x1+x2-4x3+3x4-9x5 = 0 x1-x2-2x3+ x4-5x5 = 0 Ar 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 -x4 - x5 = 0 x5 = t -x4 - t = 0 x4 = -t -x2 - x3 + 4x4 + x5 = 0 -x2 - x3 + 4(-t) + t = 0 x3 = s -x2 - s - 3t = 0 x2 = -s - 3t x1 + x2 - x4 - x5 = 0 x1 + (-s - 3t) - (-t) - t = 0 x1 = s + 3t Uvažujeme matici ve schodvitém tvaru. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1 - x3+3x4 = 0 x1+x2 - x4- x5 = 0 5x1+x2-4x3+3x4-9x5 = 0 x1-x2-2x3+ x4-5x5 = 0 Ar 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 -x4 - x5 = 0 x5 = t -x4 - t = 0 x4 = -t -x2 - x3 + 4x4 + x5 = 0 -x2 - x3 + 4(-t) + t = 0 x3 = s -x2 - s - 3t = 0 x2 = -s - 3t x1 + x2 - x4 - x5 = 0 x1 + (-s - 3t) - (-t) - t = 0 x1 = s + 3t Přepíšeme poslední řádek jako klasickou rovnici. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1 - x3+3x4 = 0 x1+x2 - x4- x5 = 0 5x1+x2-4x3+3x4-9x5 = 0 x1-x2-2x3+ x4-5x5 = 0 Ar 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 -x4 - x5 = 0 x5 = t -x4 - t = 0 x4 = -t -x2 - x3 + 4x4 + x5 = 0 -x2 - x3 + 4(-t) + t = 0 x3 = s -x2 - s - 3t = 0 x2 = -s - 3t x1 + x2 - x4 - x5 = 0 x1 + (-s - 3t) - (-t) - t = 0 x1 = s + 3t Protože neznámé v jedné rovnici jsou dvě, musí se jedna z nich rovnat parametru. Nechť například x5 je parametr. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1 - x3+3x4 = 0 x1+x2 - x4- x5 = 0 5x1+x2-4x3+3x4-9x5 = 0 x1-x2-2x3+ x4-5x5 = 0 Ar 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 -x4 - x5 = 0 x5 = t -x4 - t = 0 x4 = -t -x2 - x3 + 4x4 + x5 = 0 -x2 - x3 + 4(-t) + t = 0 x3 = s -x2 - s - 3t = 0 x2 = -s - 3t x1 + x2 - x4 - x5 = 0 x1 + (-s - 3t) - (-t) - t = 0 x1 = s + 3t Dosadíme parametr a vypočteme x4. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1 - x3+3x4 = 0 x1+x2 - x4- x5 = 0 5x1+x2-4x3+3x4-9x5 = 0 x1-x2-2x3+ x4-5x5 = 0 Ar 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 -x4 - x5 = 0 x5 = t -x4 - t = 0 x4 = -t -x2 - x3 + 4x4 + x5 = 0 -x2 - x3 + 4(-t) + t = 0 x3 = s -x2 - s - 3t = 0 x2 = -s - 3t x1 + x2 - x4 - x5 = 0 x1 + (-s - 3t) - (-t) - t = 0 x1 = s + 3t Přepíšeme další řádek do tvaru rovnice. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1 - x3+3x4 = 0 x1+x2 - x4- x5 = 0 5x1+x2-4x3+3x4-9x5 = 0 x1-x2-2x3+ x4-5x5 = 0 Ar 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 -x4 - x5 = 0 x5 = t -x4 - t = 0 x4 = -t -x2 - x3 + 4x4 + x5 = 0 -x2 - x3 + 4(-t) + t = 0 x3 = s -x2 - s - 3t = 0 x2 = -s - 3t x1 + x2 - x4 - x5 = 0 x1 + (-s - 3t) - (-t) - t = 0 x1 = s + 3t Dosadíme všechno co jsme vypočetli dříve. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1 - x3+3x4 = 0 x1+x2 - x4- x5 = 0 5x1+x2-4x3+3x4-9x5 = 0 x1-x2-2x3+ x4-5x5 = 0 Ar 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 -x4 - x5 = 0 x5 = t -x4 - t = 0 x4 = -t -x2 - x3 + 4x4 + x5 = 0 -x2 - x3 + 4(-t) + t = 0 x3 = s -x2 - s - 3t = 0 x2 = -s - 3t x1 + x2 - x4 - x5 = 0 x1 + (-s - 3t) - (-t) - t = 0 x1 = s + 3t Zůstaly dvě neznámé, jedna z nich musí být parametr. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1 - x3+3x4 = 0 x1+x2 - x4- x5 = 0 5x1+x2-4x3+3x4-9x5 = 0 x1-x2-2x3+ x4-5x5 = 0 Ar 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 -x4 - x5 = 0 x5 = t -x4 - t = 0 x4 = -t -x2 - x3 + 4x4 + x5 = 0 -x2 - x3 + 4(-t) + t = 0 x3 = s -x2 - s - 3t = 0 x2 = -s - 3t x1 + x2 - x4 - x5 = 0 x1 + (-s - 3t) - (-t) - t = 0 x1 = s + 3t Dosadíme parametr. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1 - x3+3x4 = 0 x1+x2 - x4- x5 = 0 5x1+x2-4x3+3x4-9x5 = 0 x1-x2-2x3+ x4-5x5 = 0 Ar 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 -x4 - x5 = 0 x5 = t -x4 - t = 0 x4 = -t -x2 - x3 + 4x4 + x5 = 0 -x2 - x3 + 4(-t) + t = 0 x3 = s -x2 - s - 3t = 0 x2 = -s - 3t x1 + x2 - x4 - x5 = 0 x1 + (-s - 3t) - (-t) - t = 0 x1 = s + 3t Vypočteme x2. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1 - x3+3x4 = 0 x1+x2 - x4- x5 = 0 5x1+x2-4x3+3x4-9x5 = 0 x1-x2-2x3+ x4-5x5 = 0 Ar 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 -x4 - x5 = 0 x5 = t -x4 - t = 0 x4 = -t -x2 - x3 + 4x4 + x5 = 0 -x2 - x3 + 4(-t) + t = 0 x3 = s -x2 - s - 3t = 0 x2 = -s - 3t x1 + x2 - x4 - x5 = 0 x1 + (-s - 3t) - (-t) - t = 0 x1 = s + 3t Přepíšeme zbývající řádek do tvaru rovnice. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1 - x3+3x4 = 0 x1+x2 - x4- x5 = 0 5x1+x2-4x3+3x4-9x5 = 0 x1-x2-2x3+ x4-5x5 = 0 Ar 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 -x4 - x5 = 0 x5 = t -x4 - t = 0 x4 = -t -x2 - x3 + 4x4 + x5 = 0 -x2 - x3 + 4(-t) + t = 0 x3 = s -x2 - s - 3t = 0 x2 = -s - 3t x1 + x2 - x4 - x5 = 0 x1 + (-s - 3t) - (-t) - t = 0 x1 = s + 3t Dosadíme vypočtené hodnoty a vyjáříme x1. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1 - x3+3x4 = 0 x1+x2 - x4- x5 = 0 5x1+x2-4x3+3x4-9x5 = 0 x1-x2-2x3+ x4-5x5 = 0 Ar 1 1 0 -1 -1 0 0 -1 -1 4 1 0 0 0 0 -1 -1 0 -x4 - x5 = 0 x5 = t -x4 - t = 0 x4 = -t -x2 - x3 + 4x4 + x5 = 0 -x2 - x3 + 4(-t) + t = 0 x3 = s -x2 - s - 3t = 0 x2 = -s - 3t x1 + x2 - x4 - x5 = 0 x1 + (-s - 3t) - (-t) - t = 0 x1 = s + 3t Soustava je vyřešena (viz. červené vztahy) Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1+ x2+ x3+ x4 = 0 x2+ x3+ x4+ x5 = 0 x1+2x2+3x3 = 0 x2+2x3+3x4+4x5 = 0 x3+2x4+3x5 = 0 Ar 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 2 3 0 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 2 -1 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 1 2 3 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 0 4 4 0 Ar 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 4x4 + 4x5 = 0 x4 + x5 = 0 x5 = tSoustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1+ x2+ x3+ x4 = 0 x2+ x3+ x4+ x5 = 0 x1+2x2+3x3 = 0 x2+2x3+3x4+4x5 = 0 x3+2x4+3x5 = 0 Ar 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 2 3 0 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 2 -1 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 1 2 3 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 0 4 4 0 Ar 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 4x4 + 4x5 = 0 x4 + x5 = 0 x5 = tSoustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1+ x2+ x3+ x4 = 0 x2+ x3+ x4+ x5 = 0 x1+2x2+3x3 = 0 x2+2x3+3x4+4x5 = 0 x3+2x4+3x5 = 0 Ar 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 2 3 0 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 2 -1 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 1 2 3 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 0 4 4 0 Ar 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 4x4 + 4x5 = 0 x4 + x5 = 0 x5 = t První řádek bude klíčový řádek. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1+ x2+ x3+ x4 = 0 x2+ x3+ x4+ x5 = 0 x1+2x2+3x3 = 0 x2+2x3+3x4+4x5 = 0 x3+2x4+3x5 = 0 Ar 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 2 3 0 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 2 -1 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 1 2 3 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 0 4 4 0 Ar 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 4x4 + 4x5 = 0 x4 + x5 = 0 x5 = t Druhý řádek zůstává, má už nulu na začátku. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1+ x2+ x3+ x4 = 0 x2+ x3+ x4+ x5 = 0 x1+2x2+3x3 = 0 x2+2x3+3x4+4x5 = 0 x3+2x4+3x5 = 0 Ar 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 2 3 0 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 2 -1 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 1 2 3 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 0 4 4 0 Ar 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 4x4 + 4x5 = 0 x4 + x5 = 0 x5 = t (-1) Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1+ x2+ x3+ x4 = 0 x2+ x3+ x4+ x5 = 0 x1+2x2+3x3 = 0 x2+2x3+3x4+4x5 = 0 x3+2x4+3x5 = 0 Ar 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 2 3 0 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 2 -1 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 1 2 3 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 0 4 4 0 Ar 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 4x4 + 4x5 = 0 x4 + x5 = 0 x5 = t Čtvrtý řádek zůstává, má už nulu na začátku. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1+ x2+ x3+ x4 = 0 x2+ x3+ x4+ x5 = 0 x1+2x2+3x3 = 0 x2+2x3+3x4+4x5 = 0 x3+2x4+3x5 = 0 Ar 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 2 3 0 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 2 -1 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 1 2 3 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 0 4 4 0 Ar 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 4x4 + 4x5 = 0 x4 + x5 = 0 x5 = t Poslední řádek zůstává, má už nulu na začátku. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1+ x2+ x3+ x4 = 0 x2+ x3+ x4+ x5 = 0 x1+2x2+3x3 = 0 x2+2x3+3x4+4x5 = 0 x3+2x4+3x5 = 0 Ar 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 2 3 0 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 2 -1 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 1 2 3 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 0 4 4 0 Ar 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 4x4 + 4x5 = 0 x4 + x5 = 0 x5 = t První řádek zůstane a druhý řádek bude nový klíčový řádek. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1+ x2+ x3+ x4 = 0 x2+ x3+ x4+ x5 = 0 x1+2x2+3x3 = 0 x2+2x3+3x4+4x5 = 0 x3+2x4+3x5 = 0 Ar 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 2 3 0 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 2 -1 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 1 2 3 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 0 4 4 0 Ar 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 4x4 + 4x5 = 0 x4 + x5 = 0 x5 = t (-1) Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1+ x2+ x3+ x4 = 0 x2+ x3+ x4+ x5 = 0 x1+2x2+3x3 = 0 x2+2x3+3x4+4x5 = 0 x3+2x4+3x5 = 0 Ar 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 2 3 0 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 2 -1 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 1 2 3 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 0 4 4 0 Ar 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 4x4 + 4x5 = 0 x4 + x5 = 0 x5 = t (-1) Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1+ x2+ x3+ x4 = 0 x2+ x3+ x4+ x5 = 0 x1+2x2+3x3 = 0 x2+2x3+3x4+4x5 = 0 x3+2x4+3x5 = 0 Ar 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 2 3 0 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 2 -1 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 1 2 3 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 0 4 4 0 Ar 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 4x4 + 4x5 = 0 x4 + x5 = 0 x5 = t Poslední řádek již má dvě nuly na začátku a ponecháme jej tedy beze změny. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1+ x2+ x3+ x4 = 0 x2+ x3+ x4+ x5 = 0 x1+2x2+3x3 = 0 x2+2x3+3x4+4x5 = 0 x3+2x4+3x5 = 0 Ar 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 2 3 0 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 2 -1 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 1 2 3 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 0 4 4 0 Ar 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 4x4 + 4x5 = 0 x4 + x5 = 0 x5 = t Poslední dva řádky jsou stejné a jeden z nich lze vynechat. První tři řádky zůstanou a třetí z nich bude nový klíčový řádek. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1+ x2+ x3+ x4 = 0 x2+ x3+ x4+ x5 = 0 x1+2x2+3x3 = 0 x2+2x3+3x4+4x5 = 0 x3+2x4+3x5 = 0 Ar 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 2 3 0 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 2 -1 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 1 2 3 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 0 4 4 0 Ar 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 4x4 + 4x5 = 0 x4 + x5 = 0 x5 = t (-1) Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1+ x2+ x3+ x4 = 0 x2+ x3+ x4+ x5 = 0 x1+2x2+3x3 = 0 x2+2x3+3x4+4x5 = 0 x3+2x4+3x5 = 0 Ar 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 2 3 0 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 2 -1 0 0 0 1 2 3 4 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 1 2 3 0 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 0 4 4 0 Ar 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 4x4 + 4x5 = 0 x4 + x5 = 0 x5 = t Matice je ve schodovitém tvaru, h(A) = h(Ar) = 4 a soustava má nekonečně mnoho řešení závislých na (5 - 4) = 1 parametru. Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1+ x2+ x3+ x4 = 0 x2+ x3+ x4+ x5 = 0 x1+2x2+3x3 = 0 x2+2x3+3x4+4x5 = 0 x3+2x4+3x5 = 0 Ar 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 0 4 4 0 4x4 + 4x5 = 0 x4 + x5 = 0 x5 = t x4 = -t x3 - 2x4 - x5 = 0 x3 - 2(-t) - t = 0 x3 = -t x2 + x3 + x4 + x5 = 0 x2 + (-t) + (-t) + t = 0 x2 = t x1 + x2 + x3 + x4 = 0 x1 + t + (-t) + (-t) = 0 x1 = t Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1+ x2+ x3+ x4 = 0 x2+ x3+ x4+ x5 = 0 x1+2x2+3x3 = 0 x2+2x3+3x4+4x5 = 0 x3+2x4+3x5 = 0 Ar 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 0 4 4 0 4x4 + 4x5 = 0 x4 + x5 = 0 x5 = t x4 = -t x3 - 2x4 - x5 = 0 x3 - 2(-t) - t = 0 x3 = -t x2 + x3 + x4 + x5 = 0 x2 + (-t) + (-t) + t = 0 x2 = t x1 + x2 + x3 + x4 = 0 x1 + t + (-t) + (-t) = 0 x1 = t Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1+ x2+ x3+ x4 = 0 x2+ x3+ x4+ x5 = 0 x1+2x2+3x3 = 0 x2+2x3+3x4+4x5 = 0 x3+2x4+3x5 = 0 Ar 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 0 4 4 0 4x4 + 4x5 = 0 x4 + x5 = 0 x5 = t x4 = -t x3 - 2x4 - x5 = 0 x3 - 2(-t) - t = 0 x3 = -t x2 + x3 + x4 + x5 = 0 x2 + (-t) + (-t) + t = 0 x2 = t x1 + x2 + x3 + x4 = 0 x1 + t + (-t) + (-t) = 0 x1 = t Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1+ x2+ x3+ x4 = 0 x2+ x3+ x4+ x5 = 0 x1+2x2+3x3 = 0 x2+2x3+3x4+4x5 = 0 x3+2x4+3x5 = 0 Ar 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 0 4 4 0 4x4 + 4x5 = 0 x4 + x5 = 0 x5 = t x4 = -t x3 - 2x4 - x5 = 0 x3 - 2(-t) - t = 0 x3 = -t x2 + x3 + x4 + x5 = 0 x2 + (-t) + (-t) + t = 0 x2 = t x1 + x2 + x3 + x4 = 0 x1 + t + (-t) + (-t) = 0 x1 = t Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1+ x2+ x3+ x4 = 0 x2+ x3+ x4+ x5 = 0 x1+2x2+3x3 = 0 x2+2x3+3x4+4x5 = 0 x3+2x4+3x5 = 0 Ar 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 0 4 4 0 4x4 + 4x5 = 0 x4 + x5 = 0 x5 = t x4 = -t x3 - 2x4 - x5 = 0 x3 - 2(-t) - t = 0 x3 = -t x2 + x3 + x4 + x5 = 0 x2 + (-t) + (-t) + t = 0 x2 = t x1 + x2 + x3 + x4 = 0 x1 + t + (-t) + (-t) = 0 x1 = t Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × Řešte soustavu x1+ x2+ x3+ x4 = 0 x2+ x3+ x4+ x5 = 0 x1+2x2+3x3 = 0 x2+2x3+3x4+4x5 = 0 x3+2x4+3x5 = 0 Ar 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 -2 -1 0 0 0 0 4 4 0 4x4 + 4x5 = 0 x4 + x5 = 0 x5 = t x4 = -t x3 - 2x4 - x5 = 0 x3 - 2(-t) - t = 0 x3 = -t x2 + x3 + x4 + x5 = 0 x2 + (-t) + (-t) + t = 0 x2 = t x1 + x2 + x3 + x4 = 0 x1 + t + (-t) + (-t) = 0 x1 = t Soustavy lineárních rovnic c Robert Mařík, 2008 × 5 Shrnutí Shrnutí c Robert Mařík, 2008 × Věta 10. Buď A čtvercová matice řádu n Následující výroky jsou ekviva- lentní: * Řádky matice jsou tvořeny lineárně nezávislými vektory z Rn . * Sloupce matice jsou tvořeny lineárně nezávislými vektory z Rn . * Hodnost matice A je rovna n, tj. h(A) = n * Matice A je invertibilní, tj. existuje matice A-1 k ní inverzní. * Matice A je regulární, tj. det A = 0. * Soustava lineárních rovnic, jejíž matice soustavy je matice A, má pro libovolnou volbu koeficientů na pravých stranách rovnic jediné řešení. * Homogenní soustava lineárních rovnic, jejíž matice soustavy je matice A, má pouze triviální řešení. * Každý algebraický vektor z Rn lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů tvořených řádky (sloupci) matice A, a to jednoznačně, až na pořadí. Shrnutí c Robert Mařík, 2008 × Věta 10. Buď A čtvercová matice řádu n Následující výroky jsou ekviva- lentní: * Řádky matice jsou tvořeny lineárně nezávislými vektory z Rn . * Sloupce matice jsou tvořeny lineárně nezávislými vektory z Rn . * Hodnost matice A je rovna n, tj. h(A) = n * Matice A je invertibilní, tj. existuje matice A-1 k ní inverzní. * Matice A je regulární, tj. det A = 0. * Soustava lineárních rovnic, jejíž matice soustavy je matice A, má pro libovolnou volbu koeficientů na pravých stranách rovnic jediné řešení. * Homogenní soustava lineárních rovnic, jejíž matice soustavy je matice A, má pouze triviální řešení. * Každý algebraický vektor z Rn lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů tvořených řádky (sloupci) matice A, a to jednoznačně, až na pořadí. Shrnutí c Robert Mařík, 2008 × Věta 10. Buď A čtvercová matice řádu n Následující výroky jsou ekviva- lentní: * Řádky matice jsou tvořeny lineárně nezávislými vektory z Rn . * Sloupce matice jsou tvořeny lineárně nezávislými vektory z Rn . * Hodnost matice A je rovna n, tj. h(A) = n * Matice A je invertibilní, tj. existuje matice A-1 k ní inverzní. * Matice A je regulární, tj. det A = 0. * Soustava lineárních rovnic, jejíž matice soustavy je matice A, má pro libovolnou volbu koeficientů na pravých stranách rovnic jediné řešení. * Homogenní soustava lineárních rovnic, jejíž matice soustavy je matice A, má pouze triviální řešení. * Každý algebraický vektor z Rn lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů tvořených řádky (sloupci) matice A, a to jednoznačně, až na pořadí. Shrnutí c Robert Mařík, 2008 × Věta 10. Buď A čtvercová matice řádu n Následující výroky jsou ekviva- lentní: * Řádky matice jsou tvořeny lineárně nezávislými vektory z Rn . * Sloupce matice jsou tvořeny lineárně nezávislými vektory z Rn . * Hodnost matice A je rovna n, tj. h(A) = n * Matice A je invertibilní, tj. existuje matice A-1 k ní inverzní. * Matice A je regulární, tj. det A = 0. * Soustava lineárních rovnic, jejíž matice soustavy je matice A, má pro libovolnou volbu koeficientů na pravých stranách rovnic jediné řešení. * Homogenní soustava lineárních rovnic, jejíž matice soustavy je matice A, má pouze triviální řešení. * Každý algebraický vektor z Rn lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů tvořených řádky (sloupci) matice A, a to jednoznačně, až na pořadí. Shrnutí c Robert Mařík, 2008 × Věta 10. Buď A čtvercová matice řádu n Následující výroky jsou ekviva- lentní: * Řádky matice jsou tvořeny lineárně nezávislými vektory z Rn . * Sloupce matice jsou tvořeny lineárně nezávislými vektory z Rn . * Hodnost matice A je rovna n, tj. h(A) = n * Matice A je invertibilní, tj. existuje matice A-1 k ní inverzní. * Matice A je regulární, tj. det A = 0. * Soustava lineárních rovnic, jejíž matice soustavy je matice A, má pro libovolnou volbu koeficientů na pravých stranách rovnic jediné řešení. * Homogenní soustava lineárních rovnic, jejíž matice soustavy je matice A, má pouze triviální řešení. * Každý algebraický vektor z Rn lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů tvořených řádky (sloupci) matice A, a to jednoznačně, až na pořadí. Shrnutí c Robert Mařík, 2008 × Věta 10. Buď A čtvercová matice řádu n Následující výroky jsou ekviva- lentní: * Řádky matice jsou tvořeny lineárně nezávislými vektory z Rn . * Sloupce matice jsou tvořeny lineárně nezávislými vektory z Rn . * Hodnost matice A je rovna n, tj. h(A) = n * Matice A je invertibilní, tj. existuje matice A-1 k ní inverzní. * Matice A je regulární, tj. det A = 0. * Soustava lineárních rovnic, jejíž matice soustavy je matice A, má pro libovolnou volbu koeficientů na pravých stranách rovnic jediné řešení. * Homogenní soustava lineárních rovnic, jejíž matice soustavy je matice A, má pouze triviální řešení. * Každý algebraický vektor z Rn lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů tvořených řádky (sloupci) matice A, a to jednoznačně, až na pořadí. Shrnutí c Robert Mařík, 2008 × Věta 10. Buď A čtvercová matice řádu n Následující výroky jsou ekviva- lentní: * Řádky matice jsou tvořeny lineárně nezávislými vektory z Rn . * Sloupce matice jsou tvořeny lineárně nezávislými vektory z Rn . * Hodnost matice A je rovna n, tj. h(A) = n * Matice A je invertibilní, tj. existuje matice A-1 k ní inverzní. * Matice A je regulární, tj. det A = 0. * Soustava lineárních rovnic, jejíž matice soustavy je matice A, má pro libovolnou volbu koeficientů na pravých stranách rovnic jediné řešení. * Homogenní soustava lineárních rovnic, jejíž matice soustavy je matice A, má pouze triviální řešení. * Každý algebraický vektor z Rn lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů tvořených řádky (sloupci) matice A, a to jednoznačně, až na pořadí. Shrnutí c Robert Mařík, 2008 × Věta 10. Buď A čtvercová matice řádu n Následující výroky jsou ekviva- lentní: * Řádky matice jsou tvořeny lineárně nezávislými vektory z Rn . * Sloupce matice jsou tvořeny lineárně nezávislými vektory z Rn . * Hodnost matice A je rovna n, tj. h(A) = n * Matice A je invertibilní, tj. existuje matice A-1 k ní inverzní. * Matice A je regulární, tj. det A = 0. * Soustava lineárních rovnic, jejíž matice soustavy je matice A, má pro libovolnou volbu koeficientů na pravých stranách rovnic jediné řešení. * Homogenní soustava lineárních rovnic, jejíž matice soustavy je matice A, má pouze triviální řešení. * Každý algebraický vektor z Rn lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů tvořených řádky (sloupci) matice A, a to jednoznačně, až na pořadí. Shrnutí c Robert Mařík, 2008 × Věta 10. Buď A čtvercová matice řádu n Následující výroky jsou ekviva- lentní: * Řádky matice jsou tvořeny lineárně nezávislými vektory z Rn . * Sloupce matice jsou tvořeny lineárně nezávislými vektory z Rn . * Hodnost matice A je rovna n, tj. h(A) = n * Matice A je invertibilní, tj. existuje matice A-1 k ní inverzní. * Matice A je regulární, tj. det A = 0. * Soustava lineárních rovnic, jejíž matice soustavy je matice A, má pro libovolnou volbu koeficientů na pravých stranách rovnic jediné řešení. * Homogenní soustava lineárních rovnic, jejíž matice soustavy je matice A, má pouze triviální řešení. * Každý algebraický vektor z Rn lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů tvořených řádky (sloupci) matice A, a to jednoznačně, až na pořadí. Shrnutí c Robert Mařík, 2008 × Věta 11. Uvažujme soustavu lineárních rovnic v maticovém tvaru Ax = b . Předpokládejme, že k matici A existuje inverzní matice A-1 . Potom má soustava jediné řešení, jehož jednotlivé složky jsou prvky sloupcového vektoru A-1 b, kde uvedený součin chápeme v maticovém smyslu. Shrnutí c Robert Mařík, 2008 × Věta 11. Uvažujme soustavu lineárních rovnic v maticovém tvaru Ax = b . Předpokládejme, že k matici A existuje inverzní matice A-1 . Potom má soustava jediné řešení, jehož jednotlivé složky jsou prvky sloupcového vektoru A-1 b, kde uvedený součin chápeme v maticovém smyslu. Shrnutí c Robert Mařík, 2008 × KONEC Shrnutí c Robert Mařík, 2008 ×