Cvičení 5-6- PS
Derivace funkce
2. listopadu 2006
Příklady z textu J. Dočkal : Matematika I- řešené příklady - učební text
kombinovaného studia FSI VUT Brno - www.fme.vutbr.cz/opory/ na str.
36 - 39.
Otázky a úlohy
1. Uveďte přesnou definici derivace funkce.
2. Co jsou tečna a normála ke grafu funkce? Odvoďte jejich rovnice.
3. Co jsou jednostranné derivace?
4. Co je nevlastní derivace?
5. Uveďte vzorce pro derivování součtu a rozdílu funkcí.
6. Uveďte větu pro derivování složené funkce.
7. Uveďte větu pro derivování inverzní funkce.
8. Co je logaritmická derivace a k čemu slouží?
9. Uveďte větu o ryze monotónní funkci v bodě.
10. Uveďte Rolle`ovu větu.
11. Uveďte Cauchy`ovu větu o střední hodnotě.
12. Uveďte Lagrange`ovu větu o střední hodnotě.
13. Uveďte větu o monotónní funkci na intervalu.
1
14. Co jsou vyšší derivace?
15. Uveďte Leibnitzův vzorec pro n-tou derivaci.
16. Uveďte l`Hospitalovo pravidlo.
17. Vysvětlete postup při výpočtu limit neurčitých výrazů typu 0  
a  - .
18. Vysvětlete postup při výpočtu limit neurčitých výrazů typu 00
, 1
, 0
.
19. Co je střed oscilační kružnice grafu funkce a jak se odvodí vzorce pro
výpočet jeho souřadnic?
20. Jak se definuje pojem křivka v rovině a co jsou její parametrické rov-
nice?
21. Odvoďte rovnice tečny a normály ke křivce dané parametricky.
22. Jak se odvozují rovnice tečny a normály k polárnímu grafu funkce?
23. Co je směrový úhel tečny polárního grafu funkce a jak se odvodí?
24. Co je polární subtangenta, polární subnormály, délka polární tečny,
délka polární norály a jak se odvodí vzorce pro jejich velikost?
25. Odvoďte vzorce pro poloměr křivosti polárního grafu funkce.
26. Jak se odvozují parametrické rovnice evoluty?
27. Co je cykloida a jak se odvodí její parametrická rovnice?
28. Co je evolventa a jak se odvodí její parametrická rovnice?
29. Co je Archimedova, hyperbolická a logaritmická spirála a jaké jsou
jejich základní vlastnosti?
30. Definujte pojem derivace vektorové funkce jedné reálné proměnné.
31. Odvoďte vztah pro derivování skalárního součinu dvou vektorových
funkcí.
32. Odvoďte vztah pro derivování velikosti vektorové funkce.
33. Odvoďte vztah pro derivování vektorového součinu dvou vektorových
funkcí.
2
Cvičení
1. Vypočítejte přímo podle definice derivaci f funkce f v bodě .
(a) f(x) = -5x2
+ 6x + 3,  = x,
[f (x) = lim
h0
-5(x+h)2+6(x+h)+3-(-5x2+6x+3)
h
= -10x + 6]
(b) f(x) =

x2 + 3,  = 2u,
[f (2u) = lim
h0

(2u+h)2+3-

4u2+3

(2u+h)2+3+

4u2+3
h

(2u+h)2+3+

4u2+3
=
= 2u
(4u2+3)
]
(c) f(x) = x3
sin(x - 
4
),  = 
4
,,
[f 
4
= lim
h0
(
4
+h)
3
sin h-(
4 )
3
sin 0
h
=

4
3
]
(d) f(x) = (x - 1) arcsin x
x+1
,  = 1.
[f (1) = lim
h0
h arcsin 1+h
2+h
h
= arcsin 1
2
= 
4
]
2. Vypočítejte derivaci f funkce f a určete její definiční obor.
(a) f(x) =
1
3

x
, [f (x) = - 1
3
3
x4
, x = 0]
(b) f(x) = 4
x 3
x

x, [f (x) = 3
8
8
x5
, x > 0]
(c) f(x) =
1

1 + sin2
x
,
[f (x) = -1
2
1 + sin2
x
-3
2
 2 sin x cos x, D(f ) = R]
(d) f(x) = cos x

1 + sin2
x. [f (x) = - 2 sin3 x
1+sin2 x
, D(f ) = R]
3. Vypočítejte derivaci f funkce f.
(a) f(x) = ln sin 3
arctg e3x [
e3xcos 3

arctg e3x
(1+e6x) 3

arctg e3xsin 3

arctg e3x
]
(b) f(x) = f(x) = 1
2
4
arcsin

x2 + 2x [ x+1
8
4

(arcsin

x2+2x)3

1-x2-2x

x2+2x
]
(c) f(x) = f(x) = e

ln(ax2+bx+c)
[ e

ln(ax2+bx+c)
(2ax+b)
2

ln(ax2+bx+c)(ax2+bx+c)
]
(d) f(x) = f(x) = arcsin2
(ln (a3
+ x3
)) [
6x2 arcsin[ln(a3+x3
)]
(a3+x3)

1-ln2
(a3+x3)
]
3
4. Nechť je dána funkce f. S použitím logaritmického derivování nalezněte
funkci v.
(a) f(x) = x
1
x , v(x) = x2
f (x) - x
1
x (1 - ln x),
[f (x) = x
1
x
1
x
ln x , v(x) = 0]
(b) f(x) = xsin x
, v(x) = f (x)
xsin x - cos x ln x,
[f (x)
f(x)
= [ln f(x)] = (sin x ln x) , v(x) = sin x
x
]
(c) f(x) = x
x+1
x
, v(x) = x+1
x
x
f (x) - ln x
x+1
.
[f (x)
f(x)
= [ln f(x)] = x ln x+1
x
, v(x) = 1
x+1
]
5. Určete intervaly, v nichž je funkce f ryze monotonní.
(a) f(x) = x
ln2
x
, [roste (0, 1), (e2
, ), klesá (1, e2
)]
(b) f(x) = e2x
+ 2e3-x
, [roste (1, ), klesá (-, 1)]
(c) f(x) = 2x arccotg x + ln (1 + x2
) - x,
[roste (-, 0), klesá (0, )]
(d) f(x) = x(1 - ln x)2
. [roste 0, 1
e
, (e, ), klesá 1
e
, e ]
6. Určete intervaly v nichž je funkce f monotónní.
(a) f(x) = x - ex
, [roste (-, 0), klesá (0, -)]
(b) f(x) = 1-x+x2
1+x+x2 , [roste (-, -1), (1, ), klesá (-1, 1)]
(c) f(x) = ln x +

1 + x2 , [roste (-, )]
(d) f(x) = x

ax - x2, a > 0. [roste 0, 3
4
a , klesá 3
4
a, a ]
7. Dokažte správnost nerovností. (Ve všech případech použijte větu o monotonní
funkci na intervalu.)
(a) 2

x > 3 - 1
x
, (x > 1), [f(x) = 2

x - 3 + 1
x
, f(1) = 0; f (x) =
= x2-

x
x2

x
> 0 pro x > 1  f roste v (1, ) a tedy f(x) > f(0)]
(b) ex
> 1 + x, (x = 0), [f(x) = ex
- 1 - x, f(0) = 0;
f (x) = ex
- 1 = 0; klesá v (-, 0) a roste v (0, ) 
f(x) > 0 pro x > 0 a f(0) < f(x) pro x > 0]
(c) 2x arctg x  ln (1 + x2
),
[f(x) = 2x arctg x - ln (1 + x2
) , f(0) = 0; klesá v (-, 0),
roste v (0, )  f(x) > 0 pro x < 0 a f(0) < f(x) pro x > 0]
4
(d) x > ln(1 + x), (x > 0). [f(x) = x - ln(1 + x), f(0) = 0;
f (x) = x
1+x
> 0 pro x > 0  f roste v (0, )]
8. Nalezněte n-tou derivaci f(n)
funkce f, kde
(a) f(x) =

x, [f(n)
= (-1)n-1
 135(2n-3)
2n x-n+1
2 ]
(b) f(x) = eax+b
, [f(n)
= an
eax+b
]
(c) f(x) = sin2
x, [f(n)
= 2n-1
sin 2x + (n - 1)
2
]
(d) f(x) = 1
x2-3x+2
, [f(n)
= (-1)n
 n ! [(x - 2)-n-1
+ (x - 1)-n-1
]]
(e) f(x) = xex
, [f(n)
= (n + x)ex
]
(f) f(x) = x ln x, [f(n)
= (-1)n
(n - 2) ! 1
xn-1 , pro n  2]
(g) f(x) = eax
, [f(n)
= an
eax
]
(h) f(x) = loga x, [f(n)
= (-1)n-1
 (n - 1) !  1
ln axn ]
(i) f(x) = e-x
, [f(n)
= (-1)n
e-x
]
(j) f(x) = 1-x
1+x
. [f(n)
= 2(-1)nn !
(1+x)n+1 ]
9. Pomocí Leibnizovy formule formule vypočítejte f(k)
, kde
(a) f(x) = ex
cos x, k = 5, [4ex
(sin x - cos x)]
(b) f(x) = x3
ln x, k = 4, [6
x
]
(c) f(x) = x4
e2x
, k = 6, [32e2x
(2x4
+ 24x3
+ 90x2
+ 120x + 45)]
(d) f(x) = (x2
+ 1) sin x, k = 20. [-379 sin x - 40x cos x + x2
sin x]
10. Nalezněte první a druhou derivaci v bodě (, ) funkce y(x) dané implicitně
rovnicí F(x, y) = 0, kde
(a) F(x, y) = y3
+ x3
- 3axy, (, ) = 3a
2
, 3a
2
,
[y 3a
2
= -3x2+3ay(x)
3y2(x)-3ax
= -1, y 3a
2
= -6y[y ]2-6x+6ay
3y2-3ax
= -32
3a
]
(b) F(x, y) = y - 1 - xey
, (, ) = (-1, 0), [y (-1) = 1
2
, y (-1) = 3
8
]
(c) F(x, y) = ey
+ xy - e, (, ) = (0, 1), [y (0) = -1
e
, y (0) = 1
e2 ]
11. Pomocí l`Hospitalova pravidla vypočítejte limity
(a) l = lim
x0
sin x - x cos x
sin3
x
, [1
3
]
(b) l = lim
x0
2xex
- 3ex
+ 3 + x
(ex - 1)2 , [1
2
]
5
(c) l = lim
x0+
(x3
ln x), [0]
(d) l = lim
x1
1
cos x
2
ln(1 - x)
, []
(e) l = lim
x1
x
x - 1
-
1
ln x
, [1
2
]
(f) l = lim
x1ln(1
- x) + tg x
2
cotg x
, [-4]
(g) l = lim
x0
x
1
ln(ex-1) , [1]
(h) l = lim
x0
(1 + tg x)cotg x
, [e]
(i) l = lim
x0
1
x
tg x
, [1]
(j) l = lim
x 
2
(tg x)2x.
[1]
12. Nalezněte asymptoty funkce f. K výpočtu limit použijte lříslušná l`Hospitalova
pravidla.
(a) f(x) = xe
2
x , [x = 0, y = x + 3]
(b) f(x) = xe
1
x2
, [x = 0, y = x]
13. Nalezněte rovnice tečny a normály ke grafu y = f(x) funkce f v bodě
(, f()).
(a) f(x) = x +

1 - x,  = 0 [t : y - 1 = 1
2
x, n : y - 1 = -2x]
(b) f(x) = arctg x,  = -1
[t : y + 
4
= 1
2
(x + 1), n : y + 
4
= -2(x + 1)]
14. Určete, ve kterém bodě (, f()) má graf funkce f tečnu svírající s
osou Ox úhel 
4
.
(a) f(x) = 3x2
- 5x + 2, [f () = 1  (, f()) = (1, 0)]
(b) f(x) =

1 - x2, [f () = 1  (, f()) = (- 1
2
, 1
2
)]
15. Nalezněte normálu ke grafu funkce f dané vztahem f(x) = x ln x tak,
aby byla rovnoběžná s přímkou p danou rovnicí 2x - 2y + 3 = 0.
[kp = 1 = kn, kn = - 1
f ()
= - 1
ln +1
  = e-2
, n : y = x - 3
e2 ]
6
16. Nalezněte rovnice tečen k hyperbole x2
2
- y2
7
= 1 kolmých na přímku
p > 2x + 4y - 3 - 0.
[kp = -1
2
, kt = 2; y (x) = 7x
2y(x)
. Pro body dotyku (, f()) musí platit
72
- 2y2
() - 14 = 0, y (x) = 7x
2y(x)
= 2   = 4.
t1 : y - 7 = 2(x - 4), t2 : y + 7 = 2(x + 4)]
17. Nalezněte úhel, pod kterým se protínají grafy funkcí f, g, kde f(x) =
1
x
, g(x) = 2 -

x.
[Jedná se o úhel, který svírají tečny obou křivek v průsečíku (, ).
Pro průsečík platí 1

= 2 -

   = 1. f (1) = -1
2
, g (1) = -1
2
.
Grafy se protínají pod nulovým úhlem (jsou tečné).]
18. Vypočítejte délku tečny |AT| a normály |AN| a orientované velikosti
sn, st subnormály a subtangenty ke grafu funkce f(x) = 2x
v bodě
A = (1, 2).
[f (1) = 2 ln 2, st = 1
ln 2
, sn = 4 ln 2, |AT| = 1
ln 2
1 + 4 ln2
2,
|AN| = 2 1 + 4 ln2
2]
19. Vypočítejte součet orientované velikosti subtangenty st a velikosti tečny
|AT| ke grafu funkce f(x) = ln (x2
- 1) v libovolném bodě A = (, ),
kde  = f() = ln (2
- 1).
[f () = 2
2-1
. Dostáváme
st + |AT| = 
2
(2
- 1) + 1 + 42
(2-1)2 = || (využili jsme zde
skutečnost, že   D(f) a tudíž 2
- 1 > 0).]
20. Barometrický tlak p se mění s výškou h podle zákona ln p
p0
= ch, kde
p0 je normální tlak. Ve výšce 5540 m tlak dosahuje polovinu normálního
tlaku. Udejte rychlost změny barometrického tlaku v závislosti na
změně výšky.
[p(h) . . . závislost tlaku na výšce, hledáme p (h).
Platí p = p0ech
 1
2
p0 = p0ec5540
 c = - ln 2
5540
;
p = p0ech
 p (h) = cp0ech
 p (h) = - ln 2
5540
p(h)  p (h) =
- ln 2
5540
p0 eln 2 - h
5540
= -p0 ln 2
5540
2- h
5540 .]
7
21. Předpokládáme, že objem kmene je úměrný třetí mocnině jeho průměru
a že průměr roste rovnoměrně z roku na rok. Kolikrát je větší rychlost
růstu objemu v čase, kdy průměr je 90 cm než v čase, kdy průměr je
18 cm?
[Označení: d . . . průměr, t . . . čas, t90, t18 . . . časy, kdy průměr je 90 cm
a 18 cm, k, l . . . konstanty úměrnosti, O(t) . . . objem v čase,
v(t) = O (t) . . . rychlost růstu objemu. Platí O = kd3
,
d = lt  O = kl3
t3
 v(t) = 3kl3
t2
. Hledaná
veličina:v (t90) : v (t18) = 25.]
22. Muž vysoký 1,7 m se vzdaluje rychlostí 6,34 km/h od lampy, která je
3 m nad úrovní ulice. Jakou rychlostí se pohybuje stín hlavy?
[Označení: a(t) . . . dráha muže v závislosti na čase t, b(t) . . . dráha
stínu. Hledanou veličinou je zřejmě b (t). Platí a(t) = 6, 34  t.
Z podobnosti b
3
= b-a
1,7
 b = 3
1,3
a = 36,34
1,3
t  b (t) = 14, 63 km/h.]
23. Rozklad chemické látky v reakci probíhá podle zákona m = m0e-kt
,
kde m je množství (nerozložené) látky v časovém okamžiku t, m0 je
počáteční množství látky, k je kladná konstanta. Nalezněte rychlost
v reakce jako funkci množství látky a vysvětlete, co je rychlost reakce.
v(t) = m (t) = -km0e-kt
= -km, okamžitá změna množství-- m
24. Síla P působící na hmotný bod je nepřímo úměrná rychlosti v pohybu
bodu. Jak závisí kinetická energie E bodu na čase ?
[Označení: v(t) . . . rychlost hmotného bodu o hmotnosti m v čase t,
a(t) . . . zrychlení, k . . . konstanta úměrnosti. Platí E(t) = mv2(t)
2
.
P(t) = m  a(t) = m  v (t) = k
v(t)
 m  v(t)v (t) = k 
m v2(t)
2
= k  mv2(t)
2
= kt + c, kde c je libovolná konstanta.
Závislost je tedy lineární.]
8