Lineární zobrazení vektorových prostorů
1. Vyšetřete, zda je zobrazení A : R3  R3 lineární, je-li
a) A ((x1, x2, x3)) = (2x2 + x3, x1 + x3, 3x1 + x2 - x3),
b) A ((x1, x2, x3)) = (x1 + x2, x1 - x3, x2
1).
2. Rozhodněte, zda je zobrazení A : R3  R2 lineární, je-li
A ((x1, x2, x3)) = (2x1 + 5x2 - x3, -x1 - 2x3 - 2).
3. Ověřte, zda je zobrazení A : P2  R3 lineární, přičemž A je definováno takto:
A (ax2 + bx + c) = (a + b, a - b, -c).
4. Je dáno lineární zobrazení A : R2  R2 definované předpisy:
A (1, -1) = (2, 3), A (-1, -1) = (1, 2). Určete obraz vektoru (5, 1), tj. A (5, 1).
5. Je dáno zobrazení A : P2  P2, takové že A (p) = p(-x) + p(x + 1).
a) Dokažte, že se jedná o lineární zobrazení.
b) Určete obraz polynomu p(x) = 2 - 5x + 6x2.
6. Je dáno lineární zobrazení A : R3  R2 definované předpisy:
A (1, 2, 0) = (2, 3), A (1, 1, 1) = (0, 1), A (-1, 3, -1) = (1, 4).
a) Určete obraz vektoru (6, 1, -7), tj. A (6, 1, -7).
b) Určete obraz vektoru (0, 0, -4), tj. A (0, 0, -4).
7. Je dáno lineární zobrazení A : P2  R2 definované předpisy
A (x2
+ x) = (1, -1), A (x2
+ x + 1) = (-1, 2), A (x) = (0, -1).
a) Nalezněte obraz polynomu -2x2 + 3x - 4.
b) Nalezněte vzor vektoru (3, -2)  R2.
8. Je dáno lineární zobrazení A : R3  R3 předpisem
A (x1, x2, x3) = (x1 - x2, x1 + x2, x1 + x2 + x3).
Určete
a) jádro zobrazení A a jeho dimenzi,
b) obor hodnot (obraz) lineárního zobrazení a jeho dimenzi.
9. Je dáno lineární zobrazení A : R3  R2 definované předpisy:
A (1, 1, -1) = (2, 1), A (1, -1, 1) = (2, -2), A (-1, 1, 1) = (0, -3).
Nalezněte jádro lineárního zobrazení A a určete dimenzi jádra.
10. Je dána lineární transformace A : R3  R3 definovaná předpisy
A (1, 1, 0) = (1, -1, 1), A (1, 1, 1) = (1, 0, 1), A (0, 1, 0) = (0, -1, 0).
a) Nalezněte jádro a určete jeho dimenzi.
b) Nalezněte obor hodnot a určete jeho dimenzi.
11. Je dáno lineární zobrazení A : R3  R2 předpisem
A (x1, x2, x3) = (x1 + 2x2, 3x2 + 4x3).
Nalezněte matici lineárního zobrazení A vzhledem k bázím E a F, kde E je standardní
báze vektorového prostoru R3 a F = f1, f1 je báze prostoru R2. Přitom
f1 = (1, 2), f2 = (2, 2).
12. Je dáno lineární zobrazení A : R4  R3 definované předpisy:
A (1, 1, -1, 0) = (0, 0, 0), A (1, 2, -1, -2) = (-1, -3, 1), A (1, 0, 0, -1) = (0, 0, 0),
A (1, 1, 1, 1) = (5, 8, 2).
Sestavte matici lineárního zobrazení vzhledem ke standardním bázím prostoru R4 a
R3.
Výsledky
1. a) ano, b) ne,
2. ne,
3. ano,
4. (1, 0),
5. a) ano, b) 5 + 12x + 12x2,
6. a) (43
2 , 19
2 ), b) (7, 3),
7. a) (6, -15), b) 1 + 5x + 5x2 + p(1 + 3x + 2x2),
8. a) N(A ) = {o}, dimN(A ) = 0,
b) H(A ) = (1, 1, 1), (-1, 1, 1), (0, 0, 1) , dimH(A ) = 3,
9. N(A ) = (-1, 3, -1) , dimN(A ) = 1,
10. a) N(A ) = (0, 1, 1) , dimN(A ) = 1,
b) H(A ) = (1, 0, 1), (0, -1, 0) , dimH(A ) = 2,
11. [A ]EF =
-1 1 4
1 1
2 -2
.
12. [A ]EF =


1 1 2 1
2 1 3 2
0 1 1 0

 .