Dynamika hmotného bodu
Dynamika
- obor mechaniky, vyšetřující vzájemné působení těles, které vede
ke změně pohybu
Síla - vektorová veličina, je mírou vzájemného působení těles,
které vede ke změnám pohybu nebo deformaci těles
Síly mohou působit na dálku (např.gravitační síly) nebo přímo
prostřednictvím jiných těles (např.tlakové síly).
Jednotkou síly v soustavě SI je 1N (Newton)
Síla je určená velikostí, směrem a působištěm
a) Síly skutečné
- vyvolány vzájemným působením hmot.těles nebo mikrofyzikálních částic
b) Síly setrvačné (zdánlivé)
- vyvolány zrychleným pohybem vztažných soustav
Dynamika hmotného bodu
a) gravitační interakce
(projevuje se univerzálně mezi všemi typy hmotných objektů)
b) elektromagnetická interakce
(předpokladem je existence el.náboje)
c) slabá interakce
(projevuje se u všech typů elementárních částic)
d) silná interakce
(má souvislost s jadernými silami)
2
/ rmMF 
2
21 / rQQF 
Základní druhy silových interakcí:
Typ interakce Dosah [m] Relativní síla
gravitační interakce  10-38
elektromagnetická interakce  10-2
slabá interakce 10-18
10-13
silná interakce 10-15
1
Dynamika hmotného bodu
Silové účinky jsou popisovány pomocí následujících fyzikálních veličin
Hybnost: ]smkg[ 1=
vmp
rr
]mN[FrM
rrr
×=Moment síly:
]smkg[ 12 ×=
prL
rrr
Moment hybnosti:
Hmotnost :
­ skalární veličina, která popisuje základní vlastnosti všech hmotných objektů
(setrvačnost a vzájemné gravitační působení) ­ jednotkou SI 1 kg
- hmotnost můžeme též chápat jako určitý odpor, který těleso klade vynucené
změně pohybu.
Newtonovy zákony
Roku 1678 uveřejnil Isaac Newton v knize
,,Philosophiae Naturalis Principia Mathematica"
zákony, které jsou základem klasické fyziky:
a) Zákon setrvačnosti
Každé těleso setrvá ve svém stavu klidu nebo stavu rovnoměrného
přímočarého pohybu, dokud není vnějšími silami (tj.působením
jiných těles) přinuceno tento stav změnit.
* Inerciální vztažný systém
Souřadný systém, ve kterém zůstávají volně umístěná tělesa v klidu
nebo rovnoměrném přímočarém pohybu.
Newtonovy zákony
b) Zákon síly
Časová změna hybnosti tělesa je rovna výslednici vnějších sil, které
na těleso působí.
F
t
p rr
=
d
d
- pokud předpokládáme, že se hmotnost v čase nemění, tj. .konstm =
),,(
d
d
d
)(d
tvrFam
t
v
m
t
vm rrrr
rr
=== Počáteční podmínky
),,()( 0000 zyxtr =
r
),,()( 0000 zyx vvvtv =
r
Pohybová diferenciální rovnice
- výsledná vnější síla F v 2.Newtonově zákonu může obecně
záviset na poloze, rychlosti a času
Newtonovy zákony
c) Zákon akce a reakce
Působí-li jedno těleso na druhé silou F12 (tzv.akce), potom druhé
těleso působí na první těleso stejně velkou silou F21 (tzv.reakce),
ale opačného směru
2112 FF
rr
-=
- přičemž nezávisí, jakým způsobem na sebe tělesa působí (přímo
nebo ,,na dálku") a zda se pohybují
-síly akce F12 a reakce F21 působí na jiná tělesa !!!
-sledujeme-li tedy pouze jedno z působících těles, potom nelze tyto
síly sčítat !!!
12F
r
21F
r 1
2
Newtonovy zákony ­ poznámky
Síly, o kterých se v Newtonových zákonech hovoří, jsou tzv. silami pravými
(skutečnými). Tyto síly mají svůj původ ve vzájemném působení hmotných
objektů, řídí se principem akce a reakce a principem superpozice
Předpokládá se, že síla vyvolaná hmotným bodem  působí na bod 
okamžitě a že tyto síly jsou silami centrálními, tj. že působí podél spojnice
bodů  a .
Newtonovy zákony platí pouze pro tělesa, která můžeme nahradit
modelem hmotného bodu.
Na tělesa mohou působit i tzv.zdánlivé síly, které jsou vyvolány zrychleným
pohybem vztažných soustav a které jsou nulové pouze v tzv. inerciálních
souřadných soustavách
proto Newtonovy zákony platí pouze v inerciálních souřadných
soustavách !!!
Newtonovy zákony ­ důsledky
Vypočteme-li časovou změnu momentu hybnosti
pokud platí:
MFr
t
vm
rvm
t
r
t
vmr
t
L rrr
r
rr
rrrr
=×=×+×=
×
=
d
)(d
)(
d
d
d
)(d
d
d
tj. časová změna momentu
hybnosti hmotného bodu je přímo
úměrná výslednému momentu
vnějších sil působících na těleso
0
rr
=F
0
rr
=M
.konstp =
r
.konstL =
r
zákon zachování hybnosti
 zákon zachování momentu hybnosti
Časové účinky silového působení
časové účinky působící síly můžeme charakterizovat následujícími
veličinami:
impuls síly:
impuls momentu síly:
silové účinky
posuvného pohybu( ) ( ) -=
2
1
12d
t
t
S tptptFI
rrrr
silové účinky
otáčivého pohybu( ) ( )12
2
1
d tLtLtMI
t
t
M
rrrr
-= 
* dané veličiny mají souvislost s tzv. ,,nárazovými
silami"
* Čím větší je impuls, a čím menší je doba vzájemného
působení těles, tím vyšší je působící síla F.
( ) ( )
 -
-
=

=
2
1 12
12
d
1
t
t
S
tt
tptp
tF
t
F
rrrr
střední nárazová síla:
t
F
SF
Časové účinky silového působení
střední síla F
km/h901 =v km/h02 =v
s15,0=t
t5,1=m
kN167=&SF
t
mvmv
FS

=
12
čelní náraz
plynulé
zastavení
t
F
SF
km/h901 =v km/h02 =v
t5,1=m
s10=t
N3750=SF
náhlé změny hybnosti
se využívá při kování,
zatloukání, ...
Časové účinky silového působení
Video ­ crash test:
Rychlost 5 km/h Rychlost 60 km/h
Působení setrvačných sil
při obecném pohybu hmotného bodu v pohybující se referenční
soustavě působí na daný bod tzv. zdánlivé (setrvačné) síly
tyto síly souvisí s ,,neinerciálností" pohybující vztažné soustavy
Zvolme si dvě souřadné soustavy:
a) inerciální soustavu I
b) neinerciální soustavu N, která se vůči
soustavě I pohybuje zrychleně
1) posuvný pohyb rychlostí
2) otáčivý pohyb úhlovou rychlostí
)(00 tvv
rr
=
)(t=
rr
Rrr
rrr
+= 0
O
O
P
R
r
0r
r
z
y
x
y
x
z
r
r
Poloha bodu P:
Působení setrvačných sil
změna polohového vektoru bodu P, kterou pozoruje pozorovatel
v inerciální soustavě:
změna polohy bodu P
v důsledku rotace
soustavy úhlovou
rychlostí






×

+







+





=





R
tt
R
t
r
t
r
NII
rrrrr
d
d
d
d
d
d
d
d 0
změna polohy
počátku soustavy I
][0 Rvvv R
rrrrr
×++=
Rychlost bodu P:
It
r
v 





=
d
d 0
0
r
r
- rychlost soustavy N vůči soustavě I
N
R
t
R
v 





=
d
d
r
r - relativní rychlost bodu P vzhledem k soustavě N
][ Rv
rrr
×=
- složka rychlosti vzhledem k otáčení soustavy N
Působení setrvačných sil
zrychlení bodu P, kterou pozoruje pozorovatel v inerciální soustavě:
[ ]
[ ]
I
R
N
R
I
I
R
II
t
R
R
t
v
t
v
t
v
R
tt
v
t
v
t
v
a








×+×

+×+





+





=
=×+





+





=





=
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
0
0
r
rrr
rr
rr
rr
rrr
r
[ ] ( )RRvaaa RR
rrrrrrrrrr
××+×+×++= 20
odCSR aaaaaa
rrrrrr
+++-= 0
[ ]R
t
R
t
R
NI
rr
rr
×+







=







d
d
d
d
pro každý vektor
obecně platí:
zrychlení bodu P v soustavě N :
O
O
P
R
r
0r
r
z y
x
y
x
z
r
r
Působení setrvačných sil
zrychlení bodu P, kterou pozorujeme v neinerciální soustavě N:
odCSR aaaaaa
rrrrrr
+++-= 0
* zrychlení bodu P vůči inerciální soustavě I
* zrychlení počátku soustavy N vůči soustavě I
* zrychlení bodu P vůči neinerciální soustavě N
* zdánlivé setrvačné zrychlení, způsobené
zrychleným rotačním pohybem soustavy N
* tzv. zrychlení Coriolisovo
* zrychlení odstředivé
II t
r
t
v
a 





=





= 2
2
d
d
d
d
rr
r
II t
r
t
v
a 





=





= 2
0
2
0
0
d
d
d
d
rr
r
NN
R
R
t
R
t
v
a 







=





= 2
2
d
d
d
d
rr
r
RaS
rrr
×-=
[ ]RC va
rrr
×-= 2
)()( 2
0 RRRa D
rrrrrrrr
-=××-=
Pohyb v neinerciální soustavě
Pohybová rovnice z hlediska ,,inerciálního" pozorovatele je podle
2.Newtonova zákona
tedy při popisu pohybu bodu P v neinerciální soustavě máme:
k výslednici skutečných sil (např.gravitace, odporové síly,..)
působících na daný objekt je nutno připočíst zdánlivou setrvačnou
sílu:
Fam
rr
=
ma F FR Z
r r r
= +
DCSZ amamamamF 00
rrrrr
+++-=
na hm.bod na povrchu
Země působí tíhová síla
mgG = 2
m/s8066,9=&g
Pohyb v neinerciální soustavě
0a
r
0amFS
rr
-=
gmG
rr
=
Příklad: (zrychlený pohyb autobusu)
setrvačná síla
0amFS
rr
-=

r

odF
mgG =
F
dF
L
R
Příklad: (odstředivý regulátor otáček)
odstředivá síla RmFod
2
=
odd FF
rr
-=dostředivá síla

=

=
cos
2
L
R
mg
Rm
G
Fod

=
cosL
g
Pohyb v neinerciální soustavě
Odstředivka (centrifuga): Centrifugy mohou simulovat
přetížení (hypergravitaci)
používají se též k odstřeďování
a odlučování kapalných látek
(přetížení až několik tisíc g)
Raod
2
=
oda
g
ga >>
Pohyb v neinerciální soustavě
Video ­ Kolotoč
(působení Coriolisovy síly):
Coriolisova síla způsobuje
zakřivení dráhy těles, která se
pohybují v neinerciální soustavě
(nejsou pevně spojená s touto
soustavou)
Vliv Coriolisovy síly na pohyb
se zvyšuje s hmotností těles,
úhlovou rychlostí otáčení
neinerciální soustavy dobou
trvání a rychlostí pohybu.
inerciální soustava rotující soustava
Pohyb v neinerciální soustavě

r
Rv
r
Rv
r

Příklad: (pohyb na zemském povrchu)
[ ]×=
rrr
RC vmF 2Coriolisova síla
rad/s1027,7
2 5-
=

=
T
Coriolisovo zrychlení
je ve většině případů
velice malé oproti
tíhovému zrychlení
= sin2 RC mvF
o
50= t50=m km/h100=Rv
N155=CF
CF
r
směr působení
Pohyb v neinerciální soustavě
Coriolisova síla Coriolisova síla je podstatná
pro pohyb rychle se
pohybujících hmotných
těles (balistické rakety,
letadla,..) nebo pro dlouho
trvající pohyby (vzdušné a
oceánské proudy,..)
Při vypouštění vody z
umyvadla je vliv
Coriolisovy síly za
normálních podmínek
nepodstatný
Úlohy mechaniky hmotných bodů
2 základní typy úloh pro pohyb hmotného bodu se zadanou
hmotností m
A) známe polohu jako funkci času a hledáme výslednici sil
způsobujících změnu pohybového stavu bodu;
B) známe výslednici sil působících na hmotný bod jako funkci polohy,
rychlosti a času a hledáme neznámou polohu jako funkci času a z
té pak určujeme další kinematické veličiny;
)(trr
rr
= ),,( tvrFF
rrrr
=
)(trr
rr
=),,( tvrFF
rrrr
=
Úlohy mechaniky hmotných bodů
Př. ad A): Harmonický pohyb
- chceme nalézt sílu působící na harmonicky oscilující hmotný bod
tAjtr = sin)(
rr
)(sin
d
)(d 22
2
2
trmtmAj
t
tr
mF
rrrr
-=-==
výsledek získáme
dvojnásobným derivováním
funkce polohy podle času
F
rm
F
r
m
Úlohy mechaniky hmotných bodů
Př. ad B): Šikmý vrh (bez odporu prostředí)
- chceme nalézt trajektorii, po které se nám bude hm.bod pohybovat v prostoru
- známe počáteční rychlost v0 a směr výstřelu  Počáteční podmínky
),,()( 0000 zyxtr =
r
),,()( 0000 zyx vvvtv =
r
gmF
rr
=- výsledná působící síla:
),0,0( gg -=
r
- pohybová rovnice:
výsledek získáme řešením
diferenciální pohybové
rovnice (2.Newtonův zákon)
gm
t
tv
m
t
tr
m
r
rr
==
d
)(d
d
)(d
2
2
tgvv
rrr
+= 0rychlost:
Hmotný bod se
pohybuje po parabole
2
00
2
1
tgtvrr
rrrr
++=
m/s30=v
o
30=
m9,22max =z
m7,91max =y
Úlohy mechaniky hmotných bodů
2
0
2
1
sin gttvz -=
tvy = cos0
Šikmý vrh
max.
výškag
v
z
2
sin2
0
max

=
g
v
t

=
sin0
0sin
d
dz
0 =-= gtv
t
max.
doletg
v
y

=
cossin2 2
0
max
g
v
t

=
sin2 0
0=z
Úlohy mechaniky hmotných bodů
Příklad: Pohyb rakety (proměnná hmotnost)
- chceme nalézt trajektorii, po které se nám bude pohybovat v prostoru objekt
s časově proměnnou hmotností m(t)
- Vůči nějaké inerciální soustavě se raketa se pohybuje rychlostí v a spalované
plyny rychlostí w
- Za čas dt vzrostla rychlost rakety o dv a hmotnost se zmenšila o dm: (dm>0)
* Hybnost v čase t+dt: ( )( ) mdvvdmvmmwvvmmp R
rrrrrrr
++++-= ddd
* Změna hybnosti za čas dt:
vwvR
rrr
-=
vmmvppp R
rrrrr
ddd +=-=
* Pohybová rovnice rakety: F
t
v
m
t
m
v
t
p
R
rr
r
r
=+=
d
d
d
d
d
d
Výsledná vnější
působící síla,
např.gravitace
relativní rychlost
RFFam
rrr
+=
pohybová rovnice hmotného
bodu s proměnnou hmotností. t
m
vF RR
d
drr
-=
reaktivní síla, která
urychluje nebo
brzdí daný objekt
RF
r
Rv
r
Úlohy mechaniky hmotných bodů
Video ­ start rakety:
Úlohy mechaniky hmotných bodů
start rakety - přetížení