^ silové pole v mechanice je vektorové pole charakterizované tzv. intenzitou silového pole (intenzitou síly): Ě = — [ms 2] m intenzita je totožná se zrychlením, které silové pole v daném místě udělí libovolnému tělesu Silové pole pohyb těles F = F(r,t) r = r (t) Silové pole působí tedy na volné hmotné objekty tak, že je uvede do pohybu. Síla, která přemístí určité těleso z jedné polohy (A) do polohy jiné (B), koná práci: Práce A je skalární veličina, která závisí obecně nejen na počátečním a koncovém bodu dráhy, ale i na tvaru trajektorie L. Práce při přímočarém pohybu: A = F s-cos a v * Časová změna práce, která je konaná danou silou F, se nazývá okamžitý výkon i5 Mechanická účinnost stroje: > Výkon síly - měří se vykonanou prací za čas :> Příkon - měří se dodanou energií za čas Energie W * skalární veličina, která charakterizuje stav tělesa nebo hm.bodu ^ je mírou schopnosti těles konat práci & změna energie W je rovna práci vnějších sil A AW = W2-Wl=A] L12 práce konaná silou F při pohybu: • Kinetická energie WK hmot.bodu: Wv =—mv K * Příklad: - Auto o hmotnosti m = 1000 kg zrychlí z 0 na 100 km/hod za At = 1 s. Určete zrychlení a, vykonanou práci A a výkon motoru P auta? Zanedbejte odporové síly a uvažujte, že zrychluje rovnoměrně. zrychlení v a = — = 3,97 m/s2 Áí Práce, výkon 1 9 A = AEU =—mv áA dv mv 1imw r = — = mv — = mv • a =-----= 110 kw át át At 199�199�1994�9945994 Konzervativní silové pole Konzervativní silová pole (pole konzervativní síly) práce závisí pouze na počáteční a koncové poloze tělesa a nikoliv na tvaru trajektorie. přemístíme-li těleso po uzavřené křivce Z, pak vykonaná práce je nulová, tj. platí ^^r _____^____ _0Í) --------------;--------------1 U = cfÍF-dr)=( např. gravitační síla, I____*_______ resp. elastická síla je konzervativní (^ \ = (^ )n - mají dvě základní vlastnosti: a) jsou potenciálová, tj. jejich intenzita může být vyjádřena pomocí skalární funkce (zvané potenciál silového pole) b) jsou stacionární, tj. síla ani potenciál silového pole nezávisí na čase. ale pouze na poloze Konzervativní silové pole 4> Jestliže do určitého bodu v silovém poli, jehož potenciál v tomto bodě je q>, vložíme hmotný bod o hmotnosti m reprezentující těleso, získá toto těleso potenciální (polohovou) energii W : potenciální energie W = mcp závisí pouze na poloze v silovém poli 4> Potenciální energii mají pouze tělesa v poli konzervativních sil. An=-AWp=AWk í> a Úbytek potenciální energie lze vyjádřit jako práci A12 potřebnou na přemístění tělesa z pozice 1 do pozice 2 wkl + wpl = wk2 + wp2 í> 1 2 Wk + W = — mv + mcp = konst. Pro konzervativní silové pole platí zákon zachování mechanické energie Konzervativní silové pole & Příklad: - Do jaké teoretické výšky nám vyletí míček o hmotnosti m = 0,5 kg, který vrhneme s počáteční rychlostí v = 20 m/s svisle vzhůru v homogenním tíhovém poli Země a jakou rychlostí v dopadne zpět? Tíhové zrychlení Potenciální energie g = 9,81 m/s2 Wp=mgh Zákon zachování mech.energie M///////////////////?ž^ffi. Dopadová rychlost v = v0 = 20 m/s ^1+^1=^2+^2 1 2 — mv +0 = 0 + mgh \ 2 h = ^20,4m 2g Nekonzervativní silová pole: ^ na těleso působí i tzv.nekonzervativní síly (tření, odporové síly), které již nejsou funkcí pouze polohy, ale závisí na rychlosti, se kterou se těleso pohybuje ?* ?* _ ^ . nnr ľ J J F = F (r,v,t) Out ^ vliv těchto sil vede k tzv. disipaci energie, tj. k přeměně mechanické energie Wna teplo Q. AWk=-AWp + Au > w2-w,=42 v poli nekonzervativních sil neplatí zákon zachování mechanické energie Síly tření: 4> tření - jev vyvolaný interakcí mezi dotýkajícími se tělesy ^ projevuje se vznikem třecích sil, působících proti vzájemnému pohybu dotýkajících se těles (částí látky) ^ závisí na vlastnostech těles a) vnitřní tření vzniká při vzájemném posouvání částí téže látky (např. kapaliny) vznik tečných sil proti směru posuvu (souvisí s viskozitou látek) b) vnejsi trení vzniká mezi pevnými tělesy, které se navzájem dotýkají a která jsou k sobě přitlačována určitou silou působí proti směru vzájemného pohybu těles (např. smykové a valivé tření,...) Odporové síly: v F0=FJv) = — (A + Bv + Cv'+...) V F F„ R rovnoměrný pohyb po nakloněné rovině o sklonu cp SMYKOVÉ TŘENÍ l^s H Sklo-sklo 0,94 0,4 Ocel-ocel 0,3 0,25 Kov-dřevo 0,6 0,2-0,6 Pneu-beton 0,9 0,7 Dřevo-dřevo 0,45-0,6 0,2-0,48 Ocel-led 0,27 0,014 VALIVÉ TŘENÍ ^ [cm] Pneu-asfalt 0,025 Pneu-beton 0,015 Pneu-písek 0,5 Ocel-ocel 0,005 Dřevo-dřevo 0,05 Kuličková ložiska 0,0005 Příklad: (automobil v zatáčce) - určete maximální průjezdovou rychlost Poloměr zatáčky: podmínka rovnováhy sil: G = mg Fo = mv Ir T = \x{G2 + Fol) r = 50 m Gl+T = F0l Gsinoc + ji(Gcosoc + Fo siná) = Fo cosa ö v(a) = rg(sina + jicosa) cosa-jisina a, = 5° ^> vlmax = 50,2 km/h a2 = 0° ^=^> v2,max = 43,7 km/h a3=-5° ^=^> v3,max= 36,3 km/h Trecí sily Příklad: (výkon automobilu) - automobil jede rovnoměrně do kopce m = 1500 kg rychlost: sklon: v = 60 km/h ß = 10% oc = arctg(ß/100) = 5,7c poloměr kola: valivé tření: r = 500 mm č, = 30 mm odpor vzduchu: 2„2 k = 0,7 NnTs G = mg \, \ F \ 2 -4- F = Fl+Ft + Fo= mg sin a + ^rmg cos a + W výkon automobilu: P = Fv = 3UkW Trecí sily Příklad: (parašutista) - na parašutistu působí výsledná sila vztlak zanedbáme F=G-F-F x vz \7 <^=^ E„ « G vz tíhová síla G = (ml+m2)g 1 odporová sila Fx = —pCxSv' Á* bez padáku C' = 0,4 S' = 0,3 m: x w' s padákem C, = 1,3 s = Tíď = 113,1 m max. pádová rychlost F = 0 \2(ml+m2)g ^ SCxp ^ v' = 122 m/s v = 3,48 m/s p = 1,29 kg/nr Příklad: (pádová rychlost v prostředí) s odporem vzduchu vi = 2mg bez odporu max. pádová rychlost vl = = 3,9 m/s \2pvVg ÍscxP V2: = sj2gh = 242 m/s V2 = A 2§h h = 3000 m Cx = 0,6 S - 50 mm2 V - 30 mm3 p = 1,29 kg/m3 pv= 1000 kg/m3 - Kapky deště: 4 Newtonův gravitační zákon: „Mezi dvěma tělesy o hmotnostech ml a m2, které jsou od sebe vzdáleny o r, působí stejně velké síly vzájemné přitažlivosti, jejichž velikost je přímo úměrná součinu hmotností ml a m2 a nepřímo úměrná čtverci vzdáleností r ". F12=-K—4^-A- =-K—4^- a:- gravitační konstanta 6,67-10-11 kg_1.m3.s~2 ^21 — M2 O gravitační sílaje síla přitažlivá a centrální gravitační síla je silou konzervativní a může být proto charakterizována intenzitou E a potenciálem (p ^ intenzita gravitačního pole: ^ potenciální energie: W = my = -k mM & vztahy pro potenciál a intenzitu hmotného bodu platí též pro tělesa kulového tvaru se středově symetrickým rozložením hmoty (přibližně např.Země) Gravitační pole Země: 4> Země má velmi přibližný tvar koule (geoid) ♦ poloměr: R = 6378-103 m 0 hmotnost: mz = 5,98-1024 kg velikost gravitačního zrychlení v nadmořské výšce h: a„ = E = k Mr {R + hf h = 0 > Potenciální energie tělesa v nadmořské výšce h: mzm AW=WJR + h)-WJR) = -K-^— + K- p p p R+h m7m _>,( 1 = mgR R 1 ^ V R R + h = mg h J l + h/R h« R AWp=mgh <^ platí přibližně v blízkosti povrchu Země ^Příklad (Gravitační síla mezi Zemí a Měsícem): Jakou silou na sebe vzájemně působí Země a Měsíc? Jaké je gravitační zrychlení na Měsíci? Vzdálenost obou těles je přibližně d = 380000 km mm — m 81 í> iL- ^z Gravitační síla: F =k"Ä^2-1020N 8 d2 m 24 mz=5,98-10Z4kg #z=6378-10'm u Gravitační zrychlení (Měsíc): mm 16 m7 16 , _. . 2 <2m = k—?- = — K^r = — aa= 1,94 m/s Rl 81 ^ 81 s ^ Tíha - síla, která uděluje tělesu zrychlení volného pádu ^ na povrchu Země je dána vektorovým součtem gravitační síly a síly odstředivé (vyvolané rotací Země) G = mg = F+Fc g od a , = (ú2r «a re (0, R) 4* tíhové zrychlení - závisí na zeměpisné šířce zploštění Země,... zeměpisný pól i---- í> g = 9,83 m/s' rovník ■ 45° severní šířky ■ O O g = 9,79 m/s: on o = 9,80665 m/s tíhové pole blízko povrchu Země lze považovat za homogenní h«R cp = gh AW = mgh soustavu spojenou s povrchem Země lze přibližně považovat za inerciální cd = 7,29-10"5 rad/s úhlová rychlost rotace Země Keplerovy zákony: 1) Planety obíhají kolem Slunce v elipsách málo odlišných od kruhu, v jejichž společném ohnisku je Slunce. 2) Plochy opsané průvodičem planety ve stejných dobách jsou stejné (plošná rychlost je konstantní). 3) Druhé mocniny oběžných dob planet jsou v témže poměru jako třetí mocniny velkých poloos jejich drah. m„ « Mv "=> s ^ Pro pohyb těles v gravitačním poli platí pohybové rovnice: á2r -m, —t- = F = ■0 Kruhová (první kosmická) rychlost: m v v KMm m— = = am O v,=A= J* *2 (i? + Ä) Ä «i? v^. « 7,9 km/s xs ■0 Parabolická (druhá kosmická) rychlost: 2 r O v,= 2kM = J 2g^ » V2v, =11,2 km/s (i? + Ä) ■^ Třetí kosmická rychlost: vfô « 29,8 km/s - parabolická úniková rychlost z působení v^ = 4lvkS - vkS = 12,3 km/s gravitačního pole Země a Slunce V______________________/ ^r 1 2 1 2 1 2 — mvo =— mv,o + — mv„ 2 2 2 * í> v3«A/v^ + vJ = 16,4 km/s Z Pohyb teles v gravitačním poli Zeme Příklad: (družice) - určete výšku družice při době oběhu T Fd=Fs 1 mv mM _________ — xr_____________ R + h (R + h)2 i 47ť rji2 (R + h) = gR- 1 (R + hy obvodová rychlost v = (ú(R + h) = — (R + h) \ Pohyb teles v gravitačním poli Příklad: (pád Země na Slunce) - určete přibližně, za jak dlouho by Země spadla na Slunce, kdyby byla zastavena na své oběžné dráze Tz = 365 dnů Keplerův zákon T. r a3 (A/iy konst. H ^ A j Pohyb teles v gravitačním poli Příklad: (Haleyova kometa) - určete přibližně, jaká je vzdálenost Haley o vy komety v afeliu, jestliže v roce 1986 v periheliu byla vzdálenost R = 8,9-1010m. T = 76 let Keplerův zákon T2 ~ A3 Lz ^z V A=150-109m z ,R T 12 A = AA\jz = 2,7-10"m ^ ■v A 12 Ra=2A-R = 5,3-l(rm J Z Pohyb teles v gravitačním poli Zeme Video - beztížný stav SKYLAB (1973-1979) - výška 435 km nad povrchem Země *£- Z Pohyb teles v gravitačním poli Zeme Letadlo Zero-G pro simulaci krátkodobého beztížného stavu