Masarykova univerzita v Brně Ekonomicko-správní fakulta Statistika distanční studijní opora Marie Budíkova Brno 2004 Socrates Grundtvig Tento projekt byl realizován za finanční podpory Evropské unie v rámci programu SOCRATES — Grundtvig. Za obsah produktu odpovídá válučné autor, produkt nereprezentuje názory Evropské komise a Evropská komise neodpovídá za použití informací, jez jsou obsahem produktu. This project was realized with financial support of European Union in terms of program SOCRATES — Grundtvig. Author is exclusively responsible for content of product, product does not represent opinions of European Union and European Commission is not responsible for any uses of informations, which are content of product Statistika Vydala Masarykova univerzita v Brne Ekonomicko-správní fakulta Vydá n í pilotn í verze Brno, 2004 RNDr. Marie Bud íková , Dr. Publikace neprošla jazykovou úpravou Identifikace modulu Znak ■ KMSTAT Nazev ■ Statistika Garant/autor ■ RNDr. Marie Budíková, Dr. Statistika jako metoda analýzy dat patrí k vedním disciplínám, v nichž by mel být vzdeian každý ekonom. Její role v ekonomii je zcela nezastupitelna, nebot' moderní rízení je založeno na nepretržitem vyhodnocovýní informací o hospodírství jako celku i jeho subsystemech, a tyto informace poskytuje a nísledne zpracovava príve statistika. Primerena znalost zakladních statistickych pojmu je pro ekonoma dulezita take proto, ze mu pournlm porozumet odborne ekonomicke literature, jejízz nektere casti statistiku v hojne míre vyuzívají. Vyznam statistiky v poslední dobe neustale roste, coz uzce souvisí s rozvojem vypocetní techniky, ktera je pouzívína jak pri sberu a prenosu dat, tak pri jejich zpracovaní a uklí-dím informací. Dovednosti a znalosti získané po studiu textu Predmet „Statistika" vís nm predevsím naucit zpracovívat data, kterí se tíkají ekonomi ckích jevu, tj. data trídit, numericky vyhodnocovat a interpretovat. Velke mnozství príkladu, které jsou soucastí ucebního textu, vam pomuze pri formulovaní vlastních íloh a víberu spravne metody. Nauďte se rovnez vyuzívat vypocetní techniku pri résení ekonomickych problemu. Časový plán Časová náročnost ■ prezenční část 22% ■ samostudium 78% celkový studijní čas ■ 14 tádnu Harmonogram ■ prednaSky 24 hodin ■ samostudium a prace s počítačem 85 hodin 3 doporučená literatura: [1] Anděl J.: Matematická statistika. SNTL/Alfa Praha 1978. [2] Arltová M., Bílková D., Jarošová E., Pourová Z.: Sbírka přákladů ze statistiky (Statistika A). VŠE Praha 1996. [3] Budíková M., Mikoláš ě., Ošecký P.: Popisná statistika. MU Brno 2001. [4] Budíková M., Mikoláš ě., Ošecká P.: Teorie pravděpodobnosti a matematicka statistika. Sbírka príkladu. MU Brno 2001. [5] HebÁk P., KahounovÁ J.: Pocet pravdepodobnosti v prákladech. SNTL Praha 1978. [6] Karpíšek Z.: Pravdepodobnostná metody. VUT Brno 2000. [7] Karpíšek Z., Drdla M.: Statistické metody. VUT Brno 1999. [8] NovoviěOVÁ J.: Pravdřpodobnost a matematická .statistika. (ČVUT Praha 2002. [9] Stuchlý J.: Statistika I. Cvičená ze statistickájch metod pro managery. VSŠE Praha 1999. Vybavení ■ PC ■ CD-ROM Navod prace se studijními texty Text je rozvržen do 13 kapitol a 2 príloh. 1. az 4. kapitola se zabývají popisnou statistikou. Popisna statistika je disciplína, ktera pomočí ruznáčh tabulek, grafu, funkčionalníčh a číselnáčh charakteristik sumarizuje informace obsaŠzeníe ve velkíem mnoŠzstvíí dat. PouŠzíívaí jen zíakladníí matematičkíe operače a lze ji snadno počhopit. Její dulezitost spočíví jednak v tom, ze se v praxi velmi Ščasto pouŠzívía a jednak motivuje pojmý, kteríe jsou potŠreba v poŠčtu pravdŠepodobnosti. 5. aŠz 10. kapitola vías sezníamí s poŠčtem pravdŠepodobnosti, kteríý se zabíývía studiem zíakonitostí v níahodnýíčh pokusečh. Matematičkíými prostŠredký modeluje situače, v ničhŠz hraje roli níahoda. Pod pojmem níahoda rozumíme působení faktoru, které se zivelne mení pri ruznýčh provedeníčh téhoz pokusu a nepodlíehají naŠsí kontrole. 11. az 13. kapitola obsahují zakladní poznatky o matematičke statističe. Ma-tematičkaí statistika je vŠeda, ktería analýzuje a interpretuje data pŠredevŠsím za učelem získíní predpovedi a zlepsení rozhodovíní v ruzníčh oblastečh lidske Ščinnosti. PŠri tom se Šrídí prinčipem statističkíe indukče: na zíakladŠe znalostí o níahodníem výíbŠeru z urŠčitíeho rozloŠzení pravdŠepodobností se snaŠzí odvodit vlastnosti tohoto rozloŠzení pravdŠepodobností. PŠríloha A je tvoŠrena výbraníými statističkíými tabulkami, konkríetnŠe obsahuje hodnotý distribuŠční funkče standardizovaníeho normíalního rozloŠzení, kvantilý 4 standardizovaného normálního rozložení, Pearsonova rozložení x2(n), Studentova rozložení t(n) a Fisherova-Snedecorova rozložení F(ni,n2). Príloha B pak obsahuje informace o programovem systemu STATISTICA a podrobne nívody na jeho pouzití. V Úvodu 1. az 13. kapitoly je vzdy vymezen cíl kapitoly a je uvedena casova zatez, ktera je potrební ke zvladnutí príslušne kapitoly. Kapitoly jsou uzav-reny stručným shrnutím probrane lítky a kontrolními otazkami a íkoly. Ty ukoly, jejichz resení je nutne ci alespoň vhodne provadet pomocí systemu STATISTICA, jsou oznaceny (S). Vísledky ukolu muzete porovnat s vísled-ky, k nimz dospela autorka ucebního textu. 1. az 13. kapitola jsou usporadany v logickem sledu. Do prílohy A budete nahlízet podle potreby a príloha B vam poslouzí rovnez prubezne. 5 Obsah Obsah 1. Základní, výběrový a datový soubor...............................................13 2. Bodově a intervalově rozložení četností...........................................21 3. Číselně charakteristiky znakU......................................................39 4. Regresní prímka....................................................................49 5. Jev a jeho pravdepodobnost.......................................................57 6. Stochastický nezavisle jevý a podmínena pravdepodobnost.....................65 7. Nahodna veličina a její distribuční funkce.........................................71 8. Výbrana rozložení diskretních a spojitých nahodných velicin.....................85 9. (Číselne charakteristiký nahodných velicin........................................97 10. Zakon velkých císel a centrální limitní veta.......................................111 11. Zakladní pojmý matematicke statistiký...........................................117 12. Bodove a intervalove odhadý parametru a parametrických funkcí...............123 13. Úvod do testovaní hýpotez a testý o parametrech normalního rozlození........137 Príloha A - Statisticke tabulký.........................................................147 Príloha B - Zakladní informace o programu STATISTIČA 6............................163 8 Úvod Úvod Proč se zabývat statistikou? Statistika je metoda analýzy dat, která nachází široké uplatnění v cele řadě ekonomických, technických, prírodovedných a humanitních disciplín. Její význam v poslední dobe neustale roste, coz ýzce souvisí s rozvojem výpocetní techniky, ktera je pouzívana jak pri sberu a prenosu dat, tak pri jejich zpracovaní a ukladíní informací. Role statistiky v ekonomii je zcela nezastupitelna, nebot' moderní rízení je založeno na nepretržitem vyhodnocovaní informací o hospodarství jako celku i jeho subsystemech, a tyto informace poskytuje a nasledne zpracovava prave statistika. Primerena znalost zakladních statistickích pojmu je pro ekonoma dulezita take proto, ze mu pomaha porozumet odborne ekonomicke literature, jejízz nektere (časti statistiku v hojne míre vyuzívají. Aplikovat statistiku znamení shromazd'ovat data o studovanych jevech a zpracovávat je, tj. trídit, numericky vyhodnocovat a interpretovat. Statistika se tak pro ekonoma ocita v tesnem sousedství informatiky a vípocetní techniky a je pripravena resit ekonomicke problemy pomocí kvantitativní analyízy dat. 10 Způsob studia ZpUsob studia Co lze očekavat od tohoto textu? V predmetu „Statistika" se budeme zabívat tremi oblastmi statistiky, a to popisnou statistikou, poctem pravdepodobnosti a matematickou statistikou. Popisná statistika je disciplína, ktera pomocí ruznych tabulek, grafu, funkcionílních a císelních charakteristik sumarizuje informace obsazene ve velkem mnozství dat. Pouzíví jen zakladní matematicke operace a lze ji snadno pochopit. Její dulezitost spocíva jednak v tom, ze se v praxi velmi casto pouzíva a jednak motivuje pojmy, ktere jsou potreba v poctu pravd epodobnosti. PoCet pravděpodobnosti se zabyva studiem zakonitostí v nahodních pokusech. Matematickymi prostredky modeluje situace, v nichz hraje roli nahoda. Pod pojmem nahoda rozumíme pusobení faktoru, ktere se zivelne mení pri razních provedeních tehoz pokusu a nepodlehají nasí kontrole. Matematická statistika je veda, ktera analyzuje a interpretuje data predevsím za ucelem získaní predpovedi a zlepsení rozhodovaní v ruznych oblastech lidske cinnosti. Pri tom se rídí principem statisticke indukce: na zýklade znalostí o nahodnem vyberu z urciteho rozlození pravdepodobností se snazí odvodit vlastnosti tohoto rozlození pravdepodobností. K uspesnemu zvlídnutí predmetu „Statistika" je zapotrebí ovlídat kombinatoriku, zaklady diferencialního a integrílního poctu jedne a dvou promenních a znat zýkladý prace s osobním pocítacem. Velmi ucinním prostredkem pro resení statistickích uloh je programoví system STATISTICA, jehoz instalacní CD je soucastí studijních materialu. Informace o tomto systemu a podrobne navody na jeho pouzití jsou uvedeny v príloze B studijních materialu. Príklady ci ukoly, jejichz resení je nutne ci alespon vhodníe provaíd et pomocíí systíemu STATISTICA, jsou ozna ceny (S). P rííloha A obsahuje vybraníe statistickíe tabulky, konkríetn e hodnoty dis-tribu cníí funkce standardizovaníeho normaílníího rozlo zeníí, kvantily standar-dizovaneho normílního rozlození, Pearsonova rozlození x2(n), Studentova rozlození t(n) a Fisherova-Snedecorova rozlození F(n\,n2). Vsechny tyto tabelovane hodnoty (a samozrejme mnohe dalsí) lze získat pomocí systemu STATISTICA. 12 I 1 Základní, výběrový a datový soubor 1. Základní, výběrový a datový soubor I Cíl kapitoly Po prostudovaní teto kapitoly budete umet: vymezit zaíkladní soubor a jeho objekty stanovit vyíbňerovíy soubor spoňcítat absolutní a relativní ňcetnosti mnoňzin ve vyíbňerovíem souboru a znaít vlastnosti relativní ňcetnosti a podmínňeníe relativní ňcetnosti ovňeňrit ňcetnostní nezaívislost dvou mnoňzin ve vyíbňerovíem souboru vytvoňrit datovíy soubor uspoňraídat jednorozmňerníy datovíy soubor a stanovit vektor variant vypoňcítat absolutní a relativní ňcetnost jevu ve víybňerovíem souboru Casova zatěž Pro zvlídnutí teto kapitoly budete potrebovat 4-5 hodin studia. Nejprve se seznamíme s definicí zakladního a vyberoveho souboru a pojmem absolutní a relativní cetnosti mnoziny v danem vyberovem souboru. Uvedeme príklad, s jehoz ruzními variantami se budeme setkavat ve vsech kapitolích venovaních popisne statistice. Rovnez shrneme vlastnosti relativní cetnosti. 1.1. Definice Zakladním souborem rozumíme libovolnou neprízdnou mnozinu E. Její prvky znacíme e a nazyvame je objekty. Libovolnou neprízdnou podmnozinu [e1,... ,en] zakladního souboru E nazyvame výběrový soubor rozsahu n. Je-li G C E, pak symbolem N (G) rozumíme absolutní četnost mnoziny G ve víberovem souboru, tj. pocet tech objektu mnoziny G, ktere patrí do víberoveho souboru. Relativní četnost mnoziny G ve víberovem souboru zavedeme vztahem n 1.2. Příklad Zakladním souborem E je mnozina vsech ekonomicky zamerenych studentu 1. rocníku ceskích vysokích skol. Mnozina G1 je tvorena temi studenty, kterí usp eli v prvníím zku sebníím termíínu z matematiky a mno zina G2 obsahuje ty studenty, kte ríí usp eli v prvníím zku sebníím termíínu z angli ctiny. Ze zíakladníího souboru bylo nahodne vybrano 20 studentu, kterí tvorí víberoví soubor {e1,... ,e2o). Z techto 20 studentu 11 uspelo v matematice, 15 v anglictine a 11 v obou predmetech. Zapiste absolutní a relativní cetnosti uspesnych matematiku, anglictiníru a oboustranne uspesních studentu. Řešení: N(Gi) = 12, N(G2) = 15, N(Gi n G2) = 11, n = 20 = ^ = 0,6, p(G2) = 0,75, p(Gi n G2) = ^ = 0,55 14 Vidíme, že úspěšných matematiků je 60%, angličtinářů 75% a oboustranně úspěšných studentů jen 55%. 1.3. Věta Relativní četnost ma nýsledůjících 12 vlastností, ktere jsou obdobne vlastnostem přocent. ■ p(0) = O ■ p(G) > 0 ■ p(G1UG2)+p(G1r\G2)=p(G1)+p(G2) m l+p(GlnG2)>p(Gl)+p(G2) ■ p(G1UG2)• p(Gl) < p(G2) m P(E) = 1 _ ■ p{G)+p{G) = 1 ■ P(G) < 1 Pokud se v danem žýkladním souborů žajímýme o dve podmnožiny, můžeme žavest pojem podmínene relativní četnosti jedne podmnožiny v danem vý-berovem souborů ža předpokladů, že objekt pochaží ž druhe podmnožiny. V nýsledujícím príkladu výpocteme podmínene relativní cetnosti ůspesných matematiků meži ůspesnými anglictinari a naopak. 1.4. Definice Necht' E je žýkladní soubor, G\, G2 jeho podmnožiny, {e\,..., en] výberový soubor. Definujeme podmíněnou relativní četnost množiny Gi ve víberovem souborů ža predpokladu G2: !n lri ,_N(G1nG2) _P(G1nG2) P{GllG2) N(G2) p{G2) a podmíněnou relativní četnost G2 ve víberovem souborů ža predpokladu G1: ín .„ , iV(GinG2) _P(G1nG2) 1.5. Příklad Pro ůdaje ž príkladu 1.2 výpoctete podmínenou relativní cetnost ůspeSných matematiků meži uspesními anglictinari a podmínenou relativní cetnost ů- spesných anglictinarů meži ůspeSnými matematiký. IŘěšění: p(G\\G2) = y| = 0,73 (tzn., že 73% těch studentů, kteří byli úspěšní v an-glictine, uspelo i v matematice) 15 1. Základní, výběrový a datový soubor I p(G2|Gi) 11 12 0,92 (tzn., ze 92% tech studentů, kteří byli úspěšní v ma- tematice, uspelo i v angličtine) Nyní se naučíme, jak oveřovat četnostní nezúvislost dvou mnoZin v danem vúbeřovem souboru. Znamena to, Ze informace o puvodu objektu z jedne mnoZiny nijak nemení sance, s nimiz soudíme na jeho puvod i z dřuhe mnoziny. Oveříme, zda uspech v matematice a anglictine jsou v danem vy-beřovem soubořu cetnostne nezavisle. 1.6. Definice Řekneme, ze mnoziny G1,G2 jsou cetnostne nezávislé v danem vybeřovem soubořu, jestli ze p(Gi n G2)= p(Gi) • p(G2). (V přaxi jen zřídka dojde k tomu, ze uvedení vztah platí přesne. Vetsinou je jen nazna cena uř citía tendence cetnostníí nezíavislosti.) 1.7. Příklad Přo udaje z příkladu 1.2 zjistete, zda uspechy v matematice a anglictine jsou v daníem vyíb eřovíem soubořu cetnostn e nezíavislíe. Řešení: p(G1 n G2) = 0,55, p(G1) • p(G2) = 0,6 • 0,75 = 0,45, tedy skutecní řelativní cetnost oboustřanne úspeSnúch studentu je vetsí nez by odpovídalo cetnostní nezavislosti mnozin G1, G2 v danem víbeřovem sou-bořu. Nyníí ka zdyí objekt zíakladníího soubořu ohodnotííme jedníím nebo vííce cíísly pomocí funkce, kteří se nazyví znak. Císla, kteří se vztahují pouze k objektum vyíb eřovíeho soubořu sestavííme do matice zvaníe datovyí souboř. Vystv etlííme si, co to je uspořadany datovy souboř a vektoř vařiant. Uvedene pojmy ob-jasnííme na p řííkladu. 1.8. Definice Necht' E je zakladní souboř. Potom funkce X : E — R, Y : E — R, ..., Z : E — R, kteře kazdemu objektu přiřazují císlo, se nazývají (skalární) znaky. Uspořadana p-tice (X, Y,..., Z) se nazyva vektořovy znak. 1.9. Definice Necht' je dan vybeřoví souboř ..., en} C E. Hodnoty znaku X, Y,..., Z přo i-tí objekt oznacíme Xj = X(e), y = Y(e), ..., z = Z(e), i = 1,..., n. Matice X1 V1 X2 y2 Z1 Z2 16 typu n x p se nazyva datoví soubor. Její radky odpovídají jednotlivym ob-jektum, sloupce znakum. Libovolny sloupec teto matice nazyvíme jednorozměrným datovým souborem. Jestlize usporadíme hodnoty nektereho znaku (napr. znaku X) v jed-norozmernem datovem souboru vzestupne podle velikosti, dostaneme uspořádaný datový soubor rx(i) I kde x(1) < x (2) < • • • < x (n). Vektor X (n) X[1] x[n] kde x[1] < • • • < x[r] jsou navzíjem ruzne hodnoty znaku X, se nazyva vektor variant. 1.10. Příklad Pro studenty z víberoveho souboru u vedeneho v príkladu 1.2 byly zjist'ovany hodnoty znaku X - znamka z matematiky v prvním zkusebním termínu, Y - znamka z anglictiny v prvním zkusebním termínu, Z - pohlaví studenta (0 ... zena, 1... muz). Byl získan datoví soubor 3 1 4 0 4 4 1 3 3 1 1 4 440 440 441 130 Utvorte jednorozmerní usporadaní i neusporadaní datovy soubor pro znam-ky z matematiky a vektory variant pro znamky z matematiky. 17 1. Základní, výběrový a datový soubor V závěrečné partii této kapitoly se seznámíme s pojmem jevu a jeho absolutní a relativní četnosti. V nasledujíčím príkladu vypočítame konkretní absolutní a relativní četnosti nekolika jevu. 1.11. Definice Nečht' {či, ..., £„} je výberový soubor, X, Y,..., Z jsou znaky, B, B1,..., Bp jsou číselne množiny. Zapis {X G B} znamena jev „znak X nabyl hodnoty z množiny B" a zapis {X G Bi A Y G B2 A ...Z G Bp} znamená jev „znak X nabyl hodnoty z množiny B1 a současně znak Y nabyl hodnoty z mnoZiny B2 atd. az znak Z nabyl hodnoty z množiny Bp". Symbol N (X G B) značí absolutní četnost jevu X G B ve víberovem souboru, tj. počet tečh objektu ve víberovem souboru, pro nez x G B. Symbol p(X G B) znamená relativní četnost jevu {X G B} ve vyberovem souboru, tj. v(x e B) = mi*. n Analogičky N (X G B1 A Y G B2 A • • • A Z G Bp) resp. p(X G B1 A Y G B2 A • • • A Z G Bp) znamení absolutní resp. relativní četnost jevu {X G B1 A Y G B2 A • • • A Z G Bp} ve víberovem souboru. 1.12. Příklad Pro datovy soubor z príkladu 1.10 najdete relativní četnost a) matematičkíčh jedničkaru, b) uspesnyčh matematiku, 18 c) oboustranně neúspěšných studentů. Řešení: ad a) p{X = 1) = = 0,35; ad b) p{X < 3) adc) p(X = 4Aľ = 4) = |r = 0,20. 12 _ 20 0,60; Shrnutí kapitoly Předmětem statistického zajmu není jednotlivý objekt, nýbrž soubor objektů, tzv. zýkladní soubor. Zpravidla není možne výsetřovat vsechný objekty, ale jenom urCitý poCet objektu, ktere tvorí výberový soubor. Tý prvký zakladního souboru, ktere výkazují urCitou spoleCnou vlastnost, tvorí mnozinu. Statistik zkouma absolutní a relativní Četnost mnoziný v danem výberovem souboru. Zajímají-li nas ve výberovem souboru dve mnoziný, muzeme zkoumat výskýtý objektu z jedne mnoziný mezi objektý pochýzejícími z druhe mnoziný. Tým dospávame k pojmu podmmene relativný cetnosti. Rovnez lze overovat cetnostní nezavislost techto dvou mnozin v danem výberovem souboru. Cetnostní nezavislost vlastne znamena, ze informace o puvodu objektu z jedne mnoziný nijak nemení sance, s nimiz soudíme na jeho puvod z druhe mnoziný. Kazdemu objektu zakladního souboru lze pomocí funkce zvane znak priradit císlo (nebo i více císel). Pokud hodnotý znaku pro objektý daneho výberoveho souboru usporýdame do matice, dostavame datový soubor. Libovolný sloupec teto matice tvorý jednorozmerný datový soubor, který muzeme usporadat podle velikosti a výtvorit tak usporadaný datový soubor nebo z nej zýskat vektor variant. Jevem rozumýme skutecnost, ze znak nabýl hodnotý z nejake Císelne mnoziný. Muzeme zkoumat absolutný a relativný cetnost jevu v danýem výýb erovýem souboru. Kontrolní otazky a Úkoly 1 Uved'te príklad zakladního souboru z ekonomicke praxe. 2 Necht' mnoziný G\, G2 jsou nesluCitelne, p(Gi) = 0,27, p(G1 U G2) = 0,75. VýpoCtete p(G2). 3 Necht' G1 C G2, p(G1) = 0,33, p(G2 - G1) = 0,15. VýpoCtete p(G2). 4 Necht' p(G1 - G2) = 0,36, p(G1 n G2) = 0,12. VýpoCtete p(G2). 5 Je dan dvourozmerný datový soubor '2 1' 20 10 4 2 Znak X znamena poCet Clenu domacnosti a znak Y poCet detí do 15 let v týeto domýacnosti. I 19 1. Základní, výběrový a datový soubor I a) Utvořte uspořádané datové soubory pro znaky X a Y. b) Najdete vektory variant znakU X a Y. c) Vypočtete relativní četnost tríčlenných domacností. d) Vypočtete relativní četnost nejvýse tríčlenných domacností. e) Vypočtete relativní četnost bezdetných domacností. f) Vypočtete relativní četnost dvoučlennych bezdetnych domacností. g) Vypočtete podmínenou relativní četnost dvoučlenných domacností, ktere jsou bezdetne. 20 2 Bodově a intěrvalově rozložění čětností 2. Bodove a intervalová rozlomení četností I Cíl kapitoly Po prostudovaní teto kapitoly budete umet: ■ konstruovat diagramy znazorňující rozlození cetností ■ vytvaret tabulky cetností sestrojit grafy ňcetnostníí funkce, empirickíe distribuňcníí funkce, hustoty ňcetnosti a empirickíe intervalovíe distribuňcníí funkce Casova zatez Pro zvlídnutí teto kapitoly budete potrebovat 7-8 hodin studia. Nejprve se seznamíme s bo dovím rozlozením cetností a ukazeme si, jak pomocí razních diagramu graficky znazornit bodove rozlození cetností. Pro datoví soubor znamek z matematiky a anglictiny pak vytvoríme nekolik typu diagramu. 2.1. Definice Necht' je dan jednorozmerní datoví soubor. Jestlize pocet variant znaku X není pňríliňs velkyí, pak pňriňrazujeme ňcetnosti jednotlivíym variantíam a hovoňríme o bodovém rozložení četností 2.2. Definice Existuje nekolik zpusobu, jak graficky znazornit bodove rozlození cetností. Tečkové diagram: na císelne ose vyznacíme jednotlive varianty znaku X a nad kazdou variantu nakreslíme tolik tecek, jakí je její absolutní cetnost. Polygon (četnosti: je lomena cara spojující body, jejichň x-oví souradnice je varianta znaku X a y-ova souradnice je absolutní cetnost teto varianty. Sloupkový diagram: je soustava na sebe nenavazujících obdelníku, kde stred zíakladny je varianta znaku X a víyňska je absolutníí ňcetnost tíeto varianty. Výsečový graf: je kruh rozdelení na vysece, jejichň vnejsí obvod odpovídí absolutním ňcetnostem variant znaku X. Dvourozměrný tečkový diagram: na vodorovnou osu vyneseme varianty znaku X, na svislou varianty znaku Y a do príslusnych praseďku nakreslíme tolik teňcek, jakaí je absolutní ňcetnost daníe dvojice. 2.3. Príklad Pro datovy soubor z príkladu 1.10 sestrojte a) jednorozmňerníe teňckovíe diagramy pro znak X a znak Y, b) polygony ňcetností pro znak X a znak Y, c) sloupkovíe diagramy pro znak X a znak Y, d) vyíseňcovíe diagramy pro znak X a znak Y, e) dvourozmerní teckovy diagram pro vektoroví znak (X, Y), 22 Řešení: ad a) Známka z matematiky Známka z angličtiny I 2 3 2 3 ad b) Polygon četnosti pro znamky z matematiky Polygon četnosti pro známky z angličtiny ad č) Sloupkový diagram znamek z matematiky Sloupkový diagram znamek z angličtiny 12 3 4 ad d) Vysečovy diagram znamek z matematiky Vásečová diagram znamek z angličtiny 1 4 1 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 4 2 2 3 23 2. Bodově a intervalově rozložení četností I Ze vsech techto diagřamu je videt odlismí přístup zkousejících ke studentum. Matematik nesetří jednickami, ale místo třojky řadeji řovnou dava ctyřku. Napřoti tomu anglictinař povazuje třojku za typickou studentskou znímku. ad e) Y 12 3 4 X Dvouřozmeřny teckoví diagřam svedcí o nepřílis vyřazne tendenci k podobne klasifikaci v obou předmetech. Muzete si zkusit nakřeslit dvouřozmeřne teckove diagřamy zvlast' přo muze a zvlíst' přo zeny. Zjistíte, ze u zen je tendence k podobným znamkam daleko silnejsí nez u muzu. Bodove řozlození cetností lze znazořnit nejenom gřaficky, ale tez tabulkou zvanou vařiacní řada, kteří obsahuje absolutní a řelativní cetnosti jednot-livyích vařiant znaku v daníem vyíb eřovíem soubořu a tíe z absolutníí a řelativníí kumulativníí cetnosti. Pomocíí řelativníích cetnostíí se zavíadíí cetnostníí funkce, pomocíí řelativníích kumulativníích cetnostíí empiřickía distřibu cníí funkce (je přo ni typicke, ze ma schodovity přubeh). Tyto pojmy objasníme na příkladu znamek z matematiky a uvedeme řovnez vlastnosti obou vyse zmínenych funkcí. 2.4. Definice Necht' je dan jednořozmeřní datovy souboř, v nemz znak X nabyví r vařiant. Přo j = 1,..., r definujeme: absolutné četnost varianty Xj] ve víbeřovem soubořu nj = N (X = x[j]) relativné četnost varianty Xj] ve vybeřovem soubořu n absolutní kumulativní četnost prvních j variant ve výběrovém souboru Nj = N(X < xy]) = ni +-----+ Uj relativní kumulativní Četnost prvních j variant ve výběrovém souboru Nj 4 3 2 1 24 Tabulka typu x\j] rij Pi N3 F3 ni Pi Ni X[r] nr Pr Nr Fr se nazyva variační řada. Funkce p(x) = í pj pro x = xtí], j = l,...,r |^ 0 jinak se nazyva četnostní funkce. Funkce I 0 pro x < X[i] F (x) = { Fj pro x[j ] < x < x[i+i], j = 1,...,r - 1 1 pro x > x[r] se nazývá empirická distribuční funkce. 2.5. Příklad Pro datová soubor z pfíkladu 1.10 sestavte variační radu pro znak X. Nakreslete grafy četnostní funkce a empiricke distribuční funkce. Řešení: x\j] Pi N3 F3 1 7 0,35 7 0,35 2 3 0,15 10 0,50 3 2 0,10 12 0,60 4 8 0,40 20 1,00 - 20 1,00 - - p(t) 0,4 0,2 0,0 1 2 I 3 4 t x F (t) 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 F(x) = £ p(t) t — OC Nyní se budeme zabávat dvourozmerných datovím souborem. Zavedeme simultánní absolutní a relativní cetnosti pro dvojice variant znaku X a Y a ukážeme souvislost mezi simultánními a marginálními cetnostmi. Budeme definovat podmínene relativní cetnosti. Vysvetlíme si, jak se uvedene cetnosti zapisují do kontingencních tabulek. Pomocí simultánních relativních cetností zavedeme simultínní cetnostní funkci, seznámíme se s jejími vlastnostmi a ukázeme vztah mezi simultánní cetnostní funkcí a marginálními cetnostními funkcemi. Zavedeme pojem cetnostní nezávislosti znaku v danem výberovem souboru. Se vsemi uvedeními pojmy se naucíme pracovat v príkladu se známkami z matematiky a anglictiny. 2.7. Definice Necht' je dán dvourozmerní datovy soubor xi yi kde znak X má r variant a znak Y má s variant. Pak definujeme: simultánní absolutní četnost dvojice (xj],y[k]) ve vyberovem souboru njk = N(X = x[j] A Y = y[fc]), simultánní relativní Četnost dvojice (xj],y[k]) ve víberovem souboru njk n marginální absolutní Četnost varianty xjj nj. = N (X = x [j ]) = nj i +-----+ njS, marginaílníí relativníí cetnost varianty x[j] n V ji + • • • + Vjs; X 26 marginální absolutní četnost varianty y[k] n.k = N (Y = y[fc]) = mfc +-----+ nrfc, marginální, relativní, četnost varianty y[k] p.k n Pik +-----+ Prk, I sloupčove podmínena relativní četnost varianty x j] za predpokladu y[k] njk pj(k) n.k radkov e podmín ena relativní četnost varianty y[k] za predpokladu x [j] njk P(j)k nj. Kteroukoliv ze simultanních cetností ci podmíneních relativních cetností zapisujeme do kontingenční tabulky. Kontingencní tabulka simultanních abso-lutníích cetnostíí maí tvar: y Vis] rij. X xm nu nu ni. X[r] nrl nr. n.k n.i n.s n Funkce I pjk pro x = x[j], y = y[k], j = 1,..., r, k = 1,... s 0 jinak se nazyva simultínní četnostní funkče. Cetnostní funkce pro znaky X a Y odlisíme indexem takto: Pi(x) p2(y) pj. pro x = x[j], j = 1,...,r 0 jinak p.k pro y = y[k], k = 1,...,s 0 jinak Řekneme, ze znaky X, Y jsou v danem vyberovem souboru cetnostne ne-zavisle, prave kdyz pro vsechna j = 1,..., r a vsechna k = 1,..., s platí multiplikativní vztah: pjk = pj • pk neboli V(x, y) G E2 : p(x, y) = pi(x) ^ p2(y). 27 2. Bodové a intervalové rozložení četností I 2.8. Veta Mezi simultánní četnostní funkcí a marginálními četnostními funkcemi platí vztahy: pi(x) = p(x>y) y=-oc OC p2(y) = p(x,y)- 2.9. Příklad Pro datovy soubor z príkladu 1.10 a) sestavte kontingenční tabulky simultanních absolutních a relativních četností, b) nakreslete graf simultanní cetnostní funkce p(x,y), c) sestavte kontingencní tabulky sloupcove a rádkove podmínenych relativních cetností, d) kolik procent tech studentu, kterí meli jednicku z anglictiny, melo dvojku z matematiky, e) kolik procent tech studentu, kterí meli jednicku z matematiky melo dvojku z anglictiny, f) zjistete, zda znaky X, Y jsou v danem vyberovem souboru cetnostne nezíavislíe. Řešení: ad a) y 1 2 3 4 rij. X rijk 1 4 1 2 0 7 2 0 2 1 0 3 3 0 0 1 1 2 4 0 1 3 4 8 4 4 7 5 n = 20 y i 2 3 4 Pj. X 1 0,20 0,05 0,10 0,00 0,35 2 0,00 0,10 0,05 0,00 0,15 3 0,00 0,00 0,05 0,05 0,10 4 0,00 0,05 0,15 0,20 0,40 P.k 0,20 0,20 0,35 0,25 1,00 28 ad b) 'a 0, 200,15 0,100, 05 0, 00 4 I 2 x 4 1 ad c) v 1 2 3 4 X P j (k) 1 1,00 0,25 0,29 0,00 2 0,00 0,50 0,14 0,00 3 0,00 0,00 0,14 0,20 4 0,00 0,25 0,43 0,80 E 1,00 1,00 1,00 1,00 y i 2 3 4 E x 1 0,57 0,14 0,29 0,00 1,00 2 0,00 0,67 0,33 0,00 1,00 3 0,00 0,00 0,50 0,50 1,00 4 0,00 0,12 0,38 0,50 1,00 ad d) Tento udaj najdeme ve druhem rýdku prvního sloupce tabulký sloup-cove podmínených relativních Cetností: 0%. ad e) Tento udaj najdeme v prvným rýdku druheho sloupce tabulký radkove podmínených relativních Cetností: 14%. ad f) Kdýbý v danem výberovem souboru býlý oba znaký Cetnostne nezavisle, platil bý pro vsechna j = 1, 2, 3, 4 a vsechna k = 1, 2, 3, 4 multiplikativní' vztah: pjk = pj. coz splneno nený. Tedý znýmký z matematiký a angliCtiný nejsou Cetnostne nezývisle. V nekterých datových souborech je poCet variant znaku prílis veliký a pouzití bodoveho rozlozený Cetnostý bý vedlo k neprehledným a roztR^teným výsled- 29 2. Bodové a intervalové rozložení četností I kům. V takových situacích používáme intervalové rozložení četností. Definujeme třídicí interval a jeho absolutní a relativní četnost, absolutní a relativní kumulativní cetnost. Nove zavadíme cetnostní hustotu trídícího intervalu. Uvedene cetnosti zapisujeme do tabulky rozložení cetností. Pocet trídících intervalu stanovujeme napr. podle Sturgesova pravidla. Intervalove rozlození cetností pozijeme v príkladu s datovým souborem obsahujícím udaje o mezích plasticity a pevnosti 60 vzorku oceli. 2.10. Definice Necht' je dan jednorozmerní datoví soubor. Jestlize pocet variant znaku X je blízkí rozsahu souboru, pak prirazujeme cetnosti nikoliv jednotlivým vari-antím, ale celým intervalum hodnot. Hovoríme pak o intervalovém rozložení četnosti. 2.11. Definice Číselnou osu rozlozíme na intervaly týpu (—oo,«i), (mi,m2), • • •, (ur, ur+i). (ur+i, oo) tak, abý okrajove intervalý neobsahovalý zídnou pozorovanou hodnotu znaku X. Uzívame oznacení: j-tý trídičí interval znaku X, j = 1,..., r: (uj ,uj+i): delka j -teho třídicího intervalu znaku X: střed j-teho trídičího intervalu znaku X: 1 x\j] = ^m + Uj+i)- Trídicí intervalý volíme nejcasteji stejne dlouhe. Jejich pocet urcíme napr. pomocí Sturgesova pravidla: r ~ 1 + 3,3 • log n, kde n je pocet variant znaku X. 2.12. Definice Necht' je dan jednorozmerný datový soubor rozsahu n. Hodnotý znaku X roztrídíme do r trídících intervalu. Pro j = 1,..., r definujeme: absolutní četnost j -teho trídičího intervalu ve výberovem souboru n j = N (u j < X < Uj+i). relativní četnost j-teho t rídičího intervalu ve výberovem souboru nj Pj = —i n 30 četnostní hustota j -tého třídicího intervalu ve výběrovém souboru Pl d j absolutní kumulativní Četnost prvních j třídicích intervalů, ve výběrovém souboru Nj = N (X < uj+l) = n1 +-----+ nj, relativní kumulativní Četnost prvních j třídicích intervalu ve výběrovém souboru. I n pi +-----+ Pj • Tabulka týpu (Uj,Uj+1) dj Pj fi N3 F3 (ui,u2) d\ ni Pi fi Fi (ur,ur+i) dr nr Pr fr Nr Fr E n 1 se nazývý tabulka rozložení četností. 2.13. Příklad Z fiktivního základního souboru všech vzorku oceli odpovídajících „všem myslitelným tavbím" býlo do laboratore dodano 60 vzorku a zjistený a hodnoty znaku X - mez plasticitý a Y - mez pevnosti. Datoví soubor mí tvar: 154 178' 133 164 58 75 145 161 94 107 113 141 86 97 121 127 119 138 112 125 85 41 96 45 99 97 72 113 89 109 51 95 101 114 160 169 87 101 88 83 139 98 106 111 92 104 85 103 112 118 98 102 103 108 99 119 104 128 107 118 98 140 97 115 105 101 71 39 33 78 73 77 47 68 93 69 122 147 52 117 147 137 125 149 76 85 61 85 137 142 44 92 66 42 68 116 141 157 155 189 136 155 82 81 136 163 72 79 81 61 113 123 42 85 133 147 153 179 85 91 a) Pro znak X stanovte optimalní pocet trídicích intervalu dle Sturgesova pravidla. b) Sestavte tabulku rozlození cetností. 31 2. Bodové a intervalové rozložení četností Řešení: ad a) Znak X ma 50 variant, tedý podle Sturgesova pravidla je optimalní pocet trídicích intervalů r = 7. Budeme tedý volit 7 intervalů stejne delký tak, abý v nich býlý obsažený vsechný požorovane hodnotý žnaku X, ž nichž nejmensí je 33, nejvetsí 160; volba u1 = 30, ..., u8 = 170 splnuje požadavký. ad b) di xtí] Pi Nj F3 fi (30,50) 20 40 8 0,1333 8 0,1333 0,0066 (50,70) 20 60 4 0,0667 12 0,2000 0,0333 (70,90) 20 80 13 0,2166 25 0,4167 0,0108 (90,110) 20 100 15 0,2500 40 0,6667 0,0125 (110,130) 20 120 9 0,1500 49 0,8167 0,0075 (130,150) 20 140 7 0,1167 56 0,9333 0,0058 (150,170) 20 160 4 0,0667 60 1,0000 0,0033 Součet 60 1,0000 Ke grafickemu žnažornení intervaloveho rožložení cetností slouží histogram. S jeho pomocí lže dobre výsvetlit, co žnamení hustota cetnosti, což je funkce žavedena pomocí cetnostních hustot jednotlivích trídicích intervalů. S hustotou cetnosti ížce souvisí intervalova empiricka distribucní funkce (je vsude spojita, protože je funkcí horní meže integrílu ž hustotý cetnosti). Pro ůdaje o meži platicitý oceli výtvo rííme histogram a graf intervalovíe empirickíe dis-tribůcní funkce. Sežnamíme se rovnež s vlastnostmi obou víse žmínených funkcí. 2.14. Definice Intervalove rožložení cetností grafický žnažornujeme grafický pomocí histogramu. Je to graf skladající se ž r obdelníků, sestřojených nad trídicími intervalý, pricemž obsah j-teho obdelníků je roven relativní cetnosti pj j -teho trídicího intervalu, j = 1,..., r. Histogram je shora omežen schodovitou carou, kterí je grafem funkce žvane hustota cetnosti: f (x) fj pro uj < x < uj+^ j = 1,..., r 0 jinak Pomocí funkce hustotý cetnosti žavedeme intervalovou empirickou distribucní funkci: F (x) f (t) dt. 2.15. Příklad Pro datová soubor z príkladu 2.13 nakreslete histogram pro znak X a pod histogram nakreslete graf intervalove empiricke distribuční funkce. 32 Řešení: f (t) x 2.16. veta r ké Hustota cetnosti je nezapomí (Vx G R : f (x) > 0) anořmovaní (J f (x) dx). Inteřvalova empirickí distřibucní ( lim F (x) = 0, lim F (x) = 1). Inteřvalova empirickí distřibucní funkce je neklesající, spojití a nomiovana x—>—oc x—>oc V ^sledujícím tematu se budeme venovat dvouřozmeřnemu inteřvalovemu řozlození cetnosti, tj. budeme přacovat s dvouřozmeřnym datovím soubo-řem. Zavedeme podobne pojmy jako u dvouřozmeřneho bodoveho řozlození cetnosti a jejich pochopení si oveříme na příklade s datovym soubořem ob-sahujíícíím uídaje o mezi plasticity a mezi pevnosti oceli. 2.17. Definice Necht' je dín dvouřozmeřny datoví souboř x1 V1 33 2. Bodové a intervalové rozložení četností I kde hodnoty znaku X roztrídíme do r tří dicích intervalu (u j ,Uj+1), j = 1,... ,r s delkami d1,... ,dr a hodnoty znaku Y roztrídíme do s trídicích intervalu (vk, vk+1), k = 1,..., s s delkami h1,... ,hs. Pak definujeme: simultánní absolutní četnost (j,k)-tého t řídicího intervalu: Ujk = N (uj < X < Uj+1 A Vk x2), tj. jejich usporadaní výjadruje vetsí nebo mensí intenzitu zkoumane vlastnosti. Napr. skolní klasifikace výjadruje mensí nebo vetsí znalosti zkousených (jednickír je lepsí nez dvojkar), ale intervalý mezi znamkami nemají obsahove interpretace (netvrdíme, ze rozdíl ve znalostech mezi jednickarem a dvojkarem je stejný jako mezi trojkarem a ctýrkarem. Podobní charakter mají ruzní bodovaní ve sportovních, umeleckých a jiních soutezích. (1) Intervalove znaky pripoustejí obsahovou interpretaci krome relace rovnosti a usporadaní tez u operace rozdílu xi — x2 (poprípade souctu xi + x2), tj. stejný interval mezi jednou dvojicí hodnot a jinou dvojicí hodnot výjadruje 40 i stejny řozdíl v extenzite zkoumane vlastnosti. Např. teplota meřena ve stupních Celsia představuje inteřvaloví znak. Nameříme-li ve ctyřech dnech polední teploty 0, 2, 4, 6, znamena to, ze kazdym dnem stoupla teplota o 2 stupne Celsia. Bylo by vsak chybou inteřpřetovat tyto ídaje tvřzením, ze ze dřuheho na třetí den vzřostla teplota dvakřat, kdezto ze třetího na ctvřtí pouze jedenapulkřat. (p) Poměrové znaky umoznují obsahovou inteřpřetaci křome řelace rovnosti a uspořadaní a opeřace řozdílu jeste u opeřace podílu x1 /x2 (popřípade soucinu x1 • x2), tj. stejny pomeř mezi jednou dvojicí hodnot a dřuhou dvojicí hodnot znamena i stejny podíl v extenzite zkoumane vlastnosti. Např. ma-li jedna osoba hmotnost 150 kg a dřuha 75 kg, nm smysl přohlísit, ze první je dvakřat hmotnejsí nez dřuha. Zvlastní postavení mají: (a) Alternativní znaky, kteře nabyvají jen dvou hodnot, např. 0,1, coz znamena absenci a přezenci nejakeho jevu. Například 0 bude znamenat neuspech, 1 uspech při řesení uřcite ulohy. Alternativní znaky mohou byt ztotozneny s kteřymkoliv z předcházejících typu. I 3.3. Definice Pro nominální znaky používáme jako charakteristiku polohy modus. U bodového rozložení Četností je to nejCetnéjSí varianta znaku, u intervalového střed nejcetnejsího třídicího intervalu. 3.4. Definice Pro ordinální znaky používáme jako charakteristiku polohy a-kvantil. Jeli a G (0,1), pak a-kvantil xa je Číslo, ktere rozděluje usporadaný datový souboř na dolní usek, obsahující aspoň podíl a vsech dat a na hořní usek obsahující aspon podíl 1 — a vsech dat. Přo vypocet a-kvantilu slouzí algo-řitmus: Ícelé číslo c => xn = x(c) 'r(c+1) 2 necele císlo == zaokřouhlíme nahořu na nejblizsí cele císlo c => xa x(c) Přo speciílne zvolena a uzívíme nazvu: xo,so - medién, xo,25 - dolní kvartil, xo,75 - horní kvartil, x0)1,... ,x0;g - decily, x0)01,... ,x0;gg - percentily. Jako chařakteřistika vařiability slouzí kvartilové odchylka: q = x0,75 — x0,25- 3.5. Příklad Pro datový soubor znamek z matematiky (viz pHklad 1.10) vypočtete median, oba kvartily a kvartilovou odchylku. 41 3. Číselné charakteristiky znaků I Řešení: OL na c 0,25 5 5 (i+i) 2 1 0,50 10 10 (2+3) 2 2,5 0,75 15 15 (4+4) 2 4 q=4-1=3 3.6. Definice Pro intervalove a pomerove znaký slouzí jako charakteristika polohý aritmetický průměr 1 m = n E i=1 (lze ho interpretovat jako teziste jednorozmerneho teCkoveho digramu). Charakteristikou variabilitý je rozptyl s2 1 n i=1 či směrodatná odchylka s = Vš^. Pomocí průměru zavedeme centrovanou hodnotu Xi — m (podle znaménka poznáme, zda z-tá hodnota je podprůměrná či nadprůměrná a pomocí směrodatné odchylky zavedeme standardizovanou Xi — m hodnotu (vyjadruje o kolik smerodatných odchýlek se i—tý hodnota odchýlila od prumeru). 3.7. Veta Rozptýl je nulový, prýve kdýz x1 = x2 = 3.8. Příklad VýpoCtete prumer a rozptýl a) centrovanýých hodnot, b) standardizovanýých hodnot. Řešení: ad a) Prumer centrovaných hodnot: 1 n - m) m i=1 Rozptýl centrovanýých hodnot: 1 n n • m = 0. n i=1 ((x, - m) - 0)2 = s2. n 1 n 42 ad b) Průměr standardizovaných hodnot: 1 ^-a (xí — m) n ^ s Rozptyl standardizovaných hodnot: = -•0 = 0. s 1 n i=1 m ■)' f! s2 1. 3.9. Poznámka V předešlém příkladě jsme vypočítali, ze průměr centrovaných hodnot je 0. Této skutečnosti lze vyůzít k vysvetlení rozptylů: chceme získat číslo, ktere by charakterizovalo variabilitu jednotlivých hodnot kolem průmerů. Průmer centrovaních hodnot nelze poůzít (vyjde 0), proto místo centrovanych hodnot vězměmě jejich kvadráty. Tím dospějeme ke vzorci pro rozptyl: s2 = - ^( i=l m)2. Rozptyl však vychází v kvadrátech jednotek, v nichž byl měřen znak X. proto raději používáme směrodatnou odchylku s. DefiniCní tvar vzorce pro rozptyl není príliš vhodny pro vypocty, v praxi še používa vypocetní tvar vzorce pro rozptyl: I s2 = — } (xí — m)2 = — } (x2 — 2mxi + m2) = — > n n n =l =l =l xi n — • 2m • > Xi H— > m2 = — > n n n i=l i=l i=l i=l x m2. x 2m2 + 1 n n m2 n n 1 3.10. Definice Pro poměrově znaky poůžívýniě jako charakteristiku variability koeficient s variace —. Je to bezrozměrné číslo, které se často vyjadřuje v procen-m těch. Umoznůjě porovnat variabilitu několika znaků. Jsoů-li vSěchny hodnoty poměrověho znaků kladně, pak jako charaktěristiků polohy lzě ůzít geometrický průměr ^Jx\ ■ ... ■ xn. 3.11. Příklad Vypoctětě koěficiěnt variacě mězě plasticity a mězě pěvnosti ocěli pro datový soůbor z príkladů 2.13. Řešení: s1 32,441 s2 32,515 — = —-= 0,338, — = —-= 0,284. m1 95,88 ' ' m2 114,40 Zjistili jsmě, zě koěficiěnt variacě mězě plasticity jě 33,8%, zatímco mězě pěvnosti jěn 28,4%. 43 3. Číselné charakteristiky znaků Nyní se budeme zabývat číselnými charakteristikami dvourozměrného datového souboru se znaky intervaloveho či pomeroveho typu. Spole čnou variabilitu t e chto dvou znaku kolem jejich prameru meríme pomocí kovariance. Jako míra t esnosti lineární zavislosti dvou znaku slouzí koeficient korelace. Je velmi dulez ite porozumet vlastnostem koeficientu korelace, proto si pozorne prohlednete obrazky ilustrující jeho váznam. Pro prakticke procvi cení nám poslouzí príklad na císelne charakteristiky mezí plasticity a pevnosti. 3.12. Definice Pro dvourozm ernyá datovyá soubor kde znaky X, Y jsou intervaloveho ci pomeroveho typu, pouzívame jako charakteristiku spolecne variability znaku X, Y kolem jejich pramení kovarianci 1 n Si2 = - y^ixi - nii){yi - m2). 3.13. Poznámka Kovariance je prumerem soucimů centrovanych hodnot. Pokud se nadprumer-ne (podprumerne) hodnoty znaku X sdruzují s nadprumernámi (podprumer- nymi) hodnotami znaku Y, budou souciny centrovanách hodnot xi — m\ a Ví — m2 vesmes kladne a jejich prumer (tj. kovariance) rovnez. Znamena to, ze mezi znaky X, Y existuje urcitá stupen príme linearní zavislosti. Pokud se nadprumerne (podprumerne) hodnoty znaku X sdruzují s podprumernámi (nadprumernámi) hodnotami znaku Y, budou souciny centrovanách hodnot vesmes zaporne a jejich prumer rovnez. Znamena to, ze mezi znaky X a Y existuje ur citáy stupen nep ráímáe lineáarnáí záavislosti. Je-li kovariance nulováa, pak rekneme, ze znaky X, Y jsou nekorelovanáe a znamenáa to, ze mezi nimi neexistuje záadnáa lineáarnáí záavislost. Pro vápo cet kovariance pouzíváme vzorec: 1 n si2 = - V" Xiiji - m1m2. n í=i 3.14. Definice Jsou-li smerodatne odchylky s\, s2 nenulove, pak definujeme koeficient korelace znaku X, Y vzorcem 1 ri2 Xi — mi Ví — m2 n si i=i s2 44 3.15. Veta Pro koeficient korelace platí —1 < r12 < 1a rovnosti je dosaženo prave kdýž meži hodnotami x1,..., xn a y1,..., yn existuje ůplní linearní žívislost, tj. existují konstantý a, b tak, že y» = a + bx^, i = 1,..., n, pricemž žnamenko + platí pro b > 0, žnamenko — pro b < 0. (Uvedena nerovnost se nažíva Cauchýova - Schwaržova - Buňakovskeho nerovnost.) 3.16. Poznámka Koeficient korelace se pocíta podle vžorce r 12 S12 Pňredstavu o víýžnamu hodnot koeficientů korelace podívají nasledující dvoůrožmerne teckove dia-gramý. I 1,00 0,76 0,00 r r r r = —0,37 r = —1,00 3.17. Příklad Pro datoví soubor ž príkladu 2.13 výpoctete a) aritmeticke průmerý žnaků X, Y, b) rožptýlý a smerodatne odchýlký žnaků X, Y, c) kovarianci a koeficient korelace žnaků X, Y. Řešení: ad a) m1 = 95,9, m2 = 114,4. ad b) s1 = 1052,40, s2 = 1057,21, S1 = 32,4, S2 = 32,5. ad c) s12 = 985,76, r12 = 0,936. Koeficient korelace svedcí o tom, že meži obema žnaký existuje velmi silna pňrímaí lineíarní žaívislost - ňcím výňsňsí je mež plasticitý, tím je výňsňsí mež pevnosti a cím je nižsí mež plasticitý, tím je nižsí mež pevnosti. Pri vípoctu Císelných charakteristik se v rade situací uplatní veta shrnující nektere jejich vlastnosti. Pro lepsí pochopení uvedených vlastností slouží nasledující príklad. 45 3. Číselné charakteristiky znaků I 3.18. Veta Uveďme některé vlastnosti číselných charakteristik. a) Necht' mi je aritmetický průmer a s f rozptyl znaku X. Pak znak Y = a + bX ma aritmetický průmer m2 = a + bmf a rozptyl s2 = b2sf. b) Necht' m1, m2 jsou aritmeticke průmerý, sf, s2 rozptýlý a s12 kovariance znaků X, Y. Pak znak U = X+Y ma aritmetický průmer m3 = mf +m2 a rozptýl s3 = s2 + s2 + 2s12. c) Necht' s12 je kovariance znaků X, Y a mf, m2 jsoů aritmeticke průmerý znaků X, Y. Pak znaký U = a + bX, V = c + d Y mají kovarianci s34 = bds12. 3.19. Příklad a) Znak X ma aritmetický průmer 2 a rozptýl 3. Najdete aritmetický průmer a rozptýl znaků Y = — 1 + 3X. b) Znaký X a Y mají aritmeticke průmerý 3 a 2, rozptýlý 2 a 3, kovarianci 1,5. Výpoctete aritmetický průmer a rozptýl znaků Z = 5X — 4Y. c) Soůcet rozptýlů dvoů znaků je 120, soůcin 1000 a rozptýl jejich soůctů je 100. Výpoctete koeficient korelace techto znaků. Řešení: ad a) m2 = — 1 + 3ím = —1 + 3 • 2 = 5, sj; = 32 • s2 = 9 • 3 = 27. adb) m3 = 5m1—4m2 = 5-3—4-2 = 7, s3 = 52-s2+(—4)2^s2+2^5^(—4)^s12 = 25 • 2 + 16 • 9 — 40 • 1,5 = 134. ad c) s2 + s2 = 150, s1 • s2 = 1000, s2+2 = 100 = s1 + s2 + 2s12 s12 = '1+2 -SJ-S2 _ 100-120 _ — 10, r12 S1-S2 +2 -10 —0,316. Pokůd nemame k dispozici původní datový soůbor, ale jenom variacní radů nebo tabůlků rozlození cetností (resp. kontingencní tabůlků), můz eme výpo-cítat tzv. vaz ene císelne charakteristiký. Pro datový soůbor obsahůjící ýdaje o mezi plasticitý a mezi pevnosti oceli je zajímave porovnat původní císelne charakteristiký a vazene císelne charakteristiký. 3.20. Definice a) Vazene císelne charakteristiký ů bodoveho rozlození cetností: Vážený aritmetický průměr m 1 n i=1 Važený rozptyl §2 = -^2nÁx\j]-m)2- i=1 VaZena kovariance s12 n Yl Yl nJfc — m1)(y[k]— m2). j=1 k=1 _ «12 _ 1 46 b) Vážené číselné charakteristiky u intervalového rozložení četnosti: Vzorce jsou formálne shodne s predeSlími. Je vSak zapotřebí uvest, že výpočty jsou presne jen tehdy, souhlasí-li prumery v jednotlivých tradicích intervalech se stredy techto intervalu, resp. vykompenzují-li se vzajemne chyby vznikle v důsledku odchylek stredu intervalu od prumeru v techto intervalech. Oba tyto prípady jsou vsak vzacne a vetsinou se dopustíme urcite chyby. 3.21. Příklad Pro intervalove rozlození cetností uvedene v príkladu 2.13 spoctete vízene císelne charakteristiky a porovnejte je s císelnymi charakteristikami uve-denymi v príkladu 3.17. Řešení: I bodové rozložení intervalové rozložení mi 95,88 96,67 m2 114,40 113,67 s\ 1052,40 1148,89 4 1057,21 1019,89 Sl 32,441 33,895 S2 32,515 31,936 Sl2 985,76 998,89 r i2 0,939 0,923 Shrnutí kapitoly Podle stupně kvantifikace znaky třídíme na nominální, ordinální, intervalové, poměrové a alternativní. Jako charakteristika polohy nominainích znaku slouZí modus. Charakteristikou polohy ořdinainích znaku je kterýkoliv a—kvantil, casto se pouZívý median, dolní a horní kvartil, decily, per-centily. Rozdíl horního a dolního kvartilu je kvartiloví odchylka, kterou pouZívíme jako charakteristiku variability. U intervalovích znaku slouží jako charakteristika polohy aritmetickí prUmer a jako charakteristika variability rozptyl ci smerodatna odchylka. Odecteme-li od libovolne hodnoty průmer, dostaneme centrovanou hodnotu, a podelíme-li centrovanou hodnotu smerodatnou odchylkou, získíme standardizovanou hodnotu. Pro pomerove znaky pouzívame koeficient variace. Maj í-li kladne hodnoty, pak jejich polohu charakterizujeme geometrickím prumerem. Mame-li dvourozmerny datoví soubor, pak jako charakteristiku spolecne variability zavedeme kovarianci a jako míru tesnosti lineírní zavislosti koeficient korelace. Podle Cauchy — Schwarzovy — Buňakovskeho nerovnosti nabyví koeficient korelace hodnot mezi —1 a 1. 47 3. Číselné charakteristiky znaků Je-li k dispozici variační řada u bodového rozložení četností nebo tabulka rozložení četností u intervaloveho rozložení četností (resp. kontingenční tabulka), můžeme vypočítat vazene číselne čharakteristiky: vážený aritmetický průměr, vážený rozptyl a váženou kovarianci. I Kontrolní otazky a ůkoly 1 Udejte príklad nominalního, ordinálního, intervaloveho, pomeroveho a alternativního znaku. 2 Jake čharakteristiky polohy a variability uziVame pro uvedene typy znaku? 3 Kdy se shodují číselne čharakteristiky s vazenymi číselnámi čharakte-ristikami? 4 Jaky váznam ma koefičient korelače? 5 V akčiove společnosti je pramenia mzda 13 500 Kč. Pritom 30% pra-čovníku s nejnizsí mzdou ma prumerne 9 000 Kč. Na začatku roku dostal kazdy z tečhto pračovníku pridano 500 Kč. O kolik % vzrostla pramenia mzda v čele akčiove společnosti? 6 (S) Pri statističkem setrení pojistenču byly získany tyto váse pojistek v Kč: výše pojistky 390 410 430 450 470 490 510 530 550 570 abs. četnost 7 10 14 22 25 12 3 3 2 2 Určete aritmetičkí prumer, median, modus, rozptyl, smerodatnou od-čhylku a koefičient variače víse pojistky. V datovem souboru, z nehoz byl vypočten prumer 110 a rozptyl 800, byly zjisteny 2 čhyby: místo 85 mí bít 95 a místo 120 ma byt 150. Ostatníčh 18 udaju je spravnýčh. Opravte prumer a rozptyl. Vazeny aritmetičky prumer činil 1500 a vazeny rozptyl 90000. Varianty X[j] byly transformovany vztahem: h j = 1,..., r. Po této transformaci byl vážený aritmetický průměr 5 a vážený rozptyl 9. UrCete konstanty a a h. 9 (S) Pro dvoůrožinerný datový soůbor 2 4 4 5 6 8 10 10 10 10 1 2 3 4 4 4 5 5 5 6 vypočtete koefičient korelače. 10 Rozptyl součtu hodnot dvou znaku je 350, rozptyl rozdílu je 700. Vypočtete koefičient korelače, víte-li, ze oba znaky mají stejne rozptyly. 7 8 a 48 4. Regresní přímka Cíl kapitoly Po prostudování teto kapitoly budete umet: ■ stanovit odhady parametrU regresní prímky a znát jejich význam ■ posoudit kvalitu proloZení regresní prímky dvourozmerným tečkovým diagramem ■ vypočítat regresní odhady zavisle promenneho znaku ■ stanovit odhady parametru druhe regresní prímky ■ znat vztahy mezi parametry první a druhe regresní prímky. Casova zatěž Pro zvlídnutí teto kapitoly budete potrebovat 3-4 hodiny studia. Budeme se zabívat specialním prípadem, kdy hodnoty znaku Y zavisejí na hodnotach znaku X priblizne linearne. Ukízeme si, jak tuto zavislost popsat regresní prímkou, jak odhadnout její parametry metodou nejmensích čtvercu na zíklade znalosti dvourozmerneho datoveho souboru a jak posoudit kvalitu regresní prímky pomocí indexu determinace. Vysvetlíme si vyznam regresních parametru a v príkladu se budeme zabívat regresní prímkou meze pevnosti na mez plasticity. 4.1. Motivace Cílem regresní analízy je vystizení zívislosti hodnot znaku Y na hodnotach znaku X. Pri tom je nutne vyresit dva problemy: jakí typ funkce pouzít k vystizení dane zavislosti a jak stanovit konkrétní parametry zvoleneho typu funkce? Typ funkce urcíme bud' logickím rozborem zkoumane zavislosti nebo se snazíme ho odhadnout pomocí dvourozmerneho teckoveho diagramu. Zde se omezíme na linearní zavislost y = fl0 + flix. Odhady b0 a bi neznamych parametru fl0, fli získame na zaklade dvourozmerneho datoveho souboru metodou nejmensích čtverců. Požadujeme, aby průměr součtu čtverců odchylek skutečných a odhadnutých hodnot byl minimální, tj. aby výraž - y^iVí -Po- PiXí)2 i=l nabýval svého minima vzhledem k /30 a (3\. Tento výraz je minimální, jsou-li jeho první derivace podle f30 a fli nulove. Stačí tyto derivace spočítat, poloZit je rovny 0 a réSit system dvou rovnic o dvou neznýmych, tzv. system normalních rovnic. 50 4.2. Definice Nechť je dan dvourozměrný datový soubor a prímka y = //0 + A x. Výraz q(Po, A) = - y^iVi -Po- PiXif i=1 se nazývý rozptyl hodnot znaku Y kolem prímký y = //0 + A x. Prímka V = A) + Ax, jejíz parametry minimalizují rozptyl q(/0,/1) v celem dvou-rozmernem prostoru, se nazíva regresní přímka znaku Y na znak X. Regresní odhad i-te hodnoty znaku Y značíme yi = b0 + b1xi, i = 1,..., n. Kvadrat koeficientu korelace znaku X, Y se nazýví index determinace a značí se ID2. (Index determinace udava, jakou cast variability hodnot znaku Y vystihuje regresní prímka. Nabíva hodnot z intervalu (0,1). Čím je blizší 1, tím lepe vystihuje regresní prímka zavislost Y na X.) I 4.3. Veta Necht' y = b0 + b1x je regresní prímka znaku Y na znak X. Pak pouzitím metodý nejmensích ctvercu dostaneme: b1 £l2 bo = m2 £12 si Ul1, tedy y = m,2 + ^f(x-mi). Přitom úsek 60 regresní přímky udává velikost jejíího posunutíí na svislíe ose (tj. udíavía, jakíý je regresníí odhad hodnotý znaku Y, nabíva-li znak X hodnotý 0) a smernice b1 udíví, o kolik jednotek se zmení hodnota znaku Y, zmení-li se hodnota znaku X o jednotku. Jestlize je b1 > 0, dochazí s rustem X k rastu Y a hovoríme o príme zavislosti hodnot znaku Y na hodnotích znaku X. Je-li b1 < 0, dochazí s rustem X k poklesu Y a hovoríme o nepríme zavislosti hodnot znaku Y na hodnotach znaku X. 4.4. Příklad Pro datoví soubor z príkladu 2.13 a) urcete regresní prímku meze pevnosti na mez plasticity b) Zakreslete regresní prímku do dvourozmerneho teckoveho diagramu. c) Jak se zmení mez pevnosti, vzroste-li mez plasticitý o jednotku? d) Najdete regresní odhad meze pevnosti pro mez plasticitý = 60. e) Výpoctete index determinace a interpretujte ho. Řešení: ad a) Na zíklade vísledku príkladu 3.17 dostavame: b1 bo = TO2 - b1TO1 = 114,4 - 0,937 • 95,9 = 24,5; y = 24,5 + 0,937x. £12 985,76 , 1052,4' n 51 4. Regresní přímka ad b) I m O > 19017015013011090 70 50 • • • • < |_ • |_ * •S' 30 50 70 90 110 mez plasticity 130 150 170 Povšimněte si, ze koeficient korelace znaků X, Y vypočtený v příkladě 3.17 činil 0,936. Tato hodnota je blízka 1, coZ svedčí o silne příme lineární závislosti mezi znaky X a Y. Tečky v dvoůrozmernem tečkovem diagramů nejsoů přílis rozptáleny kolem regresní prímky. ad č) Mez pevnosti vzroste o 0,937kpčm-2. ad d) = 24,5 + 0,937 • 60 = 80,72. ad e) ID2 = r22 = 0,9362 = 0,876. Znamena to, ze 87,6% variability hodnot meze pevnosti je vysvetleno regresní prímkoů. 2 4.5. Dennice Regresní přímkou znaku X na znak Y nazveme tů prímků x parametry minimalizují rozptyl bo + hy, jejíž 1 n n E i=i (xí - po- PiVí)2 v čele rovine. Nazáva se tez druhá regresní přímka. Regresní prímka znaků Y na znak X a regresní prímka znaků X na znak Y se nazyvají sdruření regresní prímky. 4.6. Veta Rovnice regresní přímky znaku X na znak Y má tvar x = m\ + ^r(y — m2). Sdrůzene regresní prímky se protínají v bode (mi,m2). Pro regresní parametry b1, b1 platí: b1 b1 můzeme psat ve tvarů 12- Rovniče sdrůzenyčh regresníčh prímek y = m2 + ri2 — {x si mi); 1 s2 m2-\---[x ri2 si mi), (je-li ri2 = 0). 52 Regresní přímky svírají tím menší úhel, čím méně se od sebe liší r 12 a Regresní přímky splynou, je-li rf2 = 1. K tomu dojde právě tehdy, existuje-li mezi X á Y Úplná lineární závislost. VSechny body (xj, y/j), i = 1,..., n leží ná jedne přímce, tedy ze ználosti xi můžeme přesne vypocítát /ji, i = 1,..., n. Jsou-li znáky X, Y nekorelováne, pák májí sdruzene regresní přímky rovnice /j = m2, x = m1 á jsou ná sebe kolme. Oznácíme-li a uhel, který svírájí sdruzene regresní prímky, pák plátí: ■ cos a = 0, práve kdyz mezi X á Y neexistuje zídná lineírní závislost, cos a = 1, príáv e kdy z mezi X á Y existuje uíplníá p ríímíá lineíárníí zíávislost, ■ cos a = —1, práve kdyz mezi X á Y existuje uplná neprímá lineární zíávislost. 4.7. Příklad Pro dátoví soubor z príkládu 2.13 á) Určete regresní prímku meze plásticity ná mez pevnosti. b) Zákreslete regresní prímku do dvourozmerneho teckoveho diágrámu. RResení: ád á) S vyuzitím vísledku príkládu 3.17 dostáváme: — s12 985,76 b0 = m1- &iTO2 = 95,9 - 0,932 • 114,4 = -10,7, tedy x = —10,7 + 0,932//. ád b) Uvedomte si, ze soucin smernic sdruzených regresních prímek je 0,937 • 0,932 = 0,87, 53 4. Regresní přímka což je index derminace naboli kvadrát indexu korelace. I 'o m 170150130110 50- 30- • • • ____' ._____. • • • • • • ___• • • k < u • u < » 50 70 90 110 130 mez pevnosti 150 170 190 Shrnutí kapitoly Pokud vzhled dvourozměrného tečkového diagramu svědčí o existenci určitého stupně lineární závislosti znaku Y na znaku X, muZeme diagramem proloZit regresní přímku znaku Y na znak X. (Pozor - nelze se spokojit pouze s výpočtem korelačního koeficientu, je nutne grafičke posouzení závislosti.) Její parametry (tj. posunutí a smerniči) odhadujeme metodou nejmenSích ctvercU. Kvalitu prolození posuzujeme pomočí indexu determinace - čím je tento index blizsí 1, tím je regresní prímka výstiznejsí a čím je blizsí 0, tím je regresní prímka nevhodnejsí pro výstizení zavislosti Y na X. Dosadíme-li danou hodnotu znaku X do rovniče regresní prímký, získíme regresní odhad príslusne hodnoty znaku Y. Ma-li smýsl zkoumat tez opační smer zívislosti, tj. X na Y, hledame druhou regresní prímku. 1. a 2. regresní prímka se označují jako sdružene regresní prímky. Kontrolní otazky a Úkoly 1 V čem spočíví prinčip metodý nejmensíčh čtverču? 2 Uved'te príklad dvourozmerneho datoveho souboru z ekonomičke praxe vhodnýí pro pounzití regresní pnrímký. 3 Co výjadruje index determinače a jak se počítí? 4 Jakíý je vztah mezi smnerničemi sdrunzeníýčh regresníčh pnrímek 5 Jsou-li sdruzene regresní prímký kolme, čo lze ríčt o značíčh X a Y? 6 Rozhodnete, zda prímký y =13 — 2x, x = 8 — y mohou bít sdruzenými regresními pnrímkami. 7 Je dana rovniče regresní prímký y = 87 + 0,3(x — 25) a koefičient korelače r12 = 0,77. Najdete rovniči sdruzene regresní prímký. S 54 8 (S) U osmi níhodne výbraních studentů býlý žjist'ovaný jejich mate-maticke a verbalní schopnosti. Vísledký matematickeho testu udava žnak X, vísledký verbalního Y. X 80 50 36 58 72 60 56 68 Y 65 60 35 39 48 44 48 61 a) b) c) d) Výpoctete koeficient korelace a interpretujte ho. Najdete rovnice sdružených regresních prímek. Zlepsí-li se výsledek v matematickem testu o 10 bodů, o kolik bodů se žlepsí výsledek ve verbalním testu? Zlepsí-li se výsledek ve verbalním testu o 10 bodů, o kolik bodů se žlepsí výsledek v matematickem testu? Jak se žmení ůsek a smernice regresní prímký, kdýž každou hodnotu žavisle promenneho žnaku žvetsíme o 10%? 10 Zavislost meži vnejsí teplotou a teplotou ve skladisti je popsana regresní prímkou y = 8 + 0,6x. Pri jake vnejsí teplote klesne teplota ve skladisti pod bod mražů? 9 55 4. Regresní přímka 5e 5. Jev a jeho pravděpodobnost Číl kapitoly Po prostudovaní teto kapitoly budete umet ■ rozlisit nahodní a determinističkí pokus stanovit zíakladníí prostor ■ popsat vztahy mezi jevy pomočí mnozinovíčh operačí ■ vypočítat pravdepodobnost jevu a znat vlastnosti pravdepodobnosti časova zatez Na prostudovaní teto kapitoly budete potrebovat asi 6 hodin. I Nejprve se sezníamííme s pojmem pokusu, a to determinističkíeho a níahodníeho pokusu. Nadale se budeme zabívat níhodnymi pokusy. Mnozinu mozníčh vísledku pokusu povazujeme za zakladní prostor. Na zíkladním prostoru vybudujeme jevove pole jako system podmnozin, kterí je uzavrení vzhledem k mnozinovym operačím. Zakladní prostor spolu s jevovím polem tvorí tzv. meritelny prostor. Libovolna podmnozina mozníčh výsledku níhodneho pokusu, ktera patrí do jevoveho pole, je jev. Naučíme se vyjadrovat vztahy mezi jevy pomočí mnozinovyčh operačí a uvedeme vlastnosti tečhto operačí. 5.1. Definice Pokusem rozumíme jednorazove uskutečnení konstantne vymezeneho souboru definičníčh podmínek. Predpokladame, ze pokus muzeme mnohonasob-ne nezavisle opakovat za dodrzení definičníčh podmínek (ostatní podmínky se mohou menit, proto ruzna opakovíní pokusu mohou vest k ruznym vy-sledkum). Dale predpokladame, ze opakovaním pokusu vznika opet pokus. Deterministickým pokusem nazívame takoví pokus, jehoz kazde opakovaní vede k jedinemu moznemu vísledku. (Napr. zahrívíní vody na 100 °C pri atmosfíeričkíem tlaku 1015 hPa vede k varu vody.) Náhodným pokusem nazyvame takoví pokus, jehoz kazde opakovíní vede k príve jednomu z víče moznyčh vísledku, ktere jsou vzíjemne neslučitelne. (Napr. hod kostkou vede k prave jednomu ze sesti moznyčh vysledku.) 5.2. Definice Neprázdnou mnozinu mozníčh vísledku nahodneho pokusu značíme Q a nazyvíme ji základni prostor. Mozne vysledky značíme uj\,u2,---. Na zíkladním prostoru Q vytvoríme jevove pole A jako system podmnozin, ktery s kazdími dvema mnozinami obsahuje i jejičh rozdíl, obsahuje čelí zakladní prostor a obsahuje-li kazdou ze spočetne posloupnosti mnozin, obsahuje i jejičh spočetne sjednočení (znamení to, ze system A je uzavrení vzhledem k mnozinovím operačím). Jestlize A G A, pak rekneme, ze A je jev. Dvojiče (Q, A) se nazyví měřitelný prostor. Q se nazíví jistý jev, 0 nemoZný jev. 58 5.3. Poznámka Vztahy mezi jevy vyjad rujeme pomocíí mno zinovyích inkluzíí a operace s jevy popisujeme pomocí mnozinovích operací. a) A C B znamení, ze jev A ma za dusledek jev B. b) A U B znamena nastoupení aspon jednoho z jevu A, B. c) A n B znamena spolecne nastoupení jevu A, B. d) A — B znamená nastoupení jevu A za nenastoupení jevu B. e) A = Q — A znamená jev opačný k jevu A. f) A n B = 0 znamena, ze jevy A, B jsou neslucitelne. g) u G A znamena, ze mozny vysledek uj je príznivy nastoupení jevu A. 5.4. Veta Uved'me n ekteríe vlastnosti, kteríe majíí operace s jevy: a) Pro sjednocení a prunik jevu platí komutativní zakon, ktery pro dva jevy A, B mía tvar: A U B = B U A, A n B = B n A. b) Pro sjednocení a prunik trí jevu A, B, C platí zakon asociativní: A u (B u C) = (A u B) u C, A n (B n C) = (A n B) n C, a zaíkon distributivníí: A n (B u C) = (A n B) u (A n C), A u (B n C) = (A u B) n (A u C). c) Pro sjednocení a prunik jevu opacních platí de Morganovy zakony, ktere pro dva jevy A, B zapíseme takto: A U B = A n B, A n B = A U B. 5.5. Příklad Nahodní pokus spocíva v hodu kostkou. Jev A znamena, ze padne sude císlo a jev B znamenía, ze padne cííslo v et síí ne z 4. a) Urcete zíkladní prostor ŕŕ. b) Vypiste mozne vysledky príznive nastoupení jevu A, B. c) Pomocí operací s jevy vyjídrete nasledující jevy: padne liche císlo; nepadne císlo 1 ani 3, padne císlo 6; padne císlo 2 nebo 4. Řešení: ad a) ŕŕ = ..., uj6}, kde mozní vysledek ují znamena, ze padne císlo i, ad b) A = {u2, U4, cug}, B = {^5, cug}. ad c) A = {cji, us, ^5}; A U B = {1J2, u^, U5, ujq}; AC\B = {ujq}\ A —B = {U2, W4} I Na meritelnem prostoru zavedeme pravdepodobnost jako funkci, ktera spl-nuje urcite axiomy a kazdemu jevu prirazuje císlo mezi 0 a 1. Meritelní prostor spolu s pravdepodobností tvorí pravdepodobnostní prostor. Seznamíme 59 5. Jev a jeho pravděpodobnost se s vlastnostmi pravdepodobnosti a uvidíme, ze téměř všechny jsou obdobné vlastnostem relativní Četnosti jak jsme je poznali v první kapitole. Zavedeme specialní případ pravdepodobnosti - klasickou pravdepodobnost a vypočítame nekolik príkladU. 5.6. Definice Necht' (Q, A) je meritelný prostor. Pravděpodobnosti rozumíme reálnou množinovou funkci P : A — R, která splnuje následující tri axiomy: každemu jevu prirazuje nezáporne císlo, jistemu jevu prirazuje císlo 1, sjednocení neslucitelných jevu prirazuje soucet pravdepodobností techto jevu. Trojice (Q, A, P) se nazýva pravděpodobnostní prostor. I (Axiomy pravdepodobnosti jsou zvoleny tak, aby pravdepodobnost byla „zi-dealizovaným" protejskem relativní cetnosti zavedene v definici 1.1. Znamena to, ze pro velkí pocet opakovaní pokusu, v nemz sledujeme nastoupení jevu A, se relativní cetnost jevu A blízí pravdepodobnosti jevu A. Tento poznatek je znam jako empirický zákon velkých čísel. Zdílo by se prirozene definovat pravdepodobnost jako limitu relativní cetnosti pro n — oo. Tento postup by vsak nebyl korektní, protoze pocet pokusu n je vzdy konecny a nelze se tedy presvedcit o existenci uvedene limity.) 5.7. Věta Nechť (Q, A, P) je pravděpodobnostní prostor. Pak pro libovolné jevy A, Ai, A2, • • • G A platí následujících 14 vlastností: P1: P(0) = 0 P2: P(A) > 0 (nezapornost - axiom) P3: P(Ai U A2) + P(Ai n A2) = P(Ai) + P(A2) P4: 1 + P(Ai n A2) > P(Ai) + P(A2) P5: P(Ai U A2) < P(Ai) + P(A2) P6: Ai n A2 = 0 == P(Ai U A2) = ) = P(A2) - P(Ai n A2) P(A2 - Ai) = P(A2) - P(A2) P9: Ai C A2 == P(A2) < P(A2) (monotonie) P10: P(Q) = 1 (normovanost - axiom) Pil: P(A) + P(A) = 1 (komplementarita) P12: P(A) < 1 A (subaditivita) P (Ai) + P (A2) (aditivita) P7: P(A2 - Ai) P8: A1 C A2 == (subtraktivita) P13: Ai n Aj = 0 pro i = j == P (Ai U A2 U ...) (spocetna aditivita - axiom) P14: P (Ai) + P (A2) + (n \ n i=1 / i=1 n i n n 2 n i n P (Ai) ^ E P (Ai n Aj)+ í=i j=í+i +Y. Y, Y, P (Ai nAj nAfc)+(-1)n-1P (Ai n A2 n---nAn) i=1 j=i+i k=j+i 60 Pro neslučitelné jevy A\,..., An dostáváme P (n \ n i=1 / i=1 P (Ai). (Vlastnosti P1,..., P12 odpovídají vlastnostem relativní četnosti z véty 1.3, vlastnost P14 je známá jáko vetá o sčítání pravdepodobností.) 5.8. Definice Nechť Q je konečný základní prostor a necht' všechny možné výsledky mají stejnou šanci nastat. Klasická pravdepodobnost je funkce, ktera jevu A pri-m(A) rázuje číslo P (A) m(Q) kde m(A) je počet moznýčh výsledků příznivých nastoupení jevu A a m(Q) je pocet vsech možných výsledkU. 5.9. Příklad Vypočítejte pravděpodobnosti jevů A, B, A, A U B, A n B, A — B z příkladu 5.5. Řešení: m(Q) = 6, P (A U B) P(A) _ 4 _ 2 6 ~~ 3' 3 _ 1 6 ~~ 2' P (A n B) P(B) 2 _ 1 6 ~~ 3' P (A - B) P(A) 3 _ 1 6 — 2' _ 2 _ 1 6 — 3' I 5.10. Příklad V dodávče 100 kusů várobků nemá pozádováný průmer 10 kusů, pozádovánou delku 20 kusů á součásne nemá pozádováný průmer i delku 5 kusů. Jáká je právdepodobnost, ze náhodne výbráná várobek z teto dodávký má pozádováný průmer i delku? Řešení: Jev A spočívá v tom, ze várobek má pozádováný průmer á jev B v tom, ze výrobek má pozádovánou delku. Počítáme P (A n B) = P{A \JB) = l- P{A U B) -- = 1 - [P (Ä) + P (B) - P (Ä n B)] = 1 ( 10 20 + 5 100 100 100 ) 0,75. 1 6 5.11. Příklad Mezi N výrobký je M zmetků. Náhodne bez vráčení výbereme n výrobků. Jáká je právdepodobnost, ze výbereme práve k zmetků? Řešení: Zákládní prostor Q je tvoren vsemi neusporádánými n-tičemi výtvorenými z N prvků. Tedý m(Q) = (^). Jev a4 spočívá v tom, ze výbereme práve k zmetků z M zmetků (tý lze výbrát způsobý) á váber doplníme n — k 61 5. Jev a jeho pravděpodobnost kvalitními výrobky vybranými z N — M kvalitních výrobků (tento výběr lze způsoby). Podle kombinatorického pravidla soůCinů dostava- prověst me n—k m(A) UJU — k ) tedy P (A) m(A) f)( nk N I Shrnutí kapitoly Deterministický pokus vede pri kaZdem opakovaní k jedinemů moZnemů výsledků, zatímco náhodný pokus vede pri kaZdem opakovýní prýve k jed-nomů z více moznych výsledků. Mnozina mozných výsledků nahodneho po-kůsů tvon základní prostor. System podmnozin základního prostorů, ktery je ůzavreny vzhledem k mnozinovým operacmi, se nazýva jevove pole. Zakladný prostor spolů s jevovým polem označujeme jako meritelný prostor. Podmnozina, ktera patrí do jevoveho pole, je jev. Cely zakladní prostor je jevem jistým, prazdna mnozina jevem nemoZným. Šanci jevů na ůskůtecnení vyjadrůjeme pomocí pravdepodobnosti, coz je fůnkce, ktera kazdemů jevů prirazůje císlo mezi 0 a 1 a splnůje ůrcite axiomy, ktere stanovil růský matematik A. N. Kolmogorov tak, aby pravdepodobnost byla „zidealizovanym" protejskem relativný cetnosti. Pri mnohonýsobnem nezýavislýem opakovýanýí týehoŠz nýahodnýeho pokůsů totiŠz platýí empirický zá kon velkých Čísel: relativní cetnost jevů se ůstalůje kolem nejake konstanty, kte-roů povazůjeme za pravdepodobnost tohoto jevů. Meritelny prostor spolů s pravdepodobností tvorí pravdepodobnostní prostor. V praxi se nej-casteji poůzívý klasický pravdepodobnost zavedena jako podíl poctů tech výsledků, ktere jsoů príznive nastoůpení daneho jevů, a poctů vsech mozných výsledků. Kontrolní otazky a Úkoly 1 Uved'te príklad deterministickeho pokůsů a nahodneho pokůsů. 2 Nahodny pokůs spodVa v hodů dvema kostkami. Urcete zakladný prostor. 3 Pro zkoůsků provozný spolehlivosti ůrciteho zarýzený je predepsan tento postůp: zaŠrýzený je ůvedeno v Šcinnost pŠetkrýat pŠri maximaýlným zatýŠzený. Jakmile pri nekterem z techto peti pokůsů zarýzený selze, nesplnilo podmýnky zkoůsky. Oznacme Aj jev: „pri i-tem pokůsů zarýzený selhalo" pro i = 1,... , 5. Pomocý jevů Aj vyjýdrete jevy: a) ZaŠrýzený neproŠslo ůýspŠeŠsnŠe zkoůŠskoů. b) Prvný tri pokůsy byly ůspesne, ve 4. a 5. pokůsů zarýzený selhalo. c) 1. a 5. pokůs byly ůýspŠeŠsnýe, ale zkoůŠska byla neůýspŠeŠsnýa. 4 Formůlůjte emiprický zakon velkých ďsel. 5 Uved'te pŠrýíklad sitůace, v nýíŠz nelze poůŠzýít klasickoů pravdŠepodobnost. 6 Z karetní hry o 32 kartach vybereme nahodne bez vracení 4 karty. Jaka je pravdepodobnost, ze aspoň jedna z nich je eso? 62 7 Dva hraci hazejí strídave mincí. Výhrava ten, komů padne drív líc. Stanovte pravdepodobnost výhrý 1. hrýce a pravdepodobnost výhrý 2. hrace. 8 Chevalier de Mere pozoroval, ze pri hazení tremi kostkami padý soůcet 11 casteji nez soůcet 12, i kdýz podle jeho nýzorů (nespravneho) maji' oba soůctý stejnoů pravdepodobnost. Stanovte pravdepodobnost oboů jevů. 9 Stůdent se ke zkoůsce pripravil na 15 otazek z 20 zadaných. Pri zkoůsce si výbere nahodne dve otýzký. Jaka je pravdepodobnost, ze aspon na jednů zný odpoved'? 10 Mezi nasledůjícími tvrzeními výberte ta, který jsoů pravdivý: a) p (a n b) < p (b), b) p (a u b) < p (b), c) p (a U b) < p (a) + p (b), d) p (a) < 0. I 63 5. Jev a jeho pravděpodobnost 64 Stochasticky nezávislé jevy a podmíněná pravděpodobnost 6. Stochasticky nezávisle jevy a podmíněna pravděpodobnost Cíl kapitoly Po prostudovíaní tíeto kapitolý budete umnet ■ overit stočhastičkou nezívislost posloupnosti jevu ■ resit príkladý výuzívajíčí stočhastičkou nezavislost jevu pončíítat podmíínnenou pravdnepodobnost pounzíít vnetu o naísobeníí pravdnepodobnostíí, vzoreč pro uíplnou pravdne-podobnost a Baýesuv vzoreč I (časová zatez Pro zvlídnutí teto kapitolý budete potrebovat asi 6 hodin studia. Z predesle kapitolý víme, ze pravdepodobnost je „zidealizovaným" protejskem relativní četnosti. Lze tedý očekavat, ze stočhastičký nezívisle jevý zavedeme podobne jako četnostne nezavisle mnoziný: pomočí multiplikativního vztahu. Uvedeme vlastnosti stočhastičký nezavislíčh jevu a s jejičh pomočí odvodíme dve dulezita rozlození pravdepodobnosti - geometričke a binomičke, ktera majíí, jak uvidííme pozd eji, častíe výu zitíí v praxi. 6.1. Definice Nečht' (Q, A, P) je pravdepodobnostní prostor. Jevý A1, A2 G A jsou stochasticky nezávislé, jestlize P(A1 n A2) = P(A1)P(A2). (Tento vztah znamena, ze informače o nastoupení jednoho jevu neovlivní sanče, s nimiz očekáváme nastoupení druheho jevu. Stočhastička nezávislost jevu A1, A2 je motivována četnostní nezavislostí mnozin G1, G2 ve váberovem souboru - viz definiče 1.6.) Jevý A1,..., An G A jsou stochasticky nezávislé, jestlize platí sýstem multiplikativníčh vztahu: V1 < i < j < n : P(Ai n Aj) = P(Ai)P(Aj), V1 < i < j < k < n : P (Ai n Aj n Afc) = P (A*)P (Aj )P (Afc). P (A1 n •••n An) = P (A1) ...P (An). Jevý A1, A2, • • • G A jsou stochasticky nezávislé, jestlize pro vsečhna prirozena n jsou stočhastičký nezavisle jevý A1,..., An G A. (Upozornení: pri overovaní stočhastičke nezavislosti jevu musíme prozkoumat platnost vsečh multiplikativníčh vztahu.) 6.2. Veta a) Nemonznýí jev je stočhastičký nezíavislíý s kanzdýím jevem. b) Jistýí jev je stočhastičký nezíavislíý s kanzdíým jevem. č) Stočhastička nezavislost se neporusí, jestlize nektere (nebo i vsečhný) jevý nahradíme jevý opančnýími. d) Neslunčitelníe jevý nemohou býít stočhastičký nezíavislíe (pokud nemají vnsečhný nulovou pravdnepodobnost). 66 6.3. Příklad Nezávisle opakujeme týž náhodný pokus. Necht' jev Aj znamená úspěch v item pokusu, přiCemž P (Aj) = v, i =1, 2,... Vypocátejte pravdepodobnost, že a) prvnímu uspechu předchází z neuspechu, z = 0,1, 2,..., b) v prvních n pokusech nastane prave y uspechu, y = 0,1,..., n. Řešení: ad a) p(Ä[ n-nín Az+1) = pCÄI) ... p(a~z)p(az+1) = (1 (geometricke rozložení pravdepodobností) ad b) P((Ain- • -nA^nA^n- • -nAra)u- • -u^n- • •nA,-!/nAl_s+in- • -nAra)) = P(Ai)... p(ay)p(Ä^r1)... p(Än) + ■■■ + + p(a1)... p{an_y)p{an_y+l)... p{an) vy(1 - v)n-y + • • • + (1 - v)n-yvy ny vy (1 - v)n-y (binomicke rozlození pravdepodobností) Nyní zavedeme podmínenou pravdepodobnost na zaklade analogie s podmí-nenou relativní cetností. Shrneme vlastnosti podmínene pravdepodobnosti a naucíme se pouzívat vzorec pro vypocet íplne pravdepodobnosti a Bayesuv vzorec. I 6.4. Definice Necht' (Q, A, P) je pravdepodobnostní prostor a dale H G A jev s nenulovou pravdepodobností. Podmíněnou pravděpodobností za podmínky H rozumíme funkci P(.|H) : A — R danou vzorcem: A G A : P(A|H) P (A n P(H) H) . (Vysvetlení: Opakovane nezívisle provídíme tíz níhodny pokus a sledujeme nastoupení jevu A v tech pokusech, v nichz nastoupil jev H. Podmínenou relativní cetnost A za podmínky H jsme v definici 1.4 zavedli vztahem • Tato podmíněná relativní četnost se s rostoucím počtem pokusu ustaluje kolem konstanty P(A|H), kterou povazujeme za podmínenou pravdepodobnost jevu A za podmínky H.) p(A|H) 6.5. Veta T Pro podmínénou pravdépodobnost platí: N^ísl a) P(ai n a2) = P(ai)p(a2|a!) pro p(ai) = 0. £ b) p(ai n a2) = p(a2)p(ai|a2) pro p(a2) = 0. c) p(a:na2n- • -na„) = p(Ai)p(A2|Ai)p(As|Aina2)... p(a„|ain- • -n ara_i) pro p(ain- • -nara_i) = 0. (Véta o násobení pravdepodobností) 67 6. Stochasticky nezavisle jevy a podmínena pravdepodobnost d) Jevy Ai, A2 jsou stočhastičky nezívisle, príve kdyz P(Ai|A2) = P(Ai) nebo P(A2) = 0 a príve kdyz P(A2|A1) = P(A2) nebo P(A1) = 0. 6.6. Příklad Ze skupiny 100 vyrobku, ktera obsahuje 10 zmetku, vybereme níhodne bez vračení 3 vírobky. Vypočtete pravdepodobnost jevu, ze první dva vyrobky budou kvalitní a tretí bude zmetek. Řešení: Jev Ai znamena, ze i-tí vybraní vírobek je kvalitní, i = 1, 2, 3. Počítíme P(A, ni2n5) = P(A1)P(A2\A1)P(Ä3\A1 n A2) = ^ • § • f = 0,083. I 6.7. Veta Nečht' (Q, A, P) je pravdepodobnostní prostor, H1,..., Hn G A takove jevy, n ze P(Hi) > 0, U Hi = Q, Hi n Hj = 0 pro i = j (ríkame, ze jevy H1,..., Hn i=1 tvorí uplní system hypotez). a) Pro libovolní jev A G A platí vzoreč uplne pravdepodobnosti: n P(A) = P(Hi)P(A| Hi). i=1 b) Pro libovolnou hypotezu Hk, k = 1,..., n a jev A G A s nenulovou pravdepodobností platí Bayesuv vzoreč: P(Hk\A) — . (P(Hk |A) se nazíva aposteriorni pravděpodobnost hypotezy Hk, P(Hk) je apriorní pravdepodobnost.) 6.8. Příklad Je znamo, ze 90% vírobku odpovída standardu. Byla vypračovína zjed-nodusena kontrolní zkouska, ktera u standardního vírobku da kladny vy-sledek s pravdepodobností 0,95, zatímčo u vyrobku nestandardního s pravdepodobností 0,2. Jakí je pravdepodobnost, ze a) zkouska u níhodne vybraneho vyrobku dopadla kladne, b) vírobek, u nehoz zkouska dopadla kladne, je standardní? Řešení: Jev A znamena, ze zkouska u níhodne vybraneho vírobku dopadla kladne, jev H1 znamena, ze vyrobek je standardní, jev H2 znamení, ze vírobek není standardní, P(H1) = 0,9, P(H2) = 0,1, P(A|H1) = 0,95, P(A|H2) = 0,2. ad a) P (A) = P (H^P (A|H^+P (H2)P (AH2) = 0,9-0,95+0,1-0,2 = 0,875 adb) P(HM) = P{Hí^l) = °-f§^ = ^- 68 Shrnutí kapitoly Stochasticky nezávisle jevy jsou protipólem deterministicky zavislích jevu: informace o nastoupení jednoho jevu nijak nemení sance, s nimiz ocekí-vame nastoupení druheho jevu. Formalne zavadíme stochastickou nezavislost jevu pomocí multiplikativních vztahu na zaklade analogie s cetnostní nezí-vislostí mnozin. Pomocí stochasticky nezavislych jevu lze odvodit geomet-ricke a binomicke rozloZen á pravdepodobnost í. Obe tato rozlození se casto pou zíívajíí v praxi. Podmínena relativní cetnost motivuje zavedení podmn ínene pravdepodobnosti - zkoumame pravdepodobnost nastoupení nejakeho jevu za podmínky, ze nastal jiní jev. Podmínena pravdepodobnost se vyskytuje v neko-lika dulezitích vzorcích, ktere umoznují resit radu príkladu. Jedna se o vetu o n ásoben í pravdepodobnost í , vzorec pro vypocet Upln e pravdepodobnosti a BayesUv vzorec. Kontrolní otazky a Úkoly 1 Uved'te príklad stochasticky nezavislích jevu 2 Necht' P (A) = p, P (B) = q. Pomocí císel p, q vyjadrete pravdepodobnost nastoupení aspoň jednoho z jevu A, B, jsou-li tyto jevy a) stochasticky nezíavislíe, b) nesluňcitelníe. 3 Co lze říci o jevech A, B, ktere nejsou nemozne a platí pro ne: I P(A U B) [1 - P (A)][1 - P (B)]? 1 4 Je pravdepodobnejsí vyhrat se stejne silním souperem tri partie ze ctyr nebo p et z osmi, kdy z nerozhodnyí vyísledek je vylou cen a víysledky jsou nezíavislíe? 5 První delník vyrobí denne 60 vírobku, z toho 10% zmetku. Druhy delník vyrobí denne 40 vyrobku, z toho 5% zmetku. Jakí je pravdepo-dobnost, ňze níahodnňe vybraníy vyírobek z denní produkce je zmetek a pochíazí od prvního dňelníka? 6 Ze sesti vajec jsou dve praskla. Nahodne vybereme dve vejce. Jaka je pravdňepodobnost, ňze budou a) obňe prasklía, b) príavňe jedno prasklíe, c) obňe dobría? 7 Doplňte chybějící člen x v rovnici P(B) = P(B\A)P(A) + xP(A). 8 Pro jake jevy A, B, B = 0 platí P (A|B) = P (A)? 9 Co lze říci o jevech A1,..., An s nenulovymi pravdepodobnostmi, ktere jsou nesluňcitelníe a jejich sjednoceníím je celyí zíakladníí prostor? 10 Pojist'ovací spolecnost rozlisuje pri pojist'ovaní tri skupiny ridicu - A, B a C. Pravdepodobnost toho, ze ridic patrící do skupiny A bude mít b ehem roku nehodu, je 0, 03, zatíímco u ridi ce skupiny B je to 0,06 a u 69 6. Stochasticky nezávisle jevy a podmíněna pravděpodobnost r idic e skupiny C 0,1. Podle dlouhodobích zíznamu spole c nosti je 70% pojistnych smluv uzavreno s r idici skupiny A, 20% s ridici skupiny B a 10% s r idi ci skupiny C. Jestli ze do slo k nehode r idi ce poji st eneho u tíeto spole cnosti, jakía je pravd epodobnost, ze pat ril do skupiny C? 11 U jisteho druhu elektrickeho spot rebi ce se s pravdepodobností 0,01 vyskytuje vyírobníí vada. U spot rebi ce s touto vyírobníí vadou dochíazíí v zarucní lhute k poruse s pravdepodobností 0,5. Vírobky, ktere tuto vadu nemají, se v zarucní lhute porouchají s pravdepodobností 0,01. Jakía je pravd epodobnost, ze a) u nahodne vybraneho vyrobku nastane v zarucní lhut e porucha, b) vyrobek, ktery se v zírucní lhut e porouchí, bude mít dotycnou víyrobníí vadu? I 70 I ľ Nahodna veliCina a její distribuční funkce 7. Náhodná veličina a její distribuční funkce Cíl kapitoly Po prostudování teto kápitolý budete umet: ■ číselne popsát vásledký náhodneho pokusu pomočí náhodnáčh veličiná á náhodnýčh vektorů, ■ nájít distribuční funkči náhodne veličiný či náhodneho vektoru, rozli sit diskráetnáí á spojitáe nááhodnáe veli činý á nááhodnáe vektorý á nájáít jejičh funkčionální čhárákteristiký, ■ overit stočhástičkou nezávislost náhodnáčh veličin. Casová zátež Ná prostudování teto kápitolý budete potrebovát ási 8 hodin studiá. Náůčíme se, ják popisovát výsledký náhodneho pokusu pomočí náhodne veličiný, tj. zobrázení, ktere moznemu vásledku prirádí číslo či nekolik čísel. Existuje zretelná ánálogie mezi znákem, který známe z 1. kápitolý, á náhodnou veličinou. V nekteráčh sitůáčíčh potrebujeme náhodnou veličinu tráns-formovát. Získáme slozenou funkči zvánou tránsformováná náhodná veličiná. Státistiká částo zájímá právdepodobnost jevu, ze hodnotá náhodne veličiný nepresáhne nejákou mez. Pomočí teto pravdepodobnosti závedeme distribuční funkči, která je „zideálizováným" protejskem empiričke distribuční funkče, s náí z jsme se setkáli ve 2. kápitole. Seznáámáíme se s vlástnostmi distribu čnáí funkče á výresíme nekolik príkládů. 7.1. Definice Libovolná funkče X : Q — R, která kázdemu moznemu výsledku u G Q prirazuje reálne číslo X (u), se názývá náhodná veličina á číslo X (u) je (číselná realizace náhodne veličiny X příslušná moznemu výsledku u. Usporádáná posloupnost náhodnáčh veličin (Xi,..., Xn) se názývá náhodná vektor á znáčí se X. Je-li g : R — R (resp. ... , gm) : Rn — Rm) funkče, pák slozená funkče Y = g(X) (resp. Y = (Yi,..., Ym) = (gi(xi,.. .,Xn),... ,gm(xi,.. .,Xn))) se názývá tránsformováná náhodná veličiná (resp. tránsformováná náhodný vektor). Výsv etlenáí: Nááhodnáá veli činá i nááhodnáý vektor popisujáí váýsledký nááhodnáeho pokusu pomočáí reáálnýáčh čáísel. Musáí p ritom splnovát podmáínku tzv. m e ritel-nosti, kterou se zde nebudeme zábýávát. Nááhodnáá veli činá v po čtu právd e-podobnosti á znák v popisne státističe - viz definiče 1.8 - jsou siče pojmý blízke, nikoli vsák totozne. Znák lze povázovát zá náhodnou veličinu, pokud jeho hodnotu zjist'ujeme ná objektu, který býl výbrán ze zákládního souboru náhodne. Upozornená: V dálsám textu se omezáme ná dvourozmerne náhodne vektorý. Poznátký lze jednoduse zobečnit i ná n-rozmerne náhodne vektorý. 7.2. OznaCení Nečht' B C R. Jev {u G Q; X (u) G B} zkráčene zápisujeme {X G B} á čteme: náhodná veličiná X se reálizoválá v mnozine B. ■ 72 7.3. Definice Pravdepodobnostní chovaní nahodne veliciny X (resp. nahodneho vektoru X = (Xi,X2)) popisujeme distribuční funkcí $ : R — R, ktera je dana vztahem: Vx G R : $(x) = P (X < x) (resp. simultínní distribuční funkcí $ : R2 — R, kterí je definovína vztahem: V(x1 ,x2) G R2 : $(x1 ,x2) = P(Xi < Xi,X2 < X2)). Vysvetlení: Distribucní funkce $(x) je zidealizovanym protejskem empiricke distribucní funkce F (x) zavedene v definici 2.4 ci 2.14: Vx G R : F (x) = N. S rostoucím rozsahem výběrového souboru se budou hodnoty F(x) ustalovat kolem hodnot $(x). 7.4. Příklad Najd ete distribu cníí funkci níahodníe veli ciny X, ktería udíavaí, jakíe cííslo padlo p ri hodu kostkou a nakreslete graf tíeto distribu cníí funkce. Řešení: Nahodní velicina X muze nabívat hodnot 1, 2, 3, 4, 5, 6. Číselnou osu tedy rozdelíme na 7 intervalu. x G (-oo, 1) : $(x) = P (X < x) = 0 x G (1,2) : $(x) = P (X < x) = - 6 x G (2, 3) : $(x) = P(X < x) = \ + \ = \ 6 6 6 x G (3, 4) : $(x) = P(X< x) = 1 + 1 + 1 = 1 6 6 6 6 x G (4,5) : $(x) = P(X < x) = \+ \+ \+ \ = ~a 6 6 6 6 6 x G (5, 6) : $(x) = P(X 0,h2 > 0 : P(x1 < X1 < x1 + h A x2 < X2 < x2 + h2) = $(x1 + ,x2 + ^2)-$(x1 + h1,x2)-$(x1 ,x2 + fr-2) + $(x1,(tato vlastnost vyjadrůje pravdepodobnost, ze níhodní vektor se realizůje v obdelníků (x1,x1 + h1) x (x2,x2 + h2)), lim 3(x1,x2) = $1(x1), lim $(x1,x2) = $2(x2), kde $1^1), $2(x2) X2 —0 X1 —0 jsoů distribůční fůnkče nahodnyčh veličin X1, X2. Nazyvají se mar- ginalní distribůční fůnkče. 7.6. Příklad Nahodny vektor (X1,X2) ma distribůční fůnkči $(x1,x2) 1 V2 arčtg x1 + I) (arctS - -„í.j-___c x2 + Vypočtete pravdepodobnost, ze níhodní vektor (X1,X2) se bůde realizovat v jednotkovem čtverči (0,1) x (0,1). Najdete obe marginalní distribůční fůnkče $1(x1), $2(x2). Řešení: Podle 4. vlastnosti v vety 7.5(b), kde x1 dostaívíame 0, x2 = 0, h = 1, P(0 < X1 < 1 A 0 < X2 < 1) = $(1,1) - $(1, 0) - $(0,1) + $(0, 0) 1 /n n V2 V4 + 2 $1(x1) $2(x2) lim — X2—00 n2 lim \ xi—00 n2 4 + 2 1 /n n V2 V4 + 2 0+ 1 / n arčtg x1 + arčtg x1 + 4 + 2 1 / n |) (arctg |) (arctg x2 + x2 + 1 n 1 n 0+ 1 16' arčtg x1 + arčtg x2 + 7T 0 74 Nyní se budeme zabývat dvěma speciálními typy náhodných veličin, a to diskrétními a spojitými náhodnými veličinami. Diskrétní náhodná veličina nabývá nejváse spočetne mnoha izolovanách hodnot, zatímco spojita veličina nabývá vsečh hodnot z nejakeho intervalu. Pravdepodobnostní čhovaní diskrétní (resp. spojite) nahodne veličiný popáseme pomočá pravdepodobnostná funkče (resp. pomočá hustotý pravdepodobnosti). Uvidáme, Ze vlastnosti pravdepodobnostní funkče jsou podobne jako vlastnosti četnostní funkče a vlastnosti hustotý pravdepodobnosti jsou analogičke vlastnostem hustotý četnosti. 7.7. Definice a) Skalární prípad: Náhodná veličina X se nazýva diskrétní, jestliže její distribuční funkči lze výjadrit pomočí nezaporne funkče n(x) v součtovem tvaru: Vx G R : $(x) = Funkče n(x) se nazýva pravděpodobnostní funkce diskrétní náhodné veličiny X. b) Vektorová prípad: Nahodný vektor (Xi,X2) se nazýva diskrétní, jest-lize jeho simultanná distribučná funkči lze výjádrit pomočá nezaporne funkče n(x1,x2) v součtovem tvaru: V(xi,X2)R2 : $(xi,X2) = Y Y n(*i,*2). Í1 0 (nezapornost), oo ■ n (x) = 1 (normovanost), x=—oc 75 7. Náhodná veličina a její distribuční funkce G R I Vx VB C R : vr(x) = P (X = z). P{X G B) = E vr(x). b) Vektorový případ: Je-li 7r(xi, z2) simultánní pravděpodobnostní funkce diskrétního náhodněho vektoru (X1,X2), pak platí: ■ V(z1 , x2) G R2 : n(z1,z2) > 0 (nezípornost), oo oo ■ ff(x1,x2) = 1 (normovanost). ici=—oo X2=—oc ■ V(xi, x2) G R2 : vr(xi, x2) = P{Xi = xi A X2 = x2), m \/B C R2 : P((X!,X2) G B) = E 7r(x!,x2), (xi,x2)es oo ■ E tt(xi,x2) = 7Ti(xi), E tt(xi,x2) = 7r2(x2), přičemž 7Ti(xi), X2=—o xi=—oc n2(x2) jsou marginílní pravdepodobnostní funkce nahodných veličin 7.9. Příklad Pravdepodobnost poruchy každe ze trí nezavisle pracujících vírobních linek je 0,5. Nahodní velicina X udava pocet výrobních linek, ktere mají poruchu. Najdete pravdepodobnostní funkci nahodne veliciný X. Řešení: Nahodna velicina X nabýva hodnot 0,1, 2, 3. n(0) = P (X = 0) = 0,53 = 0,125, = P(X = 1) = 3 • 0,53 = 0,375, n(2) = P(X = 2) = 3 • 0,53 = 0,375, n(3) n(x) P (X = 3) 0 jinak. 0,53 0,125, 7.10. Příklad Je dan systém složený ze dvou bloků. Pravděpodobnost, že i-tý blok správně funguje, je Vj, i = 1, 2, a pravdepodobnost, že správne fungují oba bloky, je v12. Necht' náhodna veličina Xj je ukazatel fungovaní i-teho bloku, tj. 1 , pokud i-týy blok funguje, 0, pokud i-tý blok nefunguje, { i 1, 2. Najdete simultánní pravdepodobnostní funkci n(x1,x2) náhodneho vektoru (X1,X2) a obe marginalní pravdepodobnostní funkce n1 (x1) a n2(x2). Řešení: Hodnoty pravdepodobnostních funkcí zapíseme do kontingenční tabulky. Xj x2 VTl(Xi) 0 1 Xi 0 1 — 1/1 — U2 + V\2 V2 ~ V\2 1-Pl 1 V\ ~ V\2 vr2(x2) 1 — V2 V2 1 76 7r(0, 0) = P(X1 = 0 A X2 = 0) = 1 - P(X1 = 1 V X2 = 1) = 1 - (Vl + V2 - V12) = 1 - Vi - V2 + Vi2, n(0,1) = P(Xi = 0 A X2 = 1) = P(X2 = 1) - P(Xi = 1 A X2 = 1) = = V2 - Vi2, 0) = P (Xi = 1 A X2 = 0) = P (Xi = 1) - P (Xi = 1 A X2 = 1) = = Vi - Vi2, 1) = P (Xi = 1 A X2 = 1) = Vi2, , x2) = 0 jinak. 7.11. Definice a) Skalární případ: Nahodna veličina X se nazývá spojitá, jestliže její distribuční funkci lze výjadřit pomocí nezaporne funkce <^(x) v integrainím tvaru : Vx G R : $(x) Funkce <^(x) se nazýva hustota pravdepodobnosti spojité náhodné veličiny X. b) Vektoroví prípad: Nahodní vektor (Xi,X2) se nazýva spojitá, jestlize jeho simultanní distribucní funkci je mozne výjadrit pomocí nezaporne funkce ^(xi,x2) v integrílním tvaru: X1 X2 V(xi,X2) G R2 : $(xi,X2) J J ^(íi,Í2) dŕidÍ2. I Funkce ^(xi,x2) se nazýva simultánní hustota pravdepodobnosti spojitého náhodného vektoru (Xi,X2). Výsvetlení: Hustota pravdepodobnosti <^(x) je zidealizovaným protejskem hustotý cetnosti f (x) zavedene v definici 2.14. S rostoucím rozsahem víbero-veho souboru a klesající sirkou trídicích intervalu se hodnotý hustotý cetnosti ustalují kolem hodnot hustotý pravdepodobnosti. Spojita nahodna velicina nabýví vsech hodnot z nejakeho intervalu. Její distribucní funkce je vsude spojita. Simultanní hustota pravdepodobnosti je zidealizovaním protejskem simultanní hustotý cetnosti zavedene v definici 2.17. S rostoucím rozsahem vý-beroveho souboru a klesající plochou dvourozmerných trídicích intervalu se hodnotý simultanní hustotý pravdepodobnosti a ustalují kolem hodnot simultanní hustotý cetnosti. 7.12. Veta a) Skalarní prípad: Je-li <^(x) hustota pravdepodobnosti spojite níhodne veliciný X, pak platí: 77 7. Nahodna veliCina a její distribuCní funkce I Vx G R : <^(x) > 0 (nezapornost) oc / <^(x) dx =1 (normovanost) Vx G R : P (X = x) = VB C R : P (X G B) 0 j t/?(x) dx ■ ip(x) = ve všech bodech spojitosti funkce 0 (nezápornost) oo oc ■ J J ^(x1,x2) dx1dx2 = 1 (normovanost) V(x1 ,x2) G R2 : P((X1 = x1) A(X2 B G R2 : P((X1,X2) G B)= // (xi,x2)eB x2)) = 0 ^(x1, x2) dx1dx2 ■ J <^(x1,x2) dx2 = ^1(x1)^ ^(x1,x2) dx1 = <£2(x2), pričemz ^1(x1). — oo —oc ¥?2(x2) jsou marginalní hustotý pravdepodobnosti nahodnýčh veličin X1 , X2. 7.13. Príklad Na automatičkíe linče se plníí laíhve mlíekem. Kanzdaí líahev mía obsahovat pnresnne 1000 ml mleka, ale v dusledku pusobení nahodnýčh vlivu mnozství mleka kolísa v intervalu (980 ml, 1020 ml). Kazde mnozství mleka v tomto intervalu povanzujeme za stejnne monzníe. Níahodnía velinčina X udíavía mnonzství mlíeka v nahodne výbrane lahvi. Najdete její hustotu pravdepodobnosti <^(x) a distribuční funkči $(x). ! RResení: k pro x G (980, 1020), 0 jinak. 1020 Z normovanosti hustoty plyne: 1 = J kdx = 40fc, tedy k = ^. Pro dis- 980 tribunční funkči platí: 0 $(x) pro x < 980, x~980 pro 980 < x < 1020; 980 1 40 pro x > 1020. 7.14. Príklad Spojitíý níahodnýí vektor (X1, X2) mía simultaínní hustotu pravdnepodobnosti ¥>(x!,x2 ) 1 n2(1+ x2)(1+ x2)2' 78 Najdete obe marginalní distribuční funkče <^2(x2). Řešení: oo oc 1 n2(1+ x1) [arčtg X2 ] 1 n2(1 + x1 ) V2 p dX2 1 + x2 n(1 + x1) Analogičky dostavame x2)" V popisne statističe, konkretne ve 2. kapitole, jsme se setkali s četnostní nezavislostí znaku v danem vyberovem souboru. V počtu pravdepodobnosti ma tento pojem svou analogii ve stočhastičke nezívislosti nahodníčh veličin. Spočítame nekolik príkladu, v ničhz se vyskytují stočhastičky nezívisle veličiny, a ukazeme si, ze transformovaním se stočhastička nezavislost níhodníčh veličin neporusí. 7.15. Definice a) Obečny prípad: Řekneme, ze nahodne veličiny X1,... , Xn s margi-nalními distribučními funkčemi ... , $n(xn) a simultanní distribuční funkčí ... , xn) jsou stochasticky nezávisle, jestlize pro V(x1,... , xn) G b) Diskretní prípad: Řekneme, ze diskretní nahodne veličiny X1,... ,Xn s marginílními pravdepodobnostními funkčemi n1 ..., nn(xn) a simultanní pravdepodobnostní funkčí n(x1,...,xn) jsou stočhastičky nezívisle. jestlize pro V(x1,... , xn) G Rn : ,... , xn) = )nn(xn). č) Spojití prípad: Řekneme, ze spojite nahodne veličiny X1,... , Xn s marginílními hustotami pravdepodobnosti ^1 ..., <^n (xn) a simultínní pravdepodobnostní funkčí ,... , xn) jsou stočhastičky nezívisle, jestlize pro V(x1,... , Xn) G Rn : (£l,£2) { k přo - 0,5 < x1 < 0,5; -0,2 < x2 < 0,2, 0 jinak. Určete konstantu k, najděte marginální hustoty pravděpodobnosti Lpi(x\). <£2(x2), simultánní distribuční funkči $(xi,x2), obě marginální distribuční funkče $2(x2), vypočítejte pravděpodobnost P((—0,1 < X1 < 0,1) A (—0,1 < X2 < 0,1)) a zjistete, zda níhodne veličiny X1, X2 jsou stočhastičky nezavisie. Rešení: Z normovanosti simultínní hustoty pravdepodobnosti plyne: 0,5 0,2 1= j j kdx1dx2 = = k • 1 • 0,4 == k = 2,5. -0,5 -0,2 Mařginílní hustotý přavdepodobnosti pomocí vetý 7.12 (b): 0,2 = j 2,5dx2 = 2,5[x2]-02 = 1 přo — 0,5 < x1 < 0,5, 0,2 = 0 jinak. Podobne 0 5 - 0,5 ^2(^2) = 0 jinak. Z definice 7.11 (vektořový případ) plýne: X1 X2 $(x ,X2)^ j 2,5«2 = 2,5[Í1]-10,5[Í2]-20,2 = 2,5(x1 + 0,5)(x2 + 0,2) 0,5 0,2 přo —0,5 < x1 < 0,5, —0,2 < x2 < 0,2, ,x2) = 0 přo x1 < —0,5 nebo x2 < —0, 2, $(x1,x2) = 1 přo x1 > 0,5 a x2 > 0,2. Z definice 7.11 (skalařní případ) dostaneme: X1 $1(^1) 0,5 0,5 1 dt1 = [t1 ]X10 5 = X1 + 0,5 80 pro —0,5 < x\ < 0,5, $i(xi) = 1 pro x\ > 0,5, $i(xi) = 0 pro x\ < —0,5. Dále -0,2 1 dt2 = [t X2 2J- 0,2 2,5(x2 + 0,2) pro —0,2 < x2 < 0,2, $2(x2) = 1 pro x2 > 0,2, $2(x2) = 0 pro x2 < —0,2. Stochastickou nezávislost náhodných veličin X1,X2 overíme pomocí definice 7.15 (c): V(x1,x2) G R2 : ^(x1,x2) = ^1(x1)^2(x2), tedy nýhodne veliciny X1,X2 jsou stochasticky nezávisle. 7.17. Příklad Diskrétní náhodný vektor (X1, X2) mý simultýnní právdepodobnostní funkci n(x1,x2) dánou hodnotámi: n(—1, 2) = n(—1, 3) = n(0, 3) = 0) = 1) = 0, n(—1,0) = n(0,1) = 2) = 2c, n(—1,1) = n(0,0) = n(0, 2) = 3) = c. Urcete konstántu c, hodnotu simultýnní distribucní funkce $(0, 2), obe márginální právdepodobnostní funkce n1(x1), n2(x2) á hodnotu márginální distribucní funkce Zjistete, zdá náhodne veliciny X1 , X2 jsou stochásticky nezíávislíe. Řešení: Hodnoty simultánní právdepodobnostní funkce n(x1, x2) usporídíme do kon-tingencní tábulky, kterou jeste doplníme o sloupec s hodnotámi n1 (x1) á rádek s hodnotámi n2(x2). Tyto hodnoty získíme pomocí vety 7.8 (vektorový prípád). x2 VTl(Xi) 0 1 2 3 -1 2c c 0 0 3c X\ 0 c 2c c 0 4c 1 0 0 2c c 3c 7T2(X2) 3c 3c 3c c 1 Z normovánosti právdepodobnostní funkce diskrétního náhodneho vektoru (viz vetá 7.8, vektoroví prípád) dostáváme 10c = 1, tedy c = 0,1. Z definice diskrétního náhodneho vektoru (definice 7.7, vektorovy prípád) plyne $(0, 2) = n(—1, 0) + n(—1,1) + n(—1, 2) + n(—1, 3) + n(0, 0) + + n(0,1) + n(0, 2) = 0,2 + 0,1 + 0 + 0,1 + 0,2 + 0,1 = 0,6. Z definice diskrétní náhodne veliciny (definice 7.7, skálírní prípád) plyne $1(1) = 7n(—1) + 7n(0) + n (1) = 0,3 + 0,4 + 0,3 = 1. Pokud by náhodné veličiny Xi,X2 byly stochasticky nezávislé, musel by pro všechna V(x1 ,x2) G R2 platit multiplikativní vztah: ,x2) = n1(x1)n2(x2) (viz definice 7.15 (b)). Avšak jiZ pro x1 = —1, x2 = 0 dostáíváíme dy, vztáh splnen není á náhodne veliciny X1 ,X2 nejsou stochásticky nezívisle. n(—1,0) = 0,2, n1 (—1) = 0,3, n2(0) = 0,3. Vidíme tedy, ze multiplikátivní ^rvtah Qnl x 2 81 7. Nahodna veličina a její distribuční funkce I 7.18. Veta Jsoů-li níhodne veličiny X1,...,Xn stočhastičky nezavisle, pak jsoů sto-čhastičky nezavisle take transformovane níhodne veličiny Y1 = g1(X1),... , Yn gra(Xra). Shrnutí kapitoly Nahodna veličina se zavadí jako zobrazení, ktere kazdemů vysledků nahod-neho pokůsů prirazůje číslo (pak se jedna o skaiarní nahodnou veličinu) nebo víče čísel (v tomto prípade jde o nahodný vektor). Nahodnoů veličinů lze pomočí libovolne fůnkče transformovat a získat tak transformovanou nahodnou veličinu. Pravdepodobnostní čhovíní nahodne veličiny popisůje distribuční funkce, jejíz zavedení je motivovano empiričkoů distribůční fůnkčí znamoů z popisne statistiky. Vlastnosti tečhto dvoů fůnkčí jsoů ana-logičkíe. Praktičky vyznam mají dva spečialní drůhy nahodníčh veličin. Diskretní nahodna veličina můze nabívat poůze spočetne mnoha hodnot a její pravdepodobnostní čhovaní je popsíno pravdepodobnostní funkcí, čoz je „zi-dealizovany" protejsek četnostní fůnkče. Diskr etn í n áhodný vektor je tvoren diskretními nahodními veličinami. Zabyvali jsme se nahodnymi vektory se dvema slozkami. V soůvislosti s diskretním níhodnym vektorem zavadíme simultánn í pravdepodobnostn í funkci. Margin áln í pravde-podobnostn í funkce se vztahůjí k jednotlivym slozkím níhodneho vektorů. Spojit a n ahodn í velicina nabíva vsečh hodnot z nejakeho intervalů. Její pravdepodobnostní čhovaní je popsano hustotou pravdepodobnosti, čoz je „zidealizovany" protejsek hůstoty četnosti. Spojitý n ahodný vektor je tvoren spojitími nahodními veličinami. Jeho pravdepodobnostní čhovaní je popsano simult ann í hustotou pravdepodobnosti. Margin aln í hustoty pravdepodobnosti se vztahůjí k jednotlivím slozkam níhodneho vektorů. Pomočí můltiplikativního vztahů, v nemz vystůpůjí simůltanní a marginalní distribůční fůnkče (resp. pravdepodobnostní fůnkče v diskretním prípade resp. hůstoty pravdepodobnosti ve spojitem prípade), zavedeme pojem sto-chasticke nezavislosti nahodných velicin. Kontrolní otazky a u koly 1 Uved'te príklad nahodne veličiny a nahodneho vektorů z ekonomičke praxe. 2 Najdete distribůční fůnkči nahodne veličiny, kterí ůdava počet líčů pri hodů tremi minče-mi a nakreslete její graf. 3 Rozhodnete, ktere z ůvedeníčh nahodníčh veličin jsoů diskretní a ktere jsoů spojitíe: a) počet členů domačnosti b) vek človeka v letečh č) nahodne vybrane realne číslo d) počet zakazníků ve fronte 82 e) čena výárobku f) počet zmetku z čelkove denní produkče g) delka určiteho predmetu h) zivotnost televizoru v letečh 4 Ktere funkčionalní čharakteristiký popisují pravdepodobnostní čhovaní diskretní nahodne veličiný a ktere diskretního náhodneho vektoru? 5 Ktere funkčionalná čharakteristiký popisujá pravdepodobnostná čhovaná spojite nahodne veličiný a ktere spojiteho nahodneho vektoru? 6 Je-li X diskretná nahodná veličina s pravdepodobnostná funkčá n (x), muze být n (x) > 1? 7 Je-li X spojita nahodna veličina s hustotou pravdepodobnosti <^(x). muze být <^(x) > 1? 8 Nahodna veličina udavá prumerná počet ok pri hodu dvema kostkami. Nakreslete graf jejá pravdepodobnostná funkče. 9 Diskretná nahodný vektor (X1,X2) ma simultánná pravdepodobnostná funkči n(x1,x2) danou hodnotami: n(0, 0) = n(0, 2) = 1) = n(2, 0) = n(2, 2) = 0, n(0,1) = 2)= n(2,1) = 0,25. Jsou náhodne veličiný X1, X2 stočhastičký nezávisle? 10 Nečht' spojitá vektor (X1, X2) ma simultánná hustotu pravdepodobnosti , s f 24x?x2(1 — x1) pro 0 < x1 < 1,0 < x2 < 1, ^(x1 ,x2)^0 jinak. ■ Dokazte, ze nahodne veličiný X1, X2 jsou stočhastičký nezavisle. 83 7. Nahodna veličina a její distribuční funkce 84 I Vybraná rozložení diskrétních a spojitých náhodných veliCin 8. Vybraná rozložení diskrétních a spojitých náhodných veličin Cíl kapitoly Po prostudování teto kapitoly budete umet: ■ rozlisovat dulezité typy diskrétních a spojitých rozložení ■ využívat vlastností techto rozložení pri yýpoCtu pravdepodobností různých jevU ■ hledat v tabulkach hodnot distribucní funkce standardizovaneho nor-malního rozlození (Časová zátéž Na prostudovaní teto kapitoly budete potrebovat asi 5 hodin studia. Nyní se seznamíme s préhledem dulezitych pravdepodobnostních funkcí a hustot pravdepodobnosti. Uvedeme nejenom analyticke vyjadrení techto funkcí, ale tez grafy. Vysvetlíme rovnez, vjakych situacích se lze s uvedenými rozlozeními pravdepodobnosti setkat. Zvlastním pozornost budeme venovat normalnímu rozlození, které hraje velkou roli v cele rade praktickích aplikací poctu pravdepodobnosti a, jak uvidíme pozdeji, i v matematicke statistice. I 8.1. Označení Zname-li distribucní funkci $(x) nahodne veliciny X (resp. pravdepodobnost-ní funkci n(x) v diskrétním prípade resp. hustotu pravdepodobnosti <^(x) ve spojitém prípade), pak rekneme, ze zname rozlození pravdepodobností (zkrícene rozlození) nahodne veliciny X. Toto rozlození zavisí na nejakem parametru v, coz nejcasteji bíva reílne císlo nebo reílní vektor. Zípis X ~ L(v) cteme: nahodna velicina X ma rozlození L s parametrem v. 8.2. Definice Nejprve se sezníamííme s vybraníymi rozlo zeníími diskríetníích níahodníych veli-cin. a) Degenerované rozložení: X ~ Dg(u) Tato níhodna velicina nabyva pouze konstantní hodnotu n(x) { 1 pro x = u,. 0 jinak. -1 0.5 1 1.5 Pravdepodobnostní funkce Dg(1). 2 1 0 0 2 86 b) Alternativní rozloženi: X ~ A{y) Náhodná veličina X udává počet úspěchů v jednom pokusu, přičemž pravděpodobnost ůspechu je v. 1 — v pro x = 0, = ^ v pro x =1, 0 jinak. 0.5- -0.5- -1 Pravdepodobnostní funkce A(0,75). c) Binomické rozložené: X ~ Bi(n, v) Nahodní velicina X udava pocet íspechu v posloupnosti n nezavislích opakovaných pokusu, pricemz pravdepodobnost íspechu je v kazdem pokusu v. n(x) 0.6- ! n\ ,,x X vx(1 - v)ra x pro x jinak. 0.40.20 0.2 1 0, 1,...,n I Pravdepodobnostní funkce Bi(5; 0,5). (Odvožení - viž pr. 6.3 (b).) Alternativní rozložení je speciálním prípa-dem binomickeho rozložení pro n =1. Jsou-li Xi,... ,Xn stochasticky nežívisle nahodne veliciny, Xj ~ A(v), i = 1,..., n, pak X 1 0 0 1 2 0 II 0 1 6 87 8. Vybraná rozložení diskrétních a spojitých náhodných veličin d) Geometrické rozloženi: X ~ Ge(v) Nahodní velicina X udava pocet neuspechm v posloupnosti opako-vaních nezavislých pokusu predcházejících přvnímu uspechu, přicemZ přavdepodobnost íspechu je v kazdem pokusu v. n(x) { (1 0 v)xv přo x = 0,1,... jinak. 0.30.20.10-0.1- -1 11 I Přavdepodobnostní funkce Ge(0,25). (Odvození - viz př. 6.3 (a).) e) Hypergeometricke rozloženi: X ~ Hg(N, M, n) V soubořu N přvku je M přvku oznaceno. Nahodne výbeřeme n přvku bez vřacení. Nahodna velicina X udava pocet výbřaných oznaceních přvku. n(x) { (M) (N-M) V x ) V. n — x ) (?) 0 0.50.40.30.20.1 přo x = max{0, M jinak. N + n},... min{M, n}, 0 0.1 1 Přavdepodobnostní funkce Hg(10, 7, 5). f) Rovnomerne diskrétne rozloženi: X ~ Rd(G) Necht' G je konecna mnozina o n přvcích. Nahodna velicina X nabýva se stejnou přavdepodobností kazde hodnotý z mnoziný G. n(x) ! - pro x G G. 0 jinak. 88 1 0 1 6 (Týpičkám príkladem je nahodna veličina udavajíčí počet ok pri hodu kostkou.) 0.18 0.14 0.1 0.060.02-0.02 10 Pravdepodobnostní funkče 2,..., 10}). g) Poissonovo rozložení: X ~ Po(A) Náahodnaá veli čina X udáavaá po čet udáalostáí, kteráe nastanou v jednot-kováem časováem intervalu, p ri čem z udáalosti nastaávajáí náahodn e, jednot-live a vzájemne nezavisle. Parametr A > 0 je strední počet tečhto udáalostáí. ^e"A pro x = 0,1,.... 0 jinak. n(x) ! 0.22 0.180.140.1 0.060.020.02 • • • • I I I I I I I I 0 2 4 6 8 10 12 14 16 Pravdepodobnostní funkče Po(5). 0 8.3. Příklad V rodine je 10 detí. Za predpokladu, ze čhlapči i dívký se rodí s pravdepodobností 0,5 a pohlaví se formuje nezavisle na sobe, určete pravdepodobnost, ze v teto rodine jsou nejmene 3 a nejváse 8 čhlapču. Řešení: X - počet čhlapču v teto rodine, X ~ Bi(10; 0,5), ™»*-t(í)(i)'('-ir 957 0,935. 89 8. Vybraná rozložení diskrétních a spojitých náhodných veličin 8.4. Příklad Jaká je pravděpodobnost, ze při hře „Člověče, nezlob se!" nasadíme nejpozději při třetím hodu? Řešení: X - počet neúspěchů před první šestkou, X ~ Ge(|), P(X < 2) = EÍ1- ľ)l = 0'4213- 8.5. Příklad Při provozu balicího automatu vznikají během směny náhodné poruchy, které se řídí rozloZenám Po(2). Jaka je pravděpodobnost, Ze během směny dojde aspon k jedně poruse? Řešení: X - poCet poruch během směny, X ~ Po(2), P{X > 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - — e"2 = 0,8647. I 8.6. Definice Nyní uvedeme vybraně typy spojitých rozloZení. a) Rovnoměrné spojité rozložení: X ~ Rs(a, b) Nahodná velicina X nabává se stejnou pravděpodobností kazdě hodnoty z intervalu (a,b). ! i b—a 0 pro x G (a, b), jinak. 0.4- 0.3 H 0.2 0.1 0 -0.1 -2 1 0 b) Exponenciálne, rozložené: X ~ Ex (A) 3 Hustota Rs(-1, 2). A) Náhodna velicina X udáva dobu cekaní na príchod nějakě udalosti, 90 která se může dostavit každým okamžikem se stejnou šancí bez ohledu na dosud pročekanou dobu. Přitom j vyjadřuje střední dobu čekání. I Ae Ax pro x > 0, 0 jinak. 2.2 1.81.41 0.6 0.2 -0.2 1 Hustota Ex(2). c) Normálni rozloženi. X ~ N(ß, a2) Tato nahodna veliCina vznika napr. tak, že ke konstante ß se priCíta velké množství nezavislých náhodných vlivU mírne kolísajících kolem 0. Promenlivost techto vlivU je výjídrena konstantou a > 0. 1 e z*'2 Pro // = 0, a2 = 1 se jedná o standardizovane normální rozložení, píšeme U ~ N(0,1). Hustota pravdepodobnosti ma v tomto prípade tvar 1 v7^ e 2 . Distribumí funkce standardizovaneho normalního rozložení I $(u) 77 2n je tabelovana pro u > 0, pro u < 0 se pouzíva prepoctový vzorec $(-«) = 1 - $(«). Má-li X ~ iV(ß, a2), pak [/ = ^ ~ ÍV(0,1). 0.5 0.4 0.3-1 0.2 0.1 0 32 T 1 Hustota N(0,1) 1 0.8 0.6-1 0.4 0.2 0 1 -3 -2 -10 1 2 Distribucní funkce N(0,1) 91 0 1 6 u 0 3 3 8. Vybraná rozložení diskrétních a spojitých náhodných veličin I 0.60.5 H 0.4 0.3 0.2 H 0.1 0 21 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 21 Hustota N(1; 0,5) Distribuční funkče N(1; 0,5) (Normalní rozlození hraje ustrední roli v počtu pravdepodobnosti i ma-tematičke statističe. Jeho vyznam spočíví jednak v tom, ze normalním rozlozením se rídí pravdepodobnostní čhovaní mnoha níhodníčh veličin a jednak v tom, ze za určitíčh podmínek konverguje k normílnímu rozlození součet nezavislíčh nahodníčh veličin s tymz rozlozením.) d) Dvourozměrné normální rozloZení: (X2)~M©-Cl T)) Nahodny vektor J vznika ve dvourozmerníčh situačíčh podobne jako skalarní níhodní veličina v bode (e). ¥>(X1,£2 ) 1 a1a2 e 2 kde q(x1,X2) 1 - p2 ÍX1 - pA2 X1 ^1 X2 — P2 + 0"1 0"2 ^2 ~ P2^ Pro p1 = 0, p2 = 0, a2 = 1, a2 = 1, p = 0 se jedna o standardizovane dvourozmerne normalní rozlození. Vrstevniče a graf hustoty standardizovaneho dvourozmerneho noriiml-ního rozlození: r 4 T 2 4 2 0 ■ —2 4 24 92 0 1 4 0 1 4 1 Vrstevnice a graf hustoty dvourozměrného normálního rozložení s parametry ni = 0, n2 = 0, a2 = 1, er| = 1, p = —0,75 Následující tri rozložení - Pearsonovo, Studentovo a Fisherovo-Snedeco-rovo - jsou odvozena ze standardizovaneho normalního rozložení. Mají velky význam predevsím v matematicke statistice pri konstrukci intervalu spolehlivosti a testovaní hypotez. Vyjadrení hustot techto rozlození neuvídíme, je prílis slozite - viz napr. [3].) e) Pearsonovo rozloženi chi-kvadrát s n stupni volnosti: X ~ x2(n) Nechť Xi,...,Xra jsou sťochasťicky nezávisle náhodné veliCiny, Xj ~ N(0,1), i = 1,..., n. Pak náhodná veliCina X = X2 + • • • + ~ x2(n). 0.25 0.2 H 0.15 0.1 0.05 H 0 I Husťoťa x2 (3). f) Studentovo rozloženi s n stupni volnosti: X ~ t(n) Nechť' X1, X2 jsou sťochasťicky nezávisle nahodne veliCiny a nechť' dále X1 ~ N(0,1), X2 ~ x2(n). Pak nahodná velicina X X2 n t(n). 93 0 8 8. Vybraná rozložení diskrétních a spojitých náhodných veličin I 0.6 0.4 H 0.2 H -0.2 -3 T -2 T -1 Hustota í(3). g) Fisherovo-Snedecorovo rozložení s n1 a n2 stupni volnosti: X ~ F(ni,n2) Necht' Xi,...,Xn jsou stochasticky nezávisle náhodne veličiny, Xj ~ X2 (n), i = 1, 2. Pak náhodná veličina X ni X2 n2 F(n , n2). 0.8 0.6 H 0.4 0.2 0 0.2 1 Hustota F(5, 8). 8.7. Příklad Na automaticke lince se plní lahve mlekem. Působením nahodnách vlivu množství mleka kolísa v intervalu (980 ml, 1020 ml). Kazde množství mleka v tomto intervalu považujeme za stejne možne. Jaka je pravdepodobnost, že v náhodne vybrane láhvi bude aspon 1000 ml mleka? RŘešení: X - množství mleka v náhodne vybrane láhvi, X ~ Rs(980,1020), { ^ pro x G (980,1020). 0 jinak. 1020 P(X > 1000) = j 40 dx 40' lx 020 000 0,5. 000 0 0 1 3 0 1 6 1 1 94 8.8. Příklad Doba (v minutách) potřebná k obsloužení zákazníka v prodejně potravin je náhodná veličina, která se řídí rozložením Ex(^). Jaká je pravděpodobnost, že doba potřebna k obsloužení náhodne vybraneho zákazníka v teto prodejne bude v rozmezí od 3 do 6 minut? Řešení: X - doba potřebná k obsloužení náhodně vybraného zákazníka, X ~ Ex(^). [i e 3 pro x > 0, 0 jinak. 6 P(3 < X < 6) = / \e~^ d 3 f \e~^ dx = \(-3) [e_t]g = -e-2 + e"1 = 0,233. 33 8.9. Příklad Výsledky u prijímacích zkoušek na jistou VS jsou normílne rozlozeny s parametry // = 550 bodu, a = 100 bodu. S jakou pravdepodobností bude mít níhodne vybraní uchazeč aspon 600 bodu? Řešení: X - vísledek nahodne vybraneho uchazece, X ~ N(550,1002), P (X > 600) = 1 - P (X < 600) + P (X = 600) = 1 - P (X < 600) 1 - P X a H 600 a 1 - p (u < 1 - $(0,5) = 600 - 550\ m ) 100 1 - 0,69146 = 0,31. 8.10. Příklad Necht' Xi,X2,X3,X4 jsou stochasticky nezívisle níhodne veliciny, Xj N(0,1), i = 1, 2, 3, 4. Jake rozlození mí transformovaní nahodní velicina X xVš VW+xf+x. ? I Řešení: X ~ t(3), protoze Xi ~ N(0,1) a X22 + X2 + X42 ~ x2(3). Shrnutí kapitoly Degeneřovane rozložení popisuje pravdepodobnostní chovaní konstanty, coz je nepochybne patologickí prípad. Zajímavejsí je alternativní, geo-metřicke a zvlaste binomicke rozložení. Vsechna tato rozlození souvisejí 95 8. Vybraná rozložení diskrétních a spojitých náhodných veličin s pocty úspěchů ci neúspěchů v posloupnosti opakovaných nezávislých pokusů. Hypergeometrické rozložení se vyskytuje v situacích, kdy provádíme výběr bez vracení ze souboru, ktery obsahuje oznacene prvky. Rovnomerne rozložení na dane mnozine je charakteristicke tím, ze nahodný velicina, ktera se jím rídý nabyvý kazde hodnoty z teto množiny se stejnou pravdepodobností. Podle Poissonova rozložení se chova napr. nahodný velicina udavající pocet udalostí, ktere nastanou v jednotkovem case. Za spojitych rozlození je nejjednodussí rovnomerne spojit e rozložen í. Jeho hustota je na danem intervalu konstantní a jinde nulova. Nahodna velicina s exponenci aln ím rozlozen ím udava dobu cekaní na príchod neja-ke udalosti, pricemz toto cekíní probíha „bez pameti". Vubec nejdulezitejsím rozlozením je normáln í rozlozen í, ktere vznika napr. tak, ze k nejake konstante se pricíta velke mnozství nezavislych nahodních vlivu mírne kolísajících kolem nuly. Tím se z konstanty stane nahodní velicina. Grafem normalní hustoty pravdepodobnosti je znama Gaussova krivka. Pomocí stan-dardizovaneho rozlození lze zavest dalsí tri typy specialních rozlození, a to Pearsonovo, Studentovo a Fisherovo-Snedecorovo. Nachazejí uplatnení predevsím v matematicke statistice. I Kontrolní otázky a úkoly 1 (S) Pomocí systému STATISTICA nakreslete grafy hustot a distribučních funkcí uvedených spojitých rozložení. Sledujte vliv parametrU na tvar hustot a distribucních funkcí. Navod: viz príloha B. 2 (S) Pojist'ovna zjistila, že 12% pojistních udílostí je zpusobeno vlou-paním. Jaka je pravdepodobnost, ze mezi 30 nahodne vybranými pojistnými udalostmi bude zpusobeno vloupaním nejvíse 6? 3 Doba (v hodinach), kterí uplyne mezi dvema nalehavými príjmy v jiste nemocnici, se rídí rozlozením Ex(0,5). Jaka je pravdepodobnost, ze uplyne více nez 5 hodin bez nalehaveho príjmu? 4 Jaka je pravdepodobnost, ze níhodní velicina X ~ N(20,16) nabude hodnotu mensi nez 12 nebo vetsí nez 28? 5 Necht' X ~ Rs(a,b), pricemz $(x) 0 pro x < a pro a < x < b 1 pro x > b Urcete a, b. Necht' X\, X2 jsou stochasticky nezavisle nahodne veliciny takove, ze Xi ~ N(0,1), i = 1, 2. Jake rozlození mí transformovana níhodní veli cina X = xr 6 96 CCíseine charakteristiky nahodných veiicin I 9. (Číselné charakteristiky náhodných veličin Cíl kapitoly Po prostudovaná teto kapitoly budete umet: ■ spocátat kvantily spojitých nahodnych velicin ■ hledat kvantily nekterách spojitách nahodnách velicin ve statistickych tabulkáach ■ urcit stredná hodnotu a rožptyl nahodne veliciny ■ spocátat kovarianci a koeficient korelace dvou nahodnách velicin ■ využívat vlastnosti' cáselnych charakteristik nahodnych velicin pri konkrétních vypoctech Casova zatez Na prostudovaná teto kapitoly budete potrebovat asi 10 hodin studia. 9.1. Motivace V 7. kapitole jsme se sežnamili s funkcionalnámi charakteristikami náhodnych velicin (napr. distribucná funkce, pravdepodobnostná funkce, hustota pravdepodobnosti), které plne popisujá pravdepodobnostná chovaná nahodne veliciny. Cáselne charakteristiky vystihujá použe nekteré rysy tohoto chovaná, napr. popisují polohu realižací nahodne veliciny na císelne ose ci jejich promenlivost (variabilitu). Jsou jednodussí než císelne charakteristiky, ale nesou jen cas-tecnou informaci. I 9.2. Definice Necht' X je spojitáa náahodnáa veli cina aspon ordináalnáího charakteru (viž definici 3.2) s distribucní funkcí $(x) a necht' a G (0,1). Císlo Ka(X), které splnuje podmáínku Ka(X) a = $(K« (X)) J <^(x) dx, se nažyvá a-kvantil náhodne veliciny X. Kvantil K0;50(X) se nažyva median, K0;25(X) dolní kvartil, K0;75(X) horní kvartil, K0;10(X),..., K0;90(X) jsou decily, K001 (X),..., K0)99 (X) jsou percentily. Kterykoliv a-kvantil je charakteristikou polohy císelnách realižací nahodne veliciny na císelne ose. Jako charakteristika variability slouží kvartilová odchylka q = K0;75(X)—K0;25 (X). (Lže samožréjme definovat i kvantily diskrétních nahodnych velicin, ale žde se žabyváme jenom kvantily spojitych nahodnách velicin, které se v praxi nejcasteji používají.) 98 Význam a-kvantilu spojité náhodné veličiny ilustruje následující obrázek. Ka(X) 9.3. Označení X ~ N(0, 1) K«(X)= Ua, X X ~ t(n) ^ K«(X)= ía(n), X X2 (n) =► K«(X ) = Xa(n); F(ni,n2) K«(X) = Fa(ni,n2). Tyto kvantily najdeme ve statistických tabulkách. PouZíváme vztahy: ua u1—a; ta(n) = -ti—a(n); 1 Fa(ni,n2) Fi—a(n2,ni)" 9.4. Příklad a) Necht' U ~ N(0,1). Najdete mediýn a horní a dolní kvartil. b) Urcete x2)Q25(25). c) Urcete to,99(30) a to,o5(24). _ d) Urcete Fo,975(5, 20) a Fo,o5(2,10). Řešení: ad a) Mo>5o = 0, mo>25 = —0,67449, mo>75 = 0,67449 adb) xo',o25(25) =13,12 ad c) to,99(30) = 2,4573, ro,o5(24) = —1,7109 ad d) Fo,975(5, 20) = 3,2891, Fo,o5(2,10) = 0,05156 9.5. Veta Necht' X je spojití náhodná velicina, Y = g(X) transformovaná náhodná velicina, a G (0,1). a) Je-li g vsude rostoucí funkce, pak Ka(Y) = g(Ka(X)). b) Je-li g vsude klesající funkce, pak Ka(Y) = g(Ki—a(X)). 9.6. Příklad Necht' U ~ N(0,1). Najdete devátí decil transformovane náhodne veliciny Y = 3 + 2U. Řešení: Funkce y = 3 + 2u je vsude rostoucí funkce, tedy Ko>9o(Y) 3 + 2 • 1,28155 = 5,5631. I 3 + 2uo,9o 99 9. (Číselné charakteristiky náhodných veličin Nyní budeme věnovat pozornost císelnám charakteristikam polohy a variability náhodně veliciny intervalověho ci poměrověho charakteru. Jak uvidíme, teoretickám protějskem aritmetickěho pruměru m je strední hodnota E(X) a empirickěho rozptylu s2 teoretická rozptyl D(X). Empiricky rozptyl s2 jsme zavedli jako aritmetická prämer kvadratu centrovanách hodnot. Není tedy prekvapivě, ze teoretická rozptyl D(X) je strední hodnotou kvadrátu centrovanách hodnot. Nauďme se poďtat strední hodnotu a rozptyl transformo-vanách nahodnych velicin a nahodnych vektoru. Uvedeme stredná hodnoty a rozptyly vybranách typu diskrětnách a spojitych rozlozená, která jsme poznali v 8. kapitole. 9.7. Definice Necht' X je nahodna velicina aspoň intervalověho charakteru (viz definici 3.2). Jejá stredné hodnotou nazyvame cáslo E(X), kterě je v diskrětnám prápadě zavedeno vztahem oc E(X)= Y, xn(x) x=—oc a ve spojitáem pňrápadňe vztahem oc ľ E (X) = J x^(x) dx I za predpokladu, ze prápadna nekonecna suma ci integrál vpravo absolutně konverguje. Není-li tato podmínka splněna, pak rekneme, ze strední hodnota neexistuje. Transformovaná náhodná velicina X — E(X) se nazyva centrovaná náhodné veličina. (Strední hodnota je císlo, kterě charakterizuje polohu realizací nahodně veliciny na cáselně ose s prihlědnutám k jejich pravděpodobnostem. V diskrětnám prípadě predstavuje strední hodnota tězistě soustavy hmotnych bodu, jejichz hmotnost je popsana pravděpodobnostní funkcí n(x) a ve spojitěm prípadě je stňrednáí hodnota tňeňziňstňem hmotnáe pňráímky, na náíňz je rozprostňrenáí hmoty popsano hustotou pravděpodobnosti ^(x). Strední hodnota je teoretickym protějskem vazeněho aritmetickěho pruměru z definice 3.20.) 9.8. Příklad Náahodnáa veli cina X udáaváa po cet ok p ri hodu kostkou. Vypo ct ete jejáí st rednáí hodnotu. Řešení: n(x) I | pro x = 1, 2,..., 6 0 jinak, 6 1 7 E{X) = V xtt(x) = -(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = - = 3,5. x=1 100 9.9. Věta a) Skalární případ: • Necht' X je diskrétní náhodná veličina s pravděpodobnostní funkcí n(x) a Y = g(X) je transformovana nahodna veličina. Pak pokud suma vpravo absolútne konverguje. • Necht' X je spojita nahodna veličina s hustotou pravdepodobnosti y?(x) a Y = g(X) je transformovana nahodna veličina. Pak E (Y) oc ľ J g(x)t/?(x) dx. pokud integral vpravo absolutne konverguje. b) Vektorový prípad: • Necht' (Xi,X2) je diskretní náhodná vektor se simultánní pravde-podobnostní funkcí n(x1;x2) a Y = g(X1;X2) je transformovaná nahodna velicina. Pak DO OC E (Y) = Y Y g(x1.X2)n(x1 .x2); xi =—oc X2=—oc pokud suma vpravo absolutne konverguje. Necht' (X1. X2) je spojitáý náahodnýá vektor se simultáannáí hustotou pravdepodobnosti ^(x1 ,x2) a Y = g(X1;X2) je transformovaná nahodna velicina. Pak E(Y) oo oc // g(x1; x2)^(x1; x2) dx1dx2. pokud integrál vpravo absolutně konverguje. 9.10. Příklad Necht' X ~ £x(A), Y = e-YX, kde 7 > 0 je konstanta. Vypočtěte E(Y). Řěšění: { Ae Ax pro x > 0. 0 jinak. oc ľ E(Y)= e YXAe Ax dx A A + 7 I 9.11. Děfinicě Rozptylem nahodne veliciný X, která ma strední hodnotu E(X), rozumíme císlo D(X) = E([X — E(X)]2), pokud strední hodnota vpravo existuje. Císlo 101 9. Číselné charakteristiky náhodných veličin \JD {X) se nazývá směrodatná odchylka. Transformovaná náhodná veličina X~E(V> se nazývá standardizovaná náhodná veličina. Z vety 9.9 (a) plyne, ze v diskrétním případě je rozptyl dán vzorcem I D(X) ^^[x - E (X )]2n(x) x=—oc a ve spojitem případe vzorcem oc D(X) = j [x - E (X )]2^(x) dx x=—o (pokud suma ci integral vpravo absolútne konvergují). (Rozptyl je číslo, ktere charakterizuje promenlivost realizací náhodne veličiny kolem její strední hodnoty s prihlednutím k jejich pravdepodobnostem. Je teoretickím protejskem vázeneho rozptylu zavedeneho v definici 3.20.) 9.12. Příklad Nahodná velicina X udavá pocet ok pri hodu kostkou. Vypoctete její rozptyl. Řešení: n (x) D(X) ! pro x = 1, 2,..., 6, jinak, 6 H x=l (x - 3,5)2 1 35 12 E(X) = 3,5 (viz pr. 9.8), 2,92. 9.13. Veta Uved'me strední hodnoty a rozptyly vybranách typu diskretních a spojitách rozlo zeníí. a) X ~ Dg(ii) E (X) = ^, D (X) = 0, b) X ~ A(v) E (X) = v, D (X) = v(1 - v), c) X ~ Bi(n, v) E(X) = nv, D (X) = nv(1 - v), l-v D(X) l-v d) X ~ Ge{v) E{X) e) X~Hg{N,M,n) E(X) = f a, D(X) = ^(1 f) X ~ Rd{G) E{X) = ^, D{X) = g) X ~ Po(A) E(X) = A, D (X) = A2, h) X ~ Rs(a,b) E (X) = ^, D(X) = ^=§^ M \ N—n N > N-l ■ i) X ~ Ex(X) E(X) = {, D (X) A2 : 102 0 6 j) X ~ N (n, a2) E(X) = n, D(X) = a2, k) X ~ x2(n) E (X) = n, D (X) = 2n, l) X ~ t(n) =/- E(X) = 0 pro n > 2, pro n =1 E (X) neexistuje, D(X) = pro n > 3, pro n = 1, 2 -D(X) neexistuje, m) X ~ F(m,n2) £(X) = ^ pro n2 > 3, pro n2 = 1,2 E(X) neexistuje, D (X) = ^"^^"-i) Pro ™2 - 5' Pro «2 = 1, 2, 3, 4 Ľ(X) neexistuje. Venujme se nyní dvema nahodnym velicinam. Budou nís zajímat charakteristiky jejich spolecne variability a síly tesnosti linearního vztahu mezi nimi. Jako motivace pro zavedení techto charakteristik nam poslouzí empiricka ko-variance si2 a empiricky koeficient korelace ri2. Empiricka kovariance si2 byla definovana jako aritmetickí prumer soucinu centrovaných hodnot a empiricky koeficient korelace ri2 jako aritmetickí prumer soucinu standar-dizovanych hodnot. Lze tedy ocekavat, ze teoreticka kovariance C(Xi,X2) bude strední hodnotou soucinu centrovaních hodnot a teoretickí rozptyl R(X1,X2) bude strední hodnotou soucinu standardizovaných velicin. Podrobne se seznamíme s radou vlastností vsech víse uvedenych císelních charakteristik a vyuzijeme jich pri resení nekolika príkladu. Pokud nezníame rozlo zeníí pravd epodobnosti níahodníe veli ciny, ale jenom jejíí strední hodnotu a rozptyl, pak muzeme pomocí tzv. Cebysevovy nerovnosti aspon odhadnout pravd epodobnost, ze tato níahodnaí veli cina se od svíe st red-ní hodnoty odchílí o více nez t-nísobek sve smerodatne odchylky. V zaveru kapitoly se soustredíme na vlastnosti strední hodnoty a rozptylu níahodníe veli ciny s normíalníím rozlo zeníím. 9.14. Definice Kovariancí nahodnych velicin X1,X2, ktere mají strední hodnoty E(X1), E(X2), rozumííme cííslo C (Xi,X2) = E ([Xi — E(Xi)][X2 — E (X2)]) (pokud strední hodnoty vpravo existují). Z vety 9.9 (b) plyne, ze v diskrétním p ríípad e je kovariance díana vzorcem 00 oc C(Xi,X2)= [xi — E(Xi)][x2 — E(X2)]n(xi,^2) Xl = — 00 X2 =—oc a ve spojitíem p ríípad e vzorcem 00 oc C(Xi ,X2)^^ J [Xi — E(Xi)][x2 — E(X2)]^(Xi,X2) dxidx2 —o —o (pokud dvojnía suma ci dvojníy integraíl vpravo absolutn e konvergujíí). I 103 9. Číselné charakteristiky náhodných veličin (Kovariance je číslo, které charakterizuje proměnlivost realizací náhodných veličin X^X2 kolem jejich stredních hodnot s prihlednutím k jejich prav-depodobnostem. Je-li kovariance kladna (záporna), pak to svedcá o existenci jisteho stupne príme (neprime) linearní závislosti mezi realizacemi nahodných velicin Xi,X2. Je-li kovariance nulová, pak ríkáme, ze nahodne veliciný Xi, X2 jsou nekorelovane a znamená to, ze mezi jejich realizacemi nená zádný linearní vztah. Pozor - z nekorelovanosti nevyplýva stochasticka nezávislost, zatáímco ze stochastickáe nezáavislosti plýne nekorelovanost. Kovariance je teoretickým protejskem vázene kovariance z definice 3.20.) 9.15. Příklad Diskretní nahodná vektor (X1, X2) ma simultanní pravdepodobnostní funkci s hodnotami: n(0,-1) = c, n(0, 0) = n(0,1) = -1) = n(2,-1) = 0, 0) = n(0,1) = n(2,1) = 2c, n(2, 0) = 3c, n(x1,x2) = 0 jinak. Urcete konstantu c a výpoctete C(X1,X2). Řešení: Hodnotý simultanní pravdepodobnostní funkce a obou marginalních pravde-podobnostních funkcí usporadáme do kontingencní tabulký. x2 vri(xi) -1 0 1 0 c 0 0 c X\ 1 0 2c 2c 4c 2 0 3c 2c 5c 7T2(X2) c 5c 4c 1 Z normovanosti pravděpodobnostní funkce diskrétního náhodného vektoru (viz věta 7.8, vektorový prípad) dostáváme 10c = 1, tedy c = 0,1. I E(Xi) = xini(xi) = 0 • 0,1 + 1 • 0,4 + 2 • 0,5 = 1,4 xi=0 i E(X2) = Y. X2n2(x2) = -1 • 0,1 + 0 • 0,5 + 1 • 0,4 = 0,3 X2 =— i 2i C(Xi,X2) = Yl [xi - E(Xi)][x2 - E(X2)]n(xi,X2) = xi=0 X2=— i = (0 - 1,4) • (-1 - 0,3) • 0,1 + • • • + (2 - 1,4) • (1 - 0,3) • 0,2 = 0,18. 2 9.16. Definice Koeficientem korelace nahodných velicin Xi, X2 rozumáme cáslo R{X1,X2) = { V VD(xi) ^d(x2) 0 jinak. 104 (Koeficient korelace je číslo, které charakterizuje těsnost lineární závislosti realizací náhodnách veličin X2. Cím blizsí je 1, tím tesnejsí je prímá lineárni zavislost, cím blizsí je -1, tím tesnejsí je nepríma lineárni zavislost.) 9.17. Veta Necht b, bi, 62 jsou realna císla, X, Xi,..., X„, Yi,..., Ym jsou nahodne veliciny definovane na temz pravdepodobnostním prostoru. V na-sledujících vzorcích vzdy z existence císelných charakteristik na prave strane vyplýva existence vírazu na leve strane. Vlastnosti strední hodnoty a) E (a) = a, b) E (a + 6X) = a + 6E(X), c) E(X - E(X)) 0, d) E (£X) = £ E(Xi), \i=i / i=i e) Jsou-li nahodne veliciny Xi.. , Xn stochasticky nezívisle, pak platí nn E Xi = E(Xi). i=i i=i Vlastnosti kovariance a) C(ai,X2) = C(Xi,a2) = C(ai,02) = 0, b) C (ai + 6i Xi, a2 + 62X2) = 6i 62C (Xi, X2), c) C (X, X) = D (X), d) C(Xi,X2) = C(X2,Xi), e) C (Xi,X2) = E (Xi X2) - E (Xi)E (X2), (n m \ f) c eXí,ey- ^EC(Xi,Yj). Vlastnosti rozptylu a) D(a) = 0, b) D(a + 6X) = b2 D (X), c) D (X) = E (X2) - [E (X )]2, I (Ž Xi) n n_i n d) Dl^Xi) = e D(Xi) + 2 Y, e C (Xi, X j) (Jsou-li níhodne veli- i=i i=i j=i+i ciny Xi,... , Xn nekorelovane, pak D nn Xi = i= i= D(Xi).) Vlastnosti koeicientu korelace a) R(ai,X2) = R(Xi,a2) = R(ai,a2) = 0, b) R(ai + bi Xi, a2 + 62X2) = sgn(&i&2 )R(Xi, X2), c) R(X, X) = 1 pro D (X) = 0, R(X, X) = 0 jinak, d) R(Xi,X2) = R(X2,Xi) nm 105 9. Číselné charakteristiky náhodných veličin e) R(X 1,X2) E C(XltX2) g^y) pro v^XT) v^X^ > 0; yš(xôv/Ď(x2T( 0 jinak, f) |R(X1,X2)| < 1a rovnost nastane tehdy a jen tehdy, kdyz mezi veličinami Xi,X2 existuje s pravdepodobností 1 úplná lineárni zavislost, tj. existují konstanty a1,a2 tak, že P(X2 = a1 + a2X1) = 1. (Uvedená nerovnost se nazáva Cauchyova-Schwarzova-Bunakovskeho nerovnost.) 9.18. Příklad Vypočtete koeficient korelace nahodních veličin X1,X2 z príkladu 9.15. Řešení: V príkladu 9.15 byla vypočtena kovariance C(X1,X2) vypočítat smerodatne odchylky veličin X1 ,X2. 0,18. Stačí tedy D(X1)= - E(X1)]2n1 xi=0 = (0 - 1,4)2 • 0,1 + (1 - 1,4)2 • 0,4 + (2 - 1,4)2 • 0,5 = 0,44 2 D(X2) = J][x2 - E(X2)]2n1 (x2) = X2=0 (-1 - 0,3)2 • 0,1 + (0 - 0,3)2 • 0,5 + (1 - 0,3)2 • 0,4 = 0,41 R(X1,X2) C (X1 ,X2) 0,18 0,42. I 9.19. Příklad Náhodná veličina X má strední hodnotu // a rozptyl a2. Vypočtete strední hodnotu a rozptyl centrovane náhodne veličiny Y = X - // a stredná hodnotu a rozptyl standardizovane nahodne veličiny U X-ji Řešení: E(Y) E(U) E(X D (X E D (^) (^) E (X) - E(^) D (X ) = a2, 1 // - 0 = 0, = -E{X a = - • 0 a 0, 1 V2 D (X - 0) 1 V2 a2 = 1. 9.20. Příklad Nahodne veličiny X, Y jsou nahodne chyby, které vznikajá na vstupnám zarázená Majá stredná hodnoty E(X) = -2, E (Y) = 4 a rozptyly D (X) = 4, 106 D(Y) = 9. Koeficient korelace těchto chyb je R(X,Y) = —0,5. Chyba na výstupu zařízení souvisí s chybami na vstupu funkční závislostí Z = 3X2 — 2XY + Y2 — 3. Najdete střední hodnotu chyby na výstupu. Řešení: E (Z) = E(3X2 — 2XY + Y2 — 3) = 3E(X2) — 2E(XY) + E (Y2) — E(3) = = 3 {D(X) + [E(X )]2} — 2 [C (X, Y) + E(X )E(Y)] + D (Y) + [E(Y )]2 — 3 = = 3[D(X) + [E(X)]2] - 2[R(X, Y)y/D(X)y/D(Y) + E(X)E(Y)] + D(Y)+ + [E(Y)]2 — 3 = 3(4 + 4) — 2[—0,5 • 2 • 3 + (—2) • 4] + 9 + 16 — 3 = = 24 + 22 + 25 — 3 = 68. 9.21. Veta Necht' nýhodný velicina X mý střední hodnotu // a rozptyl a2. Pak platí Cebysevova nerovnost Ve > 0 : P(|X — ^ > e) < <ŕ_ e2' Oznaďme-li e = ta, pak pro Vt > 0 : P(|X — ^| > ta) < t2 (Vyznam Cebysevovy nerovnosti spocíva v tom, ze pokud nezname rozlození nýhodne veliciny, ale zname její strední hodnotu a rozptyl, pak muzeme odhadnout pravdepodobnost, s jakou se od sve strední hodnoty odchýlí o více nez t-nasobek sve smerodatne odchylky.) ✓ / / / / / / \ \ N 1 ~ -i \ E(X) — VD(X) | 1 > E(X) + VD(X) I 1 9.22. Príklad Necht' E (X) = D (X) = a2. a) Odhadnete P(|X — // > 3a). b) Jestlize X ~ N(//, a2), vypoctete P(|X — ^| > 3a). Řešení: ad a) P{\X - n\ > 3a) < ^ = | = 0,T. (Tento vísledek je znam jako pravidlo 3a a ríkí, ze nejvíse 11,1% realizací 107 9. (Číselne charakteristiky nahodných velicin náhodne veliciny leží vne intervalu — 3a, / + 3a).) = 1—p -3 < ^ < 3j ad b) P{\X-fi\ > 3a) = l-P(-3a < X-/i < 3a) = 1 — $(3) + $(—3) = 2[1 — $(3)] = 2(1 — 0,99865) = 0,0027. (Ma-li náhodna velicina normalní roždelení, pak použe 0,27% realižací leží vne intervalu — 3a,/ + 3a).) 9.23. Věta a) Jestliže X ~ N(u, a2), pak E(X) = D(X) = a2. b) Jestliže X ~ N(u, a2) a Y = a + bX, pak Y ~ N(a + bu, b2a2). c) Jestliže Xi,..., Xn jsou stochasticky nežavisie náhodne veličiny a necht n Xi ~ N(ui,a2), i = Y Y ~ N YjXí, pak i=1 (n n \ i=1 i=1 / I 9.24. Příklad Necht' X1, X2 jsou stochasticky nežávisle nahodne veliciny, Xj ~ N(0,1), i = 1,2. Zjistete, jake rožložená má transformovana náhodna velicina Y = 3 + X1 — 2X2, urcete jeho parametry a najdete dolná kvartil nahodne veliciny Y. Řešení: Y ~ N (E (Y ),D(Y)), prlcemž E (Y) D (Y) E (3 + X1 — 2X2) = 3 + E (X1) — 2E(X2) = D(3 + X1 — 2X2) = D(X1) + (—2)2D(X2) 3 + 0 — 2 • 0 = 3, = 1 + 4 • 1 = 5, tedy Y ~ iV(3,5). Nyná vypočátáme dolná kvartil. Využijeme toho, že U = ^ ~ N(0,1), tedy X0;25(V) = 3 + ^0,25 = 3-^-0,67449 = 1,4918. Shrnutí kapitoly Pri žavadená cáselnych charakteristik nahodnych velicin nás motivuj! cáselne charakteristiky žnaku, jak jsme je požnali ve 3. kapitole. Jako charakteristika polohy cáíselnyách realižacáí spojitáe náahodnáe veli ciny aspon ordinalního typu slouží a-kvantil a jeho specialní prípady: median, dolní a horní kvartil. Variabilitu charakterižujeme kvartilovou odchylkou. Vy- pocet kvantilu nená prális jednoducha žaležitost, proto jsou kvantily nekolika typu rožložení tabelovany nebo je lže žískat pomocí specialního statistickeho software. Pro nahodne veliciny intervaloveho a pomeroveho typu používame jako charakteristiku polohy střední hodnotu - teoretická protejsek aritmetickeho prumeru. Pomocí strední hodnoty pak definujeme dalsí císelne charaketris-tiky: rozptyl a jeho druhou odmocninu - smerodatnou odchylku, kova-řianci a koeficient korelace. 108 Resená konkrétních príkladu velmi usnadnují vzorce, ktere popisují vlastnosti číselných charakteristik. Kontrolní otázky a úkoly i 5 6 Pomocí statistickách tabulek vypoctete nasledující kvantily: «0,95, «o,10; Xo,975 (10) , Xo,025 (9), to,9o(8), to,05(6), Fo,975(5, 7), Fo,055(8 , 6). 2 Necht' X ~ N(-1, 4). Najdete Ko,o25(X). 3 Necht' X1,X2 jsou stochasticky nezávisle nahodne veliciny takove, ze Xi ~ N(2, 4), X2 ~ N(-1, 9). Vypoctete 99% kvantil transformovane nahodne veliciny Y = 2X1 - 3X2 + 5. 4 V zasilce 15 výrobku je 5 nekvalitních. Náhodná velicina X udáva pocet nekvalitních várobku mezi ctyrmi nahodne vybranámi vyrobky. Vypoctete její strední hodnotu a rozptyl, jestlize vyber byl proveden a) s vracením, b) bez vracení. (Navod: v bode (a) má X binomicke rozlození, v bode (b) hypergeometricke.) Sledovaná zeleznicní trasa vykazuje velke nerovnosti, takze zatízení jed-notlive vozove nápravy nahodne kolísá, teoreticky spojitym zpusobem. Prakticky jsou známy jen castecne informace, takze uvazujeme o diskrétní nahodne velicine X (nahodne zatízení v tunach) s pravdepo-dobnostní funkcí n(x) = 0,15 pro x = 6, n (x) = 0,65 pro x = 30, n (x) = 0,2 pro x = 70, n (x) = 0 jinak. Pri kalkulaci nakladu se ekonom zajímá o strední opotrebení náprav dane vzorcem Y = 1,15X2. Vypoctete strední hodnotu opotrebení. Pocet ruznych druhu zbozí, ktere zákazník nakoupí pri jedne navsteve obchodu, je nahodna velicina X. Dlouhodobám sledovaním bylo zjis-teno, ze X nabyva hodnot 0,1, 2, 3, 4 s pravdepodobnostmi 0,25, 0,55, 0,11, 0,07 a 0,02. a) Najdete distribucní funkci náhodne veliciny X a nakreslete její graf. b) Vypoctete strední hodnotu nahodne veliciny X. c) Vypoctete rozptyl nahodne veliciny X. Strelec strílí 3x nezavisle na sobe do terce. Pri kazdem vystrelu se trefí s pravděpodobností |. Za zásah získá 2 body, jinak ztratí 2 body. Vypoctete strední hodnotu a rozptyl poctu získanách bodu. Uvazme rodinu se tremi detmi. Predpokladame, ze pravdepodobnost narození chlapce i dívky je stejna. Náhodná velicina X udava pocet dívek v teto rodine (ma binomicke rozlození) , transformovana náhodna velicina Y = - 100X2 + 300X + 500 udavá rocní náklady (v dolarech) na osacení detí. Vypoctete strední hodnotu nahodne veliciny Y. Nahodna velicina X udava príjem manzela (v tisících dolaru) a nahodna velicina Y udava príjem manzelky (v tisících dolaru). Je známa si-multanní pravdepodobnostní funkce n(x,y) diskretního nahodneho vektoru (X, Y): n(10,10) = 0,2, n(10, 20) = 0,04, n(10, 30) = 0,01, n(10,40) = 0, n(20,10) = 0,1, n(20,20) = 0,36, n(20,30) = 0,09, n(20,40) = 0, n(30,10) = 0, n(30,20) = 0,05, n(30,30) = 0,1, 7 109 9. (Číselne charakteristiky náhodných velicin n(30, 40) = 0, n(40,10) = 0, n(40, 20) = 0, n(40, 30) = 0, n(40, 40) = 0,05, n (x, y) = 0 jinak. a) Vypoctěte korelacní koeficient náhodnych velicin X, Y. b) Vypo ct ete st rednáí hodnotu a sm erodatnou odchylku náahodnáe veli-ciny Z = 0,1X + 0,2Y, ktera vyjadruje príspěvek obou manz ehi na duchod. (Nahodna veli cina Z vyjadruje, ze príspěvek na duchod ciní 10% manzelova platu a 20% manzelcina platu.) 10 Náhodně veli ciny X1 ,X2 mají kovarianci 12. Vypo ct ěte kovarianci náhodnych veli cin Y1 = —8 + 11X1, Y2 = 6 — 4X2. 11 Náahodnáa veli cina X udáaváa vyá sku v metrech a náahodnáa veli cina Y udáva hmotnost v gramech. Jak se změní kovariance a koeficient korelace, jestli z e vy s ku vyjadríme v cm a hmotnost v kg? 12 Nahodna veli cina X ma st rední hodnotu (i a směrodatnou odchylku a. Kolik procent realizací těto nahodně veli ciny se bude nachazet v intervalu — 2a, (i + 2a)? 13 Pouz ijte Ceby s evovu nerovnost k odhadu pravdě podobnosti, z e p ri 600 hodech kostkou padne sestka aspon 75x a nejvyse 125x. I 110 10 Zakon velkých ccísei a centrální limitní veta I 10. Zákon velkých čísel a centrální limitní veta Cíl kapitoly Po prostudovaní teto kapitoly budete umet: ■ odhadnout pravdepodobnost, s níz se nahodna velicina realizuje v urcite vzdílenosti od sve strední hodnoty ■ odhadnout pravdepodobnost uspechu v posloupnosti opakovanych ne-zavislích pokusu relativní cetností tohoto uspechu ■ aproximovat distribucní funkci binomickeho rozlození distribucní funkcí standardizovaneho normalního rozlození (Časová zátež Na prostudovaní teto kapitoly budete potrebovat asi 5 hodin studia. V 5. kapitole, konkretne v definici 5.6, jsme se seznamili s empirickym zako-nem velkích císel, kterí tvrdil, ze pri mnohonasobnem nezívislem opakovaní tehoz níhodneho pokusu se relativní cetnost jevu blízzí pravdepodobnosti tohoto jevu. Jak uvidíme, je empirickí zakon velkích císel specialním prípadem obecnejsího zakona velkych císel. Tento dusledek uvedeme jako Bernoulliovu vetu. I 10.1. Motivace Zakon velkích císel vyjadruje skutecnost, ze s rostoucím poctem nezávislych opakovíaníí níahodníeho pokusu se empirickíe charakteristiky, kteríe popisujíí vísledky techto pokusu, blízí teoretickym charakteristikím, napr. relativní cetnost uspechu se blízí pravdepodobnosti íspechu, cetnostní funkce se blízí pravdepodobnostní funkci, hustota cetnosti se blízzí hustote pravdepodobnosti apod. Centralní limitní veta tvrdí, ze za jistích podmínek ma soucet nezývislych nahodních velicin s tymz rozlozením priblizne normalní rozlození. Normílní rozlození je tedy rozlozením limitním, k nemuz se blízí vsechna rozlození, proto hraje velmi dulezitou roli v poctu pravdepodobnosti a matematicke statistice. 10.2. Veta Necht' {Xra}°0=i je posloupnost stochasticky nezavislych nahodních velicin, ktere mají strední hodnoty n a rozptyly a2. Pak pro posloupnost aritme- n tických průměrů {- ^í}í=i platí: Ve > 0 : P 1n n n < e > 1 ne2 neboli Ve > 0 : lim P n 1n -]>> n n > e = 0. 112 (Uvedení veta se nazíví zíkon velkích císel nebo tez Cebysevova veta. Její tvrzení ríkí, ze posloupnost aritmetickích průmerů konverguje podle pravdepodobnosti ke strední hodnote Tedy pri dostatecne velkem poctu pokusu lze strední hodnotu odhadnout prumerem vísledku jednotlivych pokusu.) 10.3. Důsledek Necht' níhodní velicina Yn udaví pocet uspechu v posloupnosti n opako-vanych nezavislych pokusu, pricemž v kazdem pokusu nastava uspech s pravdepodobností v. (Podle definice 8.2 (c) Y„ ~ Bi(n, v)). Pak pro posloupnost relativních četností { — }™=1 platí: Ve > 0 : P Y ů ) < e > 1 ů(1 - ů) ne2 neboli Ve > 0 : lim P n Y n n ů >e >1 0. 4ne2 : (Tento dusledek Cebysevovy vety se nazíva Bernoulliova veta. Vyjadruje skute cnost, ze posloupnost relativníích cetnostíí konverguje podle pravd epo-dobnosti k pravd epodobnosti uísp echu v. Tedy p ri dostate cn e velkíem po ctu pokusu lze pravdepodobnost íspechu odhadnout relativní cetností uspechu.) 10.4. Příklad Pri vístupní kontrole bylo zjisteno, ze mezi 3000 kontrolovanymi vírobky je 12 zmetku. Jaka je pravdepodobnost, ze relativní cetnost vískytu zmetku se od pravdepodobnosti vískytu zmetku nelisí o více nez 0, 01? ReSení: Y3000 - pocet zmetku mezi kontrolovanymi vírobky, Y30oo ~ Bi(3000,v), íavaíme: v ř« g^p. Podle Bernoulliovy věty dostává e>0:P Y ů < e > 1 ů(1 - ů) >1 1 ne2 4ne2 V našem případě e = 0,01, n = 3000, v ř« tedy P Y 3000 3000 ů < 0,01 > 1 ) 12 2988 3000 3000 3000 • 0,0001 0,872. I Jiz nekolikrat jsme se zmínili o tom, ze normílní rozlození je vubec nejdule-z it ej sí typ rozloz ení. Centrílní limitní veta ním dí odpoved' na otazku, pro c tomu tak je. Pri praktickích vípoctech se casto pouzíví dusledek centralní limitní vety, a to Moivreova-Laplaceova veta, ktera za urcitych podmínek umozní nahradit slozity vípocet distribucní funkce binomickeho rozlození jednoduchím 1 113 10. Zákon velkých čísel a centrální limitní véta hledaním v tabulkách hodnot distribucní funkce standardizovaneho noriiml-ního rozlození. Pokud vsak máme k dispozici statistický software, dáme prednost presneniu vápoctu pred aproximativnám. 10.5. Veta Necht' {Xra}^c=1 je posloupnost stochasticky nezávislých náhodných velicin, ktere mají vsechny toteZ rozloZení se strední hodnotou p a rozptylem a2. Pak pro posloupnost standardizovaních souctU Un EX, i=i np n 1, 2,... platí: Vx G R : lim P(Un < x) = $(x), kde $(x) je distribucní funkce ÍE — OO rozlození N(0,1). (Lindebergova-Levyova centralní limitní veta ríka, ze pro dostatecne velkí n (praktickz stací n > 30) lze rozlození souctu stochasticky nezavislych a stejne rozlozenych níhodních velicin aproximovat normílním rozlozením N(np, na2).) I 10.6. Důsledek Necht' {Yn}^c=i je posloupnost stochastický nezavislách náhodných velicin, Yn ~ Bi(n, v), n = 1, 2,... Pak platá: Vy G R : lim P(Yn < y) = lim P ( Yn-rvd < y - ra9 n /1 ^nů{l - ů) ^nů{l - ů) )■ (y — nů \ y/nů(l-ů)) kde $(x) je distribucní funkce rozlození N(0,1). (Moivreova-Laplaceova veta tvrdí, ze za urcitych podmínek lze binomicke rozlození aproximovat standardizovaním normalním rozlozením. Aproximace se považuje za vyhovující, když jsou splněny podmínky ^j-j- < v < nv(1 - v) > 9.) n+i 10.7. Příklad V urcite skupine zamestnancu je 10% s prijmem, která prekracuje celostatná prumer. Kolik zamestnancu z teto skupiný je treba výbrat, abý s pravdepodobnosti' aspon 0,95 býlo mezi nimi 8% az 12% zamestnancu s nadprumerným prájmem? Řešení: X - pocet zamestnancu s nadprumernám prájmem, Yn Bi(n;0,1), E(X) 114 0,1n, D (X) = 0,09n, X 0,95 < P ( 0,08 < — < 0,12 ) = P(0,08n 0,975 tedy ^ > ^0,975 = 1,96 =>• > 29,4 =>- n > 865. Pro splnění podmínek je zapotrebí vybrat aspon 865 zamestnancu. Shrnutí kapitoly V teto kapitole jsme ukazali, ze jiz dríve vysloveny empiricky zákon velkách čásel je specialnám prápadem obecnejsáho zakona velkých čísel, ktery popisuje pravdepodobnostní chovaní posloupností aritmetických prumeru stochasticky nezavislych nahodnách veličin s touz strední hodnotou a rozptylem. Dusledek tohoto zakona (zvaneho tez Cebyševova veta) jsme uvedli jako Bernoulliovu vetu. Seznámili jsme se tez s Lindebergovou-Levyovou centřílní vetou, ktera tvrdí, ze za určitách podmínek lze rozlození součtu nahodnách veličin s ja-kymkoliv rozlozenám aproximovat normalnám rozlozenám. Toto tvrzená tedy vysvetluje dulezitost normálnáho rozlozená Historicky starsá nez tato veta je jejá dusledek uvádená jako Moivreova-Laplaceova veta, ktera umoznuje aproximovat binomicke rozlozená normalnám rozlozenám. Kontrolní otázky a Úkoly 1 Pravdepodobnost, ze várobek ma 1. jakost, je v = 0,9. Kolik várobku je treba zkontrolovat, aby s pravdepodobnosti' aspoň 0,99 bylo zaručeno, ze rozdál relativná četnosti počtu várobku 1. jakosti a pravdepodobnosti v = 0,9 byl v absolutní hodnote mensí nez 0,03? K vypočtu pouzijte jak Bernoulliovu vetu, tak Moivreovu-Laplaceovu vetu a vysledky porovnejte. 2 Pravdepodobnost narození chlapce je 0,515. Jaka je pravdepodobnost, ze mezi 10 000 novorozenci bude a) více devčat nez chlapcu, b) chlapcu od 5 000 do 5 300, c) relativná četnost chlapcu v mezách od 0,515 do 0,517? 3 Pravdepodobnost zasahu terče jedním vástrelem je 0,4. Kolikrat je treba vystrelit, aby absolutná hodnota odchylky relativná četnosti zásahu od uvedene pravdepodobnosti byla mensí nez 0,02 s pravdepodob-nostáí asponň 0,95? I 115 10. Zakon veIkych císeI a centraIní Iimitní veta 116 11! Zakladní pojmy matematicko statistiky I 11. Základní pojmy matematické statistiky Cíl kapitoly Po prostudovaní teto kapitoly budete umet: ■ definovat nahodne víbery z jednorozmerneho i vícerozmerneho rozlo-zení pravdepodobností ■ stanovit dulezite statistiky pro nahodny víber z jednorozmerneho a dvourozmerneho rozlození pravdepodobností ■ popsat vlastnosti techto statistik ■ vyuzít vlastností statistik odvozeních z nahodneho vyberu z normalní-ho rozlození pri vípoctu konkretních pravdepodobností Casova zatéž Pro zvlídnutí teto kapitoly budete potrebovat asi 7 hodin studia. Nejprve zavedeme pojem nahodneho vyberu a vysvetlíme jeho souvislost s da-tovym souborem. Musíme si vsak uvedomit nasledující skutecnost: datovy soubor obsahuje konstantní hodnoty znaku, zatímco slozkami nahodneho víberu jsou níhodne veliciny spojene s nejakím níhodnym pokusem. I 11.1. Definice a) Necht' Xi,...,Xn jsou stochasticky nezavisle nahodne veliciny, ktere mají vsechny stejne rozlození L(v). Řekneme, ze X1,..., Xn je náhodný výběr rozsahu n z rozlození L(v). (Císelne realizace x1,..., xn nahodneho víberu X1,..., Xn usporadane do sloupcoveho vektoru predstavují datovíy soubor zavedenyí v popisníe statistice v deinici 1.9) b) Necht' (X1, Y1),..., (Xn, Yn) jsou stochasticky nezívisle dvourozmerne nahodne vektory, ktere mají vsechny stejne dvourozmerne rozlození L2 (v). Řekneme, ze (X1 ,Y1),..., (Xn ,Yn) je dvourozměrný nýhodný výběr rozsahu n z dvourozmerneho rozlození L2(v). (Císelne realizace (x1, ..., (xn, yn) nahodneho vyberu (X1, Y1),..., (Xn, Yn) usporí-dane do matice typu 2 x n predstavují dvourozmerny datoví soubor zavedenyí v popisníe statistice.) (Analogicky lze definovat p-rozmerny nahodní víber rozsahu n z p-rozmer-neho rozlození Lp(v).) V matematicke statistice velmi casto pracujeme s transformacemi nahodneho víberu. Temto transformovanym nahodnym velicinam ríkame statistiky. Zavedeme nekolik dulezitích statistik a upozorníme na jejich souvislost s cí-selnymi charakteristikami znaku, ktere jsme poznali ve 3. kapitole v popisne statistice. Protoze statistiky jsou nahodními velicinami, lze poďtat jejich strední hodnotu a rozptyl. Ukazeme, jak se chovají tyto císelne charakteristiky nekterích statistik. 118 11.2. Definice Libovolná funkce T = T(Xi,... , Xn) náhodného výběru Xi,... ,Xn (resp. T = T(Xi,Yi,..., Xn, Yn) náhodného výběru (Xi,Yi),..., (Xn, Yn)) se nazývá (výběrová) statistika. Statistika se nazýva výběrový průměr, i n M= - VX i=1 i n s2 = ^rUx< - M>2 i=1 výběrový rozptyl, výběrová směrodatná odchýlka, n Sn = ——r V(X - MJiYi - M2) n — ^—' ni i=l výběrová kovariance (přitom M\ = ^ E Xi, M2 = ^ E ^í) a n i=l n i=l 1 V- Xj-Mi Yj-M2 ^rn r. o / n #12=4 ™~\~í^--Pr0lbl'^2^U; 0 jinak, se nazývá výběrový koeficient korelace. (Číselne realizace m, s2, s, s12, r12 statistik M, S2, S, S12, R12 odpovídají číselnám charakteristikam znaků v popisne statistice zavedeným definicích 3.6, 3.10 a 3.12, ale ů rozptylů, smerodatne odchýlký, kovariance a koeficientů korelace je multiplikativní konstanta ^-j-, nikoli ^, jak tomu bylo v popisné statistice.) 11.3. Věta a) Necht' X1,..., Xn je nahodná výber z rozlození se strední hodnotou (i a rozptylem a2. Pak E(M) = /i, D(M) = ^, E(S2) = a2, ať jsou hodnotý parametrů ^, a2 jakekoli. b) Necht' (X1, Y1),... , (Xn,Yn) je níhodný víber z dvoůrozmerneho rozlození s kovariancí a12 a koeficientem korelace p. Pak E(S12) = a12, at' je hodnota parametrů a12 jakíkoli, avsak E(R12) je rovno p poůze priblizne (shoda je výhovůjící pro n > 30), at' je hodnota parametrů p jakakoli. Nýní se bůdeme zabívat nahodným vaberem z normalního rozlození. Zavedeme nekolik statistik vzniklích transformací víberoveho průmerů a výbero-veho rozptýlů (jsoů to tzv. pivotove statistiký) a ůkazeme, jakým způsobem I 119 11. Základní pojmy matematické statistiky se tyto statistiky řídí. V příští kapitole využijeme těchto pivotových statistik při konstrukci intervalu spolehlivosti pro parametry normálních rozložení. V teto kapitole nam uvedene vlastnosti poslouží pri vypoctu rUžnách pravdepodobností. 11.4. Věta Nechť Xi,..., Xn je náhodný výběr z rozložení N(//, a2). Pak platí a) Výběrový průměr M a výběrový rozptyl S2 jsou stochastický nezávisle. b) M ~N(fji,?L), tedy U M-a N(0,1). (Statistika U slouží ke kon- strukci intervalu spolehlivosti pro když a2 žname.) c) K = (n — 1)S2a2 ~ x2(n — 1). (Statistika K slouží ke konstrukci intervalu spolehlivosti pro a2, když // nežname.) n = (Xi-a)2 d) 1-1 2- ~ x2(n)- (Tato statistika, která nemá speciální označení, slouží ke konstrukci intervalu spolehlivosti pro a2, když // žname.) e) T = ^jF^ ~ t(n — 1). (Statistika T slouží ke konstrukci intervalu spo- s lehlivosti pro když a2 nežname.) 11.5. Příklad Hmotnost jedne porce kívy považujeme ža nahodnou velicinu s normalním rožložením X ~ N(7g, 0,25 g2). Jaka je pravdepodobnost, že k príprave 28 porcí kavy postací dva 100 g balícky? Resení: Xi,..., X28 je níhodny víber ž N(7, 0,25). Pocítame P I _0v5_ — _0v5_ I V y/28 y/28 J P M < 200 ~28 P (U < 1,51) = $(1,51) = 0,9345. I S pravdepodobností 93,45% mužeme predpokladat, že k príprave 28 porcí kívy postací dva 100 g balícky. 11.6. Příklad Odberatel provede kontrolu stejnorodosti dodavky vyrobku tak, že žmerí sledovaní rožmer u 25 nahodne vybranych vyrobku. Dodavku prijme, jestliže víberova smerodatna odchylka se bude realižovat hodnotou mensí nebo rovnou 0,2 mm. Je žnamo, že sledovany rožmer vírobku ma normalní rožložení N(50 mm, 0,2632 mm2). Jaka je pravdepodobnost prijetí dodavky? 120 Řešení: Xi,..., X25 je náhodný výběr z N(50, 0,2632). Počítáme P (S < 0,2) = P (S2 < 0,04) = P < (n-l)S2 (n_ o2 1)0,04\ T2 J P K < 24-0,04 0,2632 o2 P (K < 13,879), tedý číslo 13,879 je a-kvántil Pearsonova rozložení x2(24). V tabulkách kvan-tilú Pearsonová rozložení nájdeme, že a = 0,05. S pravdepodobností pouhých 5% lze očekývát, že odberátel prijme dodávku. Prejdeme nýní ke dvemá nezávislým náhodným výberum z normálního ro-zlození. I v teto situáči nás zájímá rozlození pivotovýčh státistik vzniklých tránsformáčý výberovýčh průmerů á výberových rozptylu. 11.7. Veta Necht' Xii,... , Xnii je nýhodný výber z rozlozem N(pi, o2) á Xi2,..., Xni2 je ná nem nezávislý náhodný výber rozlozem N(p2,o2), pricemz ni > 2 á n2 > 2. Oznácme Mi, M2 výberove prumerý á S2, S| výberove rozptýlý. Pák plátý: á) Státistiký Mi — M2 (rozdfl výberových prumeru) á (n S2 = l)Sf + (n2 ~ 1)SI ni + n2 — 2 (vázený prumer výberových rozptýlu) jsou stochástický nezývisle. b) Mi — M2 ~ N (V a1 i ct2 ™2' ni ni ) , tedý U (M1-M2)-(m-H2) N(0,1). (Státistiká U slouzý ke konstrukci interválu spolehlivosti pro rozdfl stredných hodnot pi — p2, kdýz rozptýlý oj2, o2 známe.) c) Jestliže o\ = o\ = a2, pak K = (rai+"2~2)g* ~ x2(ni+n2-2). (Statistika K slouzý ke konstrukci interválu spolehlivosti pro spolecný rozptýl o2, kdýz stredný hodnotý pi — p2 neznáme.) d) Jestliže o\ = o\ = a2, pak T = (Mi-MO-Q^) _ ^ + ri2_2). V ni ni e) F F(ni — 1,n2 — 1). (Státistiká F slouzý ke konstrukci inter- ní o (ji valu spolehlivosti pro podii rozptylu když střední hodnoty a2 (2 neznáýme.) 11.8. Příklad Necht' jsou dáný dvá nezávisle náhodne výberý, prvný pocházý z rozlozem N(2; 1,5) á mý rozsáh 10, druhý pochýzý z rozlozem N(3, 4) á má rozsáh 5. Jáký je právdepodobnost, ze výberový prumer 1. výberu bude mens! nez výberový prumer 2. výberu? I 121 11. Základní pojmy matematické statistiky Řešení: P (Mi < M2) = P (Mi - M2 < 0) P (Mi - M2) P U < y ni n -2 + 3 10 5 (^1 ~ ^2) o_ MÍ 1 Mi Til T12 P (U < 1,05) = $(1,05) = 0,85314. S pravděpodobností 85,3% je výběrový průměr 1. výběru menší nez výběrový průměr 2. výběru. Shrnutí kapitoly Ustredním pojměm matěmatickě statistiky jě pojěm náhodného výberu, a to jědnorozměrněho i vícěrozměrněho. Transformací jědnoho něbo vícě nahodných výběrů vznika nahodna věliCina zvana (výberová) štátištiká. K nějdůlězitějsím statistikam patrí výberový prUmér, výberový rozptyl, výberová šmérodátná odchýlka, výberová kovariánce, výberový koeficient koreláce. Jělikoz statistika jě nahodný věliCina, ma smýsl poCítat jějí strědní hodnotu a rozptyl. Ukazali jsmě si vláštnošti strední hodnotý a rozptýlu výberoveho prUmeru a štrední hodnotý výberoveho rozptýlu, vý-berove kováriánce a výberoveho koeficientu koreláce. Zabývali jsmě sě rovněz rozloZením výberových štátištik pro náhodne výberý z normálních rozlození, tzv. pivotových statistik. Jak uvidímě v dalsých kapitolých, lzě pomoci' těchto pivotových statistik konstruovat in-těrvalý spolěhlivosti pro paramětrý normýlmch rozlozěný a těstovat hýpotězý o těchto rozlozěných. I Kontrolní otazky a Úkoly 1 Kdý lzě posloupnost nahodných velicin Xi,..., Xn povazovat za nahodný výběr? 2 Uvěd'tě nejdůleZitejší statistiký odvozěně z nýhodněho výběru, ktěrý pochazý a) z jědnorozměrněho rozlozěný, b) z dvourozměrněho rozlozěný. 3 Jaký je vztah mezi výběrovým rozptýleni a rozptýleni v popisně statis-ticě? 4 Necht' Xi,... ,Xi0 je nahodný výběr z N(100,100). Jakě rozlození ma výběrový průměr? 5 Predpokladame. ze velký rocník na výsokě skole mý výsledký ze statistiký normalně rozlozěný kolem strední hodnotý 72 bodů se směrodatnou odchýlkou 9 bodů. Výpoctěte pravděpodobnost, ze a) nahodně výbraný student bude mít výsledek nad 80 bodů b) průměr výsledků nýhodně výbraných 10 studentů bude nad 80 bodů. 6 Necht' Xi,... ,X20 je nahodný výběr z N(^,a2). Najděte císla ki, k2 tak, aby platilo P(4 < h) = 0,05 a P(^ > k2) = 0,05. si 122 12! Bodove a intervalove odhady parametru a parametrickych funkcí I 12. Bodové a intervalové odhady parametrů a parametrických funkcí Cíl kapitoly Po prostudovaní teto kapitoly budete umet: ■ posoudit nestrannost a asymptotickou nestrannost bodovích odhadu parametrickíe funkce a pomocíí rozptylu ohodnotit jejich kvalitu sestrojit intervaly spolehlivosti pro parametry jednoho a dvou normíal-ních rozlození ■ stanovit rozsah nahodneho víberu tak, aby sírka intervalu spolehlivosti nepresahla dane císlo Casova zatez Pro zvladnutí teto kapitoly budete potrebovat asi 8 hodin studia. Jak jsme poznali v predesle kapitole, nahodní vyber je posloupnost stochasticky nezavislích nahodních velicin se stejnym rozlozením. Kazde rozlození zívisí na nejakem parametru nebo i více parametrech. Napr. alternativní rozlození zívisí na parametru v, exponencialní rozlození na parametru A. normalní rozlození na parametrech // a a2 apod. Tyto parametry nezname, zníme jenom nahodny víber. Ukazeme si, jak lze na zaklade znalosti nahodneho vyberu odhadnout neznamy parametr ci jeho funkci, tzv. parametrickou funkci. Je-li odhadem statistika, hovoríme o bodovem odhadu parametricke funkce. Existují ruzne typy bodovych odhadu, nas budou zajímat odhady nestranne, asymptoticky nestranníe a konzistentní. Je-li odhadem interval, jehoz meze jsou statistiky a kterí s dostatecne velkou pravdepodobností pokryva neznamou hodnotu parametricke funkce, jedna se o interval spolehlivosti. 12.1. Motivace Vychazíme z nahodneho víberu X1,..., Xn z rozlození L(v), ktere zívisí na parametru v. Mnozinu vsech prípustnych hodnot tohoto parametru oznaďme S. Parametr v nezname a chceme ho odhadnout pomocí daneho nahodneho víberu (prípadne chceme odhadnout nejakou parametrickou funkci h(v)). Bodovym odhadem parametricke funkce h(v) budeme rozumet statistiku Tn = T(X1,... ,Xn), ktera nabíví hodnot blízkych h(v), at' je hodnota parametru v jakakoliv. Existují ruzne metody, jak konstruovat bodove odhady (napr. metoda momentu ci metoda maximílní verohodnosti, ale temi se zde zabyvat nebudeme) a take ruzne typy bodovych odhadu. Omezíme se na odhady nestranníe a asymptoticky nestranníe. Intervalovym odhadem parametricke funkce h(v) rozumíme interval (D, H), jehoz meze jsou statistiky D = D(X1,... , Xn), H = H(X1,..., Xn) a ktery s dostatecne velkou pravdepodobností pobýva h(v), at' je hodnota parametru v jakakoliv. Zameríme se na intervalove odhady parametru a parametrickych funkcí normalního rozlození. 124 Bodový odhad parametrické funkce by měl mít určité vhodné vlastnosti. Takovou vlastností mUze byt pro jeden odhad nestrannost a pro posloupnost odhadU asymptoticka nestrannost či konzistence. Kvalitu nestranneho bodoveho odhadu lze posoudit pomocí rozptylu tohoto odhadu: čím mensí rozptyl, tím kvalitnejsí odhad. 12.2. Definice Necht' Xi,... ,Xn je nahodný vyber z rozložení L(v), h(v) je parametrický funkce, T, Tl, T2, .. .jsou statistiky. a) Řekneme, ze statistika T je nestranným odhadem parametricke funkce h(v), jestlize V? G S : E (T) = h(v). (Vyznam nestrannosti spodVa v tom, ze odhad T nesmí parametrickou funkci h(v) systematicky nadhodnocovat ani podhodnocovat. Není-li tato podmínka splnena, jde o vychylený odhad.) b) Jsou-li Tl, T2 nestranne odhady teze parametricke funkce h(v), pak rekneme, ze Tl je lepsí odhad nez T2, jestlize V? G S : D(Tl) < D(T2). c) Posloupnost se nazýva posloupnost asymptoticky nestranných odhadu parametricke funkce h(v), jestlize V? G S : lim E(Tn) = h(v). n—>oo (Výyznam asymptotickýe nestrannosti spo cýívaý v tom, ze s rostoucýím rozsahem výyb eru klesýa vychýylenýí odhadu. Je z rejmýe, ze z nestrannosti okam zit e vyplyývýa asymptotickýa nestrannost.) c) Posloupnost se nazýva posloupnost konzistentních odhadu parametricke funkce h(v), jestlize V? G S, Ve > 0 : lim P(|Tn - h(v)| > e) = 0. n—oo (Výyznam konzistence spo cýívýa v tom, ze s rostoucýím rozsahem výyb eru klesa pravdepodobnost, ze se odhad bude realizovat „daleko" od sku-tecne hodnoty parametricke funkce. Lze ukýzat, ze z asymptoticke nestrannosti vyplyvý konzistence, pokud posloupnost rozptylu konverguje k 0.) 12.3. Příklad Nezavisle opakovana merení urcite konstanty u, jsou charakterizovana ný-hodným výberem Xl,...,Xn z rozlození se strední hodnotou E(Xj) = // n a rozptylem D (Xi) = a2, i = 1,... ,n. Uvažme statistiky M = -^Xj a L 2 i=1 a) Dokazte, ze M a L jsou nestranne odhady strední hodnoty b) Zjistete, ktery z techto dvou odhadu je lepsí. Resení: ad a) e{m) = e l - Vi,] = -Y t \ n / n n n i=i i=i i=i E(L) n (^4^) = \E{Xl+Xn) = +E(Xn)} 2 ) 2 I 125 12. Bodové a intervalové odhady parametrů a parametrických funkcí ad b) D(M) = D n n i=l i=l i 2 a2 —na = — a2 n D(L) = D (^4^) = +Xra) = ^[DiXJ + D(Xn)] _a2 + a2 _a2 4 2 Vidíme tedý, ze M je lepsí odhad nez L pro n > 3. 12.4. Poznámka Ve vete 11.3, tvrzení (a), býlo ůvedeno, ze E (S2) = a2, tedý víberový rozptýl S2 je nestranným odhadem rozptýlů a2. (Odtůd je take vide t, z e ve vzorci pro výběrový rozptyl musí být konstanta ^-j-, nikoli ^, aby platilo E(S2) = a2.) Víberova smerodatna odchýlka S vsak není nestranným odhadem smerodatne odchýlký a. Pak bý totiz platilo E (S) = a, ovsem E (S2) = a2, tedý D(S) = E(S2) - [E(S )]2 = a2 - a2 = 0, coz je mozne jen tak, ze S bý býla konstanta. Nýní bůdeme definovat interval spolehlivosti pro parametrickoů fůnkci, a to jak oboůstranní, tak levostranný ci pravostranní. Uvedeme doporůcený postůp p ri konstrůkci intervalů spolehlivosti a ůkaz eme si, jaký vliv na s írků intervalů spolehlivosti mía riziko a rozsah víýb erů. 12.5. Definice Necht' X1,... ,Xn je nahodní víber z rozlození L(v), je parametricka fůnkce, a G (0,1), D = D(X1,... ,Xn), H = H(X1,... ,Xn) jsoů statistiký. a) Interval (D,H) se nazýví 100(1 — a)% (oboůstranný) interval spolehlivosti pro parametrickoů fůnkci h(v), jestli ze: Vtf G S : P (D < < H) > i — a. b) Interval (D, to) se nazýví 100(1—a)% levostranní interval spolehlivosti pro parametrickoů fůnkci jestli ze: V? G S : P (D < > i — a. I c) Interval (—to, H) se názývá 100(1 — a)% právostránný interval spolehlivosti pro parametrickou funkci h(v), jestli Ze: V^ G S : P) < H) > 1 — a. d) Číslo a se názývá riziko (zprávidlá a = 0,05, mene c ásto 0,1 ci 0,01), číslo 1 — a se názývá spolehlivost. 126 12.6. Poznámka Doporucení postup pri konstrukci intervalu spolehlivosti: a) b) c) Vyjdeme ze statistiky V, ktera je nestranním bodovym odhadem pa-rametricke funkce h(v). Najdeme tzv. pivotovou statistiku W, ktera vznikne transformací statistiky V, je monotónní funkcí h(v) a pritom její rozlození je zname a na h(v) nezavisí. (Pri konstrukci intervalu spolehlivosti pro parametry jednoho a dvou normalních rozlození pouzívame jako pivotove statistiky statistiky M, K, T, F z vet 11.4 a 11.7.) Pomocí znameho rozlození pivotove statistiky W najdeme kvantily wa/2, w1-a/2, takze platí: Ví? G S : P(wa/2 < W < W1_a/2) > 1 a. d) Nerovnost wa/2 < W < w1-a/2 prevedeme ekvivalentními upravami na nerovnost D < h(v) < H. e) Statistiky D, H nahradíme jejich císelními realizacemi d, h a získame tak 100(1 — a)% empirickí interval spolehlivosti, o nemz prohlasíme, ze pokryva h(v) s pravdepodobností aspoň 1 — a. (Tvrzení, ze (d, h) pokryví h(v) s pravdepodobností aspon 1 — a je treba clmpat takto: jestliňze mnohoníasobnňe nezíavisle získíame realizace x1, . . . , xn níahodníe-ho vyberu X1,... ,Xn z rozlození L(v) a pomocí kazde teto realizace sestrojíme 100(1 — a)% empiricky interval spolehlivosti pro h(v), pak podíl poctu tech intervalu, ktere pokrívají h(v) k poctu vsech sestro-jenych intervalu bude priblizne 1 — a.) 12.7. Veta Necht' (d, h) je 100(1 —a)% empirickí interval spolehlivosti pro h(v) zkonstru-ovany pomocí císelních realizací x1,... ,xn nahodneho víberu X1,... ,Xn z rozlození L(v). a) Pňri konstantníím riziku klesaí ňsííňrka h — d s rostoucíím rozsahem níahod-níeho vyíbňeru. b) Pňri konstantníím rozsahu níahodníeho vyíbňeru klesaí ňsííňrka h— d s rostoucíím rizikem. Nadale se budeme zabyvat konstrukcí intervalu spolehlivosti pro parametry normíalníích rozloňzeníí. Vňzdy pro jednu konkríetníí situaci podrobnňe odvodííme meze intervalu spolehlivosti a pro ostatní situace jen uvedeme prehled vzorcu. Tňem z vías, kteňríí majíí hlubňsíí zíajem o statistiku, lze doporuňcit, abyste se pokusili uvedeníe vzorce odvodit a s vyuňzitíím vlastnostíí pňríísluňsníych pivotovyích statistik, jak byly uvedeny ve vňetíach 11.4 a 11.7. 12.8. Příklad Necht' X1,... ,Xn je nahodny víber z rozlození N (/i, a2), pricemz n > 2 a parametry a2 nezname. Sestrojte 100(1 — a)% interval spolehlivosti pro strední hodnotu ^ a to a) oboustrannyí, I 127 12. Bodové a intervalové odhady parametrů a parametrických funkcí b) levostranný, c) pravostranný. ta/2 (n - 1) T = ^ ~ t{n - 1) (viz věta 11.4. y/ň -tl-a/2 (n - 1), Wi_a/2 = tl-a/2 (n - 1) Řešení: = u, V tvrzení (e)), w«/2 ad a) Vi? G S : 1 - a < P (-ti_a/2(n - 1) 06 °<2011 1,92 2,20 m 1,8331 = 1,94 1,94 < u s pravdepodobností aspoň 0,95. adc)/i = m+ ^h-a(n - 1) = 2,06 + ^1,8 u < 2,18 s pravdepodobností aspon 0,95. 2,18 n 128 12.9. Věta Přehled vzorců pro meze 100(1 — a)% empirických intervalů spolehlivosti pro parametry jednoho normálního rozloZení. Necht' Xí}... ,Xn je nýhodný výber z rozloZení N(u, a2), pricemZ n > 2. a) Interval spolehlivosti pro u,, kdyz a2 známe Oboustranný: (d,h) = (m - -^Ui_a/2,m + ^tti_a/2) Levostranný: (d, oo) = (m — -^U\-a, ooj Pravostranný: (—oo,h) = (—oo,m+ ^tíi_aj b) Interval spolehlivosti pro u, kdyZ a2 neznáme c) d) /n ti-a/2(n - l),m+ -^ti_a/2{n - l)j /n ti-a(n — 1), OC Oboustranný: (d, h) = Levostranný: (d, oo) = Pravostranný: (—oo,h) = (—oo,m+ -^ti-a(n — l)j Interval spolehlivosti pro a2, kdyZ u neznáme Oboustranný: (d, h) Levostranný: (d, oo) (n-l)s2 i™"1)' X2a/2(n-l) (n-l)s2 \ Í/2("-l) J (n-l)s2 Pravostranný: (—oo,h) = ( — oo, ^ Interval spolehlivosti pro a2, kdyZ u zname n n Oboustranný: (d,h) = | f^^H'%>T Levostrannýý: (d, o ) = Pravostrannýý: (—o , h) i=l_ Xl_aW oc o, £ (xi-M)2\ Xl(n) I 12.10. Příklad Necht' Xi,..., Xn je nahodný výber z rozlození N (u, 0,04). Jaký můsí být mi-nimalní rozsah výberů, abý sírka 95% intervalů spolehlivosti pro u nepresahla císlo 0,16? Rěšění: Podle 12.9 (a) dostíavíame: 0,16 > h — d = m + a n aa nn 4 • 0,04 • 1,962 a 4a2ui a/2 ^ 1—a/2 0,162 24,01 n > 25. I 129 12. Bodové a intervalové odhady parametrů a parametrických funkcí 12.11. Příklad Jsou dány dva nezávislé náhodné výběry o rozsazích ni > 2, n2 > 2, první pochází z rozloZení N(^i,a2), druhy z rozloZení N(/í2, 2, n2 > 2, první pochází z rozloZení N(/j i,a2), druhý z rozloZení N(/j2,a2), kde parametry /j i, u,2, af, a| neznáme. Sestrojte 100(1 — a)% interval spolehlivosti pro podíl rozptylů Řešení: 4 h(u) = V = f|, W = F = || ~ - l,ra2 - 1) (viz věta 11.7, A tvrzení (e)), wa/2 = F«/2 (ni — 1,n2 — 1), wi_a/2 = F-«/2 (ni — 1,n2 — 1). Vi9 G H : 1 — a < P(Fa/2(n1 — 1, n2 — 1) < F < F1_a/2(ni — 1,n2 — 1)) = = P ^Fa/2(n1-í,n2-í) < || < í1l-a/2(«l " b«2 " 1)^ = (si sl \ = P _^_<^i<_£1_ \ F1-a/2 (n1 — 1,n2 — 1) ^2 Fa/2(n1 — 1,n2 — 1) Konkrétní aplikace: V predeSlem príklade nyní predpokladame, ze dane dva níhodne vybery pochazejí z rozlození N(/j i, 2 a n2 > 2. a) Interval spolehlivosti pro j1 — j2, kdyz a2, of známe Oboustranny: (d, h) = | m1 — m2 ^ + ^M1_a/2 , 7771 m2 I °2 ri2 ^1—ot/2 Levostranní: (d, oo) = ( m1 — m2 I y n H--Ui_a, OC ni n2 1 a' ) ) I d 131 12. Bodové a intervalové odhady parametrů a parametrických funkcí Pravostranný: (-00, h) = ^-oo,TOi - to2 - + ^í-o^j b) Interval spolehlivosti pro (i1 — n2, kdyZ af, af neznáme, ale vime, Ze jsou shodné Oboustranný: (nii - m2 - s*^J^ + ^1-0/2(^1 + ^2 - 2). mi - m2 + + ^íi_a/2(ni + n2 - 2) Levostranný: (d, 00) = (mi - m2 - ± + Mi_a/2{ni + n2 - 2), oc Pravostranný: (-00, h) = (-00, mi-m2 + + ^*i-a/2(wi + n2 - 2) j c) Interval spolehlivosti pro společní) neznámý rozptyl a2 Oboustranný: (<*,/>) = (^^3),^^) Levostranný: (d, 00) = (^gf|^,oo) Pravostranný: (-00, fr) = (-00, gg^gf) 2 d) Interval spolehlivosti pro podíl rozptylů Oboustranný: (d, h) ( ?2__^ ) 1 ^i-a/2(™l-!»ra2-1) ' Fa/2(n1-l,n2-l) J Levostranný: (d, 00) = ^1_a(rai^1>ra2_1), 00 j Pravostranný: (-00, h) = ^-00, fa(rai j,ra2_i) j 12.14. Poznámka Není-li v bode (b) vety 12.13 splněn predpoklad o shodě rozptylU, lze sestrojit aspon pribliZný 100(1 — a)% interval spolehlivosti pro (i1 — //2. V tomto prípade ma statistika T pribliZne rozloZení t(v), kde pocet stupnU volnosti v = "1 i "2 ni ' n2 ni — 1 + n2 — 1 I Není-li v cele Číslo, pouZijeme v tabulkých kvantilU Studentova rozloZení lineýrní interpolaci. Predpoklad o shode rozptylu lze overit tak, Ze sestrojíme 100(1 —a)% interval 2 spolehlivosti pro íj. Pokud tento interval bude obsahovat 1, lze s pravděpodobností 1 — a povaZovat rozptyly za shodne. 132 12.15. Veta Necht' XY11 XYnn je nahodná vyber ž rožložená pricemž n > 2. Ožnacáme / = /1 — /2 a žavedeme roždálová nahodny váber Z1 = X1 — Y1,..., Zn = Xn — Yn. Necht' M 1 n S2 1 i=1 n1 i=1 Pak statistika T = ~ t(n — 1), tudíž meze 100(1 — a)% intervalu spolehlivosti pro fi jsou M ± -^í1_a/2(n — 1). 12.16. Príklad Bylo vybrano sest novách automobilu teže žnacky a po urcite dobe bylo žjisteno, o kolik mm se sjely jejich prave a leve prední pneumatiky. číslo automobilu 1 2 3 4 5 6 pravá pneumatika se sjela 0: 1,8 1,0 2,2 0,9 1,5 1,6 levá pneumatika se sjela 0: 1,5 1,1 2,0 1,1 1,4 1,4 Za predpokladu, že namerene dvojice hodnot predstavují císelne realižace nahodneho vyberu rožsahu 6 ž dvourožmerneho normalního rožložení N2 yW ^12 a2;j sestrojte 95% empirickyá interval spolehlivosti pro roždáíl st rednáích hodnot Řešení: z1 = 0,3, z2 = —0,1, z3 = 0,2, z4 = —0,2, z5 = 0,1, z6 = 0,2, m = 0,0833, s = 0,1941, a = 0,05. d = m--i=ti-a/2{n n 1) = 0,0833 0,1941 6 0,0833 t0,975(5) = 0,1941 6 2,5706 = —0,12 , . . . ; s , 0,1941 h = m + —=ti_a/2(n - l) = 0,0833 + "'""^0,975(5) n 0,1941 0,0833 + ' ^ 2,5706 = 0,29. I —0,12 mm < /1 — /2 < 0,29 mm s pravdepodobností aspon 0,95. 133 12. Bodové a intervalové odhady parametrů a parametrických funkcí Shrnutí kapitoly Na zaklade znalosti níhodneho vyberu aproximujeme neznamou hodnotu parametru ci parametricke funkce bodovím odhadem parametricke funkce. Zpravidla pozadujeme, aby tento odhad mel jiste zadoucí vlastnosti. K tem patrí nestrannost, resp. asymptotickí nestrannost ci konzistence, pokud pracujeme s posloupností bodovych odhadu teze parametricke funkce. Bodove odhady vsak mají jednu znacnou nevíhodu - nevíme, s jakou pravdepodobností odhadují hodnotu nezname parametricke funkce. Tuto nevyhodu odtranujíí intervalovíe odhady parametrickíe funkce: jsou to intervaly, jejich z meze jsou statistiky a kteríe s p redem danou dostate cn e velkou pravd epodob-ností pokryvají hodnotu nezname parametricke funkce. Pokud do vzorcu pro meze 100(1 — a)% intervalu spolehlivosti pro danou parametrickou funkci dosadíme císelne realizace nahodneho víberu, dostaneme 100(1 — a)% empi-rickíy interval spolehlivosti. V praxi se nejcasteji pouzívají intervaly spolehlivosti pro parametry normíl-ních rozlození. Proto jsme si uvedly predhled vzorcu pro meze 100(1 — a)% empirickích intervalu spolehlivosti pro parametry jednoho a dvou normalních rozlození. Kontrolní otazky a ůkoly 1 Definujte nestranny odhad a asymptoticky nestranní odhad parametricke funkce. V cem spocíva vyznam nestrannosti a asymptoticke nestrannosti? 2 (S) Prírustky cen akcií na burze v New Yorku u 10 níhodne vybraních spolecností dosahly techto hodnot: 10, 16, 5, 10, 12, 8, 4, 6, 5, 4. Najdete nestranne bodove odhady strední hodnoty a rozptylu prírustku cen akcií. 3 Necht' X1,..., Xn je nahodní vyber z rozlození Rs(0, b), kde b > 0 je neznámý parametr. Jsou definovány statistiky 7\ = Xx + |X2 + |X3 + |X4 a T2 = \{X\ + X2 + X3 + X4). Ukažte, že 7\, T2 jsou nestranné odhady parametru b a urcete, kterí odhad je lepsí. 4 Definujte 100(1 — a)% interval spolehlivosti pro parametrickou funkci, a to jak oboustrannyí, tak jednostranníe intervaly spolehlivosti. 5 Jaky vliv na sírku intervalu spolehlivosti ma zvísení rizika pri kon-stantníím rozsahu víyb eru? 6 Jaky vliv na sírku intervalu spolehlivosti mí zvetsení rozsahu vyberu p ri konstantníím riziku? 7 Hloubka more se merí prístrojem, jehoz systematickí chyba je nulova a naíhodníe chyby m e reníí majíí normíalníí rozlo zeníí se sm erodatnou odchylkou a = 1 m. Kolik merení je nutno provest, aby se hloubka more stanovila s chybou nejvíse ±0,25 m pri riziku 0,05? 8 U jisteho mericího zarízení ma bít posouzena jeho presnost. Proto na nem byla nezavisle zmerena delka tehoz vírobku. Vísledky merení v cm 134 byly: 15,15; 15,20; 15,04; 15,14; 15,22. Predpokladame, že tyto vásledky jsou cáselne realižace náhodneho váberu rožsahu 5 ž rožložená N(//, a2). Sestrojte 95% empirická interval spolehlivosti pro rožptyl a2. 9 Sponžor televižních poradu pro deti chce vedet, kolik casu stráví deti sledovaním televiže, protože na techto informacích žávisí typy a pocty programu. Nahodnym váberem 100 detá se žjistilo, že sledovaná televiže venujá tydne prumerne 27,5 h se smerodatnou odchylkou 8 h. Za predpokladu, že pocet hodin stráveny ža táden sledovanám televiže se rádá normalnám rožloženám, sestrojte 95% empiricky interval spolehlivosti pro strední hodnotu poctu hodin strávenych tydne sledovaním televiže. 10 (S) Na jiste velke americke univeržite bylo v r. 1969 nahodne vybrano 5 profesoru a nežávisle na tom 5 profesorek a byl žjisten jejich rocm pfíjem (v tisácách dolaru). Muži: 16, 19, 12, 11, 22, ženy: 9, 12, 8, 10, 16. Predpokladáme, že uvedene ádaje tvorá realižace dvou nežavislách nahodnych váberu ž rožložení N(^a2) a N(^2,a2). a) Sestrojte 95% empirická interval spolehlivosti pro podíl rožptylu prájmu mužu a žen. b) Pokud bude uvedenáy interval spolehlivosti obsahovat 1, sestrojte 95% empirická interval spolehlivosti pro roždál strednách hodnot prájmu mužu a žen. V opacnem pfípade sestrojte aspon približná interval spolehlivosti. 11 (S) Pet mužu se rožhodlo, že budou hubnout. Zjistili svou hmotnost pred žahajením diety a po ukoncení diety. Čáslo osoby 1 2 3 4 5 Hmotnost před dietou 84 77,5 91,5 84,5 97,5 Hmotnost po dietě 78,5 73,5 88,5 80 97 Za predpokladu, že uvedene udaje jsou cáselne realižace nahodneho vyberu rožsahu 5 ž dvourožmerneho normálnáho rožložená N2 V V^v va12 a2 / / sestrojte 95% empirická interval spolehlivosti pro strednách hodnotu ubytku hmotnosti. I 135 12. Bodove a intervalová odhady parametrů a parametrických funkcí 13 Úvod do testovaní hypotez a testy o parametrech normálního rozloZení I 13. Úvod do testovaní hypotéz a testy o parametrech normálního rozložení Cíl kapitola Po prostudovaní teto kapitolý budete umet: ■ formulovat nulovou a alternativní hýpotezu stanovit testováe kritáerium a kritickáý obor pro test nulováe hýpotáezý proti oboustrannáe alternativňe i proti jednostrannáým alternativáam ■ posoudit sílu testu pomocí grafu silofunkce ■ provadet testý hýpotez o parametrech normalního rozlození tremi raznými zpusobý (basová zátěž Pro zvládnutí teto kapitoly budete potřebovat asi 8 hodin studia. V táeto kapitole se budeme zabýávat probláemem, jak pomocá statistiký vznikláe transformacá danáeho naáhodnáeho výábňeru rozhodnout, zda naňse domnňenka o parametru rozloňzená, z nňehoňz náahodnýá váýbňer pochaázá, je spráavnáa. Napňráklad zname pramernou hmotnost automatický balenách potravinarskách várobku urciteho druhu zjistenou pred a po serízení balícího automatu. S pravdepodobností 95% mame prokazat, ze strední hodnota hmotnosti balícku se seňrázenám automatu zmňenila. Statistickáe postupý, kteráe ňreňsá podobnáe probláe-mý, se nazývají testý hýpotez. Nejprve objasníme pojmý nulova hýpoteza a alternativní hýpoteza a výsvet-líme, kdý dojde k chýbe 1. druhu ci 2. druhu. 13.1. Motivace Testovaní hýpotez patrí k nejdulezitejsím metodam matematicke statistiký. Na zíakladňe znalosti naíhodníeho víýbňeru umoňzní s pňredem danou pravdňepo-dobností ovňeňrovat domnňenký o parametrech rozloňzení, z nňehoňz daníý níahodníý výíbňer pochíazí. 13.2. Definice Necht' Xi,... , Xn je náhodný výber z rozlození L(v), kde parametr ů G S nezname. Necht' h(v) je parametricka funkce a c daná realná konstanta. Tvrzení H0 : h(v) = c se nazývá nulová hypotéza, tvrzení Hi : h(v) = c se nazýva oboustranná alternativní hypotéza, tvrzení Hi : h(v) < c se nazývá lévostranna altérnativná hypotéza, tvrzení Hi : h(v) > c se nazývá pra-vostranna alternativní hypotéza. Testovaním H0 proti Hi rozumíme rozhodovací postup zalozený na nahodnem váberu Xi,...,Xn, s jehoz pomocí zamítneme ci nezamítneme platnost nulove hýpotezý. I 13.3. Poznámka Volba alternativní hýpotezý není libovolna, ale výpláva z konkretní situace. Napr. pri soucasne technologii je pravdepodobnost výrobení zmetku v = 0,01. a) Po rekonstrukci vírobní linký býla obnovena výroba, pricemz technologie zustala stejna. Chceme overit, zda se zmenila kvalita výrobku. Testujeme H0 : v = 0,01 proti Hi : v = 0,01. 138 b) Býlý provedený zmený v technologii výrobý s cílem zvýsit kválitu. V tomto pfípáde tedý testujeme H0 : v = 0,01 proti Hi : v < 0,01. c) Býlý provedený zmený v technologii výrobý s cílem snízit nákládý. V teto situáci testujeme H0 : v = 0,01 proti Hi : v > 0,01. 13.4. Dennice Pri testovaní H0 proti H1 se múžeme dopustit jedne ze dvou chyb: chyba 1. druhu spoCíva v tom, Ze H0 zamítneme, aC ve skuteCnosti platí a chyba 2. druhu spoCívá v tom, Ze H0 nezamítneme, aC ve skuteCnosti neplatí. Situaci prehledne znazornuje tabulka: skutečnost rozhodnutí Ho nezamítáme Ho zamítáme H0 platí správne rozhodnutí chyba 1. druhu H0 neplatí chyba 2. druhu správne rozhodnutí Právdepodobnost chýbý 1. druhu se znácí a á názývá se hládiná význámnosti (vetsinou bývá a = 0,05, mene cásto 0,1 ci 0,01). Právdepodobnost chýbý 2. druhu se znácí //. Císlo 1 — // se názývá sílá testu á výjádruje právdepodobnost, s jákou test výpoví, ze H0 neplátí. Pri dánem rozsáhu výberu vede snizovýní a ke rustu // á obrýcene. Nýní si ukýzeme tri zpusobý, jimiz lze provest test nulove hýpotezý proti álternátivní hýpoteze. Klásický zpusob spocívý v nálezení kritickeho oboru. Testovýní pomocí interválu spolehlivosti návázuje ná poznátký získáne ve 12. kápitole. Moderný zpusob zálozenýý ná p-hodnote je vhodný predevsím tehdý, máme-li k dispozici státistický softwáre. Vsechný tri zpusobý pouzijeme pri resení konkretnho pn'kládu. 13.5. Poznámka Testován! H0 proti Hi ná hládine význámnosti a je mozno provýdet tremi ruznými zpusobý: á) pomocý kritickýeho oboru b) pomocý interválu spolehlivosti c) pomocý p-hodnotý. ád á) Nájdeme státistiku T0 = T0(Xi,... ,Xn), kterou názveme testovým kriteriem. Mnoziná hodnot, jichz muze testove kriterium nábýt, se rozpádý ná dvá neslucitelne oborý: obor nezámítnutí nulove hýpotezý (znácí se V) á obor zámítnutí nulove hýpotezý (znácý se W á názývá se tez kriticky obor). Týto dvá oborý jsou oddelený krýtickými hodnotámi (pro dánou hládinu výýznámnosti a je lze nájýt ve státistickýých tábulkýách). Jestlize císelná reálizáce t0 testoveho krýteriá T0 pádne do kritickeho oboru W, pák nulovou hýpotezu zámítáme ná hládine význámnosti a á známená to skutecne vývrýcení testováne hýpotezý. Jestlize t0 pádne do oboru ne-zámítnutí V, pák jde o pouhe mlcení, ktere plátnost nulove hýpotezý jenom pripoustí. I 139 13. Úvod do testovaní hypotéz a testy o parametrech normálního rozložení Pravdepodobnosti chyb 1. a 2. druhu nyní zapíseme takto: P(t0 G W|H0 platí) = a, P(t0 G V|Hi platí) = Stanovení kritickeho oboru pro danou hladinu víznamnosti a: Oznacme ŕmin (resp. tmax) nejmensí (resp. nejvetsí) hodnotu testoveho kriteria. Kritickí obor v prípade oboustranne alternativy ma tvar W = (ímin,K„/2(T)) U (Ki-«/2(T),tmax), kde Ka/2(T) a Ki-a/2(T) jsou kvantily rozlození, jímz se rídí testove kriterium T0, je-li testoví hypoteza pravdiví. Kritickí obor v prípade levostranne alternativy mía tvar: W =(ímin,K«/2(T)), v prípade pravdostranne alternativy ma kriticky obor tvar W = (Ki-„/2(T ),tmax). ad b) Sestrojíme 100(1 — a)% empirickyí interval spolehlivosti pro parametrickou funkci h(v). Pokryje-li tento interval hodnotu c, pak H0 nezamítíme na hladine víznamnosti a, v opacnem prípade H0 zamítíme na hladine vyíznamnosti a. Pro test H0 proti oboustranne alternative sestrojíme oboustranní interval spolehlivosti. Pro test H0 proti levostranne alternative sestrojíme pravostranní interval spolehlivosti. Pro test H0 proti pravostranne alternative sestrojíme levostrannyí interval spolehlivosti. ad c) p-hodnota udava nejnizsí moznou hladinu vyznamnosti pro zamítnutí nulove hypotezy. Je-li p-hodnota < a, pak H0 zamítíme na hladine víznamnosti a, je-li p-hodnota > a, pak H0 nezamítame na hladine víznamnosti a. Zpusob vypoctu p-hodnoty: Pro oboustrannou alternativu: p = 2min{P(T0 < t0),P(T0 > t0)}. Pro levostrannou alternativu: p = P(T0 < t0), pro pravostrannou alternativu: p = P (T) > Í0). p-hodnota vyjadruje pravdepodobnost, s jakou císelne realizace x i,..., xn nahodneho víberu Xi,... ,Xn podporují H0, je-li pravdiva. Statisticke pro-gramove systemy poskytují ve svych vystupech p-hodnotu. Její vypocet vy-zaduje znalost distribucní funkce rozlození, kterím se rídí testove kriterium T0, je-li H0 pravdiví. Vzhledem k tomu, ze v bezních statistickích tabulkach jsou uvedeny pouze hodnoty distribu cníí funkce standardizovaníeho normíalníího rozlo zeníí, bez po-uzití specialního software jsme schopni vypoďtat p-hodnotu pouze pro test hypotezy o strední hodnote normalního rozlození pri znamem rozptylu. 140 Ilustrace významu p-hodnoty pro test nulové hypotéza proti oboustranné, levostranné a pravostranné alternativé: -p-hodnota - p-hodnota p-hodnota t -to t to t to t to (Zvonovita krivka réprézéntujé hustotu rozloZéní, ktérým sé rídí téstové kritérium, jé-li nulova hypotéza pravdiva.) 13.6. Poznámka Provadímé-li tést nulové hypotézy proti altérnativní hypotézé pomocí kritického oboru, doporuCujé sé dodrzét naslédující postup: 1. Stanovímé nulovou hypotézu a altérnativní hypotézu. Pritom jé vhodné zvolit jako altérnativní hypotézu tén predpoklad, jéhoz prijétí znaména zavazné opatréní a mélo by k nému dojít jén s malym rizikém omylu. 2. Zvolímé hladinu vyznamnosti a. Zpravidla volímé a = 0,05, méné Casto 0,1 nébo 0,01. 3. Najdémé vhodné téstové kritérium a na zakladé zjisténych dat vypoCí-tíamé jého réalizaci. 4. Stanovímé kritický obor. 5. Jéstlizé réalizacé téstového kritéria padla do kritického oboru, nulovou hypotézu zamítamé na hladiné víznamnosti a. V opacném prípadé nulovou hypotézu nézamítamé na hladiné vyznamnosti a. 13.7. Příklad 10 x nézavislé na sobé byla zméréna jista konstanta Vyslédky méréní byly: 2; 1,8; 2,1; 2,4; 1,9; 2,1; 2; 1,8; 2,3; 2,2. Tyto víslédky povazujémé za císélné réalizacé nahodného vybéru X\,..., Xw z rozlozéní N(//, 0,04). Néjakí téorié tvrdí, zé // = 1,95. Proti nulové hypotézé H0 : // = 1,95 postavímé oboustrannou altérnativu H1 : // = 1,95. Na hladiné víznamnosti 0,05 téstujté H0 proti H1. Řešení: m = 10 (2 + • • • + 2,2) = 2,06, a2 = 0,04, n =10, a = 0,05, c = 1,95 a) Tést provédémé pomocí kritickíého oboru. Pro ulohy o strední hodnoté normalního rozlozéní pri znamém rozptylu používáme pivotovou statistiku U = ~ N(0,1) (viz věta 11.4 (a)). Testové kritérium tédy budé T0 M-c a V"' a budé mít rozlozéní N(0,1), pokud jé H0 pravdiva. Vypoďtamé réalizaci téstového kritéria: t0 novímé kritickyí obor: W : 2,06-1,95 0,2 1,74. Sta- ^min, Ka/2(T )) U (Ki_a/2(T),tmax) = (-^,«a/2) U («i_a/2, 0o) (-00, -Mi_a/2) U (Ul-a/2, 0o) = (-00, -«0,975) U («0,975, 0o) = (-00,-1,96) U (1,96, 00) I 141 0 0 0 1 13. Úvod do testování hypotéz a testy o parametrech normálního rozložení Protože 1,74 G W, Ho nezamítáme na hladině významnosti 0,05. b) Test provedeme pomocí intervalu spolehlivosti. Meze 100(1 — a)% intervalu spolehlivosti pro strední hodnotu v pri znamem rozptylu a2 jsou (viz věta 12.9 (a)): (d, h)= (m- -^Ui_a/2,m + -^tíi_a/2). V našem případě d = 2,06 - ^=«0,975 = 2,06 - ^§1,96 = 1,936, h = 2,184. Protoze 1,95 G (1,936; 2,184), H0 nezamítame na hladine významnosti 0,05. c) Test provedeme pomocí p-hodnoty. Protoze proti nulove hypoteze stavíme oboustrannou alternativu, pouzijeme vzorec p = 2min{P (To < to), P (To > to)} = 2min{P (To < 1,74), P (To > 1,74)} = = 2 min{$(1,74), 1 — $(1,74)} = 2 min{0,95907,1 — 0,95907} = 0,08186 Jelikoz 0,08186 > 0,05, Ho nezamítame na hladine víznamnosti 0,05. Nadíle se budeme zabívat tastovaním hypotez o parametrech normalního rozlození. Ukazeme si ruzne typy testu a naučíme se je provadet pomocí kritickíeho oboru. I 13.8. Definice a) b) c) d) e) a2 zname. Necht' V = c se nazyva Necht' X1,...,Xn je nahodny víber N(v, a2), kde n > 2 a c je konstanta. Test Ho : v = c proti H1 : z-test. Necht' X1,..., Xn je nahodní vyber N(v, a2), kde a2 nezname. Necht' n > 2 a c je konstanta. Test Ho : v = c proti H1 : v = c se nazyva jednovýberovy t-test. Necht' X11,..., Xni1 je nahodní vyber z rozlození Na2) a X12,..., Xn22 je na nem nezavisly nahodní víber rozlození N(v2,a2), pricemz n1 > 2 a n2 > 2 a a2 nezname. Necht' c je konstanta. Test Ho : v1 —v2 = c proti H1 : v1 — v2 = c se nazyva dvouvýběrový t-test. ( X ) je nahodny víber z rozlození (9 --G:) N2 V.WJ Aa12 a2JJ pricemz n > 2 a zídní parametr nezníme. Necht' c je konstanta. Test Ho : v1 — V2 = c proti H1 : v1 — V2 = c se nazyva párový t-test. Necht' X11,..., Xni1 je nahodní vyber z rozlození Na2) a X12,..., Xn22 je na nem nezavisly nahodní vyber rozlození N(v2,a2), pricemz 22 řii > 2 a ií2 > 2. Test H0 : ^| = 1 proti P\ : ^| 7^ 1 se nazývá F-test. Necht' X1,... ,Xn je nahodny vyber N (v, a2), kde v nezname. Necht' n > 2 a c je konstanta. Test Ho : a2 = c proti H1 : a2 = c se nazyví test o rozptylu. 142 13.9. Veta Navody na provedení vyse popsaních sesti typu testu pomocí kritickeho oboru. a) Provedení z-testu Hypotezu H0 : j = c proti H1 : /j = c (resp. H1 : / < c resp. H1 : // > c) zamítame na hladine víznamnosti a, jestlize < Ui_a resp. ^ > tíi-a). y/ň > U1-a/2 (resp. b) Provedení jednovíberoveho t-testu Hypotezu H0 : /j = c proti H1 : /j = c (resp. H1 : / < c resp. H1 : // > c) zamítíme na hladine víznamnosti a, jestlize (resp. ^Vr < t\-a{n - 1) resp. > íi_a(n y/ň 1)). > *1-a/2 (n — 1) c) Provedení dvouvíberoveho t-testu Hypotezu H0 : j1 — j2 = c proti H1 : j1 — j2 = c (resp. H1 : j1 — j2 < c resp. H1 : j1 — j2 > c) zamítame na hladine víznamnosti a, jestlize m1 — m2 — c j_ ,1 n > t1-a/2 (n + n — 2) (resp. m\—TO2— c V n1 n2 f < íi-a(ni + n2-2) resp. m\— TO2-V n1 n2 r > íi-a(ni + n2-2)). Od níhodneho vyberu z dvourozmerneho normílní- d) Provedení píroveho t-testu ho rozlození prejdeme k rozdílovemu níhodnemu vyberu Z1 = X1 — Y1,... , Zn = Xn — Yn. Oznacíme j = j1 — j2. Pak jde o test hypotezy H0 : j = c proti H1 : j = c a uloha je prevedna na jednovíberovy t-test. e) Provedení F-testu 2 2 2 Hypotézu H0 : ^ = 1 proti Hi : ^ ^ 1 (resp. F\ : ^ < 1 resp. a2 a2 a2 2 Hi : > 1) zamítáme na hladině významnosti a, jestlize | < Fa/2(ni + n2-2) nebo -| > Fi_a/2(ni + n2 - 2) (resp. % < Fa(ni + n2 - 2) resp. ^ > Fi_a(ni + n2 - 2)). f) Provedení testu o rozptylu Hypotezu H0 : a2 = c proti H1 : a2 = c (resp. H1 : a2 < c resp. H1 : a2 > c) zamítíme na hladine víznamnosti a, jestlize (n — 1)s2 < Xa/2(n — 1) nebo (n — 1)s2 > x2-a/2 (n — 1) (resp. {n 1}'2 < xl(n - 1) resp. ÍILJlf! > x\_a(n - 1)). I c c 143 13. Úvod do testování hypotéz a testy o parametrech normálního rozložení I 13.10. Příklad Je-li u automatickeho obrábecího stroje rožptyl delky obrabenách soucístek vetsá než 380 ^m2, je treba stroj žnova nastavit. Nahodne jsme vybrali 15 soucastek a žmerili jejich delku. Váberová rožptyl žjistenych 15-ti delek cinil 680 ^m2. Za predpokladu, že delky se rádá normálním rožloženám testujte na hladine vážnamnosti 0,05 hypotežu, že stroj je treba žnova nastavit. Řešení: X1;... ,X15 je nahodná vyber ž rožložení N(^,a2), pricemž s2 = 680 ^m2. Testujeme H0 : a2 = 380 ^m2 proti pravostranne alternative, která má tvar H1 : a2 > 380 ^m2, na hladine vážnamnosti 0,05. Podle bodu (f) vety 13.9 dostavame: realižace testoveho kriteria (n - 1)s2 14 • 680 380 25,05. Pritom x2-«(n - 1) = x0)95(14) = 23,685. Protože 25,05 > 23,685, H0 žamítame na hladine vážnamnosti 0,05. Zjistena data nas tedy opravnují k tomu, abycho stroj žnovu serádili (s rižikem 5%, že budeme provadet žbytecnou praci). Shrnutí kapitoly Tvržená o parametrech rožložená, ž nehož pochažá daná náhodná váber, na-žyvame nulovou hypot ezou. Proti nulove hypoteže staváme alternativn í hypot e zu, ktera ráká, co platá, když neplatá nulová hypoteža. Pri testovaná nulove hypotežy proti alternativní hypoteže se mužeme dopustit bud' chyby 1. druhu (nulovou hypotežu žamítneme, ac ve skutecnosti platí) nebo chyby 2. druhu (nulovou hypotežu nežamátneme, ac ve skutecnosti neplatá). Prav-depodobnost chyby 1. druhu se žnacá a a nažyva se hladina významnosti testu. Klasicky prástup k testovaná hypotež spodVa v naležená vhodneho testove ho křit e řia. Množina hodnot, jichž muže testove kriterium nabyt, se rožpada na obor nezamítnut í nulove hypot ezy a na kriticky obor. Tyto dva neslucitelne obory jsou oddeleny kritickymi hodnotami. Pokud se testove kritáerium realižuje v kritickáem oboru, nulovou hypotáežu žamátáame na hladine vyžnamnosti a a prijámáme alternativná hypotežu. V opacnem prápade nulovou hypotežu nežamátame na hladine vážnamnosti a. Tám jsme ovsem neprokažali jejá pravdivost, mužeme použe ráci, že nase data nejsou natolik prukažna, abychom mohli nulovou hypotežu žamítnout. Test nulováe hypotáežy proti alternativnáí hypotáeže lže táedž prováest pomocáí intervalu spolehlivosti a s využitím metod popsanách ve 12. kapitole. Mame-li k dispožici statisticky software, mužeme vypocítat p-hodnotu jako nejmensá možnou hladinu vážnamnosti pro žamátnutá nulove hypotežy. V praxi se nejcasteji setkavame s testy hypot ez o parametrech nor-máln ího rozlozen í. K temto testum patrá napráklad z-test, jednovyberová, parovy ci dvouvyberová t-test apod. c 144 Kontrolní otazky a Úkoly Vysvetlete pojem „nulova hypoteza" a „alternativní hypoteza". 2 V cem spocíva testovaní nulove hypotezy proti alternativní hypoteze? 3 Kdy se dopustíme chyby 1. druhu (2. druhu)? 4 Co rozumíme testovym kriteriem a kritickym oborem? 6 Jake zníte testy o parametrech normalního rozloZení? 7 Podle udaju na obalu cokolady by její cista hmotnost mela byt 125 g. Víyrobce dostal n ekolik stíí znostíí od kupujíícíích, ve kteríych tvrdili, ze hmotnost cokolad je niZsí neZ deklarovanych 125 g. Z tohoto duvodu oddelení kontroly nahodne vybralo 50 cokolíd a zjistilo, Ze jejich pru-merna hmotnost je 122 g a smerodatna odchylka 8,6 g. Za predpokladu, Ze hmotnost cokolad se rídí normílním rozloZením, muZeme na hladine víyznamnosti 0,01 pova zovat stíí znosti kupujíícíích za opríavn eníe? 8 (S) V restauraci „U bíleho konícka" merili ve 20 prípadech cas obsluhy zakazníka. Vysledky v minutach: 6, 8, 11, 4, 7, 6, 10, 6, 9, 8, 5, 12, 13, 10, 9, 8, 7, 11, 10, 5. V restauraci „Zlaty lev" bylo dane pozorovíní uskutecneno v 15 prípadech s temito vysledky: 9, 11, 10, 7, 6, 4, 8, 13, 5, 15, 8, 5, 6, 8, 7. Na hladine víznamnosti 0,05 testujte hypotezu, Ze strední hodnoty doby obsluhy jsou v obou restauracích stejne. 9 (S) Na 10 automobilech stejneho typu se testovaly dva druhy benzínu lisící se oktanovym císlem. U kaZdeho automobilu se pri prumerne rychlosti 90 km/h meril dojezd (tj. dríha, kterou ujede na dane mnoZství benzínu) pri pouZití kaZdeho z obou druhu benzínu. Vísledky: CcLl_lticL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 benzín A 17,5 20,0 18,9 17,9 16,4 18,9 17,2 17,5 18,5 18,2 benzín B 17,8 20,8 19,5 18,3 16,6 19,5 17,5 17,9 19,1 18,6 Za predpokladu, Ze dojezd se rídí normalním rozloZením, testujte na hladine víznamnosti 0,05 hypotezu, Ze rozdíl stredních hodnot dojezdu pri dvou druzích benzínu se nelisí. 10 Pevnost vlakna bavlnene pnze lze pokladat za nahodnou velicinu s rozloZením Na2). Je-li a2 > 0,36 kg2, vznikají potíZe pri tkaní. Pri zkousce 11 nahodne vybranych vlaken byly zjisteny hodnoty jejich pevnosti a vypocten empirickí rozptyl s2 = 0,92 kg2. Na hladine víznam-nosti 0,05 je treba zjistit, zda je príze vyhovující. 11 Normalne rozloZena nahodne veliciny predstavují vísledek merení teZe konstanty dvema ruznymi metodami a jejich nezname smerodatne odchylky a1, a2 charakterizují nespolehlivost techto metod zpusobenou nahodnymi chybami. Pri realizaci dvou nezavislích níhodních víbera rozsahu n1 = 25, n2 = 31 jsme získali empiricke smerodatne odchylky s1 = 0,523, s2 = 0,363. Je moZno na hladine víznamnosti 0,05 povaZovat obe metody za stejne spolehlive? I 5 Popiste tri zpusoby testovaní hypotez. 145 13. Úvod do testovaní hypotez a testy o parametrech normalního rozložení Príloha A - Statistické tabulky Příloha A - Statistické tabulky Distribučn í funkce standardizován é ho normáln ího rozložen I u $(w) u $(w) u $(w) u $(w) 0,00 0,50000 0,50 0,69146 1,00 0,84134 1,50 0,93319 0,01 0,50399 0,51 0,69497 1,01 0,84375 1,51 0,93448 0,02 0,50798 0,52 0,69847 1,02 0,84614 1,52 0,93574 0,03 0,51197 0,53 0,70194 1,03 0,84850 1,53 0,93699 0,04 0,51595 0,54 0,70540 1,04 0,85083 1,54 0,93822 0,05 0,51994 0,55 0,70884 1,05 0,85314 1,55 0,93943 0,06 0,52392 0,56 0,71226 1,06 0,85543 1,56 0,94062 0,07 0,52790 0,57 0,71566 1,07 0,85769 1,57 0,94179 0,08 0,53188 0,58 0,71904 1,08 0,85993 1,58 0,94295 0,09 0,53586 0,59 0,72240 1,09 0,86214 1,59 0,94408 0,10 0,53983 0,60 0,72575 1,10 0,86433 1,60 0,94520 0,11 0,54380 0,61 0,72907 1,11 0,86650 1,61 0,94630 0,12 0,54776 0,62 0,73237 1,12 0,86864 1,62 0,94738 0,13 0,55172 0,63 0,73565 1,13 0,87076 1,63 0,94845 0,14 0,55567 0,64 0,73891 1,14 0,87286 1,64 0,94950 0,15 0,55962 0,65 0,74215 1,15 0,87493 1,65 0,95053 0,16 0,56356 0,66 0,74537 1,16 0,87698 1,66 0,95154 0,17 0,56749 0,67 0,74857 1,17 0,87900 1,67 0,95254 0,18 0,57142 0,68 0,75175 1,18 0,88100 1,68 0,95352 0,19 0,57535 0,69 0,75490 1,19 0,88298 1,69 0,95449 0,20 0,57926 0,70 0,75804 1,20 0,88493 1,70 0,95543 0,21 0,58317 0,71 0,76115 1,21 0,88686 1,71 0,95637 0,22 0,58706 0,72 0,76424 1,22 0,88877 1,72 0,95728 0,23 0,59095 0,73 0,76730 1,23 0,89065 1,73 0,95818 0,24 0,59483 0,74 0,77035 1,24 0,89251 1,74 0,95907 0,25 0,59871 0,75 0,77337 1,25 0,89435 1,75 0,95994 0,26 0,60257 0,76 0,77637 1,26 0,89617 1,76 0,96080 0,27 0,60642 0,77 0,77935 1,27 0,89796 1,77 0,96164 0,28 0,61026 0,78 0,78230 1,28 0,89973 1,78 0,96246 0,29 0,61409 0,79 0,78524 1,29 0,90147 1,79 0,96327 0,30 0,61791 0,80 0,78814 1,30 0,90320 1,80 0,96407 0,31 0,62172 0,81 0,79103 1,31 0,90490 1,81 0,96485 0,32 0,62552 0,82 0,79389 1,32 0,90658 1,82 0,96562 0,33 0,62930 0,83 0,79673 1,33 0,90824 1,83 0,96638 0,34 0,63307 0,84 0,79955 1,34 0,90988 1,84 0,96712 0,35 0,63683 0,85 0,80234 1,35 0,91149 1,85 0,96784 0,36 0,64058 0,86 0,80511 1,36 0,91309 1,86 0,96856 0,37 0,64431 0,87 0,80785 1,37 0,91466 1,87 0,96926 0,38 0,64803 0,88 0,81057 1,38 0,91621 1,88 0,96995 0,39 0,65173 0,89 0,81327 1,39 0,91774 1,89 0,97062 0,40 0,65542 0,90 0,81594 1,40 0,91924 1,90 0,97128 0,41 0,65910 0,91 0,81859 1,41 0,92073 1,91 0,97193 0,42 0,66276 0,92 0,82121 1,42 0,92220 1,92 0,97257 0,43 0,66640 0,93 0,82381 1,43 0,92364 1,93 0,97320 0,44 0,67003 0,94 0,82639 1,44 0,92507 1,94 0,97381 0,45 0,67364 0,95 0,82894 1,45 0,92647 1,95 0,97441 0,46 0,67724 0,96 0,83147 1,46 0,92785 1,96 0,97500 0,47 0,68082 0,97 0,83398 1,47 0,92922 1,97 0,97558 0,48 0,68439 0,98 0,83646 1,48 0,93056 1,98 0,97615 0,49 0,68793 0,99 0,83891 1,49 0,93189 1,99 0,97670 148 Distribučn I funkce standardizovaného normáln Iho rozložen I u $(w) u $(w) u $(w) u $(w) 2,00 0,97725 2,50 0,99379 3,00 0,99865 3,50 0,99977 2,01 0,97778 2,51 0,99396 3,01 0,99869 3,51 0,99978 2,02 0,97831 2,52 0,99413 3,02 0,99874 3,52 0,99978 2,03 0,97882 2,53 0,99430 3,03 0,99878 3,53 0,99979 2,04 0,97932 2,54 0,99446 3,04 0,99882 3,54 0,99980 2,05 0,97982 2,55 0,99461 3,05 0,99886 3,55 0,99981 2,06 0,98030 2,56 0,99477 3,06 0,99889 3,56 0,99981 2,07 0,98077 2,57 0,99492 3,07 0,99893 3,57 0,99982 2,08 0,98124 2,58 0,99506 3,08 0,99897 3,58 0,99983 2,09 0,98169 2,59 0,99520 3,09 0,99900 3,59 0,99983 2,10 0,98214 2,60 0,99534 3,10 0,99903 3,60 0,99984 2,11 0,98257 2,61 0,99547 3,11 0,99906 3,61 0,99985 2,12 0,98300 2,62 0,99560 3,12 0,99910 3,62 0,99985 2,13 0,98341 2,63 0,99573 3,13 0,99913 3,63 0,99986 2,14 0,98382 2,64 0,99585 3,14 0,99916 3,64 0,99986 2,15 0,98422 2,65 0,99598 3,15 0,99918 3,65 0,99987 2,16 0,98461 2,66 0,99609 3,16 0,99921 3,66 0,99987 2,17 0,98500 2,67 0,99621 3,17 0,99924 3,67 0,99988 2,18 0,98537 2,68 0,99632 3,18 0,99926 3,68 0,99988 2,19 0,98574 2,69 0,99643 3,19 0,99929 3,69 0,99989 2,20 0,98610 2,70 0,99653 3,20 0,99931 3,70 0,99989 2,21 0,98645 2,71 0,99664 3,21 0,99934 3,71 0,99990 2,22 0,98679 2,72 0,99674 3,22 0,99936 3,72 0,99990 2,23 0,98713 2,73 0,99683 3,23 0,99938 3,73 0,99990 2,24 0,98745 2,74 0,99693 3,24 0,99940 3,74 0,99991 2,25 0,98778 2,75 0,99702 3,25 0,99942 3,75 0,99991 2,26 0,98809 2,76 0,99711 3,26 0,99944 3,76 0,99992 2,27 0,98840 2,77 0,99720 3,27 0,99946 3,77 0,99992 2,28 0,98870 2,78 0,99728 3,28 0,99948 3,78 0,99992 2,29 0,98899 2,79 0,99736 3,29 0,99950 3,79 0,99992 2,30 0,98928 2,80 0,99744 3,30 0,99952 3,80 0,99993 2,31 0,98956 2,81 0,99752 3,31 0,99953 3,81 0,99993 2,32 0,98983 2,82 0,99760 3,32 0,99955 3,82 0,99993 2,33 0,99010 2,83 0,99767 3,33 0,99957 3,83 0,99994 2,34 0,99036 2,84 0,99774 3,34 0,99958 3,84 0,99994 2,35 0,99061 2,85 0,99781 3,35 0,99960 3,85 0,99994 2,36 0,99086 2,86 0,99788 3,36 0,99961 3,86 0,99994 2,37 0,99111 2,87 0,99795 3,37 0,99962 3,87 0,99995 2,38 0,99134 2,88 0,99801 3,38 0,99964 3,88 0,99995 2,39 0,99158 2,89 0,99807 3,39 0,99965 3,89 0,99995 2,40 0,99180 2,90 0,99813 3,40 0,99966 3,90 0,99995 2,41 0,99202 2,91 0,99819 3,41 0,99968 3,91 0,99995 2,42 0,99224 2,92 0,99825 3,42 0,99969 3,92 0,99996 2,43 0,99245 2,93 0,99831 3,43 0,99970 3,93 0,99996 2,44 0,99266 2,94 0,99836 3,44 0,99971 3,94 0,99996 2,45 0,99286 2,95 0,99841 3,45 0,99972 3,95 0,99996 2,46 0,99305 2,96 0,99846 3,46 0,99973 3,96 0,99996 2,47 0,99324 2,97 0,99851 3,47 0,99974 3,97 0,99996 2,48 0,99343 2,98 0,99856 3,48 0,99975 3,98 0,99997 2,49 0,99361 2,99 0,99861 3,49 0,99976 3,99 0,99997 149 Příloha A - Statistické tabulky Kvantily standardizovaného normálního rozložení a a a a 0,500 0,00000 0,850 1,03643 0,930 1,47579 0,965 1,81191 0,510 0,02507 0,860 1,08032 0,931 1,48328 0,966 1,82501 0,520 0,05015 0,870 1,12639 0,932 1,49085 0,967 1,83842 0,530 0,07527 0,880 1,17499 0,933 1,49851 0,968 1,85218 0,540 0,10043 0,890 1,22653 0,934 1,50626 0,969 1,86630 0,550 0,12566 0,900 1,28155 0,935 1,51410 0,970 1,88079 0,560 0,15097 0,901 1,28727 0,936 1,52204 0,971 1,89570 0,570 0,17637 0,902 1,29303 0,937 1,53007 0,972 1,91104 0,580 0,20189 0,903 1,29884 0,938 1,53820 0,973 1,92684 0,590 0,22754 0,904 1,30469 0,939 1,54643 0,974 1,94313 0,600 0,25335 0,905 1,31058 0,940 1,55477 0,975 1,95996 0,610 0,27932 0,906 1,31652 0,941 1,56322 0,976 1,97737 0,620 0,30548 0,907 1,32251 0,942 1,57179 0,977 1,99539 0,630 0,33185 0,908 1,32854 0,943 1,58047 0,978 2,01409 0,640 0,35846 0,909 1,33462 0,944 1,58927 0,979 2,03352 0,650 0,38532 0,910 1,34076 0,945 1,59819 0,980 2,05375 0,660 0,41246 0,911 1,34694 0,946 1,60725 0,981 2,07485 0,670 0,43991 0,912 1,35317 0,947 1,61644 0,982 2,09693 0,680 0,46770 0,913 1,35946 0,948 1,62576 0,983 2,12007 0,690 0,49585 0,914 1,36581 0,949 1,63523 0,984 2,14441 0,700 0,52440 0,915 1,37220 0,950 1,64485 0,985 2,17009 0,710 0,55338 0,916 1,37866 0,951 1,65463 0,986 2,19729 0,720 0,58284 0,917 1,38517 0,952 1,66456 0,987 2,22621 0,730 0,61281 0,918 1,39174 0,953 1,67466 0,988 2,25713 0,740 0,64335 0,919 1,39838 0,954 1,68494 0,989 2,29037 0,750 0,67449 0,920 1,40507 0,955 1,69540 0,990 2,32635 0,760 0,70630 0,921 1,41183 0,956 1,70604 0,991 2,36562 0,770 0,73885 0,922 1,41865 0,957 1,71689 0,992 2,40892 0,780 0,77219 0,923 1,42554 0,958 1,72793 0,993 2,45726 0,790 0,80642 0,924 1,43250 0,959 1,73920 0,994 2,51214 0,800 0,84162 0,925 1,43953 0,960 1,75069 0,995 2,57583 0,810 0,87790 0,926 1,44663 0,961 1,76241 0,996 2,65207 0,820 0,91537 0,927 1,45381 0,962 1,77438 0,997 2,74778 0,830 0,95417 0,928 1,46106 0,963 1,78661 0,998 2,87816 0,840 0,99446 0,929 1,46838 0,964 1,79912 0,999 3,09023 150 Kvantily Pearsonova rozlozen í n 0,001 0,005 a 0,010 0,025 0,050 0,001 0,005 0,010 0,025 0,050 1 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 2 0,002 0,010 0,020 0,051 0,103 3 0,024 0,072 0,115 0,216 0,352 4 0,091 0,207 0,297 0,484 0,711 5 0,210 0,412 0,554 0,831 1,145 6 0,381 0,676 0,872 1,237 1,635 7 0,598 0,989 1,239 1,690 2,167 8 0,857 1,344 1,646 2,180 2,733 9 1,152 1,735 2,088 2,700 3,325 10 1,479 2,156 2,558 3,247 3,940 11 1,834 2,603 3,053 3,816 4,575 12 2,214 3,074 3,571 4,404 5,226 13 2,617 3,565 4,107 5,009 5,892 14 3,041 4,075 4,660 5,629 6,571 15 3,483 4,601 5,229 6,262 7,261 16 3,942 5,142 5,812 6,908 7,962 17 4,416 5,697 6,408 7,564 8,672 18 4,905 6,265 7,015 8,231 9,390 19 5,407 6,844 7,633 8,907 10,117 20 5,921 7,434 8,260 9,591 10,851 21 6,447 8,034 8,897 10,283 11,591 22 6,983 8,643 9,542 10,982 12,338 23 7,529 9,260 10,196 11,689 13,091 24 8,085 9,886 10,856 12,401 13,848 25 8,649 10,520 11,524 13,120 14,611 26 9,222 11,160 12,198 13,844 15,379 27 9,803 11,808 12,879 14,573 16,151 28 10,391 12,461 13,565 15,308 16,928 29 10,986 13,121 14,256 16,047 17,708 30 11,588 13,787 14,953 16,791 18,493 35 14,688 17,192 18,509 20,569 22,465 40 17,916 20,707 22,164 24,433 26,509 45 21,251 24,311 25,901 28,366 30,612 50 24,674 27,991 29,707 32,357 34,764 55 28,173 31,735 33,570 36,398 38,958 60 31,738 35,534 37,485 40,482 43,188 65 35,362 39,383 41,444 44,603 47,450 70 39,036 43,275 45,442 48,758 51,739 75 42,757 47,206 49,475 52,942 56,054 80 46,520 51,172 53,540 57,153 60,391 85 50,320 55,170 57,634 61,389 64,749 90 54,155 59,196 61,754 65,647 69,126 95 58,022 63,250 65,898 69,925 73,520 100 61,918 67,328 70,065 74,222 77,929 151 Príloha A - Statisticke tabulky Kvantily Pearsonova rozložení n 0,950 0,975 a 0,990 0,995 0,999 1 3,841 5,024 6,635 7,879 10,828 2 5,991 7,378 9,210 10,597 13,816 3 7,815 9,348 11,345 12,838 16,266 4 9,488 11,143 13,277 14,860 18,467 5 11,070 12,833 15,086 16,750 20,515 6 12,592 14,449 16,812 18,548 22,458 7 14,067 16,013 18,475 20,278 24,322 8 15,507 17,535 20,090 21,955 26,124 9 16,919 19,023 21,666 23,589 27,877 10 18,307 20,483 23,209 25,188 29,588 11 19,675 21,920 24,725 26,757 31,264 12 21,026 23,337 26,217 28,300 32,909 13 22,362 24,736 27,688 29,819 34,528 14 23,685 26,119 29,141 31,319 36,123 15 24,996 27,488 30,578 32,801 37,697 16 26,296 28,845 32,000 34,267 39,252 17 27,587 30,191 33,409 35,718 40,790 18 28,869 31,526 34,805 37,156 42,312 19 30,144 32,852 36,191 38,582 43,820 20 31,410 34,170 37,566 39,997 45,315 21 32,671 35,479 38,932 41,401 46,797 22 33,924 36,781 40,289 42,796 48,268 23 35,172 38,076 41,638 44,181 49,728 24 36,415 39,364 42,980 45,559 51,179 25 37,652 40,646 44,314 46,928 52,620 26 38,885 41,923 45,642 48,290 54,052 27 40,113 43,195 46,963 49,645 55,476 28 41,337 44,461 48,278 50,993 56,892 29 42,557 45,722 49,588 52,336 58,301 30 43,773 46,979 50,892 53,672 59,703 35 49,802 53,203 57,342 60,275 66,619 40 55,758 59,342 63,691 66,766 73,402 45 61,656 65,410 69,957 73,166 80,077 50 67,505 71,420 76,154 79,490 86,661 55 73,311 77,380 82,292 85,749 93,168 60 79,082 83,298 88,379 91,952 99,607 65 84,821 89,177 94,422 98,105 105,988 70 90,531 95,023 100,425 104,215 112,317 75 96,217 100,839 106,393 110,286 118,599 80 101,879 106,629 112,329 116,321 124,839 85 107,522 112,393 118,236 122,325 131,041 90 113,145 118,136 124,116 128,299 137,208 95 118,752 123,858 129,973 134,247 143,344 100 124,342 129,561 135,807 140,169 149,449 152 Kvantily Studentova rozloZení n 0,900 0,950 0,975 a 0,990 0,995 0,999 1 3,0777 6,3138 12,7062 31,8205 63,6567 318,3088 2 1,8856 2,9200 4,3027 6,9646 9,9248 22,3271 3 1,6377 2,3534 3,1824 4,5407 5,8409 10,2145 4 1,5332 2,1318 2,7764 3,7469 4,6041 7,1732 5 1,4759 2,0150 2,5706 3,3649 4,0321 5,8934 6 1,4398 1,9432 2,4469 3,1427 3,7074 5,2076 7 1,4149 1,8946 2,3646 2,9980 3,4995 4,7853 8 1,3968 1,8595 2,3060 2,8965 3,3554 4,5008 9 1,3830 1,8331 2,2622 2,8214 3,2498 4,2968 10 1,3722 1,8125 2,2281 2,7638 3,1693 4,1437 11 1,3634 1,7959 2,2010 2,7181 3,1058 4,0247 12 1,3562 1,7823 2,1788 2,6810 3,0545 3,9296 13 1,3502 1,7709 2,1604 2,6503 3,0123 3,8520 14 1,3450 1,7613 2,1448 2,6245 2,9768 3,7874 15 1,3406 1,7531 2,1314 2,6025 2,9467 3,7328 16 1,3368 1,7459 2,1199 2,5835 2,9208 3,6862 17 1,3334 1,7396 2,1098 2,5669 2,8982 3,6458 18 1,3304 1,7341 2,1009 2,5524 2,8784 3,6105 19 1,3277 1,7291 2,0930 2,5395 2,8609 3,5794 20 1,3253 1,7247 2,0860 2,5280 2,8453 3,5518 21 1,3232 1,7207 2,0796 2,5176 2,8314 3,5272 22 1,3212 1,7171 2,0739 2,5083 2,8188 3,5050 23 1,3195 1,7139 2,0687 2,4999 2,8073 3,4850 24 1,3178 1,7109 2,0639 2,4922 2,7969 3,4668 25 1,3163 1,7081 2,0595 2,4851 2,7874 3,4502 26 1,3150 1,7056 2,0555 2,4786 2,7787 3,4350 27 1,3137 1,7033 2,0518 2,4727 2,7707 3,4210 28 1,3125 1,7011 2,0484 2,4671 2,7633 3,4082 29 1,3114 1,6991 2,0452 2,4620 2,7564 3,3962 30 1,3104 1,6973 2,0423 2,4573 2,7500 3,3852 oo 1,2816 1,6449 1,9600 2,3263 2,5758 3,0000 153 Příloha A - Statistické tabulky Kvantily Fischerova-Snedecorova rozložení pro a = 0,95 ri2 1 2 3 ni 4 5 6 7 1 161,4500 199,5000 215,7074 224,5832 230,1619 233,9860 236,7684 2 18,5128 19,0000 19,1643 19,2468 19,2964 19,3295 19,3532 3 10,1280 9,5521 9,2766 9,1172 9,0135 8,9406 8,8867 4 7,7086 6,9443 6,5914 6,3882 6,2561 6,1631 6,0942 5 6,6079 5,7861 5,4095 5,1922 5,0503 4,9503 4,8759 6 5,9874 5,1433 4,7571 4,5337 4,3874 4,2839 4,2067 7 5,5914 4,7374 4,3468 4,1203 3,9715 3,8660 3,7870 8 5,3177 4,4590 4,0662 3,8379 3,6875 3,5806 3,5005 9 5,1174 4,2565 3,8625 3,6331 3,4817 3,3738 3,2927 10 4,9646 4,1028 3,7083 3,4780 3,3258 3,2172 3,1355 11 4,8443 3,9823 3,5874 3,3567 3,2039 3,0946 3,0123 12 4,7472 3,8853 3,4903 3,2592 3,1059 2,9961 2,9134 13 4,6672 3,8056 3,4105 3,1791 3,0254 2,9153 2,8321 14 4,6001 3,7389 3,3439 3,1122 2,9582 2,8477 2,7642 15 4,5431 3,6823 3,2874 3,0556 2,9013 2,7905 2,7066 16 4,4940 3,6337 3,2389 3,0069 2,8524 2,7413 2,6572 17 4,4513 3,5915 3,1968 2,9647 2,8100 2,6987 2,6143 18 4,4139 3,5546 3,1599 2,9277 2,7729 2,6613 2,5767 19 4,3807 3,5219 3,1274 2,8951 2,7401 2,6283 2,5435 20 4,3512 3,4928 3,0984 2,8661 2,7109 2,5990 2,5140 21 4,3248 3,4668 3,0725 2,8401 2,6848 2,5727 2,4876 22 4,3009 3,4434 3,0491 2,8167 2,6613 2,5491 2,4638 23 4,2793 3,4221 3,0280 2,7955 2,6400 2,5277 2,4422 24 4,2597 3,4028 3,0088 2,7763 2,6207 2,5082 2,4226 25 4,2417 3,3852 2,9912 2,7587 2,6030 2,4904 2,4047 26 4,2252 3,3690 2,9752 2,7426 2,5868 2,4741 2,3883 27 4,2100 3,3541 2,9604 2,7278 2,5719 2,4591 2,3732 28 4,1960 3,3404 2,9467 2,7141 2,5581 2,4453 2,3593 29 4,1830 3,3277 2,9340 2,7014 2,5454 2,4324 2,3463 30 4,1709 3,3158 2,9223 2,6896 2,5336 2,4205 2,3343 40 4,0847 3,2317 2,8387 2,6060 2,4495 2,3359 2,2490 60 4,0012 3,1504 2,7581 2,5252 2,3683 2,2541 2,1665 80 3,9604 3,1108 2,7188 2,4859 2,3287 2,2142 2,1263 120 3,9201 3,0718 2,6802 2,4472 2,2899 2,1750 2,0868 oo 3,8415 2,9957 2,6049 2,3719 2,2141 2,0986 2,0096 154 Kvantily Fischerova-Snedecorova rozložení pro a = 0,95 ri2 8 9 10 ni 11 12 13 14 1 238,8827 240,5433 241,8818 242,9835 243,9060 244,6899 245,3640 2 19,3710 19,3848 19,3959 19,4050 19,4125 19,4189 19,4244 3 8,8452 8,8123 8,7855 8,7633 8,7446 8,7287 8,7149 4 6,0410 5,9988 5,9644 5,9358 5,9117 5,8911 5,8733 5 4,8183 4,7725 4,7351 4,7040 4,6777 4,6552 4,6358 6 4,1468 4,0990 4,0600 4,0274 3,9999 3,9764 3,9559 7 3,7257 3,6767 3,6365 3,6030 3,5747 3,5503 3,5292 8 3,4381 3,3881 3,3472 3,3130 3,2839 3,2590 3,2374 9 3,2296 3,1789 3,1373 3,1025 3,0729 3,0475 3,0255 10 3,0717 3,0204 2,9782 2,9430 2,9130 2,8872 2,8647 11 2,9480 2,8962 2,8536 2,8179 2,7876 2,7614 2,7386 12 2,8486 2,7964 2,7534 2,7173 2,6866 2,6602 2,6371 13 2,7669 2,7144 2,6710 2,6347 2,6037 2,5769 2,5536 14 2,6987 2,6458 2,6022 2,5655 2,5342 2,5073 2,4837 15 2,6408 2,5876 2,5437 2,5068 2,4753 2,4481 2,4244 16 2,5911 2,5377 2,4935 2,4564 2,4247 2,3973 2,3733 17 2,5480 2,4943 2,4499 2,4126 2,3807 2,3531 2,3290 18 2,5102 2,4563 2,4117 2,3742 2,3421 2,3143 2,2900 19 2,4768 2,4227 2,3779 2,3402 2,3080 2,2800 2,2556 20 2,4471 2,3928 2,3479 2,3100 2,2776 2,2495 2,2250 21 2,4205 2,3660 2,3210 2,2829 2,2504 2,2222 2,1975 22 2,3965 2,3419 2,2967 2,2585 2,2258 2,1975 2,1727 23 2,3748 2,3201 2,2747 2,2364 2,2036 2,1752 2,1502 24 2,3551 2,3002 2,2547 2,2163 2,1834 2,1548 2,1298 25 2,3371 2,2821 2,2365 2,1979 2,1649 2,1362 2,1111 26 2,3205 2,2655 2,2197 2,1811 2,1479 2,1192 2,0939 27 2,3053 2,2501 2,2043 2,1655 2,1323 2,1035 2,0781 28 2,2913 2,2360 2,1900 2,1512 2,1179 2,0889 2,0635 29 2,2783 2,2229 2,1768 2,1379 2,1045 2,0755 2,0500 30 2,2662 2,2107 2,1646 2,1256 2,0921 2,0630 2,0374 40 2,1802 2,1240 2,0772 2,0376 2,0035 1,9738 1,9476 60 2,0970 2,0401 1,9926 1,9522 1,9174 1,8870 1,8602 80 2,0564 1,9991 1,9512 1,9105 1,8753 1,8445 1,8174 120 2,0164 1,9588 1,9105 1,8693 1,8337 1,8026 1,7750 oo 1,9384 1,8799 1,8307 1,7886 1,7522 1,7202 1,6918 155 Příloha A - Statistické tabulky Kvantily Fischerova-Snedecorova rozložení pro a = 0,95 ri2 15 16 17 ni 18 19 20 25 1 245,9499 246,4639 246,9184 247,3232 247,6861 248,0131 249,2601 2 19,4291 19,4333 19,4370 19,4402 19,4431 19,4458 19,4558 3 8,7029 8,6923 8,6829 8,6745 8,6670 8,6602 8,6341 4 5,8578 5,8441 5,8320 5,8211 5,8114 5,8025 5,7687 5 4,6188 4,6038 4,5904 4,5785 4,5678 4,5581 4,5209 6 3,9381 3,9223 3,9083 3,8957 3,8844 3,8742 3,8348 7 3,5107 3,4944 3,4799 3,4669 3,4551 3,4445 3,4036 8 3,2184 3,2016 3,1867 3,1733 3,1613 3,1503 3,1081 9 3,0061 2,9890 2,9737 2,9600 2,9477 2,9365 2,8932 10 2,8450 2,8276 2,8120 2,7980 2,7854 2,7740 2,7298 11 2,7186 2,7009 2,6851 2,6709 2,6581 2,6464 2,6014 12 2,6169 2,5989 2,5828 2,5684 2,5554 2,5436 2,4977 13 2,5331 2,5149 2,4987 2,4841 2,4709 2,4589 2,4123 14 2,4630 2,4446 2,4282 2,4134 2,4000 2,3879 2,3407 15 2,4034 2,3849 2,3683 2,3533 2,3398 2,3275 2,2797 16 2,3522 2,3335 2,3167 2,3016 2,2880 2,2756 2,2272 17 2,3077 2,2888 2,2719 2,2567 2,2429 2,2304 2,1815 18 2,2686 2,2496 2,2325 2,2172 2,2033 2,1906 2,1413 19 2,2341 2,2149 2,1977 2,1823 2,1683 2,1555 2,1057 20 2,2033 2,1840 2,1667 2,1511 2,1370 2,1242 2,0739 21 2,1757 2,1563 2,1389 2,1232 2,1090 2,0960 2,0454 22 2,1508 2,1313 2,1138 2,0980 2,0837 2,0707 2,0196 23 2,1282 2,1086 2,0910 2,0751 2,0608 2,0476 1,9963 24 2,1077 2,0880 2,0703 2,0543 2,0399 2,0267 1,9750 25 2,0889 2,0691 2,0513 2,0353 2,0207 2,0075 1,9554 26 2,0716 2,0518 2,0339 2,0178 2,0032 1,9898 1,9375 27 2,0558 2,0358 2,0179 2,0017 1,9870 1,9736 1,9210 28 2,0411 2,0210 2,0030 1,9868 1,9720 1,9586 1,9057 29 2,0275 2,0073 1,9893 1,9730 1,9581 1,9446 1,8915 30 2,0148 1,9946 1,9765 1,9601 1,9452 1,9317 1,8782 40 1,9245 1,9037 1,8851 1,8682 1,8529 1,8389 1,7835 60 1,8364 1,8151 1,7959 1,7784 1,7625 1,7480 1,6902 80 1,7932 1,7716 1,7520 1,7342 1,7180 1,7032 1,6440 120 1,7505 1,7285 1,7085 1,6904 1,6739 1,6587 1,5980 oo 1,6640 1,6435 1,6228 1,6038 1,5865 1,5705 1,5061 156 Kvantily Fischerova-Snedecorova rozložení pro a = 0,95 ri2 30 40 ni 60 80 120 oo 1 250,0952 251,1432 252,1957 252,7237 253,2529 254,3100 2 19,4624 19,4707 19,4791 19,4832 19,4874 19,4960 3 8,6166 8,5944 8,5720 8,5607 8,5494 8,5264 4 5,7459 5,7170 5,6877 5,6730 5,6581 5,6281 5 4,4957 4,4638 4,4314 4,4150 4,3985 4,3650 6 3,8082 3,7743 3,7398 3,7223 3,7047 3,6689 7 3,3758 3,3404 3,3043 3,2860 3,2674 3,2298 8 3,0794 3,0428 3,0053 2,9862 2,9669 2,9276 9 2,8637 2,8259 2,7872 2,7675 2,7475 2,7067 10 2,6996 2,6609 2,6211 2,6008 2,5801 2,5379 11 2,5705 2,5309 2,4901 2,4692 2,4480 2,4045 12 2,4663 2,4259 2,3842 2,3628 2,3410 2,2962 13 2,3803 2,3392 2,2966 2,2747 2,2524 2,2064 14 2,3082 2,2664 2,2229 2,2006 2,1778 2,1307 15 2,2468 2,2043 2,1601 2,1373 2,1141 2,0658 16 2,1938 2,1507 2,1058 2,0826 2,0589 2,0096 17 2,1477 2,1040 2,0584 2,0348 2,0107 1,9604 18 2,1071 2,0629 2,0166 1,9927 1,9681 1,9168 19 2,0712 2,0264 1,9795 1,9552 1,9302 1,8780 20 2,0391 1,9938 1,9464 1,9217 1,8963 1,8432 21 2,0102 1,9645 1,9165 1,8915 1,8657 1,8117 22 1,9842 1,9380 1,8894 1,8641 1,8380 1,7831 23 1,9605 1,9139 1,8648 1,8392 1,8128 1,7570 24 1,9390 1,8920 1,8424 1,8164 1,7896 1,7330 25 1,9192 1,8718 1,8217 1,7955 1,7684 1,7110 26 1,9010 1,8533 1,8027 1,7762 1,7488 1,6906 27 1,8842 1,8361 1,7851 1,7584 1,7306 1,6717 28 1,8687 1,8203 1,7689 1,7418 1,7138 1,6541 29 1,8543 1,8055 1,7537 1,7264 1,6981 1,6376 30 1,8409 1,7918 1,7396 1,7121 1,6835 1,6223 40 1,7444 1,6928 1,6373 1,6077 1,5766 1,5089 60 1,6491 1,5943 1,5343 1,5019 1,4673 1,3893 80 1,6017 1,5449 1,4821 1,4477 1,4107 1,3247 120 1,5543 1,4952 1,4290 1,3922 1,3519 1,2539 oo 1,4591 1,3940 1,3180 1,2735 1,2214 1,0000 157 Příloha A - Statistické tabulky Kvantily Fischerova-Snedecorova rozložení pro a = 0,975 ri2 1 2 3 ni 4 5 6 7 1 647,7890 799,5000 864,1630 899,5833 921,8479 937,1111 948,2169 2 38,5063 39,0000 39,1655 39,2484 39,2982 39,3315 39,3552 3 17,4434 16,0441 15,4392 15,1010 14,8848 14,7347 14,6244 4 12,2179 10,6491 9,9792 9,6045 9,3645 9,1973 9,0741 5 10,0070 8,4336 7,7636 7,3879 7,1464 6,9777 6,8531 6 8,8131 7,2599 6,5988 6,2272 5,9876 5,8198 5,6955 7 8,0727 6,5415 5,8898 5,5226 5,2852 5,1186 4,9949 8 7,5709 6,0595 5,4160 5,0526 4,8173 4,6517 4,5286 9 7,2093 5,7147 5,0781 4,7181 4,4844 4,3197 4,1970 10 6,9367 5,4564 4,8256 4,4683 4,2361 4,0721 3,9498 11 6,7241 5,2559 4,6300 4,2751 4,0440 3,8807 3,7586 12 6,5538 5,0959 4,4742 4,1212 3,8911 3,7283 3,6065 13 6,4143 4,9653 4,3472 3,9959 3,7667 3,6043 3,4827 14 6,2979 4,8567 4,2417 3,8919 3,6634 3,5014 3,3799 15 6,1995 4,7650 4,1528 3,8043 3,5764 3,4147 3,2934 16 6,1151 4,6867 4,0768 3,7294 3,5021 3,3406 3,2194 17 6,0420 4,6189 4,0112 3,6648 3,4379 3,2767 3,1556 18 5,9781 4,5597 3,9539 3,6083 3,3820 3,2209 3,0999 19 5,9216 4,5075 3,9034 3,5587 3,3327 3,1718 3,0509 20 5,8715 4,4613 3,8587 3,5147 3,2891 3,1283 3,0074 21 5,8266 4,4199 3,8188 3,4754 3,2501 3,0895 2,9686 22 5,7863 4,3828 3,7829 3,4401 3,2151 3,0546 2,9338 23 5,7498 4,3492 3,7505 3,4083 3,1835 3,0232 2,9023 24 5,7166 4,3187 3,7211 3,3794 3,1548 2,9946 2,8738 25 5,6864 4,2909 3,6943 3,3530 3,1287 2,9685 2,8478 26 5,6586 4,2655 3,6697 3,3289 3,1048 2,9447 2,8240 27 5,6331 4,2421 3,6472 3,3067 3,0828 2,9228 2,8021 28 5,6096 4,2205 3,6264 3,2863 3,0626 2,9027 2,7820 29 5,5878 4,2006 3,6072 3,2674 3,0438 2,8840 2,7633 30 5,5675 4,1821 3,5894 3,2499 3,0265 2,8667 2,7460 40 5,4239 4,0510 3,4633 3,1261 2,9037 2,7444 2,6238 60 5,2856 3,9253 3,3425 3,0077 2,7863 2,6274 2,5068 80 5,2184 3,8643 3,2841 2,9504 2,7295 2,5708 2,4502 120 5,1523 3,8046 3,2269 2,8943 2,6740 2,5154 2,3948 oo 5,0239 3,6889 3,1161 2,7858 2,5665 2,4082 2,2875 158 Kvantily Fischerova-Snedecorova rozložení pro a = 0,975 ri2 8 9 10 ni 11 12 13 14 1 956,6562 963,2846 968,6274 973,0252 976,7080 979,8368 982,5278 2 39,3730 39,3869 39,3980 39,4071 39,4146 39,4210 39,4265 3 14,5399 14,4731 14,4189 14,3742 14,3366 14,3045 14,2768 4 8,9796 8,9047 8,8439 8,7935 8,7512 8,7150 8,6838 5 6,7572 6,6811 6,6192 6,5678 6,5245 6,4876 6,4556 6 5,5996 5,5234 5,4613 5,4098 5,3662 5,3290 5,2968 7 4,8993 4,8232 4,7611 4,7095 4,6658 4,6285 4,5961 8 4,4333 4,3572 4,2951 4,2434 4,1997 4,1622 4,1297 9 4,1020 4,0260 3,9639 3,9121 3,8682 3,8306 3,7980 10 3,8549 3,7790 3,7168 3,6649 3,6209 3,5832 3,5504 11 3,6638 3,5879 3,5257 3,4737 3,4296 3,3917 3,3588 12 3,5118 3,4358 3,3736 3,3215 3,2773 3,2393 3,2062 13 3,3880 3,3120 3,2497 3,1975 3,1532 3,1150 3,0819 14 3,2853 3,2093 3,1469 3,0946 3,0502 3,0119 2,9786 15 3,1987 3,1227 3,0602 3,0078 2,9633 2,9249 2,8915 16 3,1248 3,0488 2,9862 2,9337 2,8890 2,8506 2,8170 17 3,0610 2,9849 2,9222 2,8696 2,8249 2,7863 2,7526 18 3,0053 2,9291 2,8664 2,8137 2,7689 2,7302 2,6964 19 2,9563 2,8801 2,8172 2,7645 2,7196 2,6808 2,6469 20 2,9128 2,8365 2,7737 2,7209 2,6758 2,6369 2,6030 21 2,8740 2,7977 2,7348 2,6819 2,6368 2,5978 2,5638 22 2,8392 2,7628 2,6998 2,6469 2,6017 2,5626 2,5285 23 2,8077 2,7313 2,6682 2,6152 2,5699 2,5308 2,4966 24 2,7791 2,7027 2,6396 2,5865 2,5411 2,5019 2,4677 25 2,7531 2,6766 2,6135 2,5603 2,5149 2,4756 2,4413 26 2,7293 2,6528 2,5896 2,5363 2,4908 2,4515 2,4171 27 2,7074 2,6309 2,5676 2,5143 2,4688 2,4293 2,3949 28 2,6872 2,6106 2,5473 2,4940 2,4484 2,4089 2,3743 29 2,6686 2,5919 2,5286 2,4752 2,4295 2,3900 2,3554 30 2,6513 2,5746 2,5112 2,4577 2,4120 2,3724 2,3378 40 2,5289 2,4519 2,3882 2,3343 2,2882 2,2481 2,2130 60 2,4117 2,3344 2,2702 2,2159 2,1692 2,1286 2,0929 80 2,3549 2,2775 2,2130 2,1584 2,1115 2,0706 2,0346 120 2,2994 2,2217 2,1570 2,1021 2,0548 2,0136 1,9773 oo 2,1918 2,1136 2,0483 1,9927 1,9447 1,9027 1,8656 159 Příloha A - Statistické tabulky Kvantily Fischerova-Snedecorova rozložení pro a = 0,975 ri2 15 16 17 ni 18 19 20 25 1 984,8668 986,9187 988,7331 990,3490 991,7973 993,1028 998,0808 2 39,4313 39,4354 39,4391 39,4424 39,4453 39,4479 39,4579 3 14,2527 14,2315 14,2127 14,1960 14,1810 14,1674 14,1155 4 8,6565 8,6326 8,6113 8,5924 8,5753 8,5599 8,5010 5 6,4277 6,4032 6,3814 6,3619 6,3444 6,3286 6,2679 6 5,2687 5,2439 5,2218 5,2021 5,1844 5,1684 5,1069 7 4,5678 4,5428 4,5206 4,5008 4,4829 4,4667 4,4045 8 4,1012 4,0761 4,0538 4,0338 4,0158 3,9995 3,9367 9 3,7694 3,7441 3,7216 3,7015 3,6833 3,6669 3,6035 10 3,5217 3,4963 3,4737 3,4534 3,4351 3,4185 3,3546 11 3,3299 3,3044 3,2816 3,2612 3,2428 3,2261 3,1616 12 3,1772 3,1515 3,1286 3,1081 3,0896 3,0728 3,0077 13 3,0527 3,0269 3,0039 2,9832 2,9646 2,9477 2,8821 14 2,9493 2,9234 2,9003 2,8795 2,8607 2,8437 2,7777 15 2,8621 2,8360 2,8128 2,7919 2,7730 2,7559 2,6894 16 2,7875 2,7614 2,7380 2,7170 2,6980 2,6808 2,6138 17 2,7230 2,6968 2,6733 2,6522 2,6331 2,6158 2,5484 18 2,6667 2,6404 2,6168 2,5956 2,5764 2,5590 2,4912 19 2,6171 2,5907 2,5670 2,5457 2,5265 2,5089 2,4408 20 2,5731 2,5465 2,5228 2,5014 2,4821 2,4645 2,3959 21 2,5338 2,5071 2,4833 2,4618 2,4424 2,4247 2,3558 22 2,4984 2,4717 2,4478 2,4262 2,4067 2,3890 2,3198 23 2,4665 2,4396 2,4157 2,3940 2,3745 2,3567 2,2871 24 2,4374 2,4105 2,3865 2,3648 2,3452 2,3273 2,2574 25 2,4110 2,3840 2,3599 2,3381 2,3184 2,3005 2,2303 26 2,3867 2,3597 2,3355 2,3137 2,2939 2,2759 2,2054 27 2,3644 2,3373 2,3131 2,2912 2,2713 2,2533 2,1826 28 2,3438 2,3167 2,2924 2,2704 2,2505 2,2324 2,1615 29 2,3248 2,2976 2,2732 2,2512 2,2313 2,2131 2,1419 30 2,3072 2,2799 2,2554 2,2334 2,2134 2,1952 2,1237 40 2,1819 2,1542 2,1293 2,1068 2,0864 2,0677 1,9943 60 2,0613 2,0330 2,0076 1,9846 1,9636 1,9445 1,8687 80 2,0026 1,9741 1,9483 1,9250 1,9037 1,8843 1,8071 120 1,9450 1,9161 1,8900 1,8663 1,8447 1,8249 1,7462 oo 1,8326 1,8028 1,7759 1,7515 1,7291 1,7085 1,6259 160 Kvantily Fischerova-Snedecorova rozložení pro a = 0,975 ri2 30 40 ni 60 80 120 oo 1 1001,4140 1005,5980 1009,8000 1011,9080 1014,0200 1018,3000 2 39,4646 39,4729 39,4812 39,4854 39,4896 39,4980 3 14,0805 14,0365 13,9921 13,9697 13,9473 13,9020 4 8,4613 8,4111 8,3604 8,3349 8,3092 8,2573 5 6,2269 6,1750 6,1225 6,0960 6,0693 6,0153 6 5,0652 5,0125 4,9589 4,9318 4,9044 4,8491 7 4,3624 4,3089 4,2544 4,2268 4,1989 4,1423 8 3,8940 3,8398 3,7844 3,7563 3,7279 3,6702 9 3,5604 3,5055 3,4493 3,4207 3,3918 3,3329 10 3,3110 3,2554 3,1984 3,1694 3,1399 3,0798 11 3,1176 3,0613 3,0035 2,9740 2,9441 2,8828 12 2,9633 2,9063 2,8478 2,8178 2,7874 2,7249 13 2,8372 2,7797 2,7204 2,6900 2,6590 2,5955 14 2,7324 2,6742 2,6142 2,5833 2,5519 2,4872 15 2,6437 2,5850 2,5242 2,4930 2,4611 2,3953 16 2,5678 2,5085 2,4471 2,4154 2,3831 2,3163 17 2,5020 2,4422 2,3801 2,3481 2,3153 2,2474 18 2,4445 2,3842 2,3214 2,2890 2,2558 2,1869 19 2,3937 2,3329 2,2696 2,2368 2,2032 2,1333 20 2,3486 2,2873 2,2234 2,1902 2,1562 2,0853 21 2,3082 2,2465 2,1819 2,1485 2,1141 2,0422 22 2,2718 2,2097 2,1446 2,1108 2,0760 2,0032 23 2,2389 2,1763 2,1107 2,0766 2,0415 1,9677 24 2,2090 2,1460 2,0799 2,0454 2,0099 1,9353 25 2,1816 2,1183 2,0516 2,0169 1,9811 1,9055 26 2,1565 2,0928 2,0257 1,9907 1,9545 1,8781 27 2,1334 2,0693 2,0018 1,9665 1,9299 1,8527 28 2,1121 2,0477 1,9797 1,9441 1,9072 1,8291 29 2,0923 2,0276 1,9591 1,9232 1,8861 1,8072 30 2,0739 2,0089 1,9400 1,9039 1,8664 1,7867 40 1,9429 1,8752 1,8028 1,7644 1,7242 1,6371 60 1,8152 1,7440 1,6668 1,6252 1,5810 1,4821 80 1,7523 1,6790 1,5987 1,5549 1,5079 1,3997 120 1,6899 1,6141 1,5299 1,4834 1,4327 1,3104 oo 1,5660 1,4835 1,3883 1,3329 1,2684 1,0000 161 Príloha A - Statisticke tabulky 162 Príloha B - Zakladní informace o programu STATISTICA G Příloha B - Základní informace o programu STATISTICA 6 Systém mí modulární stavbu. V multilicenci pro Masarykovu univerzitu jsou k dispozici moduly: Basic Statistics/Tables, Multiple Regression, ANOVA, Nonpara-metrics, Distribution Fitting, Advanced Linear / Nonlinear Models, Multivariate Explorartory Techniques, Industrial Statistics & Six Sigma. Velká mnoZství informací o systemu STATISTICA lze najít na webove strance spolecnosti StatSoft, která je jejím distributorem v Ceske republice (internetova adresa je www.statsoft.cz). Z teto strínky vede rovneZ odkaz na elektronickou ucebnici statistiky. STATISTICA 6 ma nekolik typu oken: ■ spreadsheet (datove okno, ma príponu sta, jeho obsah vsak lze exportovat i v jiních formatech). Do datoveho okna lze nacítat datove soubory nejruznejsích typu (napr. z tabulkovích procesoru, databazove soubory, ASCII soubory). ■ workbook (ma príponu stw). Do workbooku uklídají vístupy, tj. tabulky a grafy. Sklída se ze dvou oken, v levem okne je znízornena stromova struktura vístupu, v pravem jsou samotne vístupy. V levem okne se lze pohybovat mysí nebo kurzorem, mazat, presouvat, editovat apod. Vístupy mohou slouzit jako vstupy pro dalsí analízy a grafy. ■ report (ma príponu str, lze ho ulozit i ve formatu rtf, txt ci htm). Pokud pozadujeme, aby se vístupy ukladaly nejen do workbooku, ale i do reportu, postupujeme takto: Tools - Options - Output Manager - zaskrtneme Also send to Report Window - OK. Report se podobne jako workbook sklada ze dvou oken. Do reportu muzeme vkladat vlastní text, vysvetlující komentare, pozníamky apod. Tabulky a grafy lze v reportu i workbooku díale upravovat. ■ okno grafů (prípona stg, lze ho ulozit i jako bmp, jpg, png a wmf). Získí se tak, ze ve workbooku klikneme pravím tlacítkem na graf a vybereme Clone Graph. ■ programovací okno (prípona svb). Slouzí pro zapis programu v jazyku STATISTICA Visual Basic. Mezi jednotlivími typy oken se prepíname pomocí polozky Window v hlavním menu. 164 B.1. Bodové zpracování četností 1. Zapište do datového okna programu STATISTICA datový soubor, který bude obsahovat znýmky z matematiky, angličtiny a ýdaje o pohlaví dvaceti studentu (viz príklad 1.10). Navod: File - New - Number of variables 3, Number of cases 20, OK. 2. Znaky nazvete X, Y, Z, vytvorte jim nývestí (X - znamka z matematiky, Y - znamka z angličtiny, Z - pohlaví studenta) a popiste, co znamenají jed-notlive varianty (u znaku X a Y: 1 - víborne, 2 - velmi dobre, 3 - dobre, 4 - neprospel, u znaku Z: 0 - zena, 1 - muz). Soubor ulozte pod nízvem znamky.sta. Nívod: Kurzor nastavíme na Var1 - 2x klikneme mysí - Name X - Long Name znamka z matematiky, Text label - 1 víborně, 2 velmi dobre, 3 dobre, 4 neprospel, OK. U promenne Y lze text label okopírovat z promenne X -v Text Labels Editor zvolíme Copy from variable X. Prepínaní mezi číselními hodnotami a jejich textovím popisem se deje pomocí tlačítka s obrázkem stítku. 3. U znaku X a Y vypoctete absolutní cetnosti, relativní cetnosti a relativní kumulativní cetnosti. Nívod: Statistics - Basic Statistics/Tables - Frequency tables - OK - Variables X, Y, OK - Summary. Vsechny tri tabulky se ulozí do workbooku a listovat v nich muzeme pomocí stromove struktury v levem okne. 4. Vytvorte sloupkoví diagram absolutních cetností znaku X a Y. Navod: Graphs - Histograms - Variables X, Y - OK - vypneme Normal fit - Advanced - zaskrtneme Breaks between Columns, OK. Vytvorte vísecoví diagram absolutních cetností znaku X a Y. Navod: Graphs - 2D Graphs - Pie Charts - Variables X, Y - OK - Advanced - Pie legend Text and Percent (nebo Text and Value) - OK. Vytvorte polygon absolutních cetností znaku X a Y. Navod: ve workbooku vstoupíme do tabulky rozlození cetností promenne X. Pomocí Edit - Delete - Cases vymazeme radek oznacení Missing. Nastavíme se kurzorem na Count - Graphs - Graphs of Block Data - Line Plot:Entire Columns. Vykreslí se polygon cetností. 5. Vytvorte graf empiricke distribucní funkce znaku X. Navod: Pri tvorbe histogramu zadame v Advanced volbu Showing Type Cumulative, Y axis % - 2 x klikneme mysí na pozadí grafu - otevre se okno All Options - vybereme Plot: Bars - Type Rectangles. V tomto grafu jsou vsak svisle cary az k vodorovne ose. Lze pouzít i jiní typ grafu: vytvoríme noví datoví soubor, kterí bude mít dve promenne a prípadu o dva víc nez je pocet variant znaku X. Do 1. promenne zapíseme do 1. radku hodnotu o 1 mensí nez je 1. varianta znaku X, pak varianty znaku X a nakonec hodnotu o 1 vetsí nez je poslední varianta znaku X. Do 2. promenne zapíseme 0, pak relativní kumulativní cetnosti znaku X (v procentech) a nakonec 100. Graphs - Scatterplots -Variables V1, V2 - OK - vypneme Linear fit - OK -2x klikneme na pozadí grafu - Plot:General - vypneme Markers, zaskrtneme Line - Line Type: Step - OK. 165 Příloha B - Základní informace o programu STATISTICA 6 Vytvořte graf četnostní funkce znaku X. Návod: Při tvorbe histogramu zadáme v Advanced Y axis % - 2x klikneme mysí na pozadí grafu - vybereme Plot General - zaškrtneme Markers -vybereme Plot:Bars - Type Lines. 6. Z datoveho souboru vyberte pouze zeny (pouze muze) a ukol 3 proveďte pro zeny (pro muze). Navod: Statistics - Basic Statistics/Tables - Frequency tables - OK - Variables X, Y, OK - Select Cases - zaskrtneme Selection Conditions - Include cases - zaskrtneme Specific, selected by Z = 0, OK. 7. Nadale pracujte s celym datovým souborem. Vytvorte kontingencní tabulku absolutních cetností znaku X a Y a graf simultanní cetností funkce. Navod: Statistics - Basic Statistics/Tables - Tables and banners - OK -Select cases - All - OK - Specify tables - List 1 X, List 2 Y, OK, Summary. Vytvorení grafu simultanní cetnostní funkce: Navrat do Crosstabulation Tables Result - 3D histograms - vybereme Axis Scaling - Mode Manual - Minimum 0 (a totez provedeme pro Axis Y) - dale vybereme Graph Layout - Type - Spikes - OK. Graf lze natacet pomocí Point of View. Vytvorte kontingencní tabulku sloupcove a radkove podmínenych relativních cetností znaku X a Y. Navod: Navrat do Crosstabulation Tables Result - Options - zaskrtneme ve sloupci Compute tables volbu Percentages of column counts (resp. Percentages of row counts). 166 B.2. Intervalové zpracování četností 1. Zapište do datového okna programu STATISTICA datový soubor, který bude obsahovat ýdaje o mezi plasticity oceli a mezi pevnosti (viz príklad 2.13). Promenným X a Y vytvorte nývestí „mez plasticity" a „mez pevnosti". Soubor pak ulozte pod nazvem ocel.sta. Navod: viz 1. cvicem, bod 1. 2. Pro X a Y pouzijeme intervalove zpracovaný cetnostý Pro aplikaci Sturger-sova pravidla potrebujeme znat pocet variant promenne X a Y. Navod: Zjistený absolutných cetnostý - viz 1. cvicený bod 3. Zjistený poctu variant: ve workbooku se nastavýme kurzorem na sloupec Count - 2 x klikneme mysý - vybereme Values/Stats - ve výstupný tabulce se objeví' mj. N. Pocet variant je N—1. (X ma 50 variant, Y ma 52 variant, v obou pfípadech vofi'me 7 tn'diach intervalu.) Dale musýme zjistit minimum a maximum, abychom vhodne stanovili to'did intervaly. Navod: Statistics - Basic Statistics/Tables - Descriptive statistics - Variables X, Y - zaskrtneme Minimum & maximum - Summary. (Pro X je minimum 33 a maximum 160, tedy vhodný volba trýdicých intervalu je (30, 50), 50, 70),. .., (150,170) - viz poklad 2.13, pro Y je minimum 52 a maximum 189, tedy to'did intervaly zvoh'me (50, 70), 70, 90, ... 170,190) - viz poklad 2.19.) 3. Vytvorte histogram pro X a pro Y. Nývod: Graphs - Histograms - Variables X - vypneme Normal fit - Advanced - zaskrtneme Boundaries - Specify Boundaries - 50 70 90 110 130 150 170 OK - Y Axis %. 2 x klikneme na pozadý grafu a ve volbe All Options muzeme menit räzne vlastnosti grafu. Upozornený: STATISTICA v histogramu znýzorňuje relativný cetnost výskou obdelmku, nikoliv jeho plochou, coz nem v souladu s definic! 2.14. 4. Proveďte zakódovým hodnot promenných X a Y do poslusných trýdicých intervalu. Navod: Insert - Add Variables - 2 - After Y - OK - prejmenujeme je na RX a RY. Nastavýme se kurzorem na RX - Data - Recode - vyplm'me podmínky pro vsech 7 kategorh'. (Pozor - podmýnky se musý psýt ve tvaru X>30 and X<=50 atd.). Pak klepneme na OK. Analogicky pro Y. 5. Vytvorte graf intervalove empiricke distribucný funkce pro X. Nývod: Vytvoome Frequency table pro RX. Pred 1. pfípad vlozýme radek, kde do Category napýíseme 0 a do Cumulative Count take 0. Nastavýme se kurzorem na Cumulative Percent - Graphs - Graphs of Block Data - Custom Graph from Block by Column - Line Plots (Variables) - OK. 2 x klikneme na pozadý grafu - Plot: General - vypneme Markers - Axis: Scaling - Mode Manual - Minimum 1, Maximum 9 - Axis: Custom Units - Position 1, Text 30 atd az Position 9, Text 190 - OK. 6. Sestavte kontingencm tabulky absolutných cetnostý (relativných cetnostý sloupcove a radkove podmmených relativných cetnostý) dvourozmerných trýdicých intervalu pro (X,Y). Navod: Viz ýkol c. 6 ve cvicený 1, kde budeme pracovat s promennými RX a RY. 167 Příloha B - Základní informace o programu STATISTICA 6 B.3. VýpoCet Číselných charakteristik jednorozmerného a dvourozmerneho souboru, regresní přímka 1. Načtěte soubor znamky.sta. Pro známky z matematiky a angličtiny vypočtěte medián, dolní a horní kvartil a kvartilovou odchylku. Výsledky porovnejte s príkladem 3.5. Navod: Stastistics - Basic Statistics/Tables - Descriptive Statistics - OK -Variables X, Y, OK - zaskrtneme Median, Lower & upper quartiles, Quartile range - Summary. 2. Nactete soubor ocel.sta. Pro mez plasticity a mez pevnosti vypoctete aritme-ticke prumery, směrodatne odchylky a rozptyly. Výsledky porovnejte s príkladem 3.17. Níavod: Níavod: Stastistics - Basic Statistics/Tables - Descriptive Statistics - OK - Variables X, Y, OK - zaěskrtneme Mean, Standard Deviation, Variance - Summary. Vysvetlení: Rozptyl a smerodatný odchylka vyjdou ve STATISTICE jinak nez v príklad 3.17, protoze STATISTICA ve vzorci pro vípocet rozptylu nepouzíví 1/n, ale 1/(n — 1) - bude objasneno pozdeji v matematicke statistice. 3. Nakreslete dvourozměernyí teěckovyí diagram pro (X,Y). Navod: Graphs - Scatterplots - Variables X,Y - OK - vypneme Linear fit - OK. 4. Vypoctete kovarianci a koeficient korelace meze plasticity a meze pevnosti. Vyísledky porovnejte s pěríkladem 3.17. Naívod: Statistics - Multiple Regression - Variables Independent X, Dependent Y - OK - OK - Residuals/assumption-prediction - Descriptive statistics - Covariances. Pro získaní korelacního koeficientu zvolíme Correlation místo Covariances. Vysvěetlení: Kovariance vyjde ve STATISTICE jinak neěz v pěríkladu 3.17, protoze ve STATISTICE se ve vzorci pro vípocet kovariance nepouzíva ale 1/(n — 1) - bude objasneno pozdeji. 5. Urcete koeficienty regresní prímky meze pevnosti na mez plasticity a stanovte index determinace. Urcete regresní odhad meze pevnosti, je-li mez plasticity 110. Nakreslete regresní prímku do dvourozmerneho teckoveho diagramu. Níavod: V tabulce Multiple Regression zvolíme Variables Independent X, Dependent Y - OK - Summary:Regression results. Ve vyístupní tabulce najdeme koeficient b0 ve sloupci B na rídku oznacenem Intercept, koeficient b\ ve sloupci B na radku oznacenem X, index determinace pod oznacením R2. Pro vípocet predikovane hodnoty zvolíme Residuals/assumption/prediction Predict dependent variable X:110 - OK. Ve vístupní tabulce je hledana hodnota oznaěcena jako Predictd. Nakreslení regresní pěrímky: Níavrat do Multiple Regression - Residuals / assumption / prediction - Perform residuals analysis - Scatterplots - Bivariate correlation - X, Y - OK. Jiní zpusob: Do dvourozmerneho teckoveho diagramu nakreslíme regresní pěrímku tak, ěze v tabulce 2D Scatterplots zvolíme Fit Linear, OK. 168 B.4. Vypocty pravdepodobností s využitím distribucní funkce binomického rozložení Označme X náhodnou veličinu. Její distribuční funkci zavedeme vztahem $(x) = P (X < x). Pokud náhodná veličina X nabývá pouze konečne nebo spočetne mnoha hodnot, lze pomočí $(x) vyjadrit nasledujíčí pravdepodobnosti: a) P (X = x) = P (X < x) - P (X < x - 1) = $(x) - $(x - 1); b) P (x > x) = 1 - P (X < x) = 1 - P (X < x - 1) = 1 - $(x - 1); č) P(xi < X < x2) = P(xi - 1 < X < x2) = $(x2) - $(xi - 1). STATISTICA poskytuje hodnoty distribučníčh funkčí mnoha rozlození. Omezíme se na binomické rozložení (funkče IBinom(x, p, n), kde x ... počet íspečhu, p ... pravdepodobnost íspečhu v jednom pokusu, n ... čelkoví počet pokusu). Vzorový príklad na binomické rozložení: Pojistovna zjistila, ze 12% po-jistníčh udalostí je zpusobeno vloupaním. Jaka je pravdepodobnost, ze mezi 30 níhodne vybraními pojistními udalostmi bude zpusobeno vloupaním a) nejvíse 6, b) aspoň 6, č) prave 6, d) od dvou do peti? Řešení: X ... počet pojistníčh udalostí zpusobeníčh vloupaním , n = 30, p = 0,12. ad a) P (X < 6) = $(6) = 0,9393, ad b) P (x > 6) = 1 - P (X < 5) = 1 - $(5) = 0,1431, ad č) P (X = 6) = $(6) - $(5) = 0,0825, ad d) P(2 < X < 5) = $(5) - $(1) = 0,7469. Postup ve STATISTICE: Otevreme noví datoví soubor se čtyrmi promenními a o jednom prípadu. Řešení: Do Long Name 1. promenne napíseme =IBinom(G;0,l2;30). Do Long Name 2. promenne napíseme =l-IBinom(5;0,l2;30). Do Long Name 3. promenne napíseme =IBinom(G;0,l2;30)-IBinom(5;0,l2;30). Do Long Name 4. promenne napíseme =IBinom(5;0,l2;30)-IBinom(l;0,l2;30). (Do Lange Name promňenníe vstoupíme tak, ňze v datovíem oknňe 2x klikneme mýňsí na níazev promňenníe.) Kreslení grafu distribucní funkce a pravdepodobnostní funkce bino-mickeho rozlození Vzoroví príklad: Nakreslete graf distribuční funkče a pravdepodobnostní funkče níhodne veličiný X ~ Bi(l2; 0,3). Postup ve STATISTICE: Výtvoňríme novýí datovýí soubor o 3 promňennýíčh a l3 pňrípadečh. První promňennou nazveme X a uloňzíme do ní hodnotý 0, l,. . . , l2 (do Long Name napíňseme =v0-l). Druhou promňennou nazveme DF a uloňzíme do ní hodnotý distribuční funkče (do Long Name napíseme príkaz =IBinom(x;0,3;l2)). Tňretí promňennou nazveme PF a uloňzíme do ní hodnotý pravdňepodobnostní funkče (do Long Name napíňseme pňríkaz =Binom(x;0,3;l2)). Graf distribucní funkce: Graphs - Sčatterplots - Variables X, DF - OK - vý-pneme Linear fit - OK - 2 x klikneme na pozadí grafu - Plot: General - zaskrtneme Line - Line Týpe: Step - OK. 169 Příloha B - Základní informace o programu STATISTICA 6 Graf pravděpodobnostní funkce: Graphs - Scatterplots - Variables X, PF -OK - vypneme Linear fit - OK. Podle tohoto navodu nakreslete grafy distribučních a pravdepodobnostních funkcí binomickeho rozložení pro ruzna n a p, napr. n = 5, p = 0,5 (resp. 0,75) apod. Sledujte vliv parametru na vzhled grafu. 170 B.5. Grafy hustot a distribučních funkcí, výpočet kvan-tilů STATISTICA umí kreslit grafy hustot a distribučních funkcí mnoha spojitých rozložení a počítat kvantily techto rozložení. Slouží k tomu Probability Calculator v menu Statistics. Zameríme se na rozložení uvedena definici 8.6. 1. Rovnoměrné spojité rozloženi Rs (0,1) Statistics - Probability Calculator - Distributions - Beta - shape 1 - napíse-me 1, shape 2 - napíseme 1. STATISTICA vykreslí graf hustoty a distribucní funkce. Hodnotu a-kvantilu zjistíme tak, že do okenka oznaceneho p napíseme dane a a po kliknutí na Compute se v okenku Beta objeví hodnota tohoto kvantilu. 2. Exponenciélné rozložené Ex (A) Ve volbe Distributions vybereme Exponential a do okenka lambda napíseme patricnou hodnotu. Hodnotu a-kvantilu zjistíme tak, že do okenka oznaceneho p napíseme dane a a po kliknutí na Compute se v okenku exp objeví hodnota tohoto kvantilu. 3. Normélné rozložené N (/x, a2) Ve volbe Distributions vybereme Z (Normal), do okenka mean napíseme hodnotu / a do okenka st. dev. napíseme hodnotu a. Hodnotu a-kvantilu zjistíme tak, že do okenka oznaceneho p napíseme dane a a po kliknutí na Compute se v okenku X objeví hodnota tohoto kvantilu. 4. Pearsonovo rozloženi ché-kvadrat s n stupni volnosti x2(n) Ve volbe Distributions vybereme Chi 2 a do okenka df napíseme patricní pocet stupňu volnosti. Hodnotu a-kvantilu zjistíme tak, že do okenka oznaceneho p napíseme dane a a po kliknutí na Compute se v okenku Chi 2 ob jeví hodnota tohoto kvantilu. 5. Studentovo rozložené s n stupni volnosti t(n) Ve volbe Distributions vybereme t (Student) a do okenka df napíseme patricní pocet stupňu volnosti. Hodnotu a-kvantilu zjistíme tak, že do okenka oznaceneho p napíseme dane a a po kliknutí na Compute se v okíenku t objeví hodnota tohoto kvantilu. 6. Fisherovo-Snedecorovo rozložení s n\ a n2 stupni volnosti F(n\,n2) Ve volbe Distributions vybereme F (Fisher) a do okenek df1 a df2 napíseme pocet stupňu volnosti citatele a jmenovatele. Hodnotu a-kvantilu zjistíme tak, že do okenka oznaceneho p napíseme dane a a po kliknutí na Compute se v okíenku F objeví hodnota tohoto kvantilu. 171 Příloha B - Základní informace o programu STATISTICA 6 B.6. Intervaly spolehlivosti pro parametry normálního rozložení 1. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu, když neznáme rozptyl: pro tuto situaci umí STATISTICA vypočítat meze intervalu spolehlivosti sama. Príklad: Pri kontrole peti balíčku cukru o deklarovane hmotnosti 1000 g byly zjisteny tyto odchylky: —3, 2, —2, 0, 1. Odchylky považujeme za realizace náhodneho výberu rozsahu 5 z rozlození N (/x, a2). Sestrojte 90% interval spolehlivosti pro Navod: Vytvoríme noví datoví soubor o jedne promenne a peti prípadech. Zapíseme do nej uvedene odchylky. Statistics - Basic Statistics/Tables -Descriptive statistics - OK - Advanced - Variables vl, OK, zaskrtnete Conf. limits for mean - Interval 90%, Summary. 2. Ve vsech ostatních prípadech postupujeme podle vzorcu uvedeních ve vetích 12.9 a 12.13. Uved'me postup pro situaci, kdy hledame interval spolehlivosti pro rozdíl stredních hodnot dvou nezavislích normílne rozlozeních nahodních víberu, kdyz nezníme rozptyly, ale víme, ze jsou shodne. Príklad: Na jiste velke americke univerzite bylo v r. 1969 nahodne vybrano 5 profesorek a nezavisle na tom 5 profesoru a byl zjisten jejich rocní príjem v tisících dolaru. Zeny: 9 12 8 10 16, muzi: 16 19 12 11 22. Predpokladíme, ze uvedene hodnoty jsou realizace dvou nežávislých nahodních víberu, první z rozlození N(/1,a2), druhí z rozlození N(/t2,a2). Sestrojte 95% interval spolehlivosti pro rozdíl stredních hodnot. Nívod: Vytvoríme noví datoví soubor o ctyrech proměnních (Plat, Sex, HorniMez, DolniMez) a 10 prípadech. Do promenne Plat napíseme príjmy zen, pak príjmy muzu. Do promenne Sex napíseme 5 x jednicku a 5 x dvojku (1=zena, 2=muz). Pomocí Descriptive statistics zjistíme prumery a rozptyly platu zen a muzu. (Víber zen ci muzu: viz cvicení 1, íkol 5.). Vísledky: m1 = 11, s2 = 10, n1 = 5, m2 = 16, s2, = 21,5, n2 = 5. Do Long Name proměenníe DolniMez napííěseme vzorec pro dolníí mez (viz veěta 12.13 (b)): =11-16-sqrt((4*10+4*21,5)/8)*sqrt(1/5+1/5)*VStudent(0,975;8) Do promenne DolniMez se 10 x ulozí hodnota —10,79. Do Long Name pro-měenníe HorniMez napííěseme vzorec pro horníí mez (viz věeta 12.13 (b)): =11-16+sqrt((4*10+4*21,5)/8)*sqrt(1/5+1/5)*VStudent(0,975;8) Do proměenníe HorniMez se 10x uloězíí hodnota 0,79. Znamenaí to, ěze s pravdepodobností aspoň 0,95 lezí rozdíl stredních hodnot platu zen a muzu v intervalu (—10,79; 0,79). Tento vísledek vsak nema praktickí víznam, protoze rozsahy obou víberu byly prílis male. Príklad: Vyreste pomocí STATISTIKY príklad 12.16. Navod: Vytvoríme noví datoví soubor o trech promenních (Leva, Prava, Rozdil) a ěsesti pěrípadech. Do prvních dvou proměennyích zapíěseme zjiěstěeníe hodnoty. Do LongName proměenníe Rozdil napíěseme =Leva - Prava a nyní postupujeme stejněe jako v uíkolu 1. 172 B.7. Zení Testovaní hypotez o parametrech normálního rozlo- Jednovýběrový ť-test Příklad: Při kontrole balicího automatu, který má plnit cukrem balíčky o hmotnosti 1000 g, byly při přesném převážení peti balíčku zjisteny tyto odchylky (v gramech) od požadovane hodnoty: 3, —2, 2, 0, 1. Na hladine významnosti 0,05 testujte hypotezu, že automat nema systematickou odchylku od požadovane hodnoty. Nívod pro provedení ť-testu: Vytvorte soubor o jedne promenne X a peti prípadech. Do X zapište namerene hodnoty. V menu Basic Statistics/Tables vyberte volbu t-test, single sample, OK, Variables X, zaskrtnete Test all means agains 0, Summary. Ve vístupní tabulce najdete hodnotu testoveho kriteria a p-hodnotu. Pokud p-hodnota nabude hodnoty < a, pak se nulovou hypotezu zamíta na hladine víznamnosti a. Dvouvýberový ť-test Příklad: Na jiste velke americke univerzite bylo v r. 1969 níhodne vybrano 5 profesoru a nezíviste na tom 5 profesorek a byl zjisten jejich rocní príjem v tisících dolaru. Ženy: 9 12 8 10 16 Muži: 16 19 12 11 22 Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že střední hodnota příjmu žen je stejná jako střední hodnota příjmu mužu. Návod: Vytvořte souboř o dvou přomenných (Plat a Sex) a 10 případech. Do přomenne Plat napiste příjmy žen a mužu a do přomenne Sex dejte 5 x jedničku a 5x dvojku. V menu Basic Statistics/Tables vybeřte volbu t-test, independent, by gřoups, OK, Variables - Grouping Sex, Dependent Plat, OK, Summařy T-tests. Ve vístupní tabulce se nejprve podívejte na p-hodnotu přo test homogenity řožptylu. Je-li vetsí než žvolena hladinu vížnamnosti, žjistete hodnotu testoveho kriteria a p-hodnotu přo test shody středních hodnot. V opacnem případe žaskřtnete v Options volbu t-test with sepařate variance estimates. Párová t-test Příklad: Na hladine víznamnosti 0,05 rozhodnete, zda se u osobního vozu urcite znacky pri spravnem serízení geometrie vozu sjízdejí obe prední pneumatiky stejne rychle. Bylo vybrano sest novích vozu a po urcite dobe bylo zjisteno, o kolik mm se sjely jejich leve a prave prední pneumatiky. číslo automobilu 1 2 3 4 5 6 pravá pneumatika 1,8 1,0 2,2 0,9 1,5 1,6 levá pneumatika 1,5 1,1 2,0 1,1 1,4 1,4 Návod: Vytvorte soubor o dvou promenních (Leva a Prava) a sesti prípadech. V menu Basic Statistics/Tables vyberte volbu t-test, dependent samples, OK, Variables Leva, Prava - Summary. 173 Príloha B - Zakladní informace o programu STATISTICA B 174 Záver Závěr Učební text, který jste právě dočetli, byl určen k prvnímu seznámení s matematickou disciplinou nazývanou statistika. Autorským zámerem bylo ukázat vám, ze statistika ve sve popisne forme dokýze pomoci nekolika výstižných charakteristik zprehlednit informace obsazene ve velkých datových souborech, zatímco ve sve induktivní forme zalozene na poctu pravdepodobnosti slouzí predevsím jako nástroj rozhodování v situacích ovlivnených náhodou, kdy na základe znalosti nýhodneho vyberu z urciteho rozlození pravdepodobnosti usuzuje na vlastnosti tohoto rozlození. V soucasnosti je statistika velice rozvinutý a dulezitá veda, která se neustále doplnuje a rozsiruje o nove poznatky. Z tohoto duvodu muze být tento ucební text jen znacne omezenym uvodem, ktery vsak mý dostatecnou oporu v obecnych statistických principech. V seznamu literatury samozrejme najdete knihy, ktere vám poslouzí pri prohlubování a rozsirovýní vasich statistických znalosti, bez nichz se dnes neobejde zádny absolvent ekonomicky zamerene vysoke skoly. Od ekonoma se totiz ocekává, ze bude rozhodovat nejenom na základe svých zkusenosti, ale predevsím na základe matematickych a statistických analyz. Proto musí být schopen sám provest jednodussí analýzy a u tech slozitejsích najít spolecnou rec se statistiky, aby jim mohl zadávat ýkoly a správne interpretovat výsledky techto analýz. Jak jste jiz zjistili, pouziti statistickeho programoveho systemu STATlSTICA osvobozuje uzivatele od namáhavých ukomí, jako je vyhledávání v datech, jejich trídení, sumarizace a graficke znázornení. Dbejte vsak na to, aby data byla do pocítace vkládána peclive a vzdy byla podrobená kontrole. Napr. je uzitecne pro kazdou promennou vypocítat minimum, maximum, medián, kvartilovou odchylku, vykreslit sloupkovy diagram, dvourozmerný teckový diagram apod. Pri zpracování dat rozhodne pouzívejte jen ty metody, kterým dobre rozumíte a jejichz výsledky umíte interpretovat. System STATlSTICA obsahuje velke mnozství metod, jejichz neadekvýtní aplikace muze vest k zavýdejícím ci dokonce chybnym záverum. Po uspesnem zvládnuti predmetu „Statistika" se pred vými otevírají znacne moznosti, jak efektivne získávat informace obsazene v datech a vyuzívat je ve sve kazdodenní práci.