Popisná statistika o úvod o rozdělení hodnot o míry centrální tendence o míry variability o míry šikmosti a špičatosti o grafy Úvod o užívá se k popisu základních vlastností dat o poskytuje jednoduché shrnutí hodnot proměnných ve výběrovém souboru o předchází induktivní statistiku (která odvozuje zjištění ze vzorku na populaci) Úvod o techniky deskriptivní statistiky pomáhají redukovat větší množství dat do zvládnutelné podoby -- grafické, tabulkové, do jednoho ukazatele o touto redukcí např. údajů o rychlosti čtení u 200 žáků na jeden ukazatel, např. na hodnotu průměru samozřejmě část informací ztratíme Úvod o pro každou proměnnou obvykle popisujeme 3 charakteristiky o rozdělení hodnot (i graficky), středovou hodnotu a míru rozptýlení hodnot kolem tohoto středu Rozdělení hodnot o rozdělení (distribuce) hodnot - souhrn četností jednotlivých kategorií nebo intervalů hodnot proměnné o jednou z možností, jak zobrazit rozložení hodnot proměnné je tabulka četností -- seznam kategorií proměnné a u nich počet osob, které do každé kategorie spadají Rozdělení hodnot příklad tabulky četností Rozdělení hodnot o vždy je třeba uvést celkový počet osob (N) o relativní četnosti mohou být uvedeny buď jako procenta (8%) nebo podíly (0.08) o může jít rovněž o poměr (ratio) dvou kategorií (např. poměr dívek a chlapců s ADHD 1:4 (nebo 0,25)) Rozdělení hodnot o jako míra (rate) se označuje počet výskytů nějakého jevu dělený počtem možných výskytů v nějakém čase o např. míra úmrtnosti = počet mrtvých za rok / počet obyvatel x 1000 o získáme hrubou míru úmrtnosti na 1000 obyvatel Rozdělení hodnot o stejná data je možno zobrazit i graficky (v příkladu sloupcový diagram -- barchart) Rozdělení hodnot o pokud proměnná nabývá mnoha hodnot, je vhodnější je sloučit do kategorií (intervalů) o počet intervalů by měl být přiměřený počtu hodnot o někdy se používá tzv. Sturgesovo pravidlo k = 1 + 3,3 log10(n) o podle něj by pro 200 hodnot byl vhodný počet intervalů 9 o záleží i na počtu osob -- pro menší výběry raději histogram s menším počtem sloupců Rozdělení hodnot Míry centrální tendence o míry centrální tendence (středu, polohy) jsou výsledkem snahy najít typickou hodnotu pro daný znak o nejčastěji používané modus, medián, aritmetický průměr, méně často např. harmonický a geometrický průměr Míry centrální tendence o modus -- nejčastěji se vyskytující hodnota (např. u příkladu s temperamentem to byl cholerik) o jediná použitelná charakteristika polohy pro nominální data; u pořadových a kardinálních jsou většinou více typickými charakteristikami medián nebo průměr Míry centrální tendence o pokud je v rozdělení více modů, jde o rozdělení vícevrcholové (obvykle bimodální) -- může odhalit nehomogenitu výběru o např. rozdělení hodnot tělesné výšky může mít dva mody -- pro muže a pro ženy Míry centrální tendence o modus není užitečnou statistikou pro zobecňování ze vzorku na populaci -- dá se očekávat, že různé vzorky z téže populace budou mít různé mody Míry centrální tendence o medián - prostřední hodnota v řadě hodnot uspořádaných podle velikosti (50% percentil) o je jen pro data, která je možno podle velikosti uspořádat, tj. pořadová a kardinální o dělí soubor na dvě poloviny (pro sudý počet hodnot je medián průměrem dvou prostředních pozorování) Míry centrální tendence o vzorec pro výběr s lichým počtem hodnot: Me = x[(n+1)/2 ] o vzorec pro výběr se sudým počtem hodnot: Me = (x[n/2] + x[n/2+1] )/2 Míry centrální tendence o používá se především, pokud chceme eliminovat vliv extrémních hodnot o příklad -- průměrný plat 20 tisíc může u 10 osob znamenat, že 9 z nich má 10 tisíc a jeden 110 tisíc; použijeme-li medián -- 10 tisíc, získáme více typickou hodnotu o můžeme ho vyčíst z tabulky četností, pokud jsou uvedeny kumulativní četnosti Míry centrální tendence o aritmetický průměr -- součet všech hodnot znaku dělený jejich počtem o jen pro proměnné, u nichž je možno hodnoty smysluplně dělit (kardinální) o vzorec: n m = S[i]X[i]/N (pro populaci) n m = S[i]x[i]/n (pro výběr) o součet odchylek od průměru =0 Míry centrální tendence o průměr zahrnuje každou hodnotu znaku -- což je jak výhoda, tak nevýhoda (citlivý na extrémní hodnoty) o to je možno vyřešit použitím tzv. seříznutého průměru (trimmed mean), který se počítá tak, že se vynechá určité % hodnot z obou stran rozdělení, např. 5% nejnižších a 5% nejvyšších Míry centrální tendence o průměr špatně reprezentuje nehomogenní skupiny o příklad -- 30 osob v parku, průměrný věk 12.5 roku, průměrná výška 130 cm: nemusí jít o školní děti, ale o 15 matek se 4-letými dětmi Míry centrální tendence o pro znaky s normálním rozdělením hodnot je průměr nejúčinnější charakteristikou (tj. nejvíce stabilní pro různé výběrové soubory) -- dá se nejlépe použít pro odhad parametru populace z charakteristik výběru o je nejčastěji užívanou mírou polohy Míry centrální tendence o kterou statistiku použít a uvádět? o průměr -- pokud může být spočítán a pokud není rozdělení příliš šikmé o modus -- pokud je rozdělení multimodální (neexistuje jediná typická hodnota) o medián -- pokud je rozdělení šikmé a unimodální, pokud obsahuje odlehlé hodnoty Míry centrální tendence o příklad -- spočítejte modus, medián a aritmetický průměr následujícího rozdělení hodnot 18 5 128 2 14 87 50 87 70 Míry variability o míry variability popisují kolísání v rozdělení hodnot o označují se i jako míry rozptýlenosti o užívá se rozpětí, mezikvartilové rozpětí, rozptyl, směrodatná odchylka, variační koeficient Míry variability o rozpětí (variační šíře, variační rozpětí) -- rozdíl mezi nejvyšší a nejnižší hodnotou o značně ovlivněno extrémními hodnotami, není dobrým odhadem parametru populace o používá se zřídka Míry variability o mezikvartilové rozpětí (interkvartilová odchylka) -- rozdíl mezi hodnotou horního kvartilu a dolního kvartilu o kvartily -- dělí soubor na 4 stejné části; horní kvartil odděluje 25% nejvyšších hodnot, dolní 25% nejnižších Míry variability o mezikvartilové rozpětí udává rozpětí pro středních 50% hodnot (=délka obdélníku v krabicovém diagramu) o není (podobně jako medián) citlivé na extrémní hodnoty Míry variability o rozptyl (střední kvadratická odchylka průměru) - ukazuje, jak jsou hodnoty rozptýleny kolem průměru o v populaci [n ] s^2 = (1/(N)) aa (x[i] - m)^2 ^i = 1 o výběr [n ] s^2 = (1/(n-1)) aa (x[i] - m)^2 ^i = 1 Míry variability o více než rozptyl se používá jeho odmocnina -- směrodatná odchylka průměru (je ve stejném měřítku jako původní hodnoty) o oba ukazatele slouží jako vhodné doplnění průměru -- získáme představu o jeho věrohodnosti, jak dobře reprezentuje všechny hodnoty Míry variability o příklad -- porovnejte variabilitu u těchto dvou rozložení hodnot (jde např. o počet správně vyřešených úloh v didaktickém testu ve 2 třídách) o 4 5 4 3 5 5 3 4 3 b) 8 2 12 1 4 3 5 0 1 Míry variability o řešení příkladu o m[a] = 4, s[a] = 0.87 o m[b] = 4, s[b] = 3.87 o u prvního rozdělení je průměr lepší reprezentací hodnot; u druhého jsou hodnoty kolem průměru hodně rozptýleny Míry variability o variační koeficient -- pro porovnání míry variability u různých souborů o pokud se u různých souborů měřené hodnoty výrazně liší svou úrovní anebo jsou dokonce v různých jednotkách, nelze podle rozptylu či standardní odchylky porovnávat přímo, který ze souborů má větší variabilitu - je třeba srovnávat relativní variabilitu Míry variability o jde o podíl směrodatné odchylky a průměru o většinou se udává v procentech o VK = ( s / m ) *100% Míry variability o příklad -- porovnejte variabilitu průměrného platu v ČR (v korunách) a v GB (v librách) (fiktivní data) o m[GB]=1000 liber, s[GB=]600 o m[CZ]=10 000 Kč, s[CZ=] 3000 Míry variability o řešení příkladu -- větší variabilita je v britských platech (60%) než v českých (30%) Míry šikmosti a špičatosti o hodnotíme, jak se rozdělení dat podobá normálnímu (Gaussovu) rozdělení o šikmost (skewness) měří nesymetrii vzhledem k podélné ose n pro symetrické rozdělení se koeficient šikmosti = 0 n pokud je > 0, je rozdělení s prodlouženým pravým koncem (doprava, kladně šikmé) n pokud je < 0, je rozdělení s prodlouženým levým koncem (doleva, záporně šikmé) Míry šikmosti a špičatosti Míry šikmosti a špičatosti o i porovnáním hodnoty průměru a mediánu získáme představu o šikmosti rozdělení hodnot n pokud je průměr větší než medián -- kladně zešikmeno n průměr menší než medián -- záporně zešikmeno n průměr = medián -- symetrické rozdělení o Pearsonův vzorec pro koeficient šikmosti na základě srovnání hodnot průměru a mediánu n SK = 3* (m -- Me) / s Míry šikmosti a špičatosti o koeficient špičatosti (kurtosis) n pro normální rozdělení = 0 n pokud je > 0, je rozdělení tzv. leptokurtické (více špičaté než normální) n pokud je < 0, je rozdělení tzv. platykurtické (plošší než normální) Míry šikmosti a špičatosti Grafy o pouze základní typy o pro kategoriální data - sloupcový diagram, výsečový graf o pro spojitá data -- histogram, frekvenční polygon, krabicový diagram, stromový diagram o grafy je možno znázornit v kategorizované formě -- pro jednotlivé kategorie další proměnné (např. pro muže a ženy) Grafy o výsečový graf (koláčový diagram, pie chart) -- užívá se více v populárních publikacích než v odborných Grafy o histogram -- podobný sloupcovému diagramu, ale je pro spojitá data o jednotlivé sloupce reprezentují nikoliv jednotlivé kategorie, ale intervaly hodnot o tvar histogramu závisí do jisté míry na šířce intervalů Grafy Grafy o frekvenční polygon -- konstruován podobně jako histogram, jen místo sloupců jsou tečky spojené čarou Grafy o krabicový diagram (boxplot, vousatá krabička) -- poskytuje bohaté zobrazení důležitých aspektů rozdělení hodnot o délka krabice odpovídá interkvartilové odchylce; uvnitř krabice je vyznačen medián o "vousy" nebo "anténami" je ohraničeno rozmezí hodnot bez odlehlých hodnot (outliers) a extrémních hodnot (více než 3x délky krabice od jejího konce) Grafy Grafy o stromkový diagram (stem-and-leaf plot; stonek a list) -- podobný histogramu (naležato), ale obsahuje informace o každém případu o konstrukce diagramu -- hodnoty jsou rozděleny např. na desítky (stonek) a jednotky (list) o např. hodnota 85 = 8x10 + 5x1 o pokud je hodnot pro některé desítky více, rozdělí se na další listy Grafy Grafy Grafy o čeho si v grafu všímat? n tvaru rozdělení n míst s největší četností hodnot (zhuštění, shluky) n mezer n odlehlých hodnot Kontrolní otázky o rozdíly mezi absolutními a relativními četnostmi, poměrem a mírou; kumulativní četnosti o 3 základní míry centrální tendence (+ u jakých dat použijeme průměr, modus či medián) o základní míry variability, výpočet rozptylu o typy grafů Literatura o Hendl -- kapitola 3 o doplňující (v IS): n Wainer, H., & Velleman, PF (2001). Statistical graphics: Mapping the pathways of science. Annual Review of Psychology, 52, 305-335.