Predikátová logika

   (pracovní verze)

   

   Výroková logika není schopna zkoumat elementární výroky z hlediska jejich vnitřní struktury, a
   z tohoto důvodu nepostihuje větší část úsudků přirozeného jazyka (v našem případě češtiny).
   Proto potřebujeme jiný typ formalizovaného jazyka (logiky), který bude schopen určit správnost
   úsudků tohoto typu. Takovou logikou je -- mimo jiné -- predikátová logika.

   

   Predikátová logika pracuje s tzv. predikáty -- většinou značenými P, Q, R, které individuálním
   proměnným (s oborem proměnnosti) či vlastním jménům a individuálním konstantám přiřazují
   vlastnosti či vztahy. Elementární výrok predikátové logiky se tedy skládá z predikátu a
   individuální proměnné či konstanty.

   Individuální proměnné značíme většinou x, y, z. Individuální konstanty a vlastní jména značíme
   a, b, c. Predikáty značíme P, Q, R, M, ap.. Elementární výrok tvoříme následujícím způsobem: Q
   (b), přičemž Q znamená predikát predikující vlastnost a (b) individuální konstantu (např.
   Bohuslava Binku). Bohuslav Binka (b) je plešatý (Q) transformujeme do PL Q (b). Predikát však
   může přiřazovat i vztahy. Např. P (x, y) (P přiřazuje vztah být chytřejší) (x, y jsou
   individuální proměnné) značí, P (x, y) bude pravdivý tehdy a jedině tehdy, když x bude
   chytřejší než y. Predikátová logika pracuje navíc s kvantifikátory, a to všeobecným
   kvantifikátorem
   (oe) a existenčním kvantifikátorem (>) . Všeobecný kvantifikátor znamená "pro všechna x platí"
   a zapisuje se oe x Q(x), existenční kvantifikátor znamená "existuje alespoň jedno x, pro
   které" a zapisuje se > x Q(x).

   Predikátová logika má tedy následující abecedu a gramatiku:

   

   Abeceda

   

   1. Logické symboly

   a) individuální proměnné x, y, z,

   b) symboly pro logické spojky:

   c) symboly pro kvantifikátory

   d) =

   

   2. Symboly

   a) symboly pro predikáty P, Q, R

   b) symboly pro funkce f, g, h

   c) (),{}

   

   

   

   Gramatika

   - termín: každý symbol proměnné je termín, jsou-li t1, t2 -- tn termíny a je-li f n-ární
   funkční symbol, pak f(t1-tn) je termín, nic jiného není termín

   - atomická formule: jestliže je P -- n-ární predikátový symbol a t1 -- tn jsou termíny, pak
   P(t1-tn) je atomická formule a zároveň je-li t1 a t2 termín pak t1=t2 je atomická formule, nic
   jiného není atomická formule

   - formule: každá atomická formule je formule, je-li výraz A formule, pak negace A je též
   formule a to samé pro ostatní spojky výrokové logiky, je-li x proměnná a A formule, pak pro
   všechna x platí A a existuje alespoň jedno x, pro které A je též formule, nic jiného není
   formule

   

   

   

   

Sémantika predikátové logiky

   

   Sémantika predikátové logiky znamená "naplnění" formule PL, a to následujícím způsobem:

   

   - přiřazením hodnot volným proměnným a funkčním konstantám

   - interpretací predikátových konstant

   - interpretací logických spojek a kvantifikátorů

   

   

   Tautologie PL -- je pravdivá v každé interpretaci

   Splnitelná PL -- je pravdivá alespoň v jedné interpretaci

   Kontradikce PL -- je když její negace je tautologie

   

   Příklad:

   

   a, b, c

   

    jsou individuální konstanty a -- Bohuslav Binka, b -- Jan Binka a c -- Ivana Binková

   CH je predikát přiřazující binární vztah být chytřejší

   x je proměnná, jejímž oborem proměnnosti je (a, b)

   y je proměnná, jejímž oborem proměnnosti je (c, b)

   

   CH (x,y) interpretujeme následovně

   

   CH {(c,b), (c,a), (b,a)}

   

   Vzhledem k oboru proměnnosti x a y a možným interpretacím CH je výrok CH (x,y) pravdivý

   

   CH (a,b) - nikoliv

   CH (a,c) - nikoliv

   CH (b,c) - nikoliv

   CH (b,b) -- nikoliv

   

   Tzn. v našich interpretacích tento výrok není pravdivý nikdy.

   

   Příklady:

   

   Převeďte do PL následující věty:

   

   Všichni kosmonauti, kteří umí anglicky, umí i rusky.

   

   Někteří lidé jsou chytří jen když jsou lháři.

   

   Existují hvězdy bez planet i hvězdy s planetami.