Pravděpodobnost a statistika Hynek Lavička1 'Katedra fyziky Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technice v Praze 26.3.2007 O Úvod O Definice * Událost * Náhodné proměnné * Stochastické procesy Q Vlastnosti náhodných proměnných Q Důležitá pravděpodobnostní rozdělení * Diskrétní * Spojitá Q Statistika nudná věda? * Příklad stochastického procesu * Efektivita systémů Q Závěr O Úvod Q Definice * Událost * Náhodné proměnné * Stochastické procesy * Diskrétní * Spojitá íAi7 * Efektivita systémů ;ho procesu :oreny Teorie pravděpodobnosti má své kořeny v práci Pierre de Fermata a Blaise Pascala ze 17. století, kdy se snažili analyzovat možnosti výhry v hazardních hrách. 26.3.2007 4 / 4 5 Moderní teorie pravděpodobnosti je založena na práci Andreje Nikolajeviče Kolmogorova a Richarda von Misese. Hynek Lavička () Pravděpodobnost a statistika Ústředním termínem, který se zde vyskytuje je náhodná proměnná a stochastický proces, které rozšiřují pochopení chování systémů, které nemáme plně pod kontrolou, které mohou být nezávislé na čase nebo se v čase vyvíjet. Teorie pravděpodobnosti je základem pro většinu lidských aktivit, které vyžadují kvalitativní analýzu velkých souborů dat - statistiku. Teorie pravděpodobnosti se stala v 20. století základem pro * Statistickou fyziku * Kvantovou mechaniku a její rozšíření Jestliže je událost ft) s pravděpodobností P (ft)) pozorována opakovaně a pozorování jsou nazávislá, potom poměr pozorovananých událostí a celkového počtu pozorování konverguje k P(ft>), když počet opakování roste nad všechny meze. P(fl>) = lim ^ (1) ISQIQE O Definice * Událost * Náhodné proměnné * Stochastické procesy * Diskrétní * Spojitá íAi7 * Efektivita systémů ;ho procesu ISQIQE O Definice * Událost * Náhodné proměnné * Stochastické procesy * Diskrétní * Spojitá íAi7 * Efektivita systémů ;ho procesu ESSE Elementární událost (0 je jednoprvková podmnožina množiny výsledků nějakého jevu O. Událost A je podmnožina množiny výsledků nějakého jevu O. Hynek Lavička () Pravděpodobnost a statistika 26.3.2007 10 / 45 Máme 2 nezávislé události A, B potom pravděpodobnost konjunkce je F(Af]B)=F(A)F(B) (2) Máme 2 události A, B potom podmíněná pravděpodobnost je F(Af]B) F(A\B) F(B) (3) ISQIQE O Definice * Událost * Náhodné proměnné * Stochastické procesy * Diskrétní * Spojitá íAi7 * Efektivita systémů ;ho procesu ISQIQE Proměnná, která nabývá náhodné (nepredikovatelné) hodnoty (událost) z množiny možných hodnot O Typy náhodných proměnných podle vlastností O * Diskrétní * Spojitá (4) ISQIQE O Definice * Událost * Náhodné proměnné * Stochastické procesy * Diskrétní * Spojitá íAi7 * Efektivita systémů ;ho procesu ISQIQE Stochastický proces je množina náhodných proměnných. Pokud množina má strukturu 1-D prostoru, pak se nazývá časová řada v ostatních případech náhodné pole. Typy stochastických procesů (časových řad) podle vlastností O * Diskrétní * Spojitá (5) Deti n ice * Událost * Náhodné proměnné * Stochastické procesy Q Vlastnosti náhodných proměnných * Diskrétní * Spojitá íAi7 * Efektivita systémů ;ho procesu eristiky náhodných proměnných * Kumulativní distributivní funkce (distributivní funkce) F(x)=F(X(co) X) -I1X)(Y((OY) -Vy)F(X((Qx),Y((Or)) 0XOy (13) Vlastnosti náhodných proměnných Charakteristiky náhodných 2 proměnných - korelace 0.96 0.80 0.40 0.025 0.76 0.38 0.029 :$r ˇ 0.32 0.0046 0.03 26.3.2007 20 / 45 I-IJ-I..IJ.I.UJ.I náhodných proměnných Nechť máme nezávislé náhodné proměnné X a Y Z = X+Y Pz{z) PX(X)PY(Z -- X) dx P(z)= X X V((ox)T((Or)8x((ůx)+Y((0r); (14) (15) (16) Deti n ice * Událost * Náhodné proměnné * Stochastické procesy Q Důležitá pravděpodobnostní rozdělení * Diskrétní * Spojitá d Statistika nudná věda? * Příklad stochastického procesu * Efektivita systémů Deti n ice * Událost * Náhodné proměnné * Stochastické procesy Q Důležitá pravděpodobnostní rozdělení * Diskrétní j ' - j -> * Efektivita systémů ;ho procesu nomické rozdělení Pravěpodobnost k úspěchů při ano/ne experimentech v sérii N pokusů, kde každý získaný úspěch má pravděpodobnost p. n = {o,i,2,...,#} P(*) K p\\-p) N-k k H=Np o2 =Np{\-p) (17) (18) (19) (20) nomické rozdělení 0.2 1 0.10 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 -p = 0.5 and n = 20 ˇp = 0.7 and n = 20 " ˇp = 0.5 and n = 40 ergeometrické rozdělení Máme dodávku N objektů, ale D je defektních. Hypergeometrické rozdělení popisuje pravděpodobnost, že ve vzorku n objektů je k defektních objektů. n = {o,i,2,...,} P(*) D\ (N-D\ k)\n-k) M -.D, nD nf(l-§)(N-n) N-l (21) (22) (23) (24) ereeometrické rozdělení tümmmmmmmmmmm jssonovo rozdělení Rozdělení vyjadřuje pravděpodobnost počtu úspěchů, které se stanou v pevném časovém úspěchu, když úspěchy se objeví se známým průměrným tempem. O = No (25) exp(-A)A^ P(*) k\ M X --X (26) (27) (28) Důležitá pravděpodobnostní rozděl >sonovo rozdělení 0.4 o X=l X = 4 o A, = 10 26.3.2007 29 / 45 Deti n ice * Událost * Náhodné proměnné * Stochastické procesy Q Důležitá pravděpodobnostní rozdělení * Diskrétní * Spojitá d Statistika nudná věda? * Příklad stochastického procesu * Efektivita systémů ssovo (normální) rozdělení Popisuje fluktuaci měřené veličiny. Q = R V27H7 2oz 11 = 11 2 2 a = a (29) (30) (31) (32) Důležitá pravděpodobnostní rozdelení Spojitá .sovo (normální) rozdělení Hynek Lavická () Pravděpodobnost a statistika 26.3.2007 32 / 45 Důležitá pravděpodobnostní rozdelení Spojitá Gibbs-Boltzmanovo rozdělení (exponenciáli rozdělení) Q = R+ (33) p(x) = Aexp(--Ax) (34) 1 = I (35) 2 1 (36) Hynek Lavička () Pravděpodobnost a statistika 26.3.2007 33 / 45 Důležitá pravděpodobnostní rozdelení Spojitá ^.bbs-Boltzmanovo rozdělení (exponenciální rozdělení) Hynek Lavická () Pravděpodobnost a statistika 26.3.2007 34 / 45 .vino stabilní rozdělení Popsáno /i a a ß Q = R a > 1 ji a<\ +~ a = 2 2 ^ 2 +c (37) Důležitá pravděpodobnostní rozdelení Spojitá .o stabilní rozdělení Hynek Lavická () Pravděpodobnost a statistika 26.3.2007 36 / 45 Úvod Definice * Událost * Náhodné proměnné * Stochastické procesy * Diskrétní * Spojitá Q Statistika nudná věda? * Příklad stochastického procesu * Efektivita systémů IľH.III.I.HU. Úvod Definice * Událost * Náhodné proměnné * Stochastické procesy * Diskrétní * Spojitá Q Statistika nudná věda? * Příklad stochastického procesu * Efektivita systémů ESMZrmaSEE chastického procesu Hra házení kuliček na cíl, přičemž hráč postupuje od jednoho hřiště ke druhému. UJM4JIUJJIUJ.WJ.MMnB GMD (Groundbased mid-course defence) je systém proti balistickým raketám. The NMD Concept of Operations NMD Elements | S ""i Internum & rTM 1 SSHSBSBS*-* üar f Ä -- -- - =<**u* | usa^aaa imujMLMHmjMmiJiim Raketa vypuštěna Raketa detekována Vypuštění EKV Zásah rakety Neúspěch Úspěch IľH.III.I.HU. Úvod Definice * Událost * Náhodné proměnné * Stochastické procesy * Diskrétní * Spojitá Q Statistika nudná věda? * Příklad stochastického procesu * Efektivita systémů Systém Plánovaná efektivita Uskutečněná efektivita Cena Patriot Raketoplány GMD > 99% 1 _ J_1 106 > 90% < 1 % 1 350 < 10% 1G$ 10G$ 100G$(200G$) Úvod Definice * Událost * Náhodné proměnné * Stochastické procesy * Diskrétní * Spojitá íAi7 9 Efektivita systémů Q Závěr ;ho procesu Co si odnést? * Definice elementárního jevu, jevu, náhodné veličiny a stochastického procesu * Příklady diskrétních a spojitých distribucí * Pravěpodobnost a statistika jsou důležitými obory pro posuzování efektivity