PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 3 MÍRY CENTRÁLNÍ TENDENCE A VARIABILITY He uses statistics as a drunken man uses lampposts ­ for support rather than illumination. Andrew Lang Kolik měříte? Výška [cm] n % 153,75 < x <= 160,25 8 8,9 160,25 < x <= 166,75 16 17,8 166,75 < x <= 173,25 25 27,8 173,25 < x <= 179,75 14 15,6 179,75 < x <= 186,25 16 17,8 186,25 < x <= 192,75 5 5,6 192,75 < x <= 199,25 4 4,4 ChD 2 2,2 Nedalo by se rozložení hodnot proměnné popsat úsporněji než pomocí tabulky četností, histogramu? Kde na měřené škále se data nalézají? UKAZATEL CENTRÁLNÍ TENDENCE Jak moc jsou na ní rozptýlená? UKAZATEL VARIABILITY Centrální tendence (=střední hodnoty, umístění) CT je jeden údaj, jímž se snažíme popsat rozložení četností jedné proměnné Jeho kouzlo i zrádnost je právě v tom, že je to právě jeden údaj. CT udává průměrnou, typickou, reprezentativní, očekávanou hodnotu Co se tím míníme, záleží na tom, jakou míru CT se rozhodneme použít AJ: measures of central tendency, of location s 15 bez 15 Průměr 2,48 2,05 Medián 1,00 1,00 Modus 0 0 Modus, medián a průměr Modus - kategoriální typická hodnota nejčastější hodnota, h. s nejvyšší četností jediná možnost u nominálních dat, u vyšších úrovní často užitečnou volbou Medián ­ pořadová střední hodnota hodnota prvku uprostřed uspořádaného souboru, 50. percentil (P50) při sudém počtu prvků je mediánem kterékoli číslo z intervalu mezi nejbližší vyšší a nejbližší nižší hodnotou (konsensuálně střed intervalu) pořadová data a výše Aritmetický průměr ­ deviační, ochylková, momentová střední h. jak ho znáte ze školy pouze intervalová a poměrová data velmi citlivý na extrémní hodnoty AJ: mode, median, mean MoX ,^ MdX , ~ mMX ,, Míry variability (rozptýlenosti) Druhé číslo, jímž popisujeme rozložené hodnot proměnné Udává, jak moc či málo jsou data na škále rozptýlená. Malá variabilita = většina hodnot v souboru je stejných nebo velmi blízkých Vysoká variabilita = hodnoty jsou velmi rozmanité (n. rozložení je bimodální) Rozpětí, rozptyl, směrodatná ochylka Nominální ­ entropie ­ nepoužívá se Pořadové (variační) rozpětí = Xmax ­ Xmin (extrémně roste s velikostí vzorku) (inter)kvartilové rozpětí = Q3 ­ Q1, IQR Odchylkové (deviační, momentové) ukazatele založené na odchylkách od průměru: x = X ­ m průměrná absolutní odchylka (|x| / n) ­ nepoužívá se průměrná odchylka na druhou ­ rozptyl populační (x2 / n) vs. výběrový (x2 / (n ­ 1)) součet odchylek na druhou = suma čtverců směrodatná odchylka (standardní odchylka) odmocnina rozptylu - návrat k původní jednotce AJ: measures of variability, entropy, rank-order, range, interquartile range, variance, standard deviation, sum of squares, square, square root Ukazatele centrální tendence a variability - poznámky je třeba je umět spočítat ručně (a zopakovat si práci se sumačním symbolem ) i vážený průměr jak je ovlivní datové transformace přičtení konstanty a násobení konstantou vhodnost použití ukazatelů centrální tendence (Hendl s.95) AJ: weighted mean, add, multiply Boxplot ­ krabicový graf s anténami krabice je od Q1 do Q3 v krabici se značí medián antény jsou Xmin do Xmax, maximálně však 1,5x délka krabice (kvartilového rozpětí) hodnoty vzdálenější se značí jako body odlehlé hodnoty hodnoty ještě vzdálenější (více než 3x délka krabice od Q1 nebo Q3) jsou někdy označovány jako extrémně odlehlé hodnoty Boxplot - příklad Souhrn Kategoriální deskriptivy modus, (entropie) Pořadové deskriptivy medián, kvartily, percentily (a jiné kvantily) kvartilové rozpětí grafické znázornění rozložení pomocí pořadových deskriptiv - BOXPLOT Odchylkové, momentové deskriptivy aritmetický průměr rozptyl, směrodatná odchylka (k=2) zešikmení (k=3) = (X-M)k / N špičatost (strmost) (k=4) AJ: skewness, kurtosis Volba popisných statistik Zvažujeme úroveň měření tvar rozložení ­ symetrie, normalita cíl studie ­ pouze popis X usuzování, porovnávání Tedy... Je-li cílem především deskripce dat, pak použijeme POŘADOVÉ ukazatele. Připojíme-li i odchylkové, nic nezkazíme. N, min, Q1, Md, Q3, max boxplot pro individuální skóry percentily Je-li cílem další usuzování, porovnávání apod., používáme ODCHYLKOVÉ ukazatele ... pokud to úroveň měření dovoluje N, m, s (N, M, SD) popis rozložení pro individuální skóry z-skóry Prezentace deskriptiv ve studiích Vždy! Bez ohledu na to, jak složité statistiky následují. Popis rozložení Obvykle se neuvádějí tabulky četností a jejich grafické podoby, pokud ovšem není cílem studie právě statistická deskripce (např. manuál k testu inteligence). Tvar rozložení obvykle podle potřeby zmiňujeme verbálně (,,přibližně normální, zleva zešikmené..."). Většinou se řeší pouze normalita a odchylky od ní. Obvykle pouze pro proměnné, s nimiž pracujeme (interpretujeme...) Minimální triáda: N, m, s (či jejich pořadové ekvivalenty Q1, Md, Q3, IQR ) Vhodná pětice: N, Xmin, Xmax, m, s Pro puntičkáře/v případě potřeby: N, Xmin, Xmax, m, s, zešikmení, špičatost Obvykle na 2 významné číslice / 2 desetinná místa V českém textu česky, v anglickém anglicky! Pozor na konvence spojené s jazykem: značky, desetinné tečky, chybějící nuly Podoba tabulek je podchycena i normami, např. publikační manuál APA z-skóry, standardizované skóry Transformace dat změna rozložení (např. log, (od)mocniny, Hendl 111) usnadnění interpretace Standardizace transformace hodnot tak, aby m = 0, s = 1 jednotkou měření se stává s, možnost srovnávání různých škál zi = (xi ­ m) / s u přibližně normálně rozložených dat o lidech je většina (přes 90%) lidí mezi -3 a 3 ze z-skórů pak např. T-skóry (m=50,s=10), IQ-skóry (100, 15) apod. Zásadní pro porozumění normám psychologických testů! AJ: data transformations, standard scores, z-scores Oblasti pod křivkou normálního rozložení, percentily upraveno dle Glass, Hopkins, s. 88 Ze z-skórů na percentily a zase zpět aneb area under the curve. Normální rozložení.xls v ISu 2 zobrazení hustota (density) jako histogram distribuční funkce jako graf cum % Obrázek je z WIkipedie. Statistické zkratky a značky různé systémy, je třeba dobře popisovat N, n = velikost vzorku, podvzorku(skupiny) Xi = skór i-té osoby u proměnné X xi = deviační skór, odchylka od průměru M, m,x = průměr SD, s = směrodatná odchylka s2 = rozptyl AJ: statistical notation, sample size, subsample, score, deviation score Obecné principy k zapamatování Míru shody mezi modelem a daty obvykle konceptualizujeme jako sumu rozdílů mezi modelem a daty umocněných na druhou. nejjednodušší model je průměr a odchylky od něj tvoří rozptyl Abstrakce od jednotek měření standardizací často převádíme statistiky na takové škály, které známe