PSY117/454
Statistická analýza dat v psychologii
Přednáška 11
Analýza rozptylu
Srovnávání více než dvou průměrů
If your experiment needs statistics, you ought to have done a better experiment.
Ernest Rutherford
Omezení t-testu
t-test umožňuje srovnání pouze dvou průměrů
 Více skupin ( j ) >> mnoho porovnání: j ( j -1)/2
Více srovnání způsobuje strmý růst pravděpodobnosti chyby I. typu
 např. při =0,05 a 20 testech p=0,64 (1 nebo více chyb)
 aplikace binomického rozložení
 Platí to pro jakýkoli statistický test (zejm. korelace)
Je nevhodné provádět velké množství testů na jedněch datech (cca >5)
 Zneužití se označuje jako rybaření v datech ­ capitalizing on chance
 Lze kompenzovat korekcí hladiny  (Bonferroniho korekce), avšak za
cenu značného snížení síly testu (1-).
 Místo  testujeme na hladině  '=/N, kde N je počet prováděných testů.
AJ: multiple tests, capitalizing on chance, Bonferroni correction, statistical power
Řešení = Analýza rozptylu (ANOVA)
Testuje na více skupinách jen jednu hypotézu:
 Je někde mezi skupinovými průměry někde rozdíl?
 Je mezi Pražáky, Brňáky a Ostraváky rozdíl v průměrné lakotě?
 H0: Pražáci = Brňáci = Ostraváci
 Je-li odpověď ,,ano" (p <), pak se můžeme podívat na
jednotlivé rozdíly detailněji (post-hoc testy)
 Je-li odpověď ,,ne" (p >), pak bychom neměli (rybaření)
AJ: ANalysis Of Variance, post-hoc tests (multiple comparisons)
1. terminologická vložka - ANOVA
 ANOVA = ANalysis Of Variance = analýza rozptylu
 i přes svůj název jde o srovnávání průměrů
 ANOVA zjišťuje vztah mezi kategoriální nezávislou a
intervalovou závislou.
 kategoriální nezávislá = faktor (factor, ,,-way")
 hodnoty kategoriální nez. = úrovně (level, treatment)
 Zjištěný rozdíl = efekt, účinek (effect)
Princip ANOVY 1.
sk1 sk2 sk3 Celk. sk1 sk2 sk3 Celkem
čl1 2 4 6 čl1 0 6 2
čl2 2 4 6 čl2 4 2 10
čl3 2 4 6 čl3 0 6 2
čl4 2 4 6 čl4 4 2 10
čl5 2 4 6 čl5 2 4 6
m 2 4 6 4 m 2 4 6 4
s2
0 0 0 2,9 s2
4,0 4,0 16,0 9,7
MSbg 20 MSbg 20
MSw 0 MSw 8
sk1 sk2 sk3 Celkem F 2,5
čl1 1 4 2 0,95F(2,12) 3,8853
čl2 3 5 5 p 0,1237
čl3 5 1 3
čl4 4 2 1
čl5 2 3 4
m 3 3 3 3
s
2
2,5 2,5 2,5 2,1
MSbg 0
MSw 2,5
 rozptyl = MS = mean square
 MSwithin : variabilita uvnitř
skupin (MSe, error)
MSwithin=SSwithin/n ­ j
 MSbetween : s2 spočítaný ze
skupinových průměrů,
variabilita uvnitř skupiny je
ignorována (též MSA)
 MSbetween=SSbetween/j -1
Platí-li H0, jaký čekáme vztah
mezi Msbetween a Mswithin ?
Princip ANOVY ­ F-test
 Čím jsou si průměry podobnější, tím je rozptyl mezi
skupinami nižší (MSbetween se blíží 0)
 Čím nižší je rozptyl uvnitř skupin (MSwithin se blíží 0), tím
průkaznější se průměry mezi skupinami zdají být.
 Důležitý je poměr těchto dvou odhadů rozptylu:
 Čím vyšší je F-poměr, tím průkaznější jsou rozdíly mezi
průměry (rozsah je 0 až  )
 F -poměr má jako výběrová statistika F -rozložení
within
between
MS
MS
F =
Fisherovo-Snedecorovo F-rozložení
 Podobně jako t -rozložení, je F -rozložení vlastně rodina mnoha rozložení mírně
se lišící svým tvarem
 Tato rozložení se liší tentokrát dvěma parametry ­ stupni volnosti
 1 = počet skupin ­ 1 : stupně volnosti čitatele - MSbetween
 2 = počet lidí ­ počet skupin : stupně volnosti jmenovatele - MSwithin
 na pořadí ZÁLEŽÍ
http://www.econtools.com/jevons/java/Graphics2D/FDist.html
AJ:
FUJ: V tabulkách F-rozložení v Hendlovi jsou prohozeny v1 a v2.
Princip ANOVY ­ dělení rozptylu.
 Dělení variability (rozptylu) podle zdrojů jako u lineární regrese
Xij = + j + eij
 Xij = skóre jedince (i-tý jedinec v j-té skupině)
  = průměr populace
  = vliv příslušnosti ke skupině (vliv úrovně faktoru)
 eij= chyba (vše, s čím nepočítáme, individuální prom.)
Xij ­ m = (m ­ mj ) + (Xij ­ mj )
odchylka od celkového průměru = odchylka od skupinového průměru +
odchylka skupinového průměru od celkového průměru
 ... odchylky umocněné na druhou = cesta k rozptylu
SSTotal = SSBetween (A) + SSWithin(Error)
MSTotal; MSError; MSA
ijji eXbXbXbaY +++++= -- 112211 ...
Velikost účinku (efektu)
 Podobně jako u regrese chceme vědět, jaká část
rozptylu závislé je vysvětlená nezávislou
 Ekvivalentem R 2 je u anovy 2 (eta)
 2=SSBetween/SSTotal
 Poněkud přesnější je 2
 Pro konkrétní rozdíl průměrů dCoh = m1-m2/MSWithin
 Velikost účinku je vždy třeba uvádět
Předpoklady použití ANOVY
 normální rozložení uvnitř skupin
 při nj>30 a n1=n2=...=nj je ANOVA robustní
 stejné rozptyly uvnitř skupin:
homoskedascita
 do smax/smin<3 je ANOVA robustní, zváště při n1=n2=...=nj
 nezávislost všech pozorování
 při opakovaných měřeních je třeba použít ANOVU pro
opakovaná měření
viz Hendl 343
Post-hoc testy (simultánní porovnávání)
 Po (a pouze po) prokázání ,,nějakých" rozdílů mezi průměry
obvykle chceme vědět, mezi kterými skupinami konkrétně
rozdíly jsou: post-hoc testy
 Srovnáváme každou skupinu s každou způsobem, který
nezpůsobí nárůst .
 Je-li důležité udržet  pod kontrolou, pak je správnou
volbou Scheffeho test ­ volba pro rybaření
 Pokud to není tak kritické a máte-li pár kvazi-hypotéz na
mysli, pak je volbou Student-Neuman-Keuls (S-N-K)
 Extrémně ,,dajný" a nepříliš vhodný pro více než 3 skupiny
je LSD a proto se nedoporučuje.
Další varianty a rozšíření ANOVA
 ANOVA pro opakovaná měření (jako párový t-test)
 ANOVA s 2 a více faktory (faktoriální ANOVA)
 MANOVA ­ s více závislými proměnnými
To vše v SPSS skryto pod GLM ­ general linear model
 Pořadovou (neparametrickou) alternativou ANOVY jsou
 Kruskal-Wallis H: H0: Md1=Md2=...=Mdj H1: Md1Md2  ...  Mdj
 Jonckeheere-Terpstra Test: H1: Md1Md2  ...  Mdj
AJ: repeated measures ANOVA, two(three..)-way ANOVA,(factorial ANOVA)