Teorie odpovědi
na položku
PSY028 | JARO 2018 | BLOK 1
TEORIE MĚŘENÍ, VÝCHODISKA RASCHOVA MODELU
Organizace kurzu
HARMONOGRAM
středa 4. 4. 2018, 13:30–18:30 (PC25)
čtvrtek 5. 4. 2018, 13:30–18:30 (PC25)
středa
18. 4. 2018, 13:30–18:30 (PC25)
čtvrtek 19. 4. 2018, 13:30–18:30 (PC25)
středa
2. 5. 2018, 15:15–18:30 (PC25)
čtvrtek 3. 5. 2018, 15:15–18:30 (PC26)
POŽADAVKY NA UKONČENÍ
Přiměřená docházka ☺
Kurz je zakončen kolokviem v
podobě individuální konzultace v
domluveném termínu.
Ke zvládnutí kolokvia je nutné mít
základní přehled v probrané látce a
hlavně se seznámit s vybranými
studijními zdroji podle vlastní
preference (přiměřeného rozsahu)
Část obsahu se překrývá s PSY479.
Teorie měření
Tradiční dělení teorií měření v psychologii: kontrast CTT a IRT.
◦ To je ale hodně povrchní dělení.
Borsboom:
◦ Klasická testová teorie (Classical Test Theory, CTT)
◦ Modely s latentními proměnnými (EFA, CFA, CCFA, RM, IRT)
◦ Spojité měření (conjoint measurement)
◦ (Pokud jste tu čekali ještě network modely, tak ty nejsou měření☺).
To, co se dnes vydává za CTT, je určitá smíšenina původní CTT a
faktorové analýzy.
◦ Faktorová analýza je používána jako důkaz konstruktové validity či pro
konstrukci testu.
◦ CTT je využíváno pro vlastní parametrizaci a definici měření.
Teorie měření
Je vhodné konceptuálně oddělit:
◦ Způsob „škálování“, tedy vztah pozorovaného chování a naměřené proměnné
(tedy jakým způsobem z „pozorování“ vytvářím „skóry“).
◦ Způsob uvažování o tom, jaká je charakteristika měřených jevů.
◦ Způsob, jakým dokládáme kvalitu měření (validitu, reliabilitu...).
Co to tedy je měření?
Druhy měření
Množství a velikost.
◦ Základní charakteristika měřeného pojmu/konstruktu/veličiny, kterou
chceme měřit. Z principu tedy intervalové.
Už v 18. a 19. století (Kant, Leibniz aj.) definice „intenzity“:
◦ Extensivní velikost – celek se fyzicky skládá z částí (délka). Položením dvou
metrových předmětů za sebe vznikne předmět o délce 2 m.
◦ Intensivní velikost – rovněž intervalové, ale „projevují se“ instantně (teplota,
barva...). „Sloučením“ dvou 20stupňových předmětů nevznikne předmět
40stupňový.
◦ Nepostačuje pro definici měření – jsou závislé na měřené veličině.
Z principu jsou všechny psychické rysy intenzivními veličinami.
Druhy měření
Koncept fundamentálního měření.
◦ Základní: Není odvozené z jiného měření, měří se přímo objekt za pomocí
stejné veličiny (délka pravítkem, váha závažím).
◦ Odvozené: Je odvozené pomocí aditivních operací z jiných naměřených
hodnot (objem, čas, síla zemětřesení na Richterově stupnici).
◦ Nic jiného není měření v pravém slova smyslu.
Podobné extensivní (fundamentální) a intensivní (odvozené) veličině.
◦ Fundamentalita však není charakteristikou měřené veličiny, ale měření jako
takového.
◦ Odvozená veličina je ta, pro niž bylo použito odvozené měření; časem se z ní
s vývojem jiného měřicího nástroje může stát veličina základní.
Z této definice ale vyplývá, že měření v psychologii tak, jak existuje dnes,
zřejmě není fundamentální ☺
Aditivita
Aditivita je předpokladem sčítání; zjednodušeně princip: „celek je součet
částí“.
Umožňuje např. převést funkci „+“ do „ד: např. f(a+b) = f(a)+f(b).
Předpokladem aditivity je „řazení“ (ordering) a „řetězení“ (concatenation).
Hodnoty lze sčítat (násobit) a provádět běžné matematické operace.
◦ Což ale nemusí být smysluplné z hlediska dané veličiny (intenzivní vs. extenzivní).
Základem měření je tedy intervalová/poměrová škála se stejně velkými
jednotkami a aditivní strukturou (případně binární škála ano/ne).
Je nutné oddělit aditivitu veličiny a aditivitu měřeného objektu.
◦ Např. objem je aditivní jednotkou, lze „sčítat“ např. m3.
◦ Při smíchání dvou látek ale může být výsledný objem jiný, než odpovídá součtu
původních objemů.
◦ Intenzivní veličiny tedy umožňují řetězení/aditivitu škály, ale technicky to nemusí dávat smysl.
Klasická
testová
teorie
vpravo: Cronbach
Klasická testová teorie
Klasická testová teorie stojí na třech pilířích/objevech (Traub, 1997):
◦ Existence chyby měření I. typu (nezpůsobené ničím jiným).
◦ Chyba měření je náhodná veličina.
◦ Koncept korelace.
Spearman (1904) přišel s koeficientem proti oslabení korelace („attenuation
coefficient“), chybu měření parametrizoval a umožnil vznik CTT.
Důležitým impulzem byla rovněž Fergusonova komise (1932-1940).
◦ Striktní požadavek aditivity. Protože psychologové nedokázali „zřetězení“ svého
měření, psychologie podle závěrů komise neměří.
◦ Reakcí byla Stevensova „operační teorie měření“, která rozšířila definici měření:
„...measurement, in the broadest sense, is defined as the assignment of
numerals to objects and events according to rules.“ (Stevens, 1946, s. 677).
Klíčový pojem je „matching“.
◦ Ve skutečnosti zjednodušení konsenzu z přírodních věd: „Measurement is a method of assigning
numbers to magnitudes“ (např. Helmholtz, 1887).
◦ Umožnila nezabývat se tím, co jsou naměřené hodnoty, a „jít dál“.
Vývoj CTT byl prakticky ukončen do 60. let, vše podstatné z hlediska CTT
jako teorie měření je v Lordovi a Novickovi (1968).
CTT: Axiomy
„Dobré“ měření je takové, kdy různí lidé v různých časech dojdou
různými nástroji ke stejným naměřeným hodnotám, pokud se míra
samotného objektu nezměnila.
Postup fyzikálního měření (např. délky):
◦ Změřím objekt n-krát a získám n měření délky označených jako 𝑑𝑖.
◦ Bodový odhad délky je průměr z těchto měření: E 𝑑 =
σ 𝑖=1
𝑛
𝑑 𝑖
𝑛
◦ To E 𝑑 je „expected value“ – odhad měřené hodnoty.
◦ Chyba tohoto měření (Standard Error /of Measurement/) je:
◦ Pro jediné měření: 𝑆𝐸 = 𝑠 𝑑 , kde 𝑠 𝑑 je výběrová směrodatná odchylka pozorovaných hodnot 𝑑𝑖 .
◦ Pro průměr z n měření: 𝑆𝐸 =
𝑠 𝑑
𝑛
(standardní chyba průměru!).
◦ (A použijeme Studentovo t-rozložení, protože 𝑠 𝑑 je pouze pozorovaným odhadem populační 𝜎 𝑑.)
CTT: Paralelní testy
Koncept reliability byl zaveden Spearmanem (1904) za účelem odhadu
hodnot korelačních koeficientů nezkreslených nepřesnostmi měření. Od
něj pak byla odvozena reliabilita v sociálních vědách.
Pojem reliability je založen na konceptu paralelních testů.
◦ A na něm je založen celý model měření v CTT.
Paralelní testy jsou takové, u kterých platí:
◦ A. Pravý skór je v obou testech a pro každý měřený subjekt stejný (exaktněji
je průměrem z nekonečně velkého počtu měření).
◦ B. Rozptyl těchto pravých skórů je v obou testech stejný (platí automaticky,
platí-li A).
◦ C. Chybový rozptyl je v obou testech a pro každý subjekt stejný (exaktněji jde
o SD nekonečně velkého počtu měření).
CTT: Paralelní testy
CTT vychází z operacionalismu.
◦ CTT definuje „pravý skór“ (tj. objekt měření) skrze použitý měřící nástroj.
Neřeší, jak tento skór vznikl – zpravidla jde tedy o součet položek.
Základní CTT vztah 𝑋 𝑝 = 𝜏 𝑝 + 𝑒 𝑝 lze chápat jako lineární funkci.
Standardizovaný regresní koeficient je potom roven korelaci prediktoru
a závislé proměnné, tedy 𝑟𝑥𝜏.
CTT: Reliabilita
Reliabilita 𝑟 𝑥𝑥′ testu 𝑥 je definovaná jako vysvětlený rozptyl
pozorovaného skóre pravým skóre:
𝑟 𝑥𝑥′ = 𝑅2 =
𝜎 𝜏
2
𝜎 𝑥
2 =
𝜎 𝜏
2
𝜎 𝜏
2+𝜎 𝑒
2 =
𝜎 𝑥
2−𝜎 𝑒
2
𝜎 𝑥
2 = 1 −
𝜎 𝑒
2
𝜎 𝑥
2
◦ Úpravy platí, protože dosazujeme podle vzorce 𝜎 𝑥
2
= 𝜎𝜏
2
+ 𝜎𝑒
2
.
Vysvětlený rozptyl je druhá mocnina korelace, tedy:
◦ 𝑟 𝑥𝑥′ = 𝑟𝑥𝜏
2
= 𝑅2
◦ 𝑟 𝑥𝑥′ = 𝑟𝑥𝜏 = 𝑅
OK. Ale jak tedy zjistíme to 𝑟𝑥𝜏?
CTT: Paralelní testy
Výpočtu lineární regrese je „jedno“,
kterým „jde směrem“ ☺
◦ Pokud tedy pravé skóre vysvětlí např.
80 % pozorovaného skóre, pak to
samé pozorované skóre zároveň
vysvětlí 80 % skóre pravého.
Protože chyby měření spolu
nekorelují (v CTT modelu), pravé
skóre mediuje veškerý vztah obou
testů.
◦ X1 vysvětlí 80 % T a to zase 80% X2.
80%2=64%.
Korelace dvou měření je tedy 𝑟 𝑥𝑥′ =
𝑟𝑥𝜏
2
.
◦ Což už známe.
T
X1
X2
e1 e2
𝑟𝑥𝜏 𝑟𝑥𝜏
0
𝑟 𝑥𝑥′ = 𝑟𝑥𝜏
2
CTT: Reliabilita
Reliabilita testu je proto mj. definována jako uvažovaná „korelace dvou
paralelních testů“.
◦ Někdy zjednodušeně uváděno jako korelace metody se sebou samou, proto
ten symbol 𝑟 𝑥𝑥′ – korelace měření 𝑥 s virtuálním paralelním měřením 𝑥′
.
Hypotéza s paralelními měřeními nebyla nová, paralelní měření byly
dlouho známým principem zpřesňování fyzikálních měření. Průlomový
byl ale právě Spearmanův (1904) článek o oslabení nereliabilitou, díky
kterému z pozorované korelace dokážeme odhadnout reliabilitu.
Základní důkazy reliability v CTT jsou proto postaveny na „paralelní
administraci testu“.
◦ Měří ale různé paralelní administrace stále to samé?
CTT: Attenuation (oslabení)
Hlavním motivem Spearmana (1904) při práci s reliabilitou byl odhad
korelace dvou testů nezkreslený chybou měření.
Tzv. „attenuation coefficient“, „korekce proti oslabení“, „korekce proti
nereliabilitě“. Odhad korelace pravých skórů:
𝑟𝑝𝑞
∗
=
𝑟𝑝𝑞
𝑟 𝑝𝑝′ 𝑟 𝑞𝑞′
◦ Kde 𝑟𝑝𝑞
∗
je odhad korelace pravých skórů, 𝑟𝑝𝑞 je pozorovaná korelace testů 𝑝
a 𝑞 a 𝑟 𝑝𝑝′, 𝑟 𝑞𝑞′ jsou jejich reliability.
◦ Protože korelace pravých skórů 𝑟𝑝𝑞
∗ ≤ 1, lze odhadnout maximální možnou
pozorovanou korelaci testů: 𝑟𝑝𝑞 ≤ 𝑟 𝑝𝑝′ 𝑟 𝑞𝑞′
CTT: Odhady reliability
Stabilita v čase, reliabilita typu test-retest
◦ Paralelním testem (PT) je ten samý test administrovaný jindy.
Shoda posuzovatelů, inter-rater reliabilita.
◦ PT je ten stejný test administrovaný někým jiným.
Reliabilita paralelních forem.
◦ PT je jiný test vytvořený tak, aby „byl stejný“.
Vnitřní konzistence
◦ Split-half: PT jsou jednotlivé půlky testu.
◦ Alfa: PT jsou jednotlivé položky/půlky testu.
Lze čekat, že všechny koeficienty budou stejné?
Jsou položky paralelními testy?
Mohou být. Ale to je hodně silný předpoklad. Proto koncept „míry“
paralelnosti založený na faktorové analýze.
◦ 𝑋𝑖𝑝 = 𝜏𝑖 + 𝜆𝑖 𝜃 𝑝 + 𝜀𝑖𝑝 , kde 𝑋𝑖𝑝 je pozorovaný skór člověka p na položku i, 𝜏𝑖
je intercept (průměr všech osob na dané položce), 𝜆𝑖 faktorový náboj
(směrnice, „měřítko“ položky) a 𝜀𝑖𝑝 je reziduum; ta mají rozptyl 𝜎𝑖
2
označovaný jako unicita (reziduální rozptyl, chyba měření položky).
Jsou položky paralelními testy?
𝑋𝑖𝑝 = 𝜏𝑖 + 𝜆𝑖 𝜃 𝑝 + 𝜀𝑖𝑝
Stupně paralelnosti („vyšší“ obsahuje všechny „nižší“ předpoklady):
◦ Kongenerické položky – měří stejný rys.
◦ Položky jsou pouze vybrány ze stejné domény.
◦ Tau-ekvivalentní položky – měří na stejné „škále“.
◦ „Měřítko“ všech položek je stejné; shodné faktorové náboje 𝜆𝑖 napříč položkami.
◦ Paralelní položky – měří se stejnou chybou.
◦ Reziduální rozptyl 𝜎𝑖
2
shodný napříč položkami.
◦ Striktně paralelní položky – stejná obtížnost.
◦ Intercepty 𝜏𝑖 shodné napříč položkami.
◦ U binárních položek má paralelní a striktně paralelní shodný význam (protože 𝜎𝑖
2
= 𝜏𝑖 1 − 𝜏𝑖 .
CTT: Předpoklady odhadů
Řada odhadů reliability má nějaké předpoklady. Při jejich nedodržení je
reliabilita součtového skóre (tedy odhad rozptylu vysvětleného pravým
skóre) zkreslena:
Cronbachovo alfa: tau-ekvivalence položek.
Spearman-Brownova korekce split-half korelace: paralelní položky.
Vše výše uvedené: jednodimenzionalita, případně lokální nezávislost
◦ A tím se dostáváme k FA.
CTT: škálování
Vizuální analogová škála (Hayes and Paterson, 1921)
Thurstonova škála (1928)
◦ 3 různé typy, např. „metoda stejně se jevících intervalů“.
Likertova škála (1932)
◦ Metoda sigma vs. zjednodušená metoda
Guttmanova škála (40. léta)
◦ Rozšíření původní Bogardovy (1925) škály sociální distance.
◦ Původně deterministický model později rozšířen na stochastický model;
Guttmanova škála jako základ IRT.
Osgoodův semantický diferenciál (1957)
Doporučuji kap. 5: Price, L. R. (2016). Psychometric Methods: Theory into Practice. New York: Guilford Press.
Libgen ☺
CTT vs. faktorová analýza
CTT měří pravé skóre testu. Co to sakra jako je?
Pravé skóre je očekávaný skór respondenta v daném testu.
◦ Měření je závislé na měřicím nástroji. Délka stolu měřená pravítkem A a
pravítkem B je nejen jiná, ale je to jiná délka.
Jsou položky paralelními testy z hlediska měřeného pravého skóre?
Z toho důvodu se CTT prolnulo s faktorovou analýzou, která
ospravedlňuje CTT postupy (sčítání položek, přijetí konceptu „pravého
skóre“), ověřuje „konstruktovou validitu“ atd.
Teorie zobecnitelnosti
Jednotlivé konceptualizace paralelních testů (test-retest, split-half,
shoda posuzovatelů) neměří „tu stejnou chybu“. Jde o různé reliability.
Jaká je ale „absolutní přesnost měření“?
Cronbach, Nageswari a Gleser (1963) rozvinuli původní CTT koncept do
teorie zobecnitelnosti.
„Rozparcelovali“ náhodnou chybu měření do dílčích složek, které jsou
odhadovány naráz; namísto pravého skóre měříme „universe score“,
tedy pravý skór pro prostor daných kombinací podmínek.
Původně se rozptyl parceloval pomocí rmANOVA, dnes spíš mixed
model.
Spojité
měření
vpravo: John Tukey
víc vpravo: Gérard Debreu
Spojité měření
Nezávisle na sobě objevili francouzský ekonom Gérard Debreu (1960) a
psycholog Duncan Luce s matematikem Johnem Tukey (1964).
Conjoint measurement theory (CM; teorie spojitého měření) definuje,
jakým způsobem lze z nominálních pozorování sestavit škálu s aditivními
vlastnostmi.
◦ A tedy vyvrací závěry Fergusonovy komise; resp. poskytují možnost testovat
kvantifikovatelnost pozorování psychických jevů.
◦ Pro nás je podstatné, že Raschův model je jednou ze stochastických specifikací
jinak deterministického CM.
V současnosti docela rychlý rozvoj v oblasti dalších stochastických aplikací
pro různé účely, např. Karabatsos chrlí jeden model za druhým.
Zajímavost: Tversky z dvojice Kahneman a Tversky (1979), kteří získali jako
první psychologové Nobelovu cenu, se zaměřoval právě na CM (např. 1967)
a jejich prospektová teorie je na CM založena.
CM: Axiomy
CM je založeno na několika axiomech. Jejich splnění vede k tzv.
spojitému měření.
Mějme dvě proměnné A a X.
◦ Nevíme, zda A, X, nebo A i X jsou kontinuální proměnné.
a, b, c... jsou disjunktní, identifikovatelné úrovně proměnné A;
x, y, z... jsou disjunktní, identifikovatelné úrovně proměnné X.
P je seřazená množina všech možných 𝐴 × 𝑋 párů atributů A a X.
◦ Buď může být seřazená (přirozená čísla), nebo může jít o hodnoty (reálná
čísla).
CM: Single cancellation
Požadavek „nezávislosti“.
Řazení prvků A je stejné pro
všechny úrovně X.
◦ Vyžaduje „řazení“, tedy první
podmínku aditivity.
Pokud 𝑎, 𝑥 < 𝑏, 𝑥 ,
pak 𝑎, 𝑤 < 𝑏, 𝑤 pro všechna
𝑤 ∈ 𝑋 .
Platí tranzitivita:
◦ 𝑎, 𝑥 > 𝑏, 𝑥 ∧ ሾ
ሿ
𝑏, 𝑥 >
𝑏, 𝑦 ⇒ 𝑎, 𝑥 > 𝑏, 𝑦
CM: Single cancellation
Single cancellation – jednoduché
vykrácení.
◦ 𝑎, 𝑥 < 𝑏, 𝑥
◦ 𝑎, 𝑥 < 𝑏, 𝑥
◦ 𝑎 < 𝑏
„left-leaning diagonal“
Pohyb „zpět“ ale není možný:
◦ 𝑎, 𝑥 > 𝑏, 𝑦 ⇒ 𝑎, 𝑦 ? 𝑏, 𝑥
◦ Nic nelze vykrátit
CM: Double cancellation
Předpokládejme:
◦ 𝑎, 𝑦 > 𝑏, 𝑥
◦ a tedy 𝑎 + 𝑦 > 𝑏 + 𝑥
◦ a 𝑏, 𝑧 > (𝑐, 𝑦)
◦ a tedy 𝑏 + 𝑧 > 𝑐 + 𝑦
Tedy:
◦ 𝑎 + 𝑦 + 𝑏 + 𝑧 > 𝑏 + 𝑥 + 𝑐 + 𝑦
◦ 𝑎 + 𝑦 + 𝑏 + 𝑧 > 𝑏 + 𝑥 + 𝑐 + 𝑦
◦ 𝑎 + 𝑧 > 𝑥 + 𝑐
◦ 𝑎, 𝑧 > 𝑐, 𝑥
„right leaning diagonal“
CM: Příklad 1
Délka.
◦ m > cm > mm
◦ stůl > kniha > tužka
Jsou tužka-kniha-stůl kvantitami?
Jednoduché vykrácení
◦ (tužka, mm) < (kniha, mm)
◦ (tužka, mm) > (tužka, cm)
Dvojité vykrácení
◦ (tužka, cm) < (kniha, mm)
◦ (kniha, mm)/(tužka, cm) = 300/15 = 20
◦ (kniha, m) < (stůl, cm)
◦ (stůl, cm)/(kniha, m) = 150/0,3= 500
mm cm m
tužka 150 15 0,15
kniha 300 30 0,3
stůl 1500 150 1,5
(tužka, m) < (stůl, mm)
◦ (stůl, mm)/(tužka, m) = 1500/0,15 = 10000
tužka+cm+kniha+m <
kniha+mm+stůl+cm
◦ tužka+m < stůl+mm
◦ 20*500 = 1000
Vznikne fundamentální škála:
◦ tužka=1, kniha=2, stůl=10
CM: Příklad 2
„Ovocná škála“.
◦ třešně > hrušky > jablka
◦ červené > žluté > zelené
Je druh ovoce, resp. barva
kvantifikovatelná?
zelené žluté červené
jablko zelené
jablko
žluté
jablko
červené
jablko
hruška zelená
hruška
žlutá
hruška
červená
hruška
třešeň zelená
třešeň
žlutá
třešeň
červená
třešeň
CM: Příklad 2
„Ovocná škála“.
◦ třešně > hrušky > jablka
◦ červené > žluté > zelené
Je druh ovoce, resp. barva
kvantifikovatelná?
Ohodnoťte chutnost každého
ovoce na škále 0-100.
ANO
◦ třešeň = 5, hruška = 2, jablko=1
zelené žluté červené
jablko
1 10 20
hruška
2 20 40
třešeň
5 50 100
CM: Příklad 2
„Ovocná škála“.
◦ třešně > hrušky > jablka
◦ červené > žluté > zelené
Je druh ovoce, resp. barva
kvantifikovatelná?
Ohodnoťte chutnost každého
ovoce na škále 0-100.
NE
◦ Není dodrženo pořadí (single
cancelation).
zelené žluté červené
jablko
1 50 60
hruška
1 80 80
třešeň
1 10 100
CM: Příklad 2
„Ovocná škála“.
◦ třešně > hrušky > jablka
◦ červené > žluté > zelené
Je druh ovoce, resp. barva
kvantifikovatelná?
Ohodnoťte chutnost každého
ovoce na škále 0-100.
NE
◦ dodrženo double cancelation.
zelené žluté červené
jablko
1 3 4
hruška
2 10 20
třešeň
8 11 100
CM: Příklad 2
„Ovocná škála“.
◦ třešně > hrušky > jablka
◦ červené > žluté > zelené
Je druh ovoce, resp. barva
kvantifikovatelná?
Ohodnoťte chutnost každého ovoce
na škále 0-100.
ANO?
◦ Existuje 3! × 3! = 36 možností
dvojitého vykrácení. 30 z nich platí
automaticky v případě jednoduchého
vykrácení a pokud z těch 6 platí
jediná, pak platí všech 6.
◦ Jedna platí.
zelené žluté červené
jablko
1 3 19
hruška
2 10 20
třešeň
8 11 100
Ne!
◦ Krácení není jedinými předpoklady
v případě, kdy obsahem tabulky
není jen řada přirozených čísel
(prosté pořadí).
CM: Další podmínky
Jednoduché a dvojité vykrácení
nestačí plně pro kvantifikaci.
Řešitelnost:
◦ Pokud známe tři ze čtyř úrovni a, b, x,
y, lze čtvrtou dopočítat tak, aby
𝑎, 𝑥 ~ 𝑏, 𝑦 .
◦ Jinými slovy: Každá úroveň P má
hodnotu jak z X, tak z A.
Archimedovská podmínka:
◦ „Hodnoty jsou rovnoměrně
rozprostřeny.“
◦ „To vše platí až do nekonečna.“
◦ Neexistují příliš malé či příliš velké
hodnoty, které by už nešlo srovnávat.
Jinými slovy obsahem tabulky (P)
musí být:
◦ Prostá pořadí bez vynechání (tedy
přirozená čísla, pěkná škála),
◦ Dobře definovaná „škála“.
CM: Posloupnost kancelací
Bohužel, řešitelnost a
archimedovská podmínka není
přímo testovatelná.
Lze ale řešit nepřímo pomocí
„posloupnosti kancelací“.
◦ Pokud A=X=3, stačí dvojité krácení
pro důkaz spojitého měření.
◦ Pokud A=X=4, je nezbytné trojité
krácení.
◦ („Tranzitivita“ rozdílů).
CM: vztah k psychologii
Pokud A jsou například respondenti (které lze ordinálně seřadit podle
míry schopnosti) a X položky (řaditelné podle obtížnosti), lze použít
spojité měření.
Pak by každý člověk měl být umístitelný na nějakou škálu obtížností
položek a naopak.
◦ Šikovnější člověk vyřeší obtížnější příklady než méně šikovný člověk.
◦ Lehčí položku vyřeší i lehčí respondenti.
◦ Implicitní předpoklad Guttmanovy škály.
Kvůli chybě měření (na úrovni položky) však přímo neplatí a platit
nemůže.
Modely
s latentními
rysy
Random článek.
Modely s latentními rysy
Předpokládají, že existuje latentní, nepozorovaný rys, který kauzálně
„způsobuje“ pozorované chování (odpovědi v dotazníku/testu).
Vychází z realismu; proměnná musí existovat, aby mohla něco
způsobovat (ale předmětem diskuze).
Příkladem modelu může být stará dobrá faktorová analýza: latentní
faktor je lineárně spjatý s pozorovanými proměnnými.
◦ Hahaha, smáli jsme se už hodně dávno (omezené rozpětí pozorovaných vs.
neomezené rozpětí latentních proměnných).
Navíc víme, že je to celé složitější.
◦ Položkou škály depresivity je špatný spánek. Léky zkvalitňující spánek však
působí na ostatní indikátory depresivity při retestu.
◦ Vztahy proměnných jsou komplexnější, při jediném měření ale může jít o
vhodné zjednodušení.
Modely s latentními rysy
faktorová
analýza
ordinální
faktorová
analýza
latent class
analysis
IRT a Raschův
model
latentní
proměnná
(prediktor)
intervalová intervalová nominální intervalová
manifestní
proměnná
(závislá)
intervalová ordinální nominální,
ordinální,
intervalová
nominální,
ordinální
vztah lineární komplikovaný
☺ (lineární s
probit. SC)
lineární logistický
Ordinální faktorová analýza
Odhad na polychorické korelační
matici.
◦ Jaká je korelace dvou spojitých
intervalových proměnných, z nichž
pozorujeme jen určité „rozmezí“?
Latentní proměnná nepredikuje
přímo manifestní, ale tzv. „item
latent response“.
◦ Ta se pomocí tzv. „skórovací
funkce“ manifestuje v ordinálních
odpověďových kategoriích.
2PL IRT model s binární odpovědí
ekvivalentní nCFA; u delší
odpověďové škály jen obdobný.
Raschův
model
Benjamin Wright
s fotografií George Rasche
Vývoj teorií odpovědi na
položku
50. a 60. léta, další rozvoj v 80. letech (počítače).
Nezávisle na sobě G. Rasch (dánský matematik), F. M. Lord (psycholog,
psychometrik) a P. F. Lazarsfeld (rakouský sociolog).
Jde o stochastickou úpravu původně
deterministického Guttmanova modelu.
◦ Přelom zejm. Rasch (1960).
Řada různých modelů, např.:
◦ počtu parametrů +
Raschův model: 1PL–3PL (a 4/5 PL)
◦ binární/ordinální/nominální: GRM, RSM, PCM, GPCM, NRM
◦ jedno- vs. multidimenzionální: kompenzatorní vs. nonkompenzatorní
◦ další rozšíření: IRTree, modely pro „VAŠ“, modely pro ipsativní položky a další s
volným přelivem do kognitivního modelování, modely zahrnující čas...
◦ Rasch, Novick, Lord, Andrich, Samejima, Hambleton, De Boeck, van der Linden a další
Paul Felix Lazarsfeld
(1901–1976) Louis Guttman
(1916–1987)
Vztah rysu a odpovědi
Jak, faktorová analýza, tak CTT předpokládají lineární vztah mezi
pozorovaným skóre v testu (položce) a měřenou veličinou.
◦ 𝑋𝑖𝑝 = 𝜏𝑖 + 𝜆𝑖 𝜃 𝑝 + 𝜀𝑖𝑝
To není realistické.
◦ Při určitých konstelací úrovně respondenta a obtížnosti položky to může vést
k predikcím mimo možný rozsah pozorovaných skórů.
◦ Predikovaný skór je zpravidla reálné číslo; možné pozorované skóry jsou ale
na úrovni položky zpravidla celá čísla (0/1, 0-1-2-3).
◦ V případě binární položky by predikovaný skór z intervalu <0 ; 1> bylo možné
chápat jako pravděpodobnost správné odpovědi. V takovém případě by ale
neměl být vztah pravděpodobnosti a schopnosti lineární.
◦ Vztah predikovaných hodnot a pravého skóre byl proto řešen dávno před vznikem IRT.
Vztah rysu a odpovědi
Předpoklady základního Raschova modelu:
◦ Existuje spojitý, intervalový latentní rys, který „způsobuje“ pozorované
binární odpovědi.
◦ Tyto odpovědi záleží dále na parametrech položky.
◦ Odpověď lze predikovat prostřednictvím tzv. charakteristické funkce položky.
◦ Pozorované odpovědi jsou navzájem lokálně nezávislé (jsou způsobeny
výhradně úrovní latentního rysu, parametry položek a náhodné chyby).
◦ To nemusí být pravda u vícedimenzionálního IRT.
Jaký je vztah spojitého intervalového prediktoru a binárné závislé
proměnné?
◦ Jakou analýzu byste použili?
Vztah rysu a odpovědi
Rasch navrhl normálně rozdělenou
kumulativní distribuční funkci (tzv.
„ogiva“).
◦ Dnes se označuje jako tzv. probit
model.
◦ Častěji se používá logit model,
který je prakticky identický, ale
používá logistickou funkci.
◦ Má řadu výhod, lépe se derivuje, atd.
◦ Φ 𝑥 =
1
2𝑥
‫׬‬−∞
𝑥
𝑒
−𝑡2
2 𝑑𝑡
◦ Φ 𝑥 ∼
𝑒1,72𝑥
1+𝑒1,72𝑥 =
1
1+𝑒−1,72𝑥
◦ kde Φ 𝑥 je kumulativní normální
distribuce
Vztah rysu a odpovědi
Funkce, která popisuje
pravděpodobnost (správné)
odpovědi, se nazývá:
◦ charakteristická křivka položky
◦ item characteristic curve (ICC)
◦ item response function (IRF)
◦ Technicky vzato jde o funkci; křivka je jen
její zobrazení.
◦ V případě polytomních IRT modelů
se používá ještě označení scoring
function.
A jednotlivé IRT modely se odlišují
právě touto ICC.
Charakteristická funkce položky
Charakteristická funkce Raschova modelu:
𝑃𝑖 𝜃 =
𝑒 𝜃−𝑏 𝑖
1+𝑒 𝜃−𝑏 𝑖
=
1
1+𝑒− 𝜃−𝑏 𝑖
◦ 𝜃 – míra latentního rysu daného člověka (správně by měla být
notace 𝜃 𝑝, tedy míra rysu pro osobu p, ale zjednodušuji to).
◦ 𝑏𝑖 – tzv. parametr obtížnosti; obtížnost položky i.
◦ 𝑃𝑖 𝜃 – pravděpodobnost správné odpovědi na položku i při úrovni
latentního rysu θ. Pravděpodobnost špatné odpovědi je 𝑄𝑖 𝜃 =
1 − 𝑃𝑖 𝜃 .
Lze upravit na ln
𝑃 𝑖 𝜃
1−𝑃 𝑖 𝜃
= 𝜃 − 𝑏𝑖.
◦ Interpretace: logaritmus šance (log-odds, viz logistická regrese!) je
roven rozdílu schopnosti člověka a obtížnosti položky.
Pravděpodobnost není lineární. Log-odds ji linearizuje.
𝜃 − 𝑏𝑖 P
-5 0,7%
-4,5 1,1%
-4 1,8%
-3,5 2,9%
-3 4,7%
-2,5 7,6%
-2 11,9%
-1,5 18,2%
-1 26,9%
-0,5 37,8%
0 50,0%
0,5 62,2%
1 73,1%
1,5 81,8%
2 88,1%
2,5 92,4%
3 95,3%
3,5 97,1%
4 98,2%
4,5 98,9%
Charakteristická funkce položky
𝜽 − 𝒃𝒊 P
-5 0,7%
-4,5 1,1%
-4 1,8%
-3,5 2,9%
-3 4,7%
-2,5 7,6%
-2 11,9%
-1,5 18,2%
-1 26,9%
-0,5 37,8%
0 50,0%
0,5 62,2%
1 73,1%
1,5 81,8%
2 88,1%
2,5 92,4%
3 95,3%
3,5 97,1%
4 98,2%
4,5 98,9%
𝑃𝑖 𝜃 =
𝑒 𝜃−𝑏 𝑖
1 + 𝑒 𝜃−𝑏 𝑖
=
1
1 + 𝑒− 𝜃−𝑏 𝑖
ln
𝑃𝑖 𝜃
1 − 𝑃𝑖 𝜃
= 𝜃 − 𝑏𝑖
Charakteristická funkce položky
Stejná logika odhadu lze použít pro
skóre celého test.
◦ Vpravo je skór osob/položek
jednoduše ln
𝑃 𝑖 𝜃
1−𝑃 𝑖 𝜃
.
◦ Toho využívá tzv. PROX estimator.
◦ Jde o iterativní postup, který
updatuje parametry podle algoritmu:
◦ E 𝜃 = 𝑙𝑛
𝑋−min(𝑥)
max 𝑥 −𝑋
1 +
𝜎 𝑑𝑖𝑓𝑓
2
2,9
◦ první část je logaritmus šance, protože jde o
podíl správné ku chybné části testu; pod
odmocninou je korekce, kde 𝜎 𝑑𝑖𝑓𝑓
2
jde rozptyl
obtížností položek, aby to nekonvergovalo k
nule.
◦ Iterativně se opakuje nastřídačku pro položky
a osoby.
RM vs. spojité měření
Anička
(-2)
Béďa
(-0,5)
Cyril
(0)
Draha
(1,5)
W (-1) 0,27 0,62 0,73 0,92
X (0,5) 0,08 0,27 0,38 0,73
Y (2) 0,02 0,08 0,12 0,38
Z (3) 0,01 0,03 0,05 0,18
Máme čtyři položky W-Z a čtyři
osoby A-D. Pomocí RM každé byl
odhadnut skór (rys, obtížnost).
◦ Nahoře: pravděpodobnost správné
odpovědi 𝑃𝑖 𝜃 =
𝑒 𝜃−𝑏 𝑖
1+𝑒 𝜃−𝑏 𝑖
.
◦ Dole: prostý rozdíl 𝜃 − 𝑏𝑖 na spojité
intervalové škále.
Double cancelation (-!):
◦ (B-W)+(C-X)>(A-X)+(B-Y) = C-W>A-Y
◦ (B-W)-(A-X) = 3; (C-X)-(B-Y) = 2
Další podmínky
◦ 3+2 = 5 = (W-C)-(A-Y)
Proč jsme u délky násobili/dělili a
zde sčítáme/odčítáme? ☺
Anička
(-2)
Béďa
(-0,5)
Cyril
(0)
Draha
(1,5)
W (-1) -1 0,5 1 2,5
X (0,5) -2,5 -1 -0,5 1
Y (2) -4 -2,5 -2 -0,5
Z (3) -5 -3,5 -3 -1,5
Charakteristická funkce testu
Výhodou Raschova modelu je fakt,
že je „plně identifikován“.
◦ Každému hrubému skóre odpovídá
právě jeden odhad latentního skóre.
Lze proto definovat
charakteristickou křivku testu.
◦ test characteristic curve (TCC)
𝑇𝐶𝐶 𝜃 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝐼𝐶𝐶𝑖 𝜃
◦ Očekávaný hrubý skór podle míry
latentního rysu (odhad pravého skóre
v CTT).
Využívá se při skórování testu.
◦ Součet položek nese „všechny“
informace o latentním rysu.
Informační funkce položky
Doteď jsme mluvili o vztahu latentního rysu a pravděpodobnosti (správné)
odpovědi.
Jaká je ale těsnost tohoto vztahu?
Odpovědí na tuto otázku je informační funkce položky 𝐼𝑖 𝜃 (item
information function/curve). Pro dichotomické pol.:
𝐼𝑖 𝜃 =
𝑃𝑖
′
𝜃 2
𝑃𝑖 𝜃 1 − 𝑃𝑖 𝜃
◦ Pro každou úroveň schopnosti jiná.
◦ Pi()… pravděpodobnost správné odpovědi při úrovni  schopnosti respondenta
(tzv. pravděpodobnostní funkce, viz modely dříve).
◦ Pi` … první derivace této pravděpodobnosti
◦ 1 − 𝑃𝑖 𝜃 … je pravděpodobnost jiné, než správné odpovědi.
◦ Ve jmenovateli je tedy rozptyl hrubého skóru. Proč?
Informační funkce položky
Raschův model snadno derivuje.
◦ 𝑃𝑖
′
𝜃 = 𝑃𝑖 𝜃 1 − 𝑃𝑖 𝜃
ICC Lze tedy zjednodušit:
𝐼𝑖 𝜃 = 𝑃𝑖 𝜃 1 − 𝑃𝑖 𝜃
◦ Informační funkce je tedy přímo
rovna rozptylu predikovaného
pravého skóru na položce.
Maximum je vždy tam, kde je
položka nejstrmější – a to je v
bodě obtížnosti položky.
◦ V RM tedy:
◦ 𝐼𝑖 𝜃 = 𝑏𝑖 = 0,5 1 − 0,5 = 0,25.
Informační funkce testu
Informační funkce testu je součtem informačních funkcí položek:
𝐼 𝜃 = ෍
𝑖=1
𝑛
𝐼𝑖 𝜃
Informační funkce položek/testu je reciprokou („převrácenou“) funkcí k
chybovému rozptylu: 𝜎𝑒,𝜃
2
=
1
𝐼 𝜃
.
Z toho důvodu standardní chyba měření je:
𝑆𝐸 ෠𝜃 =
1
𝐼 𝜃
◦ Tedy čím vyšší informace, tím menší chyba měření.
Interval spolehlivosti potom získáme vynásobením kvantilem normálního
rozdělení (stejně, jako v CTT):
𝐶𝐼95%
෠𝜃 = 𝜃 ± 𝑧 ∙ 𝑆𝐸෡𝜃
◦ Jde nicméně o chybu latentního rysu, nikoliv jeho odhadu (CI kolem pravého vs.
pozorovaného skóre. Reálně se proto používají různé bootstrapové techniky.
Informační funkce testu
Reliabilita v IRT
Definice reliability je v IRT naprosto stejná, jako v CTT, tedy virtuální
korelace paralelních testů. Bohužel je porušen předpoklad
homoskedascity, protože každá úroveň rysu má jinou chybu měření.
Lepší je tedy o reliabilitě uvažovat jako o rozptylu pozorovaných odhadů
vysvětleném latentními rysy.
◦ 𝑟𝑥𝑥´ =
𝜎 𝑇
2
𝜎 𝑋
2 =
𝜎 𝑇
2
𝜎 𝑇
2+𝜎 𝑒
2 =
𝜎 𝑋
2
−𝜎 𝑒
2
𝜎 𝑋
2 = 1 −
𝜎 𝑒
2
𝜎 𝑋
2
Bohužel nemáme 𝜎𝑒
2
. Zde se používá „průměrná“ chyba měření, tzv.
root mean-square error (RMSE):
𝜎𝑒 = 𝑅𝑀𝑆𝐸 =
σ 𝑝=1
𝑁
𝑆𝐸 𝑝
2
𝑁
Reliabilita v IRT
Po dosazení:
𝑟𝑥𝑥´ = 1 −
𝑅𝑀𝑆𝐸2
𝜎 𝑋
2 = 1 −
σ 𝑝=1
𝑁
𝑆𝐸 𝑝
2
𝑁
𝜎 𝑋
2
V případě Raschova modelu a tzv. JMLE estimátoru.
◦ Jiné estimátory používají jiné odhady latentních rysů, například EAP (expected aposteriori
estimates) atd.; pak se rozptyl těchto odhadů dosazuje za rozptyl
pravých 𝜎 𝑇
2
, nikoliv pozorovaných 𝜎 𝑋
2
skórů.
Tzv. empirický odhad reliability: za 𝜎 𝑋
2
je dosazen pozorovaný rozptyl
latentních rysů.
◦ Většina IRT estimátorů má předpoklad normálního rozdělení, proto se občas
používá tzv. marginální odhad reliability, kam se za 𝜎 𝑋
2
(resp. 𝜎 𝑇
2
) dosazuje apriorní
rozptyl, se kterým estimátor počítal, zpravidla 1.
Stejně jako jiné odhady vnitřní konzistence je to „spodní mez“ reliability.
◦ Ne vždy!
Lokální reliabilita
Daniel (1999) navrhl používat tzv. lokální reliabilitu: odpověď na otázku,
jaká by byla reliabilita testu, když by pro všechny respondenty/skupiny
měřila jako pro daného respondenta/skupinu.
Namísto RMSE se do vzorce výše dosadí chyba měření daného
respondenta, chyba pro danou úroveň skórů, RMSE dané skupiny atp.:
𝑟 𝑥𝑥′ 𝜃 ∈ 𝑀 = 1 −
𝑅𝑀𝑆𝐸2 𝜃 ∈ 𝑀
𝜎 𝐸 𝜃
2
Celková reliabilita je pak váženým průměrem všech možných lokálních
reliabilit (Cígler, 2017☺):
◦ Pro 2 skupiny: 𝑟 𝑥𝑥′ =
𝑎𝑟 𝑎𝑎′+𝑏𝑟 𝑏𝑏′
𝑎+𝑏
, kde a a b jsou počty respondentů.
◦ Pro N skupin: 𝑟 𝑥𝑥′ =
σ 𝑖=1
𝑁
𝑛𝑖 𝑟 𝑖𝑖′
σ 𝑖=1
𝑁 𝑛𝑖
a 𝑟𝑖𝑖′ je reliabilita ve skupině i.
Lokální reliabilita
Odhad reliability
Lze spočítat pro osoby i pro položky.
Reliabilita osob záleží na:
◦ rozptylu probandů;
◦ délce testu;
◦ počtu kategorií každé položky (zvyšuje se většinou cca do 6, vyšší
počet totiž zpravidla zhoršuje věrohodnost modelu a fit položky);
◦ „sample-item targeting“ – jsou položky vhodně těžké pro daný vzorek?
◦ Je naopak nezávislá na počtu osob.
◦ Kritéria stejná jako v CTT.
Reliabilita položek závisí na:
◦ rozptylu obtížnosti položek;
◦ počtu probandů;
◦ „item-sample targeting“.
◦ Je nezávislá na délce testu.
◦ Odpověď na otázku „jak přesně jsme odhadli obtížnosti položek“?
◦ Kritéria výrazně přísnější... u běžných testů chceme alespoň 0,99.
Shoda dat s modelem
I když si to Linacre a Bond s Foxovou nemyslí ☺ , předpokladem toho,
aby Raschův model byl fundamentálním měření, je potřeba, aby dobře
popsal data.
Respektive aby data dobře vyhovoval Raschovu modelu.
Shoda dat na úrovni:
◦ Položky / respondenta
◦ Celého modelu
Shoda dat s RM: položky
Jak moc dobře pozorovaný pattern odpovědí (1101100100…) odpovídá
predikovaným odpovědím (0,98; 0,84; 0,32; …)?
Východiskem je tzv. standardizované reziduum respondenta p na
položku i (rozdíl predikované pravděpodobnosti a pozorované binární
odpovědi, dělené chybou predikce):
𝑧 𝑝𝑖 =
𝑥 𝑝𝑖 − 𝑃𝑝𝑖
𝐼 𝑝𝑖
=
𝑥 𝑝𝑖 − 𝑃𝑝𝑖
𝑃𝑝𝑖 1 − 𝑃𝑝𝑖
Celková chyba v datech lze vyjádřit jako 𝜒𝑖
2
= σ 𝑝=1
𝑁
𝑧 𝑝𝑖
2
, které má chí
rozdělení o 𝑁𝑖 počtu stupňů volnosti (počet respondentů, kteří
odpovídali na danou položku).
RM: Outfit
Prvním ukazatelem fitu je tzv. outfit, který se tradičně vyjadřuje dvěma
způsoby.
Mean-square outfit: celková chyba dělená počtem stupňů volnosti
(průměrná hodnota z-standardizovaného rezidua):
𝑢𝑖 =
σ 𝑝=1
𝑁
𝑧 𝑝𝑖
2
𝑁
◦ Optimální fit je 1 (protože SD=1). Vyšší hodnotu značí nižší shodu s daty
(underfit), nižší hodnoty pak tzv. guttmanovský patter – vyšší shodu s daty
(overfit).
Mean-square nám neříká nic o signifikanci. Proto se převádí na tzv.
z-standardizovanou hodnotu, tedy z-skór o stejné p-hodnotě jako původní
chí s daným počtem stupňů volnosti.
◦ Provádí se buď analyticky, nebo empiricky.
◦ Nula znamená optimální fit, nižší overfit, vyšší underfit; hodnoty mimo rozsah -
1,96–1,96 jsou ukazatelem neshody s daty na hladině p < 0,05.
RM: Infit
Tím, že outfit zvažuje všechny respondenty/položky stejně, je outfit
náchylný na náhodný šťastný tip špatného respondenta, resp. na
náhodné selhání dobrého respondenta.
Proto se používá infit, kde každý case je vážený hodnotou jeho
informační funkce:
𝑢𝑖 =
σ 𝑝=1
𝑁
𝑧 𝑝𝑖
2
𝐼 𝑝𝑖
σ 𝑝=1
𝑁
𝐼 𝑝𝑖
=
σ 𝑝=1
𝑁
𝑧 𝑝𝑖
2
𝑃𝑝𝑖 1 − 𝑃𝑝𝑖
σ 𝑝=1
𝑁
𝑃𝑝𝑖 1 − 𝑃𝑝𝑖
◦ Jde tedy o vážený průměr standardizovaného rezidua.
Tento mean-square se převádí na z-standardizovanou hodnotu stejně,
jako v případě outfitu.
Interpretace fitu položky
Ukazatel, jak položka/respondent odpovídá Raschovu modelu.
◦ Položky: Odpovídali respondenti na položku dle předpokladu?
◦ Respondenti: Odpovídal respondent na položky dle předpokladu?
◦ Je založená na průměru sumy čtverců standardizovaných reziduí probanda/položky s df=n-1.
◦ Pozor: vysoká hodnota se neintuitivně označuje jako „underfit“, nízká
„overfit“!
Vysoká hodnota (underfit): respondent/i odpovídal/i více náhodně.
◦ Méně „guttmanovská“ škála, než jsme předpokládali.
Nízká hodnota (overfit): respondent/i odpovídal/i méně náhodně.
◦ Více „guttmanovská“ škála, než jsme předpokládali.
Fit položek je základem položkové analýzy v RM.
Interpretace fitu položky
Příklad:
◦ obtížnost položek: snadné ....... střední ........ těžké.
◦ stochastická předpověď (průměrný fit): 111...1101100100...000.
◦ deterministická odpověď (overfit): 111...1111100000...000.
◦ nahodilá odpověď: (underfit): 101...1010101010...010.
◦ šťatný tip (vliv na outfit): 111...1101100100...001.
◦ nepozornost (vliv na outfit): 011...1101100100...000.
◦ náhodná znalost (vliv na infit): 111...1101111100...000.
Využití infitu:
Korigovaná reliabilita
Modelová reliabilita, kterou jsme si ukázali, je „unbiased“ pouze tehdy,
pokud model popisuje data dobře.
◦ Například v případě porušení lokální nezávislosti přestává být spodní mezí
stejně, jako Cronbachovo alfa.
Proto se občas využívá tzv. „real reliability“, která koriguje oproti
neshodě s daty funkcí max(1; 𝑢 𝑝), kde 𝑢 𝑝 je infit respondenta p:
𝑅𝑀𝑆𝐸 𝑘𝑜𝑟𝑖𝑔. = ෍
𝑖=1
𝑛
𝜎𝑒
2
𝜃𝑖 max(1; 𝑢𝑖) ,
◦ Korigujeme tedy je underfitující respondenty; overfitující fit nezlepšují.
◦ RMSE se dosadí do výpočtu reliability úplně stejně jako u nekorigované rel.
Shoda dat s RM: model
Často nás ale zajímá, jak data jako celek vyhovovala RM.
Výstupem z ML estimátoru je tzv. log-likelihood estimační funkce
(alternativně pak suma všech standardizovaných reziduí v modelu).
◦ Ten má přibližně chí rozdělení.
Počet stupňů volnosti:
𝑑𝑓 = 𝑁𝑖 𝑁𝑝 − 𝑁𝐴 − 𝑁𝑖 + 𝑁𝑝 − 1 + ෍
𝑗=1
𝑁 𝑐
𝑁𝑗 − 2
◦ 𝑁𝑖, 𝑁 𝑝 počet položek, respondentů v modelu; NA – počet chybějících dat.
◦ V závorce počet tzv. „volných“, tj. odhadovaných parametrů.
◦ Ta suma platí pro polytomické položky, v binárním RM je 0.
◦ (𝑁𝑗 je počet odpověďových kategorií v celkem 𝑁𝑐 položkách s různou strukturou).
Shoda dat s RM: model
Tento výpočet je velmi striktní a stejně jako v CFA je výsledek zpravidla
signifikantní.
Proto se používají jiné ukazatele fitu: CFI, TLI, RMSEA…
Výpočet z log-likelihood funkce je ale zkreslující a vede k odlišně
interpertovatelným výsledkům oproti CFA.
◦ Ale používá se (např. Tennant a Pallant, 2012).
Proto se ukazatele počítají na základě korelační matice
standardizovaných reziduí.
◦ Maydeu-Olivares, Cai a Hernández (2011) a jejich vytuněné M2 a M2*
ukazatele (Maydeu-Olivares a Joe, 2006).
A další analýzy nad reziduální korelační maticí (PCA…).