Teorie odpovědi
na položku
PSY028 | JARO 2018 | BLOK 3
IRT VS. RASCHŮV MODEL; VÍCEPARAMETROVÉ MODELY;
MODELY PRO POLYTOMICKÉ ODPOVĚDI.
Raschův model: opakování
Předpoklady základního Raschova modelu:
◦ Existuje spojitý, intervalový latentní rys, který „způsobuje“ pozorované
binární odpovědi.
◦ Tyto odpovědi záleží dále na parametrech položky.
◦ Odpověď lze predikovat prostřednictvím tzv. charakteristické funkce položky.
◦ 𝑃𝑖 𝜃 =
𝑒 𝜃−𝑏 𝑖
1+𝑒 𝜃−𝑏 𝑖
=
1
1+𝑒− 𝜃−𝑏 𝑖
; analogicky pak ln
𝑃 𝑖 𝜃
1−𝑃 𝑖 𝜃
= 𝜃 − 𝑏𝑖
◦ Pozorované odpovědi jsou navzájem lokálně nezávislé vzhledem ke
specifikovanému modelu.
Při fundamentálním měření musí být atributy měřené proměnné
nezávislé na měřícím nástroji.
◦ Raschovské esimátory (např. JMLE) bez předpokladu o distribuci lat. rysu.
◦ „Data musí vyhovovat modelu.“
RM: Analýza IDS v R
install.packages("mirt")
library(psych)
library(mirt)
ids <-
read.csv2("ids.csv")
ids <- ids[,2:21]
describe(ids)
alpha(ids)
omega(ids); omega(ids,
nfactors=1)
irt1 <- mirt(ids, 1,
itemtype = "Rasch")
irt1
summary(irt1)
M2(irt1)
itemfit(irt1, fit_stats =
"infit")
coef(irt1, simplify=T)
itemplot(irt1, 10)
plot(irt1, type="trace")
Polytomické
Raschovy
modely
Prof. David Andrich právě
obdržel Benjamin Drake
Wright Senior Scholar
Award
https://goo.gl/DL1zbw
RM: Polytomické odpovědi
Základní Raschův model pracuje s binárními odpověďmi.
◦ Ty jsou dobré u výkonových testů, ale u posuzovacích škál nesou příliš málo
informace; delší odpověďové škály s sebou nesou vyšší reliabilitu měření.
Historicky dvě hlavní rozšíření:
◦ Partial Credit Model (PCM; Masters, 1982).
◦ Rating Scale Model (RSM; Andrich, 1978).
Ačkoliv historický vývoj obou modelů byl odlišný, lze je přepsat do velmi
podobného tvaru, přičemž RSM má o něco silnější předpoklady.
◦ Jsou tedy uhnízděné („nested“).
3 hlavní kategorie polytomních modelů:
◦ kategorie mohou být ordinální (PCM, RSM)
◦ kategorie jsou ordinální (GRM, modified GRM)
◦ kategorie jsou nominální (NRM) – 2PL only
Rating Scale Model
Původní účel byl pro modelování Likertových škál (Andrich, 1978;
Masters, 1982).
Jednotlivé odpověďové kategorie jsou od sebe odděleny prahy
(„thresholds“), umístěnými na kontinuu latentního rysu.
Pravděpodobnost pozorované odpovědi pak záleží na tom, mezi kterými
prahy se nachází hodnota respondentova latentního rysu.
Rating Scale Model (RSM)
Jednotlivé položky pak lze seřadit na té stejné škále latentního rysu.
Obtížnost položek je pak definována jako průměr jednotlivých prahů.
Všechny položky mají stejnou strukturu prahů.
Odvození modelu viz PCM dále.
Rating Scale Model (RSM)
Charakteristická křivka Rating Scale
Modelu je definována pomocí série
rovnic:
𝑃 𝑋 𝑛𝑖 = 𝑥; 𝑥 > 0 =
𝑒σ 𝑘=1
𝑥 𝜃 𝑛− 𝑏 𝑖−𝜏 𝑘
σ 𝑗=1
𝑚
𝑒
σ
𝑘=1
𝑗
𝜃 𝑛− 𝑏 𝑖−𝜏 𝑘
◦ Pro všechny částečně správné odpovědi
𝑃 𝑋 𝑛𝑖 = 0 =
1
1+σ 𝑗=1
𝑚
𝑒
σ
𝑘=1
𝑗
𝜃 𝑛− 𝑏 𝑖−𝜏 𝑘
◦ Pro špatnou odpověď.
σ 𝑘=1
𝑚
𝜏 𝑘 = 0
◦ Pro účely identifikace modelu, aby bylo
možné pracovat s obtížností položky
𝑋 𝑛𝑖 – predikovaná odpověď
respondenta n na položku i.
𝑥 – odpověďová kategorie v
rozmezí 0–m.
𝜃 𝑛 – míra latentního rysu
respondenta n.
𝑏𝑖 – obtížnost položky i.
𝜏 𝑘 – hodnota „k-tého“ prahu.
◦ 1. práh odděluje odpověďové
kategorie 0 a 1.
Rating Scale Model (RSM)
Rating Scale Model (RSM)
Partial Credit model (PCM)
Původní účel PCM modelu byl v případě výkonových testů, kde pro
správnou odpověď je nutné provést řadu dílčích úkonů.
Typicky příklad 3+2×6:
◦ 0 bodů – zcela chybně
◦ 1 bod – správná identifikace přednosti násobení před sčítáním
◦ 2 body – správný výpočet.
Jde tedy o sérii položek či „kroků“, oddělených tzv. „step difficulty“.
Partial Credit model (PCM)
PCM nám říká: „Pokud by respondent odpověděl kategorií k, jaká je
pravděpodobnost, že odpoví i k+1?
◦ „Jaká je pravděpodobnost „tranzice“ do vyšší kategorie“?
◦ Jaká je pravděpodobnost, že odpoví k+1, a ne k?
V případě odpovědi za 0 bodů jde vlastně o pravděpodobnost „chybné“
odpovědi ze základního RM: 𝑃 𝑥𝑖 = 0 𝜃 = 1 − 𝑃 𝑥𝑖 = 1 𝜃 = 1 −
𝑒 𝜃−𝛿1
1+𝑒 𝜃−𝛿1
=
1
1+𝑒 𝜃−𝛿1
=
𝑒0
𝑒0+𝑒 𝜃−𝛿1
, což lze zobecnit jako 𝑃 𝑥𝑖 = 1 𝜃 =
𝑒0
𝜑
,
kde 𝜑 je označuje všechny možné výstupy.
Partial Credit model (PCM)
Předchozí příklad lze zobecnit pro c bodů: 𝑃 𝑥𝑖 = 𝑐 𝑥𝑖 = 𝑐 − 1 𝜃 =
𝑒 𝜃−𝛿 𝑐
𝜑
, tedy jaká je pravděpodobnost, že respondent odpoví c vs. c-1.
To 𝛿 𝑐 je potom tzv. „step difficulty“, „step parameter“, „tranzition
parameter“.
Většinou nás ale nezajímá, jaká je podmíněná pravděpodobnost „2 nebo
1 podle théta“, ale jaká je pravděpodobnost konkrétní odpovědi.
Toto zobecnění provedl právě Masters (1982).
Partial Credit model (PCM)
Pro libovolnou odpověď 𝑥𝑗 na položku j:
𝑃 𝑥𝑗 𝜃, 𝛿𝑗 =
𝑒σℎ=0
𝑥 𝑗
𝜃−𝛿 𝑗ℎ
𝑒0 + σ 𝑘=1
𝑚 𝑗
𝑒σℎ=0
𝑘
𝜃−𝛿 𝑗ℎ
=
𝑒σℎ=0
𝑥 𝑗
𝜃−𝛿 𝑗ℎ
σ 𝑘=0
𝑚 𝑗
𝑒σℎ=0
𝑘
𝜃−𝛿 𝑗ℎ
◦ kde 𝑚𝑗 je maximální možný skór na položce j
Na rozdíl od RSM tedy chybí celková obtížnost položky. Identicky ale lze
model definovat tak, že obtížnost položek je průměrem kroků, a
definovat prahy jako rozdíl původních kroků a této obtížnosti.
◦ Tedy 𝛿𝑗ℎ = 𝑏𝑗 − 𝜏𝑗𝑘
◦ Aby byla obtížnost identifikovaná, je nutné fixovat jeden z prahů nebo
(zpravidla) jejich průměr (na nulu).
Partial Credit model (PCM)
Potom tedy:
𝑃 𝑋 𝑛𝑖 = 𝑥; 𝑥 > 0 =
𝑒σ 𝑘=1
𝑥
𝜃 𝑛− 𝑏 𝑖−𝜏𝑖𝑘
σ 𝑗=1
𝑚 𝑖
𝑒σ 𝑘=1
𝑗
𝜃 𝑛− 𝑏 𝑖−𝜏 𝑖𝑘
𝑃 𝑋 𝑛𝑖 = 0 =
1
1 + σ 𝑗=1
𝑚 𝑖
𝑒σ 𝑘=1
𝑗
𝜃 𝑛− 𝑏𝑖−𝜏𝑖𝑘
෍
𝑘=1
𝑚 𝑖
𝜏𝑖𝑘 = 0
Rozdíl RSM a PCM je ten, že PCM má strukturu prahů rozdílnou pro
každou položku, kdežto RSM je má stále shodné.
◦ Pro RSM platí vždy 𝜏𝑖𝑘 = 𝜏 𝑘
Partial Credit model (PCM)
Partial Credit model (PCM)
PCM × RSM
Různé definice prahů
Zatím jsme pracovali s tzv. strukturními prahy (Andrichovy nebo RaschAndrichovy).
Lze definovat ale další, které zjednodušují interpretaci.
◦ Tyto jsou používány pro konstrukci ICC.
◦ Ovšem prahy mohou ležet „mimo“ charakteristické křivky kategorií.
Raschův „půlbodový“ práh („Rasch-half-point thresholds“).
◦ Místo na škále latentního rysu, kde je pravý skór položky c-0,5 (např. práh
mezi kategoriemi 2 a 3 je právě tam, kde očekáváme odpověď 2,5 hrubého
skóre)
◦ Tedy 𝐸 𝑋 𝑛𝑖|𝜃 𝑛 = 𝑘 − 0,5 , pokud 𝜃 𝑛 = 𝑏𝑖 − 𝜏𝑖𝑘 .
Rasch-Thurstonův práh.
◦ Místo, kde očekáváme shodnou pravděpodobnost nižší, jako
pravděpodobnost vyšší odpovědi.
◦ Tedy 𝑃 𝑋 𝑛𝑖 ≤ 𝑘 − 1 = 𝑃 𝑋 𝑛𝑖 ≥ 𝑘 , pokud 𝜃 𝑛 = 𝑏𝑖 − 𝜏𝑖𝑘 .
Důležité vlastnosti
(Platí pro všechny polytomní modely)
Skórovací funkce (scoring function): analogie ICC u binární položky.
◦ Odhad pravého skóru na položce, tedy očekávaný pozorovaný hrubý skór.
◦ Součet charakteristických funkcí kategorií, tedy pravděpodobností všech možných
kategorií, tedy 𝐸 𝑥𝑖 𝜃 = ҧ𝑥𝑖 𝜃 = σ 𝑗=0
𝑚 𝑖
𝑃𝑗 𝑥 = 𝑗 𝜃 .
Informační funkce: součet informačních funkcí kategorií.
◦ 𝐼𝑖 𝜃 = σ 𝑗=1
𝑚 𝑖
𝐼𝑖𝑗 𝜃 . Ty se na celkové informační funkci podílejí takovou měrou, s
jakou pravděpodobností nastanou, tedy lze rozparcelovat:
◦ 𝐼𝑖𝑗 𝜃 = 𝑃𝑖𝑗 𝜃 𝐼𝑖 𝜃
Informační funkce celé položky je potom:
◦ 𝐼𝑖 𝜃 = σ 𝑗=0
𝑚 𝑖
𝑥𝑖𝑗 − ҧ𝑥𝑖 𝜃
2
𝑃𝑖𝑗 𝜃
◦ ҧ𝑥𝑖 𝜃 = σ 𝑗=0
𝑚 𝑖
𝑥𝑖𝑗 𝑃𝑖𝑗 𝜃 , kde ҧ𝑥𝑖 𝜃 je skórovací funkce.
Fit položek lze spočítat pro každou kategorii, a nebo pro celou položku
pomocí součtů obdobně jako u informační funkce.
Informační funkce (RSM)
Informační funkce (PCM)
Prakticky: Autonomie
POLOŽKY
Můžu se sám/sama rozhodovat, jak chci žít svůj
život.
Mám pocit, že mě pořád někdo někam tlačí.*
Můžu volně vyjadřovat své nápady a názory.
V běžném životě musím často dělat, co mi druzí
řeknou.*
Lidé, se kterými se běžně potkávám, berou v
potaz, jak se cítím.
V běžných každodenních situacích mám pocit, že
se nemusím přetvařovat.
Ve běžném životě nemám moc příležitostí
rozhodovat, jak chci co dělat.*
LIKERTOVA ŠKÁLA
1 Vůbec mě to nevystihuje
2
3
4 do určité míry mě to vystihuje
5
6
7 úplně mě to vystihuje
Vícepara-
metrové
IRT modely
Allan Birnbaum (3PL model)
Náhodička: Birnbaum, A. (1968).
Some latent trait models and their
use in inferring an examinee’s
ability. In Lord, F. M. and Novick, M.
R. (eds.) Statistical Theories of
Mental Test Scores, pp 397–479.
Reading, MA: Addison-Wesley.
Raschův model: nedostatky
RM nikdy nepopíše data dobře, protože má dost striktní předpoklady.
◦ Všechny položky diskriminují stejně (tau-ekvivalence položek).
◦ Respondent s extrémní mírou rysu má 0%, resp. 100% pravděpodobnost
správné odpovědi (a co hádání?).
◦ Respondenti jsou lokálně nezávislí (a co když jde o žáky ze tříd?).
◦ Lze identifikovat jednodimenzionální měřené rysy, resp. každá položka je
sycena jen jedním latentním rysem (nelze měřit „dvě věci“ jednou položkou).
◦ Raschista by řekl, že RM jednodimenzionalitu „vyrobí“, a že nechci měřit „výškováhu“, ale „výšku“
a pak „váhu“.
Raschův model je veden snahou o vytvoření fundamentální škály.
Ostatní IRT přístupy jsou vedeny o co nejlepší popis dat.
◦ Menší epistemologické nároky, vyšší míra pragmatismu.
Dvouparametrový model (2PL)
Diskriminační parametr ai je rozlišovací schopnost položky: ukazuje, jak
dobře rozdělí položka lepší/horší respondenty
𝑃𝑖 𝜃 =
𝑒 𝑎 𝑖 𝜃−𝑏 𝑖
1 + 𝑒 𝑎 𝑖 𝜃−𝑏 𝑖
◦ Analogií je faktorový náboj v FA.
◦ Model je identifikován buď rozptylem latentního rysu (var 𝜃 = 1) a nebo
(výjimečně) loadingem první položky (𝑎1 = 1) – tedy stejně, jako v FA.
◦ V případě, že všechny položky mají stejný diskriminační parametr (𝑎𝑖 = 𝑎), jde o
1PL model; rozdíl s RM je ten, že 1PL volně odhaduje „škálu“ rysu (fixací rozptylu),
kdežto RM škálu odhaduje prostřednictvím fixace loadingů (zpravidla na 1).
Informační funkce:
𝐼𝑖 𝜃 = 𝑎𝑖 𝑃𝑖 1 − 𝑃𝑖
V případě 2PL modelu přestávají dávat smysl infit a outfit statistiky.
◦ Položka prakticky nemůže „overfitovat“.
◦ Používá se velké množství jiných statistik.
ICC 2PL modelu
𝑃𝑖 𝜃 =
𝑒 𝑎 𝑖 𝜃−𝑏𝑖
1 + 𝑒 𝑎 𝑖 𝜃−𝑏 𝑖
ICC 2PL modelu
-4 -2 0 2 4
0.00.20.40.60.81.0
IRT odhad
pravděpodobnost/true-score
Diskriminační parametry (theta=1):
a=0,5; p=0,70
a=1; p=0.85
a=2; p=0.97
𝑃𝑖 𝜃 =
𝑒 𝑎 𝑖 𝜃−𝑏𝑖
1 + 𝑒 𝑎 𝑖 𝜃−𝑏 𝑖
Tříparametrový model (3PL)
Přidává parametr pseudouhádnutelnosti ci:
𝑃𝑖 𝜃 = 𝑐𝑖 + 1 − 𝑐𝑖
𝑒 𝑎 𝑖 𝜃−𝑏 𝑖
1 + 𝑒 𝑎 𝑖 𝜃−𝑏 𝑖
◦ 𝑐𝑖 je spodní asymptota: pravděpodobnost správné odpovědi respondenta s
extrémně malou mírou schopnosti.
◦ Fixace 𝑐𝑖 = 0 vede k 2PL modelu.
◦ Ačkoliv by v zásadě mělo platit že 𝑐𝑖 = 1/𝑘 kde k je počet kategorií, je
pseudouhádnutelnost modelovaná (ale u malého vzorku lze fixovat).
◦ Přestává platit, že obtížnost položky je bod na škále rysu, se kterým má
respondent 50% pravděpodobnost správné odpovědi.
Derivace je náročnější a tedy informační funkce:
𝐼𝑖 𝜃 = 𝑎𝑖
2 𝑃𝑖 − 𝑐𝑖
2
1 − 𝑐𝑖
2
1 − 𝑃𝑖
𝑃𝑖
◦ Zároveň položka nenese maximum informace v bodě obtížnosti, ale o něco
„výše“.
-4 -2 0 2 4
0.00.20.40.60.81.0
IRT odhad
pravděpodobnost/true-score
Parametry uhádnutelnosti:
c = 0
c = 0,25
c = 0,5
ICC 3PL modelu
c P(θ=0) P(θ=1)
0 0,5 0,73
0,25 0,63 0,80
0,5 0,75 0,87
𝑃𝑖 𝜃 = 𝑐𝑖 + 1 − 𝑐𝑖
𝑒 𝑎 𝑖 𝜃−𝑏 𝑖
1 + 𝑒 𝑎 𝑖 𝜃−𝑏 𝑖
4parametrový model (4PL)
Zavádí horní asymptotu, „ledabylost“ di:
𝑃𝑖 𝜃 = 𝑐𝑖 + 𝑑𝑖 − 𝑐𝑖
𝑒 𝑎 𝑖 𝜃−𝑏 𝑖
1 + 𝑒 𝑎 𝑖 𝜃−𝑏 𝑖
◦ Fixace 𝑑𝑖 = 1 vede ke 3PL modelu.
◦ Ledabylost je pravděpodobnost správné odpovědi respondent s extrémně
vysokou mírou rysu.
◦ Informační funkce je fakt složitá ☺
Občas se používá tzv. 3PLu model: tedy 3PL model bez dolní, zato s
horní asymptotou.
◦ Užití ve specifických případech, např. TAT (nespuštění projektivního procesu).
ICC 4PL modelu
-4 -2 0 2 4
0.00.20.40.60.81.0
IRT odhad
pravděpodobnost/true-score
0.10.30.50.70.9
 Parametry:
 a = 1
 b = 0
 c = 0,25
 d = 0,95
 True-score:
 Pi(θ=0)=0,61
 Pi(θ=1)=0,77
𝑃𝑖 𝜃 = 𝑐𝑖 + 𝑑𝑖 − 𝑐𝑖
𝑒 𝑎 𝑖 𝜃−𝑏𝑖
1 + 𝑒 𝑎 𝑖 𝜃−𝑏 𝑖
5parametrový model (5PL)
Použití v přírodních vědách; v sociálních většinou není nutné tak přesné
modelování ICC.
Zavádí parametr asymetrie ei:
𝑃𝑖 𝜃 = 𝑐𝑖 + 𝑑𝑖 − 𝑐𝑖
𝑒 𝑎 𝑖 𝜃−𝑏 𝑖
𝑒 𝑖
1 + 𝑒 𝑎 𝑖 𝜃−𝑏 𝑖
𝑒 𝑖
◦ Fixace 𝑒𝑖 = 1 vede zpět ke 4PL modelu.
Výhodnější, než zavádět tolik parametrů, je ale většinou použít nějaké
neparametrické IRT, které při obdobném množství parametrů neklade
takové předpoklady na průběh funkce.
◦ Mokken scale (neumím, neučím).
◦ Spline (ale může vést k paradoxní, non-monotónní ICC).
◦ Monotónní polynomická regrese (zpravidla s frakčními polynomy).
ICC 5PL modelu
Non-rasch
víceparametrové
IRT
modely
Fumiko Samejima
https://www.psychometricsociety.org/content
/past-present-and-incoming-presidents
Non-rasch
víceparametrové
IRT
modely
Fumiko Samejima
https://www.psychometricsociety.org/content
/past-present-and-incoming-presidents
Generalizovaný
partial credit model (GPCM)
Murakiho (1992) zobecnění raschovského PCM modelu. Každý z kroků
má ten stejný, avšak volně odhadovaný diskriminační parametr:
𝑃 𝑥𝑗𝑖 𝜃, 𝑎𝑖, 𝛿𝑗𝑖 =
𝑒σℎ=0
𝑥 𝑗
𝑎 𝑖 𝜃−𝛿 𝑗ℎ
σ 𝑘=0
𝑚 𝑗
𝑒σℎ=0
𝑘
𝑎 𝑖 𝜃−𝛿 𝑗ℎ
◦ Pokud pro všechny položky platí 𝑎𝑖 = 1, pak jde o klasický raschovský PCM.
Logika je stejná, jako u PCM: tedy „postupné sbírání“ kreditu.
◦ Odhad místa na škále, kde je shodná pravděpodobnost odpovědi na nižší a
vyšší kategorii.
Graded Response Model (GRM)
Odlišné pojetí polytomických položek, vyvinuté Samejimou (1969) jako
ordinální rozšíření Thurstonovy metody stejně se jevících intervalů.
Jde o „navrstvení“ 2PL modelů za sebe, přičemž na rozdíl od GPCM modelu
nejsou srovnávány 1 vyšší a 1 nižší kategorie, ale pravděpodobnost
odpovědi na jakoukoliv vyšší a jakoukoliv nižší kategorii 𝑃𝑖𝑥
∗
:
𝑃𝑖𝑥
∗
𝜃 =
𝑒 𝑎 𝑖 𝜃−𝛿 𝑥𝑖
1 + 𝑒 𝑎 𝑖 𝜃−𝛿 𝑥𝑖
◦ Kde 𝑃𝑖𝑥
∗
𝜃 je pravděpodobnost získat v položce i skór x nebo vyšší.
Logicky potom pravděpodobnost získat právě skór x je:
𝑃𝑖𝑥 𝜃 = 𝑃𝑖𝑥
∗
𝜃 − 𝑃𝑖 𝑥+1
∗
𝜃
◦ GRM je proto tzv. dvoukrokový IRT model; v prvním kroku jsou odhadnuty 𝑃𝑖𝑥
∗
𝜃
a až na jejich základě lze sekundárně odvodit přímo 𝑃𝑖𝑥 𝜃 .
Modifikovaný GRM (MGRM)
Muraki (1990) při svém zobecňování IRT modelů zaměnil parametry
kroků za prahy a obtížnost položky podobně, jako v RSM/PCM modelu.
Zavedl prahy ci, jejichž průměr je nula, a původní krok je funkcí
obtížnosti položky a prahu: 𝛿 𝑥𝑖 = 𝑐𝑖 + 𝜏𝑖 .
MGRM potom:
𝑃𝑖𝑥
∗
𝜃 =
𝑒 𝑎 𝑖 𝜃− 𝑏 𝑖−𝑐 𝑗
1 + 𝑒 𝑎 𝑖 𝜃− 𝑏 𝑖−𝑐 𝑗
GRM vs. PCM
Modely jsou velmi podobné.
◦ V GRM jsou ale prahy „násilně“ seřazené.
Přestože predikované pravděpodobnosti a výsledky jsou velmi podobné,
logika je diametrálně odlišná.
◦ Partial credit: Série navazujících kroků/znalostí nutných pro získání vyššího
„skóre“.
◦ Musím získat 1 bod, abych mohl získat 2 body; musím získat 2 body, abych mohl získat 3 body...
◦ Graded response: latentní kontinuum je rozčleněné na dílčí binární 2PL
modely.
◦ Určí se pravděpodobnost překročení každého ze „stupňů“ separátně a ty se pak „složí“
dohromady.
Nominal Response Model (NRM)
Bock (1972): Obecný model pro položky s více odpověďmi, které nejsou
(nemusí být) ordinálně seřazené:
𝑃𝑖𝑥 𝜃 =
𝑒 𝑎 𝑖𝑥 𝜃+𝑐 𝑖𝑥
σ 𝑥=0
𝑚
𝑒 𝑎 𝑖𝑥 𝜃+𝑐 𝑖𝑥
◦ kde z důvodů identifikace pro každou položku položku platí σ 𝑎𝑖𝑥 = σ 𝑐𝑖𝑥 = 0.
◦ Každý práh x položky i má tedy vlastní diskriminační koeficient aix a vlastní
obtížnost cix.
NRM je zobecněným GPCM modelem:
𝑎𝑖𝑥 𝜃 + 𝑐𝑖𝑥 = 𝑎𝑖𝑥 𝜃 +
𝑐𝑖𝑥
𝑎𝑖𝑥
◦ Zlomek v závorce lze vyjádřit jako
𝑐 𝑖𝑥
𝑎 𝑖𝑥
= 𝛿𝑖𝑥 , kde 𝛿𝑖𝑥 je tranzitivní parametr GPCM
modelu. Pak se NRM a GPCM liší tím, že NRM má zvláštní diskriminační parametr
pro každý práh separátně.
Nominal Response Model (NRM)
Vhodný pro multiple-choice testy (s jednou správnou) či výběr z
odpovědí, kdy každá má jiný vztah s latentním rysem (rysy).
◦ Výhodou je, že jsou pro odhad lokálního rysu využity i konkrétní typy
chybných odpovědí (ale má zase více parametrů...).
◦ Nevýhodou je, že zpravidla jedna kategorie se stává dominantní u velmi
nízkých hodnot latentního rysu (volba tedy není náhodná). Existují různé
úpravy, které to řeší.
Lze ale použít i pro dotazníková data (neobsahuje předpoklad o
konkrétním seřazení položek), zde ale nemá mnoho výhod.
Nominal Response Model
(NRM)
Nominal Response Model
(NRM)
Srovnání polytomních
IRT modelů
Embretson a Reise, 2009
Estimátory
Klíčovým parametrem IRT modelů je použitý estimátor. Každý má jiné předpoklady o
datech a své nevýhody.
Joint Maximum Likelihood (JMLE), resp. Weighted Mean Likelihood (WMLE)
◦ Použitelný pouze pro Raschův model (1PL IRT model).
◦ Parametry položek i respondentů jsou odhadovány jako fixed, žádné předpoklady o jejich
rozložení (fundamentální měření!).
◦ Iterativní „ping-pong“ odhadů, kdy jsou odhadovány společně na střídačku parametry osob a
položek.
Marginal Maximum Likelihood (MMLE), Conditional Maximum Likelihood (CMLE)
◦ CMLE neumí pracovat s missing daty (ale různé úpravy).
◦ Podstatné je, že parametry osob jsou zvažovány jako random; je zde tedy předpoklad
normálního rozdělení latentního rysu.
◦ V případě 1PL modelu jde tedy o generalizovaný mixed model (GLMM); v případě 2PL
modelu o mixture model s random parametry.
A další ☺
Odhad latentního rysu
JMLE: Parametry osob i položek jsou přímo součástí modelu a není je
nutné odhadovat poté, co je odhadnut samotný model.
◦ V tomto případě jsou ale odhady osob zatíženy chybou; jde o analogii
pozorovaného skóru v CTT. Nezahrnují „regresi k průměru“ v důsledku chyby
měření.
◦ Konstrukce intervalu spolehlivosti kolem tohoto odhadu proto není úplně
vhodná.
MMLE, CMLE: Pouze parametry položek jsou součástí modelu;
parametry osob je nutné odhadnout dodatečně.
◦ expected aposteriori (EAP), bayesovské maximum aposteriori (MAP):
◦ maximum likelihood (MLE) a weighted likelihood (WLE) – moc se nepoužívá
◦ expected a posteriori pro součtový skór (průměr EAP pro jednotlivé
„observed patterns“ odpovědí).
◦ plausible values
EAP, MAP
Odhad posteriorní distribuce
měřeného rysu je funkcí apriorní
distribuce (tedy rozložení všech
latentních rysů v populaci) a
likelihood funkce.
Z posteriorní distribuce lze spočítat
interval spolehlivosti a dva různé
bodové odhady:
◦ EAP: Průměr posteriorní distribuce.
◦ MAP: Bayesovský přístup, jde o
modus posteriorní distribuce.
◦ Oba vedou k podobnému závěru.
MLE, WLE
Odhad posteriorní pomocí funkce maximální věrohodnosti (maximum
likelihood).
◦ irtDemo("mle")
MLE odhad je nepatrně zkreslený, používá se proto vážený odhad (WLE).
Plausible values (PV)
Bodové odhady latentního rysu neobsahují informaci o chybě tohoto
odhadu. Z toho důvodu mohou být některé sekundární analýzy, které
používají bodové odhady, zkreslené.
Z toho důvodu se někdy používají tzv. plauzibilní hodnoty (plausible values):
náhodné vzorky z posteriorní distribuce.
◦ Namísto jednoho bodového odhadu pro každého respondenta je vylosováno
určité množství (zpravidla pět) náhodných hodnot (PV) z posteriorní distribuce
latentního rysu.
◦ Hodnoty nejblíže EAP/MAP mají pochopitelně nejvyšší pravděpodobnost, že
budou vylosovány.
◦ Využití je výhradně pro sekundární analýzy nad daty exportovanými z modelu
(srovnání skupin, korelace s jinými rysy atp.). PV umožňují očistit vztahy o chybu
měření bez nutnosti fitovat celý model s latentními rysy (SEM, mixed model aj.
přístupy).
◦ Zároveň vedou k vhodnějšímu ex-post odhadu distribuce latentního rysu v
populaci než prosté bodové hodnoty.