PSY117
Statistická analýza dat v psychologii
Přednáška 6 - 2018
Vztahy mezi dvěma proměnnými II
Statistická predikce - lineární regrese
The only useful action for a statistician is to make predictions, and thus to provide basis for
action.
William Edwards Deming

Statistická predikce
oJaký výsledek v inteligenčním testu lze nejspíše očekávat od náhodně přišedšího, víme-li, že test
má přibližně normální rozložení s průměrem 100 a směrodatnou odchylkou 15 ?
oJaká informace by nám pomohla zpřesnit náš odhad?
ndélka vlasů:  l = 31 cm
nvzdělání:  vysokoškolské
nvýsledek v testu paměti:  z = 1,6
nvýsledek v jiném inteligenčním testu:  IQ = 108
o
o
oStatistická predikce je předpovídání (kvalifikované odhadování) nejpravděpodobnější hodnoty
proměnné z údajů, které již známe, a to pomocí modelu vztahu mezi predikovanou proměnnou a jejími
koreláty.
o
o
oAJ: statistical prediction, estimate, predicted value

Dvě základní otázky predikce
1.Jakou hodnotu predikovat?
nStanovení modelu
ovýběr z mnoha „šablon“
ostanovení parametrů modelu
nPoužití modelu k predikci
2.S jakou přesností predikujeme?
nChyby ve volbě modelu
nChyby ve stanovení parametrů modelu
nChyby implikované modelem
1.

1. Stanovení modelu
oPokud víme (ze zkušenosti, z výzkumu, z teorie…), že….
o…pokud související proměnná (X) má hodnotu x…
o…tak predikovaná proměnná (Y) může nabývat… …omezeného rozpětí hodnot | jen určitých hodnot | jen
určité hodnoty…
o…budeme predikovat…
o…střední hodnotu těchto možných hodnot.
oNapř. M(Y|X=c), Md(Y|X=c), Mo(Y|X=c)

Predikce délky prsteníku z pohlaví
Výchozí znalost:
data o 312 lidech.
Predikce:
Jak dlouhý prsteník udělat muži, který si přišel nechat vyrobit jeho náhradu po úraze?

Predikce délky prsteníku z pohlaví
Výchozí znalost:
data o 312 lidech.
Predikce:
Jak dlouhý prsteník udělat muži, který si přišel nechat vyrobit jeho náhradu po úraze?

Predikce délky prsteníku z pohlaví
Výchozí znalost:
data o 312 lidech.
Predikce:
Jak dlouhý prsteník udělat muži, který si přišel nechat vyrobit jeho náhradu po úraze?

Predikce délky prsteníku z pohlaví
Výchozí znalost:
data o 312 lidech.
Predikce:
Jak dlouhý prsteník udělat muži, který si přišel nechat vyrobit jeho náhradu po úraze?
M(Y |X=muž)=7,64
M(Y |X=žena)=7,13
SD(Y |X=muž)=0,99
SD(Y| X=žena)=0,93

Predikce délky prsteníku z pohlaví



Predikce délky prsteníku z ukazováku
…
Predikce:
Jak dlouhý prsteník udělat člověku, který si přišel nechat vyrobit jeho náhradu po úraze?
Ukazovák má 7cm dlouhý.

Predikce délky prsteníku z ukazováku



Predikce délky prsteníku z ukazováku
…
Predikce:
Jak dlouhý prsteník udělat člověku, který si přišel nechat vyrobit jeho náhradu po úraze?
Ukazovák má 7cm dlouhý.

Predikce délky prsteníku z ukazováku
…
Predikce:
Jak dlouhý prsteník udělat člověku, který si přišel nechat vyrobit jeho náhradu po úraze?
Ukazovák má 7cm dlouhý.
f(X) = výška křivky v bodě x

Predikce délky prsteníku z ukazováku
…
Predikce:
Jak dlouhý prsteník udělat člověku, který si přišel nechat vyrobit jeho náhradu po úraze?
Ukazovák má 7cm dlouhý.
f(X)=0,6X+ 2,7

1. Stanovení modelu
oModel je funkce
ojak ze známé hodnoty X vypočítat tu neznámou Y
oY = f (X )
o
oFunkce
ostanovené výčtem
otrigonometrické, exponenciální a logaritmické ...
opolynomické:
nlineární:  Y = bX +a  (rovná čára … Pearsonova r)
nkvadratické: Y = cX 2+bX +a (jedna zatáčka)…
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
oAJ:  function, polynomial, linear, quadratic, estimation, modelling, estimate n., regression,
residual n., predictor, sources of variability(variance), dependent and independent variable
•

1. Stanovení modelu
1.Tuto funkci (po racionální úvaze) volíme, specifikujeme…
nNapř. lineární funkce  Y = bX +a
2.…a stanovujeme (odhadujeme) její parametry.
nNapř. jaké jsou vhodné hodnoty parametrů a a b    …… a=2 b=3
3.Funkci pak použijeme k predikci - výsledkem je predikovaná hodnota Y ’
nNapř. má-li člověk hodnotu X=5, pak mu predikujeme 5*3+2=17
4.Známe-li skutečné hodnoty Y, můžeme je porovnat s predikovanými hodnotami
nYi = Yi ’ + ei   = f (Xi) + ei       , kde  ei = Yi –Yi ’ a i je číslo účastníka
nei  je reziduální hodnota (reziduum),
nY  je závislá proměnná, X  je prediktor, nezávislá proměnná
nei  představuje všechny ostatní zdroje variability vyjma X
oTradičně modelu, jeho stanovení a použití říkáme regrese (regrese Y na X)
o
oAJ:  function, polynomial, linear, quadratic, estimation, modelling, estimate n., regression,
residual n., predictor, sources of variability(variance), dependent and independent variable

1. Stanovení modelu
oZákladní otázka je
oJak specifikovat model a stanovit jeho parametry tak, aby byla predikce co nejpřesnější?

Volba a specifikace modelu
oMnoho možností
oFunkce s několika málo parametry
oVýčty – mnoho parametrů
o
oMůžeme volit sami, nebo to nechat na chytrých algoritmech – strojové učení, neuronové sítě
o
oZpočátku volba jasná – lineární model(regrese)
n

Lineární regrese I. – odhad přímou úměrou
oJe-li Pearsonova korelace dobrým popisem vztahu mezi dvěma proměnnými, lze popsat vztah mezi nimi
lineární funkcí
oY ’ = a +bX
nb ... směrnice
na ... průsečík
o
o(Y’ – my)= b(X – mx )
oY = Y’ + e = a + bX + e
o
o
oNejlepší přímka?
o
o
o
oAJ: slope, intercept, least squares (estimation), regression coefficents (a,b)

Stanovení parametrů modelu (přímky)
o
o




Jak stanovit „nejlepší přímku“?
oVíce možných kritérií
oKritérium nejmenších čtverců
nSnažíme se minimalizovat sumu čtverců reziduí




Řešení metodou nejmenších čtverců



mP=7,109
sP=0,843
mU=6,983
sU=0,658
rPU=0,917
               P’ = 1,176U  – 1,100
(P’ – 7,109) = 1,176(U – 6,983)

Použití modelu
o


Predikované hodnoty
U
P
P'
6,5
6,4
6,5413
7
7
7,1291
7,5
7,5
7,7169
5,2
4,8
5,0130
6,6
6,7
6,6589
6,6
6,8
6,6589
7
7
7,1291
6,8
?

Rozložení predikovaných hodnot
mP’= 7,109 = mP
sP’  = 0,773

S jakou přesností predikujeme?
oModel nejmenších čtverců říká, že „nepřesnost“ je nejmenší možná. Jaká ale je?


Lineární regrese II. – úspěšnost predikce
oJak dobré jsou takto predikované hodnoty?
oDobré ≈ přesné ≈ s co nejmenšími rezidui
nKritériem úspěšnosti je suma čtverců reziduí
oJak velká jsou rezidua?
o
o
U
P
P'
e = (P-P')
e2
6,5
6,4
6,54
-0,14
0,020
7
7
7,13
-0,13
0,017
7,5
7,5
7,72
-0,22
0,047
5,2
4,8
5,01
-0,21
0,045
6,6
6,7
6,66
0,04
0,002
6,6
6,8
6,66
0,14
0,020
7
7
7,13
-0,13
0,017

Rozložení reziduí
o
me= 0
se   = 0,337

Přesnost predikce
ose  vyjadřuje míru chyby při individuální predikci způsobenou nedokonalou těsností lineárního
vztahu
nvzhledem k (předpokládanému) normálnímu rozložení reziduí je pravděpodobnost určitých intervalů
reziduí dána kvantily normálního rozložení (standardizovaného se)
nNapř. 68% reziduí délky prsteníčků <|0,337|, neboli pravděpodobnost, že se při odhadu délky
prsteníčku mýlíme o 0,337 a méně, je přibližně 68%
n
oZatím nezohledňujeme nejistotu predikce způsobenou tím, že jsme parametry regresní přímky pouze
odhadovali z (malého) vzorku
oTaké nezohledňujeme to, že chyby odhadu jsou v extrémech X vyšší než okolo průměru
X                                   (viz Hendl, s. 285 s chybou)
o

Rozložení predikovaných hodnot a reziduí
omP=7,109
osP= 0,843
o
omP’= 7,109     me= 0   mP
osP’  = 0,773 se   = 0,337    sP
o
n
o
o
+
=

Rozložení predikovaných hodnot a reziduí
omP=7,109
os2P=0,711
o
omP’= 7,109     me= 0   mP
os2P’  = 0,598 s2e   = 0,113    s2P
o
n
o
o
+
=

Lineární regrese II. – úspěšnost predikce
osY2 = sreg2 + sres2      (ssY=ssres+ssreg)
o
oR2 = sreg2 / sy2    …   sres2= sY2(1−R2)
o
oKoeficient determinace (R2)
nPodíl vysvětleného rozptylu
nJe ukazatelem kvality, úspěšnosti regrese
nVyjadřuje shodu modelu s daty
oPro jednoduchou lin. regr. platí R2 = r2
o
oAJ: regression and residual variance (sum of squares), explained variance, model fit with the
data, coefficient of determination (R square)
oPozn. Zde uvedené vzorce jsou pro s2res. Pro populační parametr,tj. nejlepší odhad z výběrových
dat s2res počítáme ssres/ (n-2).
o
regrese2

Zde uvedené vzorce jsou pro populační sres. Pro výběrovou sres dělíme (n-2), popř,. korigujeme
s2res (n-1)/(n-2) – píše Grimm.  Na úrovni SS toto neřešíme.

Chyby při volbě modelu
o
o

Lineární regrese III. – předpoklady, platnost
oPředpoklady oprávněnosti použití lineárně-regresního modelu
ojako u Pearsonovy korelace
okonceptuální předpoklady:
nvztah je ve skutečnosti lineární
nX je jediným zdrojem Y
orezidua mají normální rozložení
o s průměrem 0 a SD=sres
ohomoskedascita
n=rozptyl reziduí (chyb odhadu)
n se s rostoucím X nemění
o
o
oPlatnost modelu je omezena daty, z nichž byl získán, a teorií.
nExtrapolace, neoprávněná extrapolace (»jako generalizace nad rámec empirických dat)
nPozor na odlehlé hodnoty – jako u všech ostatních momentových statistik
n
oAJ: assumptions of the linear regression model, residuals normally distributed, homoscedascity,
regrese4

Dvě základní otázky predikce
1.Jakou hodnotu predikovat?
nStanovení modelu
ovýběr z mnoha „šablon“ – lineární regrese
ostanovení parametrů modelu – výpočet hodnot
nPoužití modelu k predikci – dosazení do rovnice
2.S jakou přesností predikujeme?
nChyby ve volbě modelu – linearita, homoskedascita
nChyby ve stanovení par. – outlieři, výběrová chyba
nChyby implikované modelem – chyba odhadu sres
1.

Použití (lineární) regrese
oProzkoumání (lineárního) vztahu mezi proměnnými (místo korelace)
nanalyticko-konceptuální využití
nstředem zájmu je b
n
oPredikce
npraktické využití
nstředem zájmu je odhad a jeho chyba

Predikce a kauzalita
oK predikci stačí korelace.
oKauzální vztah mezi prediktorem a závislou není třeba.

Predikce Y pro nového jedince
oDosazením do regresní rovnice získáme odhad Y’
oJak přesný?
nRezidua mají podle předpokladů LR normální rozložení s m=0 a s=sres
n95% chyb odhadu se tak bude přibližně mezi −2sres a +2sres
oPřesněji, jak přesný?
nsres je „průměrná“ chyba. Čím dále je X od průměru, tím jsou chyby větší.
nParametry regrese (a a b) stanovujeme s chybou. Ta závisí hlavně na N.
nPak                                          a rozložení chyb je t s N-2 st.v.
n
n
o

Další druhy regrese
oZde je prezentovaná pouze jednoduchá lineární regrese, tj. s jednou závislou a jednou nezávislou
proměnnou. Potřeb a možností je více.
omnohočetná (mnohonásobná) lineární regrese
nY = a +b1X1 + b2X2 + … + bmXm
nkomplikují ji vztahy mezi prediktory
ologistická regrese
npokud je závislá dichotomie, nominální proměnná
npredikuje se tak pravděpodobnost jednotlivých hodnot závislé
o
oNení-li vztah lineární
nsnažíme se transformovat proměnné tak, aby byl lineární.
ndělíme vzorek na podskupiny, v nichž vztah za lineární považovat lze
n… opatrně zvážíme, zda se pustit do nelineární regrese
n
n
oAJ: multiple regression, logistic regression, nonlinear regression

Shrnutí
oPro praktické účely (predikce/odhad) je korelace málo, je třeba uvažovat o funkčním vztahu mezi
proměnnými.
oVztah můžeme znát analyticky nebo ho zkoušet modelovat.
oLineární regrese je model lineár. vztahu mezi proměnnými.
oModel se vždy liší od skutečných dat
ndíky zjednodušení
ndíky chybě měření
oMíra shody modelu s daty je ukazatelem vhodnosti modelu.
nU lineární regrese R 2 – podíl vysvětleného rozptylu
o
oHendl: kapitoly 7.3 – 7.3.2, 7.3.6, 7.4