v žádném bezrozporném systému aritmetiky ani dokazatelný, ani vyvratitelný.

   GódelĎv výsledek sice nebyl pro hilbcrtovskou logiku fatální v tom smyslu, v jakém byl
   Russellův paradox fatální pro logiku fregovskou, byl však fatální pro Hilber-tův program úplné
   a přímočaré formalizace matematiky. Navíc Gódel dokázal víc než jenom to, že je formální
   aritmetika nutné neúplná. Vyvrátil totiž i možnost jednoho ze základních cflů hilbertovské
   školy: důkazu bezrozpornosti formální aritmetiky aritmetickými prostředky. Z Gódelova důkazu
   kromě toho plyne, že se jeho výsledky nevztahují jenom na peanovskou aritmetiku, ale že platí
   pro jakýkoli formální kalkul, jehož složitost přesahuje určitou mez (v podstatě pro každý
   kalkul, v nimž je možné artikulovat peanovskou aritmetiku konečným poetem axiomů), například
   už pro predikátový počet druhého řádu. Toto zjištění přispělo k tomu, že byl většinou logiků
   za standard přijat predikátový počet řádu prvního.

   Gódelovy výsledky značnou měrou přispěly i k tomu, že se formální logika začala čím dál tůn
   více věnovat problémům čistě technickým, problémům své vlastní konstituce; podstatná část
   formální logiky se tak stává prostě jednou z matematických disciplín. Otázky spojené se
   vztahem formální logiky k ne-formálnímu světu se tak do velké míry stávají doménou filosofu, a
   bohužel často i filosofů, kteří problémy formální logiky chápou jenom povrchni. Gódelovy
   výsledky jsou tak dnes často používány na podporu mnohdy zavádějícím způsobem formulovaných
   tvrzení o nadřazenosti "přirozeného rozumu" nad "rozumem formálním".