Zatímco v souvislosti s frcgovskou logikou je na místě termín axiom v jeho původním smyslu, ve
   kterém je axiom výrokem, o jehož pravdivosti nelze pochybovat (nové oproti tradici je u Frega
   jenom to, že vyjadřuje axiomy symbolicky), v rámci logiky formální dochází u významu tohoto
   pojmu k výraznému posuvu. Jsou-li výroky prosté prvky nijaké množiny generované určitou
   algebraickou strukturou, pak axiomy mohou být nazývány jakékoli výroky, které vedou k
   vygenerování nějaké podmnožiny této množiny. Zásadním problémem se stává obecný problém
   axiomatizace: problém nalezení takových axiomů, které vedou k vygenerování pravé dané množiny
   výroků. Vznik logiky skutečné formální, logiky, jejíž doménou je zkoumání abstraktních
   kalkulů, je spojen především se jménem Davida Hilberta. Vztah mezi fregovskou symbolickou
   logikou a hilbertovskou logikou formální je dobře patrný z toho, co napsal Hilbert v dopise
   Fregovi: "Píšete: 'Z pravdy axiomů plyne, že nejsou jeden s druhým v rozporu.' Bylo pro mé
   zajímavé číst pravé tuto Vaši vetu, protože co se mé týče, od počátku co přemýšlím, píšu a
   přednáším o takových věcech, jsem si zvykl říkat pravý opak: nejsou-li libovolné ustanovené
   axiomy ve vzájemném rozporu se všemi svými důsledky, pak jsou pravdivé - véci definované témi
   axiomy existují. To je pro mé kritériem pravdy a existence." Hilbert, povzbuzen počátečními
   ťispéchy jeho pojetí logiky, vytyčil program úplné formalizace matematiky, v jehož rámci melo
   být dosaženo převedení všech matematických problémů na problémy kombinatoriky symbolů a který
   mel také vést k nahlédnutí bezrozpornosti správné budované formální matematiky. Oproti
   fregovskému přístupu k základům matematiky, nazývanému nékdy logicismem, i oproti přístupu
   Hilberto-vu, nazývanému formalismem, vznikl v té dobé i další