Inferenční statistika
Populace vs. Vzorek
Distribuce výběrových průměrů
Interval spolehlivosti
Testování hypotéz

Populace vs. vzorek
Populace
Vzorek
Průměr
µ
 x¯
Rozptyl (variance)
σ2
s2
Směrodatná(standardní) odchylka
σ
s
parametry
statistiky (odhady parametrů)
Skrze reprezentativní (=náhodný) vzorek odhadujeme parametry populace

Techniky odhadování
•Bodový odhad
–jaký je nejlepší odhad charakteristiky populace?(např. x¯ je bodovým odhadem µ)
•Intervalový odhad
–jaký je interval který s vysokou pravděpodobností obsahuje charakteristiku populace?(např. µ leží
s 99% pravděpodobností mezi 95 a 105) = interval spolehlivosti
• testování hypotéz
–Za předpokladu že populační průměr 100, pravděpodobnost že vytáhnu vzorek s průměrem 110 a větším
je dostatečně vysoká a proto neodmítám nulovou hypotézu že průměr populace je 100

Distribuce výběrových průměrů
–= opakovaně vybírám vzorek a jeho průměry nanáším na novou distribuci
–
–Vzniká nová distribuce s těmito charakteristikami:
–
– A) průměr distribuce = průměr výběrových průměrů = populační průměr (zákon velkých čísel)
–
– B) Odchylka = chybu průměru = σ m(x¯) = σ  / √n
–
– C) čím vyšší počet vzorků, tím víc se distribuce blíže normální distribuci, bez ohledu na tvar
populační distribuce (Central limit theorem)
– ad C) distribuce se blíží normálnímu rozdělení když populační distribuce je normálně rozdělena
nebo když velikost výběru je větší než 30

Příklad: distribuce výběrových průměrů
•Př. Výsledky IQ testu jsou aproximovány (blíží se) normálním rozložením o průměru μ = 100 a σ=16.
Třída 36 dětí dosáhne průměru 105 bodů, jak chytrá je tato třída?
• vypočítám chybu průměru = σ m(x¯) = σ  / √n = 16 / √36 = 2.67
•A z-skór Z = (x¯ - µ ) / σ m(x¯)  = (105 – 100) / 2.67 = 1.87
•A příslušnou pravděpoodbost z tabulky pro Z = 1.87
•Výsledek: P (x¯ > 105) = 0.03 = třída je velmi chytrá a pravděpodobně patří do populace s μ > 100

Příklad: testování hypotéz
•Př. Výsledky IQ testu jsou aproximovány (blíží se) normálním rozložením o průměru μ = 100 a σ=16.
Třída 36 dětí dosáhne průměru 105 bodů. Učitel si myslí že děti patří do populace μ > 100
•H 0: μ <= 100, H 1: μ > 100
•vypočítám chybu průměru = σ m(x¯) = σ  / √n = 16 / √36 = 2.67
•A z-skór Z = (x¯ - µ ) / σ m(x¯)  = (105 – 100) / 2.67 = 1.87
•A příslušnou pravděpodobnost z tabulky pro Z = 1.87
•Výsledek: P (x¯ > 105) = 0.03,
•Interpretace: Za předpokladu že průměr populace je 100, tak pravděpodobnost že vytáhnu průměr o
velikosti 105 nebo větší je 0.03 což je velmi nízká pravděpodobnost, proto nedůvěřuji H O a odmítám
ji, klaním se k H 1.

Příklad: interval spolehlivosti
•Př. Výsledky IQ testu jsou aproximovány (blíží se) normálním rozložením o průměru μ = 100 a σ=16.
Třída 36 dětí dosáhne průměru 105 bodů. Vypočítejte 95 % interval spolehlivosti.
•Postup:
–vypočítám chybu průměru
– σ m(x¯) = σ  / √n = 16 / √36 = 2.67
–Vypočítám horní hranici intervalu 95:
– 1.96 σ (x¯) +  x¯ = (1.96 * 2.67) + 105 = 105 + 5.23 = 110.23
–Vypočítám spodní hranici intervalu 95:
– x¯ - 1.96 σ (x¯) = 105 - (1.96 * 2.67) = 105 – 5.23 = 99. 77
–
•Interpretace: Když budu tahat vzorky nekonečně mnohokrát a pokaždé vytvořím 95 % interval, pak v
95% případů bude tento interval spolehlivosti obsahovat skutečný průměr
•Alternativní interpretace: Existuje 95 % pravděpodobnost že skutečný průměr leží v intervalu 99.77
až 110.23
•Analogicky vypočteme a interpretujeme 99 % interval spolehlivosti, namísto hodnoty 1.96 dosadíme
hodnotu 2.58 (ověřte v tabulce z skoru)

•