Pravděpodobnost
(pracovní verze)


1. Definice pojmů
•Jednoduchý/náhodný pokus (simple experiment)
§Akt vedoucí k jednomu výsledku - např. hod kostkou, zatočení ruletou, vytažení karty z balíčku,
výběr osoby na ulici
§Výsledkem je výskyt jednoduchého jevu/události
•Jednoduchý jev (elementary event)
§člen základní množiny
§výsledek jednoduchého pokusu - např. hodnota 1 na kostce, 0 na ruletě, sedmička srdcová, modrooká
paní
•Jev/třída jevů (event, event class)
§sada jednoduchých jevů - např. lichá čísla, „srdce“, „piky“
•Základní množina/prostor (S) (Sample space)
§sada všech jednoduchých jevů
•Spojené jevy (joint events) – nastávají když výsledek pokusu spadá pod jevy A(„srdce“) i B(„král“)
např. „srdcový král“, popřípadě A nebo B např. „srdce“ nebo „král“
§Průnik  (∩) (intersection) – např. průnik jevů A a B = A ∩ B nebo-li A a B
§současné nastání dvou nebo více jevů
§Sjednocení (U) (union)  - např. sjednocení jevů = A U B nebo-li A nebo B
§sečtení dvou nebo více jednoduchých jevů bez průniku
•Doplněk (~A) (complement)
§doplňkem jevu A je sada všech zbývajících jevů z S
•Vzájemně vylučující se/neslučitelné (mutual exclusive) jevy
§nemohou nastat současně, jejich ∩ = 0
•Vyčerpávající (exhaustive) jevy
§jevy vyplňují celý S, jejich U = S
•Pravděpodobnost (p) (probability)
§míra jistoty nastání každého jevu ze základního prostoru - např. pravděpodobnost že padne 1 na
kostce
•Podmíněná pravděpodobnost (p (A|B)) (conditional probability)
§ pravděpodobnost výskytu jevu A za předpokladu, že zároveň nastane jev B –
§např. experiment: hod dvěma kostkami, událost: součet hodnot, otázka: jaká je pravděpodobnost
výskytu události 4 když na jedné kostce padne 5?
•Statistická nezávislost (statistical independence)
§nepodmíněná pravděpodobnost jevu A a podmíněná pravděpodobnost jevu A stane-li se zároveň B jsou
si rovny
§tj. p(A) = p(A | B)
§nebo když p (A ∩ B) = p (A) * p (B)
§
•
•

Definice pravděpodobnosti
•p(A) = pravděpodobnost jevu A
§za předpokladu, že máme konečný počet jednoduchých jevů v S a každý jednoduchý jev z S má stejnou
pravděpodobnost nastání pak platí, že p(A) = n (A) / n (S)
§Př. Krabička 10 kuliček – 5 bílých, 3 červené, 2 černé
• experiment: bez dívání vybereme jednu kuličku
• jednoduchý jev: jedna konkrétní kulička, máme tedy 10 jednoduchých jevů tvořících S, jevy jsou
vzájemně se vylučující a každý má pravděpodobnost 1/10
• zajímají nás události: „bílá, „červená“, „černá“
•
• Otázka: Jaká je p že vytáhnu „červenou“?
•
• p(červená)= n (červená) / n (S) = 3 / 10 = .30
• Podobně p (bílá) = .50 a p (černá) = .20
• p(červená a bílá) = 0
•
•Pravděpodobnostní funkce přisuzuje každému jevu A z S číslo p(A), pravděpodobnost jevu A, tak že
platí („axiomy“/zákony):
•1 . p (A) ≥ 0 pro každé A
•2.  p (S) = 1
•3.  Pokud (A1,, A2, ……., An ) jsou vzájemně neslučitelné,
•         pak p(A1 U A2 ) = p(A1) + p(A2)
•
•

Pravidla pravděpodobnosti
1.p(~A) = 1 – p(A) („doplňková pravděpodobnost“)
§Př. Jaká je pravděpodobnost že vyberu „ne červenou“ kuličku tj. jinou než „červenou“?
§p(~červená) = 1 - p (červená) = .7
•
§
2.0 ≤ p(A) ≤ 1 („rozsah pravděpodobnosti“)
• (důkaz: pokud by nějaký jev měl p větší než 1 pak by podle pravidla 1 měl doplněk jevu p zápornou
a to by odporovalo axiomu 1)
•
3.p(Ø) = 0, pro jakékoli S („nemožný jev“)
§Př. Jaká je pravděpodobnost že vyberu „bezbarvou“ kuličku tj. jinou než „červenou“ nebo „bílou“
nebo „černou“?
§p(bez barvy)=0
§
4.p (A U B) = p (A) + p (B) – p (A ∩ B) (tzv.“nebo“ pravidlo)
§Př. Balíček 52 karet. Jaká je pravděpodobnost „krále“ nebo „srdce“?
§P (král) = 1/13, p(srdce)=1/4, p (král ∩ srdce)=1/52 (jeden z králů je srdcový)
§ p (král nebo srdce) = 1/13 + 1/4 – 1/52 = 16/52 = 4/13
§Speciální případ: když jsou jevy vzájemně se vylučující, pak p (A ∩ B) =0
– a proto p (A U B) = p (A) + p (B)
§Př. p(červená nebo bílá) = .30 + .50 = .80
•
5.
5.Pokud A,…., L tvoří segmenty S, pak p (A U ...... U L) = p (A) + …p (L) = 1
§Pokud jsou jevy A až L vylučující se a vyčerpávající, pak tvoří celý prostor S a součet jejich
pravděpodobností musí být 1
§Př. p(červená nebo bílá nebo černá kulička) = .30 + .20 + .50 = 1.00
–
1.

Ilustrace: doplněk
S(52)
A (král)
~A
(nekrál)

S(52 karet)
B(srdce)
A(král)
A ∩ B
(srdcový král)
A U B = A + B - A ∩ B = 13 + 4 – 1 = 16/52
Průnik a sjednocení
A ∩ ~B
(pikový + listový + kárový král)
12
1
3

A(král)
B (dáma)
C (eso)
S(52)
A, B a C jsou
vzájemně se vylučující jevy

A, B a C jsou
vzájemně se vylučující a vyčerpávající jevy
A (bílá)
B (červená)
C (černé)
S(10 kuliček)

§p (A | B) nebo-li p(A když B) = n (A ∩ B)  / n (B)
• = n (A ∩ B) / n (S) / n (B) / n (S)
•               = p (A ∩ B) / p (B)
•
§Př. Výběr vzorku dětí ve škole limitujeme pouze na dívky. Vznikne nám nový základní prostor
Snový zahrnující pouze část jednoduchých jevů z původního S. V novém prostoru Snový zahrnujícím
pouze dívky jaká je pravděpodobnost výběru levorukého člověka? Přičemž víme že 51% studentů je
dívek, 35% studentů je levorukých, a 10% studentů jsou levoruké dívky.
•
• Otázka: p(levoruký, když dívka) = počet levorukých dívek / celkový počet dívek
•
• p(levoruká a dívka)= počet levorukých dívek / celkový počet studentů= .10
• p(dívka)=celkový počet dívek / celkový počet studentů= .51
• p(levoruký, když dívka) = p(levoruký a dívka) / p(dívka) = .10 / .51 = .196
•
• p(dívka, když levoruký) = .10 / .35 = .29
•
•
•
•
Podmíněná pravděpodobnost

Statistická nezávislost
§Výskyty jevů A a B jsou statisticky nezávislé pokud výskyt jevu A neovlivňuje výskyt jevu B a
opačně
•
§Tedy když pravděpodobnost výskytu jevu A a pravděpodobnost výskytu jevu A když B jsou si rovny –
tj. p (A) = p (A | B)
§př. p (dívka) =.51
•P(dívka, když levoruký)=.29
•Výsledek: .51 ≠ .29, proto jevy nejsou nezávislé (souvisí spolu)
•
§nebo alternativně když p (A ∩ B) = p (A) * p (B)
§př. p (dívka a levoruký) = .10
–    p (dívka) = .51
–    p (levoruký) = .35
–    výsledek: .10 ≠.51 *.35, proto jevy nejsou nezávislé
–
–Pozor! Nezávislost ≠ vzájemná výlučnost (neslučitelnost)
–(Pro nadšence matematický důkaz: pokud A a B jsou vzájemně neslučitelné, pak p (A ∩ B) = 0. Pokud
by A a B byly zároveň nezávislé, pak p (A ∩ B) = p(A)*p(B), a protože p (A ∩ B) = 0, tak to nemůže
být pravda pokud p(A) nebo p(B) není nula)
–(Pro nadšence intuitivní důkaz: Předpokládejme že všichni muži jsou buďto „plešatící“ nebo
„hustovlasí“ (dva vzájemně se vylučující jevy). Pokud by „plešatící“ a „hustovlasí“ byli na sobě
nezávislé jevy, pak by mezi „plešatícími“ byla stejná proporce „hustovlasých“ jako je celková
proporce „hustovlasých“ mezi muži, tedy p(A | B) = p(A), což je těžké si představit J )

Prezentace spojených jevů v tabulkách
§Př. Základní množina S = studenti kampusu v Bohunicích, každý student je buďto dívka nebo chlapec,
a odpověděl buďto „ano“ nebo „ne“ na otázku zda chodí každé ráno rád do školy.
Chlapec
(chlapec a „ano“)
(chlapec a „ne“)
Dívka
(dívka a „ano“)
(dívka a „ne“)
Ano
Ne
§Nechť v tomto kampusu pravděpodobnosti vybrat chlapce je.55 a dívku .45, a pravděpodobnost
odpovědi ano je .40 a „ne“ .60.
P (chlapec)= .55
(chlapec a „ano“)
(chlapec a „ne“)
P(Dívka) = .45
(dívka a „ano“)
(dívka a „ne“)
P(Ano) = .40
P(Ne) = .60
§p(chlapec),p(dívka),p(ano),p(ne) = marginální pravděpodobnosti       (neboť se vyskytují na okraji
tabulky)
§Každá marginální p = suma (Σ) všech spojených pravděpodobností v určitém konkrétním řádku nebo
sloupci tabulky
§Př.   p(chlapec) = p(chlapec a „ano“) + p (chlapec a „ne“)
    p(dívka) =    p (dívka a „ano“) + (dívka a „ne“)
    p (ano) =  p(chlapec a „ano“) + p(dívka a „ano“)
    p (ne)    = p(chlapec a „ne“) + p(dívka a „ne“)
§

P (chlapec)= .55
(chlapec a „ano“)
(chlapec a „ne“)
P(Dívka) = .45
(dívka a „ano“)
(dívka a „ne“)
P(Ano) = .40
P(Ne) = .60
§Jevy/třídy jevů vyskytující se podél okraje jsou vzájemně neslučitelné a vyčerpávající (sada
těchto jevů tedy formuje S) = dimenze
§Př. 2 dimenze: jevy „ano“ a „ne“ a jevy „chlapec“ a „dívka“
§Statistická nezávislost : každá kategorie nebo jev podél jednoho okraje musí být nezávislý na
každém jevu podél druhého okraje = pravděpodobnost každého spojeného jevu se musí rovnat součinu
pravděpodobností korespondujících (v řádku a sloupci) marginálních jevů - p (A ∩ B) = p (A) * p (B)
§Př. Pokud dimenze „pohlaví“ a „odpověď ano/ne“ jsou nezávislé,
– pak p(chlapec a „ano“) = p(chlapec) * p(„ano“) = .55 * .40 = .22
– Stejně postupujeme v ostatních případech a vznikne tabulka:
P (chlapec)= .55
p(chlapec)p („ano“)
=.55 * .40 = .22
p(chlapec)p(„ne“)
= .55 * .60 = .33
P(Dívka) = .45
p(dívka)p(„ano“)
=.45 * .40 = .18
p(dívka)p(„ne“)
= .45 * .60 = .27
P(Ano) = .40
P(Ne) = .60

•Pro závislé dimenze
§pravděpodobnosti spojených jevů ≠ součiny marginálních pravděpodobností:
P (chlapec)= .55
p(chlapec)p („ano“)
=.10
p(chlapec)p(„ne“)
= .45
P(Dívka) = .45
p(dívka)p(„ano“)
=.30
p(dívka)p(„ne“)
= .15
P(Ano) = .40
P(Ne) = .60
•Pro tuto základní množinu S (např. odpovědi dívek poté co dostali od svého milého kytici růží)
pohlaví a odpověď spolu souvisejí
•Prozkoumáme-li podmíněné pravděpodobnosti,
§P(ano | chlapec) = .10 / .55 = .18
§P(ano | dívka) = .30 / .45 = .67
pak vidíme že dívky mnohem pravděpodobněji/častěji odpovídají ano v porovnání s chlapci
§Pokud by ale obě dimenze byly nezávislé (jako v 1.tabulce) pak by tyto podmíněné pravděpodobnosti
měly být stejné,
§P(ano | chlapec) = .22 / .55 = .40
§P(ano | dívka) = .18 / .45 = .40
takže znám-li pohlaví nedává mi to informaci o tom jak bude student odpovídat
§
§