FSS MUNI, katedra SPSP
Kvantitativní výzkum x118
Téma 11: Korelace
Miroslav Suchanec

Korelace - souvislost
•vyjádření vzájemné souvislosti dvou nebo více jevů (nejméně ordinálního charakteru)
–kondice a klidová tepová frekvence
–tělesná výška a tělesná hmotnost
–úroveň silových schopností a výsledky běhu na 100m
–výška a rozpětí paží
•hledání skrytých souvislostí, vazeb, příčin, ...

Příčiny souvislosti dvou jevů
•přirozená sdružená proměnlivost
–barva očí a vlasů
• teoretické zdůvodnění
–tělesná hmotnost a výška: konstantní tělesná skladba ρ, objem je svázán s výškou, hmotnost = ρ * V
• jev X vyvolává jev Y
–kouření a rakovina plic
•

Příčiny souvislosti dvou jevů
•jevy spolu souvisejí, protože mají společnou příčinu
X
Y
Z
•jevy spolu souvisejí, protože měří něco společného
Y
X
Z

Typy souvislostí
Obrázek7.wmf
Obrázek7.wmf
Obrázek8.wmf
pozitivní
negativní

Korelace vs. kauzalita
•Korelace není kauzalita, pouze jedním z jejich předpokladů (dále časová následnost, neexistence
alternativní příčiny)
•

Nepravá korelace (spuriousness)
X
Y
Z
Počet domácností
Počet čápů
Počet dětí
Znamená vysoká korelace mezi počtem čápů a počtem dětí, že čápi nosí děti?

Velikost souvislosti
•
•koeficient korelace
•
•
•
•
•mezní hodnoty -1 a 1 značí absolutní souvislost
•hodnota 0 značí absolutní nezávislost
•
•
Obrázek9.wmf

•různé druhy korelačních koeficientů
•
•použití se liší podle druhu dat, typu závislosti a typu rozložení
•
•nejčastěji používané:
–Pearsonův koeficient součinové korelace
–Spearmanův koeficient pořadové korelace
Vyjádření souvislosti

Pearsonův korelační koeficient (R)
•=  nástroj pro měření míry lineární souvislosti (vztahu) mezi dvěma intervalovými nebo poměrovými
proměnnými (které tudíž mají svůj průměr, rozptyl a odchylku) (Pro ostatní typy proměnných se užívá
jiný nástroj pro měření vztahu) např. souvisí četnost sledování televizních reklam (v min. týdně) s
průměrnou týdenní útratou?
•
-pohybuje se v rozmezí od -1 do 1 ( -1 =< R xy =< 1 ),
•     kdy R xy=1 je absolutní pozitivní souvislost (např. čím více počtu let vzdělání, tím vyšší
mzda);
•
• R xy=0 je absolutní nezávislost, (např. víme-li člověkovu výšku postavy, nepomůže nám to určit
jeho hodnotu IQ);
•
•     a R xy=-1 je absolutní negativní souvislost (např. čím více mailů sekretářka dostává, tím
kratší dobu jí trvá než na ně odpoví).
•
•

Předpoklady použití Pearsonova korelačního koeficientu
•1) nejméně intervalová data
•2) normální rozložení v populaci
•3) neexistence extrémních případů
•4) linearita vztahu
•
•2, 3 a 4 třeba ověřit / otestovat
•
•Není-li jeden z předpokladů naplněn a máme-li alespoň ordinální data, používáme Spearmanův
koeficient
225px-Karl_Pearson_2

Předpoklad linearity vztahu
Obrázek3.emf Obrázek4.emf
Obrázek4.emf
lineární
nelineární

Ověřování předpokladu linearity vztahu
•Nejlépe pomocí bodového rozptýlení (scatterplot)


Ověřování předpokladu neexistence extrémních hodnot
Např. pomocí krabicového diagramu (boxplot) nebo jiného zobrazení extrémních hodnot…


Jak nenaplnění předpokladu neexistence extrémních hodnot ovlivní Pearsonův r?



Ověřování předpokladu normality
a)Graficky – pozorované hodnoty ve vzorku vs. očekávané hodnoty pokud je populace normálně
rozložená
b)Kolmogorov-Smirnov test normality rozložení
225px-Kolmogorov-m Smirnov_2

Korelační koeficient a bodové rozptýlení proměnných x a y
priklady korelace bodove grafy


…další příklady
Soubor:Correlation examples.png
(zdroj: wikipedia)

Korelace
 výpočet
s
příkladem
x
y
2
0
2
2
3
1
3
3
4
2
4
4
5
3
5
5
6
4
6
6
korelace mezi x a y, neboli R xy = cov(x,y) / s(x) * s(y),
Cov (x,y) = Σ dx * dy / n -1 = Σ (xi – x)*(yi – y) / n - 1
X = Σ xi / n = 40 / 10 = 4
Y = Σ yi / n = 30 / 10 = 3
Cov (x,y) = Σ dx * dy / n -1 = Σ (xi – x)*(yi – y) / n - 1 = (-2*-3) + (-2*-1) + (-1*-2) + 0 + 0 +
0 + 0 +(1*2) + (2*1) + (2*3) =  20 / 9 = 2,22
s(x) * s(y) = √ var (x) * √ var (y)
var (x) = Σ (xi – x )2 / n -1 = 20 / 9 = 2,22
var (y) = Σ (yi – y )2  / n -1 = 30 / 9 = 3,33
R xy= cov(x,y) / s(x) s(y) = 2,22 / √ 2,22 * √ 3,33 = 2,22 / 2,72 = 0,81
kovariance
Legenda
Xi = hodnota X pro jednotlivá individua
X = průměr pro x
d = absolutní odchylka
var(x)=rozptyl x
s(x)=směrodatná odchylka
Cov (x,y)=kovariance mezi x a y
R (x,y)= korelace mezi x a y
(Databáze korelace a regrese.sav)

Rozdíl mezi Pearsonovým a Spearmanovým koeficientem
300px-Spearman_fig1