Odhady
oodhady
obodové a intervalové odhady
okonstrukce intervalu spolehlivosti pro průměr
oodhady podílů (kategoriální proměnné)
o
o
o
o
o

Rozdělení výběrových průměrů
otvar – RVP se při dostatečně velkém vzorku (30 a více) blíží normálnímu rozdělení
oprůměr – průměr průměrů všech teoretických výběrů je roven průměru populace
ovariabilita – směrodatná odchylka RVP se označuje jako výběrová chyba (standard error) průměru
o
o

Rozdělení výběrových průměrů
ovelikost výběrové chyby je dána dvěma charakteristikami:
nvariabilita znaku v populaci: čím je vyšší, tím je vyšší i variabilita výběrových průměrů
nvelikost výběru – čím větší výběr (n), tím lépe jeho průměr reprezentuje průměr populace
o
o
o

Rozdělení výběrových průměrů
ovzorec pro výpočet výběrové chyby:
o sx = s/√n

Rozdělení výběrových průměrů
opříklad: když vybereme z populace náhodně vzorek 9 osob, jaká je pravděpodobnost, že jejich
průměrné IQ bude větší nebo rovno 105?

Rozdělení výběrových průměrů
opříklad: když vybereme z populace náhodně vzorek 9 osob, jaká je pravděpodobnost, že jejich
průměrné IQ bude větší nebo rovno 105?
om = 100, s= 15, n=9
ovýpočet výběrové chyby:
nsx = s/√n = 15/3 = 5

Rozdělení výběrových průměrů
5


Rozdělení výběrových průměrů
opříklad: když vybereme z populace náhodně vzorek 9 osob, jaká je pravděpodobnost, že jejich
průměrné IQ bude větší nebo rovno 105?
om = 100, sx = 5
oz = (105-100)/ sx = 5/5 = 1.0
o

Rozdělení výběrových průměrů
opříklad: když vybereme z populace náhodně vzorek 9 osob, jaká je pravděpodobnost, že jejich
průměrné IQ bude větší nebo rovno 112?
om = 100, sx = s/√n = 15/3 = 5
oz = 1.0
oz tabulky P(Z > 1.0) = 0.1587

Rozdělení výběrových průměrů
opříklad: když vybereme z populace náhodně vzorek 100 osob, jaká je pravděpodobnost, že jejich
průměrné IQ bude větší nebo rovno 105?

Rozdělení výběrových průměrů
opříklad: když vybereme z populace náhodně vzorek 100 osob, jaká je pravděpodobnost, že jejich
průměrné IQ bude větší nebo rovno 105?
om = 100, s= 15, n=100
ovýpočet výběrové chyby:
nsx = s/√n = 15/10 = 1.5

Rozdělení výběrových průměrů
15


Rozdělení výběrových průměrů
opříklad: když vybereme z populace náhodně vzorek 100 osob, jaká je pravděpodobnost, že jejich
průměrné IQ bude větší nebo rovno 105?
om = 100, sx = 1.5
oz = (105-100)/ sx = 5/1.5 = 3.33
o

Rozdělení výběrových průměrů
opříklad: když vybereme z populace náhodně vzorek 100 osob, jaká je pravděpodobnost, že jejich
průměrné IQ bude větší nebo rovno 112?
om = 100, sx = 1.5
oz = 3.33
oz tabulky P(Z > 3.33) = 0.0005

Příklad 1
oIQ (m=100, s=15)
ojaká je pravděpodobnost, že průměr výběru o velikosti n=25 bude mezi hodnotami 94 a 106?

Příklad 1
oIQ (m=100, s=15)
ojaká je pravděpodobnost, že průměr výběru o velikosti n=25 bude mezi hodnotami 94 a 106?
om = 100, s= 15, n=25
ovýpočet výběrové chyby:
nsx = s/√n = 15/5 = 3

Příklad 1
oIQ (m=100, s=15)
ojaká je pravděpodobnost, že průměr výběru o velikosti n=25 bude mezi hodnotami 94 a 106?
oz = (94-100) / 3 = -6/3 = -2
oz = (106-100) / 3 = 6/3 = 2

Příklad 1
onajdeme v tabulce normovaného normálního rozdělení hodnotu pravděpodobnosti pro z=2 a z=-2
Obrázek1

Příklad 1
ohodnota je 0,023
odohromady 0,046
oodečteme od 1,00
ovýsledek 0,954
Obrázek2

Příklad 1
oIQ (m=100, s=15)
ojaká je pravděpodobnost, že průměr výběru o velikosti n=25 bude mezi hodnotami 94 a 106?
opravděpodobnost takového průměru je 95,4%

Příklad 2
oIQ (m=100, s=15)
ov jakém rozsahu hodnot bude pravděpodobně 80% všech průměrů výběrů o velikosti n=25?

Příklad 2
oIQ (m=100, s=15)
ov jakém rozsahu hodnot bude pravděpodobně středních 80% všech průměrů výběrů o velikosti n=25?
opotřebujeme zjistit hodnotu z, která odděluje pravděpodobnost 10% na obou stranách rozdělení
o

80



Příklad 2
oIQ (m=100, s=15)
ov jakém rozsahu hodnot bude pravděpodobně středních 80% všech průměrů výběrů o velikosti n=25?
oz = 1,28 a -1,28 převedeme na hodnoty IQ pro rozdělení výběrových průměrů
o




Příklad 2
o     _
o     x  = m + z*(s/√n)
o     _
o     x  = 100 + 1,28*(15/√25) = 100+1,28(3) = 103,84
o     _
o     x  = 100 + (-1,28)*(15/√25) = 100-1,28(3) = 96,16
o

Příklad 2
oIQ (m=100, s=15)
ov jakém rozsahu hodnot bude pravděpodobně středních 80% všech průměrů výběrů o velikosti n=25?
o80% všech výběrových průměrů bude v rozsahu hodnot 96,16 - 103,84
o

Odhady
ov předchozích příkladech jsme znali hodnoty průměru a rozptylu populace
oobvykle tomu ale bývá přesně naopak: známe hodnoty (statistiky) výběru a neznáme hodnoty
(parametry) populace
oty chceme z výběru odhadnout

Odhady
o2 typy odhadů: bodové a intervalové
obodový odhad: použijeme průměr vzorku a odhadneme, že se rovná průměru populace

Bodový odhad
obodový odhad je problematický v tom, že dva různé výběry nám mohou dát dva různé odhady
obodový odhad neobsahuje žádnou informaci o jeho přesnosti či spolehlivosti
ona čem závisí přesnost odhadu?

Bodový odhad
opřesnost odhadu závisí na dvou charakteristikách
nvelikost výběru (čím větší n, tím menší výběrová chyba)
nvariabilita hodnot v populaci (čím vyšší, tím vyšší i výběrová chyba)

Intervalový odhad
oposkytuje rozsah (interval) hodnot, který s určitou pravděpodobností obsahuje hledanou hodnotu
parametru

Intervalový odhad
oje založen na:
nbodovém odhadu
nvelikosti výběru
nvariabilitě znaku v populaci (známé nebo rovněž odhadované)

Intervalový odhad
optáme se: jaká je hodnota m ?


Intervalový odhad
optáme se: jaká je hodnota m ?
ovýběrový průměr určité hodnoty může pocházet z populací o různých průměrech
oproto nemůžeme jednoznačně určit hodnotu m

Intervalový odhad
obrázek3


Intervalový odhad
otakže se místo toho snažíme určit, jaký je možný rozsah hodnot m
ojaké populace (tj. s jakou hodnotou průměru) by mohly být pravděpodobným zdrojem našeho vzorku?

Intervalové odhady
oze které populace nejpravděpodobněji pochází výběr, jehož průměr je v následujícím grafu naznačen
svislou čarou?

RVP pro populace I-IV



Intervalové odhady
ovýběr pochází
nnejpravděpodobněji z populace II nebo III
nméně pravděpodobně z populace I
na velmi málo pravděpodobně z populace IV

Intervalové odhady
ointervalový odhad spočívá v konstrukci tzv. intervalu spolehlivosti (confidence interval) –
rozsahu hodnot, ve kterém s určitou pravděpodobností leží průměr populace

Interval spolehlivosti
onejprve je třeba si stanovit tuto pravděpodobnost – tj. úroveň přesnosti(spolehlivosti);
oobvyklá je např. 95% - snažíme se najít interval hodnot, ve kterém s 95% pravděpodobností leží
průměr populace
opak jde o tzv. 95% interval spolehlivosti

Interval spolehlivosti
opoté najít hodnotu z pro tuto pravděpodobnost – tj. rozsah, ve kterém bude ležet středních 95%
hodnot (výběrových průměrů)
o2,5% na každé straně rozdělení

Interval spolehlivosti
obrázek5


Interval spolehlivosti
otomu odpovídají hodnoty
z=-1,96
z=1,96
o

Interval spolehlivosti



Interval spolehlivosti - výpočet



Interval spolehlivosti
obrázek4


Interval spolehlivosti
ointerpretace intervalu spolehlivosti: máme 95% pravděpodobnost, že se v tomto intervalu nachází
průměr populace
opokud bychom z populace vybrali 100 náhodných výběrů o velikosti n a pro každý z nich sestrojili
tento interval, 95 intervalů by obsahovalo průměr populace a 5 nikoliv

Interval spolehlivosti
ooblíbený omyl:
nv 95% intervalu spolehlivosti leží 95% hodnot populace (NEPLATÍ!)
n
okromě 95% intervalu spolehlivosti se používá také např. 99% a 90% pravděpodobnost
n
n

Příklad 3
onáhodný výběr 36 dětí, průměrné IQ vzorku = 96
ona základě tohoto zjištění odhadněte průměrné IQ populace, ze které děti pocházejí (sestavte 95%
interval spolehlivosti)
o

Příklad 3
oPostup:
nbodový odhad: m=96
nvýpočet výběrové chyby (směrodatné odchylky RVP):
 s/√n = 15/√36 = 15/6 = 2,5
nstanovení úrovně spolehlivosti: 95%
nnajít hodnotu z pro 95% pravděpodobnost
n

Příklad 3
obrázek5


Příklad 3
ov tabulce normálního rozdělení najdeme hodnoty z
ohodnoty z pro 95% : 1,96 a -1,96
o
o

Příklad 3
ok výběrovému průměru přičteme (pro horní hranici intervalu) a odečteme (pro spodní hranici)
výběrovou chybu, vynásobenou hodnotou z
o

Příklad 3
opro 95% :
o m = 96 + 1,96*2,5 = 100,90
o m = 96 -  1,96*2,5 = 91,10
o
o95% interval spolehlivosti je 91,1 – 100,9 bodů IQ

Příklad 3
opro 99% interval spolehlivosti
oz = 2,57
o

Příklad 3
opro 99% :
o m = 96 + 2,57*2,5 = 102,43
o m = 96 -  2,57*2,5 = 89,58
o99% interval spolehlivosti je 89,6 – 102,4 bodů IQ

Interval spolehlivosti
ohodnoty z pro nejčastěji užívané pravděpodobnosti:
n90% (zbývá 5% + 5%)       z= +/- 1,645
n95% (zbývá 2,5% + 2,5%)  z= +/- 1,96
n99% (zbývá 0,5% + 0,5%)  z= +/- 2,57

Interval spolehlivosti
ov předchozích příkladech jsme předpokládali, že známe hodnotu variability znaku v populaci
ove skutečnosti je tomu tak však zřídka
oje proto nutno odhadnout zároveň s průměrem i hodnotu směrodatné odchylky

Interval spolehlivosti
o pro známé hodnoty směrodatné odchylky v populaci:


Studentovo rozdělení
opokud za s nahradíme s (směr. odchylku výběrového průměru), pak musíme při konstrukci intervalu
spolehlivosti místo z rozdělení použít tzv. Studentovo t rozdělení

Interval spolehlivosti
o pro neznámé hodnoty směrodatné odchylky v populaci:


Studentovo rozdělení
omá také zvonovitý tvar, ale je více ploché než normální rozdělení
oje symetrické kolem průměru (0)
opro každou velikost výběru (počet stupňů volnosti, df) existuje odlišné t rozdělení
df = n-1

Studentovo rozdělení
osrovnání s normálním rozdělením


Studentovo rozdělení
osrovnání s normálním rozdělením:
nt rozdělení má vyšší variabilitu
nvíce plochy na okrajích, méně ve středu
nvzhledem k vyšší variabilitě budou intervaly spolehlivosti širší než u normálního rozdělení
njsou uváděny df obvykle jen do 100, protože pro n=100 se t rozdělení blíží normálnímu rozdělení

Studentovo rozdělení
otabulka t-rozdělení:
nkaždý řádek udává hodnoty t pro celé rozdělení pro daný počet stupňů volnosti (tj. n-1)
nsloupce pro nejdůležitější percentily
n

Studentovo rozdělení
o


Odhady podílů
ou kategoriálních proměnných nemůžeme počítat průměry
oodhadujeme proto podíly jednotlivých kategorií proměnné

Odhady podílů
onapř. podíl kuřáků v populaci českých adolescentů
opodíl pacientů s rakovinou plic, kteří přežijí 5 let od diagnózy
opodíl chlapců mezi dětmi s poruchou pozornosti

Odhady podílů
opokud zkoumáme místo celé populace pouze výběr z ní, nezajímá nás tolik, jaký je podíl kategorií
proměnné ve výběru (četnost p)
oale spíše jaký je skutečný podíl v populaci – četnost p

Odhady podílů
opři dostatečně velkém n platí i pro rozdělení podílů centrální limitní věta
orozdělení výběrových podílů je normální rozdělení, s průměrnou četností p a směrodatnou odchylkou
(výběrovou chybou)

Příklad 4
ochceme zjistit, jaká je podpora odsunu hlavního nádraží v Brně
onáhodný výběr z populace brněnských občanů starších 18 let n=1000 osob
o585 osob se vyjádřilo pro
op=0,585
oodhadněte s 95% spolehlivostí podporu odsunu nádraží

Odhady podílů
ointerval spolehlivosti pro podíly se spočítá podobně jako pro průměry:


Odhady podílů
onemůžeme však spočítat výběrovou chybu, protože neznáme p
ov tomto případě je však možné dosadit místo toho p a přitom použít normální rozdělení (pokud je
n>30)
opokud je n<30, pak dosadíme místo p hodnotu 0,5

Příklad 4
op=0,585
oz=1,96
oSE(p)= [0,585(1-0,585)/1000]
o=0,156
ointerval spolehlivosti
0.585 ± 1.96(0.0156)
o 0.585 ± 0,0305
o--- přesnost odhadu je ± 3%
o
o
o

Příklad 4
os 95% pravděpodobností je podíl osob souhlasících se odsunem nádraží  mezi 55.4% a 61.6%
otj. máme 95% pravděpodobnost, že kdyby se v době průzkumu hlasovalo, bude většina pro

Odhady podílů
ovztah mezi velikostí vzorku a přesností odhadu
nn=100 ± 10%
nn=200 ± 7%
nn=400 ± 5%
nn=1000 ± 3%
nn=2400 ± 2%
nn=9600 ± 1%

Odhady podílů
opožadovaná velikost vzorku roste mnohem rychleji než spolehlivost odhadu (pro zdojnásobení
spolehlivosti je nutné asi čtyřnásobně zvětšit vzorek)
odůležité při plánování výzkumu – jakou přesnost potřebujeme? jaké budou náklady?
opodobný vztah platí pro odhad průměrů

Kontrolní otázky
o2 typy odhadů
ona čem závisí šířka intervalu spolehlivosti? (není nutno znát zpaměti vzorce, ale je třeba chápat
princip výpočtu)
ovztah velikosti výběru a spolehlivosti odhadu