PSY117/454
Statistická analýza dat v psychologii
Přednáška 4
Počet pravděpodobnosti
Je známo, že když muž použije jeden z okrajových pisoárů, sníží se
pravděpodobnost, že bude pomočen o 50%.
anonym
Pravděpodobnost jevu
 Pravděpodobnost, že nastane jev A
 jistý jev: P = 1
 nemožný jev: P = 0
 jisté a nemožné jevy se vyskytují pouze v teorii
 2 pojetí pravděpodobnosti
 subjektivní jistota, zejm. p-nost jednotlivých událostí
 četnostní (statistické): z m náhodných pokusů
nastal jev A n-krát
 P (A) = n /m , blíží-li se počet pokusů ∞ (populaci)
AJ: probability, event, random trial, subjectivist vs. frequentist probability
Jevy a náhodné pokusy
 Jevy
 ≈ hodnoty proměnných – např. Petr má IQ = 150
 vzorek 15 IQ (lidí) – 15 jevů
 …a jejich kombinace (složené jevy)
 náhodné vs. deterministické, 2: neslučitelné(disjunktní), ekvivalentní
 doplňkový jev (A’)
 Pole jevů
 množina hodnot, kterých může proměnná/é nabývat
 ≈ proměnná
 Náhodný pokus
 situace, kdy z pole jevů může nastat jeden nebo více jevů
 ≈ výběr a změření člověka, hod kostkou
 nelze určit, který jev nastane & lze opakovat bez vzájemného
ovlivňování
Náhodným pokusem získáváme z pole jevů jev.
AJ: event, sample space, random trial, random vs. deterministic events, mutally exclusive events, equivalent events
Počítání s pravděpodobnostmi
 „NEBO“ – součet jevů - nastane jev A nebo jev B [nebo oba, nejsou-li disjunktní]
 P (AUB) = P (A) + P (B) – P (A∩B)
 př. disj. náhodně vybraný člověk má základní vz. nebo je vyučen .
 „A“ – součin jevů - nastane jev A a zároveň jev B [jsou-li A a B nezávislé]
 P (A∩B) = P (A) . P (B) P (A∩B) = P (A&B)
 př. náhodně vybraný člověk je psycholožka (pohlaví=žena, povolání=psychologie)
 Kombinatorika – velikost pole jevů
 permutace n prvků = n!
 kombinace r prvků z n-prvkové množiny = n! / r!(n-r)!
 Šance – odds - častý způsob vyjádření pravděpodobnosti
 př. šance Komety na vítězství jsou 1:10
 O(A) = P (A) / P (A’)
 Poměr šancí (OR): obvyklý způsob srovnání šancí ve 2 skupinách: OR12=O1/O2
AJ: and, or, addition, multiplication, probability calculus, permutations, combinations, odds, odds ratio
Podmíněná pravděpodobnost
 Pravděpodobnost jevu A, pokud nastal jev B
P (A|B) = P (A∩B) / P (B)
Př. Kuřáků je v populaci 30%, tedy P (Kou+) = 0,3.
12% lidí má jak rakovinu, tak návyk na kouření: P (Rak+ ∩ Kou+)=0,12
Jsem-li kuřák, jaká je pro mě pravděpodobnost onemocnění rakovinou?
Kouří-li člověk (nastalý jev B), je riziko onemocnění rakovinou (P jevu A)
P (Rak+ |Kou+) = P (Rak+ ∩ Kou+) / P (Kou+) = 0,12/0,3=0,4
AJ: conditional probability, Bayes’s theorem
Podmíněné p-nosti a teroristé
FBI usilovalo možnost neomezených odposlechů. Automatický analyzátor
hovorů dokáže s 99% přesností identifikovat po hlase teroristu/teroristku.
Jaká je p-nost, že člověk, kterého začne FBI vyšetřovat, je ve
skutečnosti nevinný?
 Je-li člověk identifikován systémem (I+), jaká je p-nost neviny (T-): P(T-|I+)?
 V populaci terorista 1 z 100000 (3000 z 300000000 v USA), P(T+)=0,00001.
 99% z teroristů je identifikováno: P(I+∩T+)=0,99x0,00001=0,0000099
 1% teroristů není identifikováno: P(I-∩T+)=0,01x0,00001= 0,0000001
 Neteroristů je 9999 z 100000 (299997t z 300000t v USA), P(T-)=0,99999.
 99% z neteroristů je OK: P(I-∩T-)=0,99x0,99999=0,9899901
 1% neteroristů je identifikováno: P(I+∩T-)=0,01x0,99999= 0,0099999
 P(I+)=0,0100098 , tj. 300294 lidí
 P(T-|I+) = P(I+∩T-)/P(I+) = 0,0099999 / 0,0100098 = 0,999 ... 999 z 1000
Savage, Wainer (2008)
Bayesův teorém
Přepočet mezi P (A|B) a P (B|A)
P (A) . P (B|A)
P(A|B) = -----------------------------------
P (A) . P (B|A) + P (A’) . P (B|A’)
př. Test na LMD má 15% chybovost: P (T-|L+)=0,15 ; P (T+|L-)=0,15
Prevalence LMD je 5%: P (L+)=0,05
Dítě má pozitivní výsledek testu. Jaká je P, že má LMD? P (L+|T+)=?
P (L+|T+) = P (L+).P (T+|L+) / [P (L+).P (T+|L+) + P (L-).P (T+|L-)] =
= 0,05 . 0,85 / (0,05 . 0,85 + 0,95 . 0,15) = 0,23
Podmíněné pravděpodobnosti
v diagnostické praxi
Skutečný stav
Výsledek testu
CelkemPozitivní T+ Negativní T−
Má, co hledáme
Dg+
Úspěch (a) Neúspěch (b)
% Lidí s Dg (a+b)
Prevalence
Nemá, co
hledáme Dg−
Neúspěch (c) Úspěch (d)
Lidí bez Dg (c+d)
Celkem % T+ testů (a+c) % T-testů (b+d)
Senzitivita testu: P(T+|Dg+)
Specificita testu: P(T−|Dg−)
Prediktivní hodn. T+: P(Dg+|T+)
Prediktivní hodn. T−: P(Dg−|T−)
Př. Z manuálu Addenbrookského kognitivního testu
Význam testu pro záchyt syndromu demence
Skóruje-li pacient 88 bodů a méně je senzitivita pro demenci 94 % a specificita 89 %.
Zvolíme-li přísnější kritérium (hranici 82 bodů a méně) je senzitivita 84% a specificita 100%.
Pravděpodobnostní rozložení náhodné
proměnné
Je-li proměnná náhodná (tj. její hodnoty lze považovat za výsledek
náhodných pokusů)… …jaká je P výskytu jednotlivých možných
hodnot?
 Vzpomeňme si, že P (A) = n / m , blíží-li se počet pokusů ∞ (populaci)
 Máme-li tedy dost velký, náhodně vybraný vzorek, pak P výskytu
jednotlivých hodnot ≈ jejich relativní četnost
Pravděpodobnostní rozložení = teoretické rozložení rel. četností
 U diskrétních proměnných uvažujeme o P výskytu jednotlivých hodnot.
 U spojitých proměnných neuvažujeme o P výskytu jednotlivých hodnot (∞), ale
spíše o p výskytu hodnot v intervalech – hustota pravděpodobnosti
 P-nostní rozložení je popsáno distribuční funkcí
 F(x) = P (X≤x) tj. P výskytu hodnot ≤ x
 Tato P je rovna „ploše oblasti pod křivkou hustoty pravděpodobnosti“
AJ: random variable, probability distribution, distribution function, probability density
Normální rozložení
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
kumulativní relativní
četnosti normálního
rozložení - graf
distribuční funkce
hustota (četnosti)
normálního rozložení
P v normálním rozložení
Důležitá p-nostní rozložení
 Normální
 Poissonovo
 Studentovo t-rozložení
 Fisherovo F-rozložení
 2-rozložení (chí-kvadrát)
 Binomické
Vyjma binomického se všechna uvedená rozložení používají jako
přibližné (asymptotické) ideály, jimž by se rozložení našich
proměnných (statistik) blížilo, kdybychom měli obrovský a
reprezentativní vzorek.