PSY117/454
Statistická analýza dat v psychologii
Přednáška 5
ZOBRAZENÍ DVOUROZMĚRNÝCH DAT
KORELAČNÍ KOEFICIENT
Všichni žijeme v matrixu.
Výzkumné otázky…
 Hypotézy o vzájemné souvislosti jevů:
 Predikuje intelekt akademický úspěch?
 Mají dobří češtináři i dobré známky z
matematiky?
 Existuje souvislost mezi mírou depresivní a
anxiózní symptomatiky?
 Jsou měsíční příjem a délka pracovní doby
dobrými prediktory životní spokojenosti?
 Jsou různá umělecká nadání specifická, nebo
vycházejí ze stejného „všeobecného“ talentu?
Klasifikace proměnných z hlediska
funkce v problému
 Cílem výzkumu je obvykle
prověřovat kauzální vztahy
 …na úrovni humanitních věd
velmi ambiciózní 
 Statistická analýza nemá
potenciál ke zjištění nebo
testování kauzality. To je úlohou
designu výzkumu a teoretického
zpracování.
 Špatně sebraná data (nevhodný
design) nelze zachránit sebelepší
analýzou.
 Klasifikace proměnných:
 Závislé, nezávislé, intervenující
 Exogenní, endogenní,
moderátory, mediátory
 Obvykle není možné identifikovat
všechny intervenující proměnné…
Přímý efekt
mediace
Intervenující
proměnná s
přímým
efektem
Kontingenční tabulka
známka z matematiky
celkem
1 2 3 4 5
známka z čj
1 82 40 8 1 0 131
2 71 200 73 17 0 361
3 4 75 109 25 0 213
4 1 7 23 24 1 56
5 0 0 2 1 2 5
celkem 158 322 215 68 3 766
 Kontingenční tabulka…
 Hodnoty je třeba přehledně uspořádat (stejně jako u tabulky četností)
 Pro data všech úrovní měření, nejvhodnější pro diskrétní prom. s málo hodnotami
 Buňky mohou obsahovat absolutní četnosti, rel. četnosti (řádkové, sloupcové, celkové)
 Poslední sloupec/řádek obsahuje tzv. sloupcové/řádkové marginální (relativní) četnosti
 Je grafickou podobou je trojrozměrného sloupcový diagramu či histogramu (může
obsahovat i intervaly)
 Relativně vysoké četnosti v jedné z diagonál naznačují lineární provázanost proměnných
AJ: contingency table, crosstabulation, cells, row/column marginal frequencies, linear realtionship (vs. curvilinear (non-linear)
realtionship), 3D barchart, 3D histogram
Fuj: Tab.7.2(s239) je správně kontingenční tabulka, korelační tabulka je něco jiného
Grafická zobrazení dvourozměrného
rozdělení
Bivariate Histogram of B15 against B16
b_test_akt.sta 149v*3080c
Include condition: v133 = 1
Scatterplot of ZLYING against ZSCHOOL
rudý říjen.sta 41v*481c
ZLYING = 0,1397+0,0903*x-0,0094*x^2
(0;2]
(2;4]
(4;6]
(6;8]
(8;10]
(10;12]
(12;14]
(14;16]
(16;18]
(18;20]
(20;22]
(22;24]
(24;26]
> 26
-3 -2 -1 0 1 2 3
ZSCHOOL
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
ZLYING
Bodový graf - scatterplot
 Bodový graf – scatterplot
 Nahrazuje kontingenční tabulku,
jsou-li obě proměnné spojité; pro
proměnné s málo body měření
nemá smysl
 Každá osa reprezentuje jednu
proměnnou, každý bod je jedna
zkoumaná osoba (jednotka)
 Poskytuje tím lepší evidenci o
vztahu dvou proměnných…
 …čím více měření jsme provedli
 …čím přesnější jednotlivá měření
byla
 Parametrem počtu měření
může být např. velikost bodu
 Frequency scatterplot
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
Různé podoby/druhy vztahu
Pouze takto vypadající scattery zobrazují vztah mezi 2 proměnnými, který je
lineární a dobře (=smysluplně, výstižně) popsatelný pomocí Pearsonova
korelačního koeficientu. U ostatních jde buď o vztahy nelineární, nebo je
problém v heterogenitě, outlierech…
Lineární souvislost, vztah
 Lineární vztah je to, co se
obvykle míní slovem
korelace.
 Je to monotónní vztah, který
se dá popsat slovy čím více
X, tím více/méně Y.
 Projevuje se tak, že
scatterplot se dá proložit
„ideální“ přímkou
y = ax + b
Tato funkce/přímka popisuje
strmost vztahu.
Korelace popisuje těsnost
vztahu.
AJ: linear association, correlation, monotonous relationship
Těsnost vztahu
 Čím těsnější (=intenzivnější, silnější) vztah 2
proměnných je, tím jsou body více
nahuštěny okolo nějaké přímky
 Těsnost nesouvisí se sklonem té
přímky, ale pouze s tím, jak moc se
scatterplot podobá přímce.
 Těsnost se udává bezrozměrným
číslem od 0 do 1, kde 0=žádný
vztah(těsnost) a 1= maximální vztah
(data na diagonále v obrázku napravo)
 Znaménko udává, zda jde o vztah
čím víc, tím víc (+) nebo o vztah čím
víc, tím míň (-)
 Rozsah je tedy od -1 do 1
 Těsnost -> kovariance
AJ: strength of association/relationship/correlation, positive relationship, negative(inverse) relationship
Kovariance (=sdílený rozptyl)
 Míru těsnosti lineárního vztahu dvou proměnných lze vyjádřit
číselně
 Kovariance vypovídá o míře „sdíleného rozptylu“
 kde x, y jsou deviační skóry, tj. odchylky od průměru
 Kovariance je stejně jako rozptyl nepraktická – výsledek je v
jakýchsi „jednotkách na druhou“
i
n
i
ixy yx
n
c 

11
1 Vzpomeňte si na výpočet rozptylu. Ten byl
Sx2 / (n – 1). Tohle je Sxy / (n – 1). Místo x*x
je tu x*y, proto je to ko-variance
Tato suma je tím vyšší čím máme v sadě dat více dvojic xy, u
nichž je hodnota x i y nadprůměrná nebo podprůměrná.
Sumu naopak snižují dvojice, kde je jedna hodnota
nadprůměrná a druhá podprůměrná.
AJ: covariance, shared variance
Korelace (=standardizovaný sdílený rozptyl)
 Chceme-li se zbavit obtížně interpretovatelných jednotek u kovariance,
dosáhneme toho podobně jako při výrobě z-skórů – podělením deviačního
skóru příslušnou směrodatnou odchylkou (=standardizace)
 Zakroužkovanou část vzorce už ale známe – to je transformace na z-skór.
Korelace jednodušeji je tedy:
))((
1
1 1
1
1
y
y
n
i x
x
xy
s
my
s
mx
n
r


 
1


n
zz
r
yx
xy
AJ: correlation
Vlastnosti popsaného koeficientu korelace I.
 Jde o tzv. Pearsonův součinový, momentový koeficient korelace
 patří tedy do kategorie momentových ukazatelů (viz předchozí
přednáška) a platí pro něj podobné věci:
 nutná intervalová a vyšší úroveň měření
 velký vliv odlehlých hodnot na výsledek
 je vhodný pro popis normálně rozložených proměnných
 vyjadřuje pouze sílu(těsnost) lineárního vztahu
 Nabývá hodnot v rozmezí -1 až 1
 0 = žádný vztah
 1(-1) = dokonalý kladný (záporný) vztah; identita
proměnných
 Korelace nepopisuje funkční vztah dvou proměnných, ale pouze
jeho směr a těsnost.
AJ: Pearson’s product-moment correlation
Vlastnosti Pearsonova koeficientu korelace II.
 Je vázán na homogenitu
souboru
 Není aditivní
 r2 = R = koeficient
determinace (někdy D )
 = proporce sdíleného
rozptylu
 V důsledku toho:
0,3-0,1 ≠ 0,7-0,5
 r = 0 neznamená, že mezi
rozděleními proměnných není
žádná souvislost, znamená
pouze, že mezi nimi není
lineární vztah.
AJ: sample/population homogeneity, additivity, coefficient of determination
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
-1 -0,5 0 0,5 1
R
r
Vlastnosti Pearsonova koeficientu
korelace III.
 Kdy nemá korelace smysl?
 V1: Kolik hodin denně sledujete
televizi?
 V2: Kolik hodin denně sledujete
televizní zpravodajství?
 Proč? 
 Korelace proměnných se
společnou příčinnou:
 Swoboda: platy kněžích a ceny
vodky v průběhu doby korelují!
 IQ dětí a velikost a jejich výška prý
také…
 … kovariance proměnných se
společnou příčinnou je základem
dalších metod analýzy dat v
psychologii: analýzy reliability a
faktorové analýzy.
Scatterplot of Q.6E against Q.6D
data 281v*2002c
Q.6E = -0,006+0,1787*x-0,0014*x^2
<= -50
(-50;0]
(0;50]
(50;100]
(100;150]
(150;200]
(200;250]
(250;300]
(300;350]
(350;400]
(400;450]
(450;500]
(500;550]
> 550
2 3 4 5 6 7 8
Q.6D
1
2
3
4
5
6
7
Q.6E
Korelační koeficienty pro pořadová data
 vhodné nejen pro pořadová data, ale i pro intervalová, která mají
rozložení výrazně odlišné od normálního
 zachycují i nelineární monotónní vztahy (viz Hendl, s260)
 ukazatele toho, nakolik jsou pořadí podle korelovaných dvou
proměnných stejná
 Spearmanův koeficient rhó – r, rs
 založený na velikosti rozdílů v pořadí
 ekvivalentem Pearsonova koeficientu na pořadových datech
 lze interpretovat r 2
 Kendallův koeficient tau – t (s variantami „b“ nebo „c“)
 založený na počtu hodnot (prvků výběrového souboru) mimo pořadí
 vyjadřuje spíše pravděpodobnost, že se prvky výběrového souboru
uspořádají podle obou proměnných do stejného pořadí
AJ: Spearman (rank correlation) rho, Kendall tau (-b,-c), rank
Korelační koeficienty další
 korelačních koeficientů existuje velké
množství
 specifická užití – např. f
 zjednodušení ručních výpočtů – např. rpb
 ještě budeme mluvit o vztazích mezi
nominálními proměnnými…
!! Korelace neznamená kauzalitu, jde spíše o
koincidenci !!
AJ: phi, point-biserial correlation