PSY117/454
Statistická analýza dat v psychologii
Přednáška 11
Analýza rozptylu
Srovnávání více než dvou průměrů
If your experiment needs statistics, you ought to have done a better experiment.
Ernest Rutherford
Omezení t-testu
t-test umožňuje srovnání pouze dvou průměrů
 Více skupin ( j ) >> mnoho porovnání: j ( j -1)/2
Více srovnání způsobuje strmý růst pravděpodobnosti chyby I. typu
 např. při α=0,05 a 20 testech p=0,64 (1 nebo více chyb)
 aplikace binomického rozložení
 Platí to pro jakýkoli statistický test (zejm. korelace)
Je nevhodné provádět velké množství testů na jedněch datech (cca >5)
 Zneužití se označuje jako rybaření v datech – capitalizing on chance
 Lze kompenzovat korekcí hladiny α (Bonferroniho korekce), avšak za
cenu značného snížení síly testu (1-β).
 Místo α testujeme na hladině α ’=α/N, kde N je počet prováděných testů.
AJ: multiple tests, capitalizing on chance, Bonferroni correction, statistical power
Řešení = Analýza rozptylu (ANOVA)
Testuje na více skupinách jen jednu hypotézu:
 Je někde mezi skupinovými průměry někde rozdíl?
 Je mezi Pražáky, Brňáky a Ostraváky rozdíl v průměrné lakotě?
 H0: µPražáci = µBrňáci = µOstraváci
 Je-li odpověď „ano“ (p <α), pak se můžeme podívat na
jednotlivé rozdíly detailněji (post-hoc testy)
 Je-li odpověď „ne“ (p >α), pak bychom neměli (rybaření)
AJ: ANalysis Of Variance, post-hoc tests (multiple comparisons)
1. terminologická vložka - ANOVA
 ANOVA = ANalysis Of Variance = analýza rozptylu
 i přes svůj název jde o srovnávání průměrů
 ANOVA zjišťuje vztah mezi kategoriální nezávislou a
intervalovou závislou.
 kategoriální nezávislá = faktor (factor, „-way“)
 hodnoty kategoriální nez. = úrovně (level, treatment)
 Zjištěný rozdíl = efekt, účinek (effect)
Princip ANOVY 1.
sk1 sk2 sk3 Celk. sk1 sk2 sk3 Celkem
čl1 2 4 6 čl1 0 6 2
čl2 2 4 6 čl2 4 2 10
čl3 2 4 6 čl3 0 6 2
čl4 2 4 6 čl4 4 2 10
čl5 2 4 6 čl5 2 4 6
m 2 4 6 4 m 2 4 6 4
s2
0 0 0 2,9 s2
4,0 4,0 16,0 9,7
MSbg 20 MSbg 20
MSw 0 MSw 8
sk1 sk2 sk3 Celkem F 2,5
čl1 1 4 2 0,95F(2,12) 3,8853
čl2 3 5 5 p 0,1237
čl3 5 1 3
čl4 4 2 1
čl5 2 3 4
m 3 3 3 3
s
2
2,5 2,5 2,5 2,1
MSbg 0
MSw 2,5
 rozptyl = MS = mean square
 MSwithin : variabilita uvnitř
skupin (MSe, error)
MSwithin=SSwithin/n – j
 MSbetween : s2 spočítaný ze
skupinových průměrů,
variabilita uvnitř skupiny je
ignorována (též MSA)
 MSbetween=SSbetween/j -1
Platí-li H0, jaký čekáme vztah
mezi Msbetween a Mswithin ?
Princip ANOVY – F-test
 Čím jsou si průměry podobnější, tím je rozptyl mezi
skupinami nižší (MSbetween se blíží 0)
 Čím nižší je rozptyl uvnitř skupin (MSwithin se blíží 0), tím
průkaznější se průměry mezi skupinami zdají být.
 Důležitý je poměr těchto dvou odhadů rozptylu:
 Čím vyšší je F-poměr, tím průkaznější jsou rozdíly mezi
průměry (rozsah je 0 až ∞ )
 F -poměr má jako výběrová statistika F -rozložení
within
between
MS
MS
F =
Fisherovo-Snedecorovo F-rozložení
 Podobně jako t -rozložení, je F -rozložení vlastně rodina mnoha rozložení mírně
se lišící svým tvarem
 Tato rozložení se liší tentokrát dvěma parametry – stupni volnosti
 ν1 = počet skupin – 1 : stupně volnosti čitatele - MSbetween
 ν2 = počet lidí – počet skupin : stupně volnosti jmenovatele - MSwithin
 na pořadí ZÁLEŽÍ
http://www.econtools.com/jevons/java/Graphics2D/FDist.html
AJ:
FUJ: V tabulkách F-rozložení v Hendlovi jsou prohozeny v1 a v2.
Princip ANOVY – dělení rozptylu.
 Dělení variability (rozptylu) podle zdrojů jako u lineární regrese
Xij =µ + αj + eij
 Xij = skóre jedince (i-tý jedinec v j-té skupině)
 µ = průměr populace
 α = vliv příslušnosti ke skupině (vliv úrovně faktoru)
 eij= chyba (vše, s čím nepočítáme, individuální prom.)
Xij – m = (m – mj ) + (Xij – mj )
odchylka od celkového průměru = odchylka od skupinového průměru +
odchylka skupinového průměru od celkového průměru
 … odchylky umocněné na druhou = cesta k rozptylu
SSTotal = SSBetween (A) + SSWithin(Error)
MSTotal; MSError; MSA
ijji eXbXbXbaY +++++= −− 112211 ...
Velikost účinku (efektu)
 Podobně jako u regrese chceme vědět, jaká část
rozptylu závislé je vysvětlená nezávislou
 Ekvivalentem R 2 je u anovy η2 (eta)
 η2=SSBetween/SSTotal
 Poněkud přesnější je ω2
 Pro konkrétní rozdíl průměrů dCoh = m1-m2/√MSWithin
 Velikost účinku je vždy třeba uvádět
Předpoklady použití ANOVY
 normální rozložení uvnitř skupin
 při nj>30 a n1=n2=…=nj je ANOVA robustní
 stejné rozptyly uvnitř skupin:
homoskedascita
 do smax/smin<3 je ANOVA robustní, zváště při n1=n2=…=nj
 nezávislost všech pozorování
 při opakovaných měřeních je třeba použít ANOVU pro
opakovaná měření
viz Hendl 343
Post-hoc testy (simultánní porovnávání)
 Po (a pouze po) prokázání „nějakých“ rozdílů mezi průměry
obvykle chceme vědět, mezi kterými skupinami konkrétně
rozdíly jsou: post-hoc testy
 Srovnáváme každou skupinu s každou způsobem, který
nezpůsobí nárůst α.
 Je-li důležité udržet α pod kontrolou, pak je správnou
volbou Scheffeho test – volba pro rybaření
 Pokud to není tak kritické a máte-li pár kvazi-hypotéz na
mysli, pak je volbou Student-Neuman-Keuls (S-N-K)
 Extrémně „dajný“ a nepříliš vhodný pro více než 3 skupiny
je LSD a proto se nedoporučuje.
Další varianty a rozšíření ANOVA
 ANOVA pro opakovaná měření (jako párový t-test)
 ANOVA s 2 a více faktory (faktoriální ANOVA)
 MANOVA – s více závislými proměnnými
To vše v SPSS skryto pod GLM – general linear model
 Pořadovou (neparametrickou) alternativou ANOVY jsou
 Kruskal-Wallis H: H0: Md1=Md2=…=Mdj H1: Md1≠Md2 ≠ … ≠ Mdj
 Jonckeheere-Terpstra Test: H1: Md1≤Md2 ≤ … ≤ Mdj
AJ: repeated measures ANOVA, two(three..)-way ANOVA,(factorial ANOVA)