08. Srovnání skupin



Harmonogram
▫01. t-testy
▫02. (One-Way) ANOVA

Srovnání dvou průměrů (dle Conway, n.d.)
Dependent t-test - úvod
Předpoklady použití:
•The sampling distribution is normally distributed. In the dependent t-test this means that the
sampling distribution of the differences between scores should be normal, not the scores
themselves.
•Data are measured at least at the interval level.

Srovnání dvou průměrů (dle Conway, n.d.)
Dependent t-test
# Bydleni_Brno <- read_excel("Bydleni_Brno.xlsx")
# In the case of our dependent t-test, we need to specify these arguments to t.test():
  ?t.test
# x: Column of Bydleni_Brno containing prices for 2015
# y: Column of Bydleni_Brno containing prices for 2016 paired: Whether we're doing a dependent
(i.e.    # paired) t-test or independent t-test. In this example, it's TRUE
# Note that t.test() carries out a two-sided t-test by default
# Conduct a paired t-test using the t.test function
t.test(Bydleni_Brno$Pronajem_m2_2015,  Bydleni_Brno$Pronajem_m2_2016, paired = TRUE)




Srovnání dvou průměrů (dle Conway, n.d.)
Dependent t-test – Cohenovo d – lsr
library("lsr")
# For cohensD(), we'll need to specify three arguments:
# x: Column of wm_t containing post-training intelligence scores
# y: Column of wm_t containing pre-training intelligence scores
# method: Version of Cohen's d to compute, which should be "paired" in this case
?cohensD()

Srovnání dvou průměrů (dle Conway, n.d.)
Dependent t-test – Cohenovo d – lsr – příklad
# Calculate Cohen's d
cohensD(Bydleni_Brno$ Pronajem_m2_2015, Bydleni_Brno$ Pronajem_m2_2016, method = "paired")

Srovnání dvou průměrů (dle Conway, n.d.)
Dependent t-test – Cohenovo d – effsize – argumenty
library("effsize")
cohen.d(x, y, pooled=TRUE, paired=TRUE,
na.rm=FALSE, hedges.correction=FALSE,
conf.level=0.95, noncentral=FALSE)
?cohen.d()

Srovnání dvou průměrů (dle Conway, n.d.)
Dependent t-test – Cohenovo d – effsize – příklad
library("effsize")
cohen.d(Bydleni_Brno$Pronajem_m2_2015, Bydleni_Brno$Pronajem_m2_2016,
        pooled=TRUE,paired=TRUE,
        na.rm=FALSE, hedges.correction=FALSE,
        conf.level=0.95,noncentral=FALSE)

Srovnání dvou průměrů
Cohenovo d – Guess


Srovnání dvou průměrů (dle Conway, n.d.)
Independent t-test - úvod
Předpoklady použití:
•The sampling distribution is normally distributed.
•Data are measured at least at the interval level.
•Homogeneity of variance.
•Scores are independent (because they come from different people).

Srovnání dvou průměrů (dle Conway, n.d.)
Dependent t-test
# Bydleni_Brno <- read_excel("Bydleni_Brno.xlsx")
# In the case of our dependent t-test, we need to specify these arguments to t.test():
  ?t.test
# x: Column of Bydleni_Brno containing prices for 2015
# y: Column of Bydleni_Brno containing prices for 2016 paired: Whether we're doing a dependent
(i.e.    # paired) t-test or independent t-test. In this example, it's TRUE
# Note that t.test() carries out a two-sided t-test by default
# Conduct a paired t-test using the t.test function
t.test(Bydleni_Brno$Pronajem_m2_2015,  Bydleni_Brno$Pronajem_m2_2016, paired = TRUE)

Srovnání dvou průměrů
Independent t-test
# View the dataset
view(dfSummary(Bydleni_Brno))
# Create subsets
Sidliste <- Bydleni_Brno %>%
            select(c("Sidliste", "Pronajem_m2_2016")) %>%
            filter(Sidliste == 1, Pronajem_m2_2016 > 0)
Rodinne_Domy <- Bydleni_Brno %>%
  select(c("Sidliste", "Pronajem_m2_2016")) %>%
  filter(Sidliste == 0, Pronajem_m2_2016 > 0)
# Summary statistics
Sidliste_view <- view(dfSummary(Sidliste))
Rodinne_Domy_view <- view(dfSummary(Rodinne_Domy))
# Create a boxplot
Bydleni_Brno_Najem <- Bydleni_Brno %>%
  filter(Pronajem_m2_2016 > 0) %>%
  ggplot(aes(x = factor(Sidliste), y = Pronajem_m2_2016, fill = factor(Sidliste))) + geom_boxplot()

Srovnání dvou průměrů
Independent t-test  - base
# Levene's test
library(car) # install.packages("car")
Bydleni_Brno_Najem_Levene <- Bydleni_Brno %>%
  filter(Pronajem_m2_2016 > 0)
  leveneTest(Bydleni_Brno_Najem_Levene$Pronajem_m2_2016 ~
factor(Bydleni_Brno_Najem_Levene$Sidliste))

  # Conduct an independent t-test
  t.test(Sidliste$Pronajem_m2_2016, Rodinne_Domy$Pronajem_m2_2016, var.equal = FALSE)

Srovnání dvou průměrů (dle Conway, n.d.)
Independent t-test  - Cohen‘s d


Srovnání dvou průměrů
Dependent t-test – Cohenovo d – effsize – příklad
 # Calculate Cohen's d
 cohen.d(Sidliste$Pronajem_m2_2016, Rodinne_Domy$Pronajem_m2_2016,
          pooled=FALSE,paired=FALSE,
          na.rm=FALSE, hedges.correction=F,
          conf.level=0.95,noncentral=FALSE)

ANOVA
Úvod
ANOVA = ANalysis Of VAriance
•Slouží pro srovnání skupinových průměrů napříč 3 a více skupinami/podmínkami
•Dvě výchozí varianty:
•Between design: oddělené, na sobě nezávislé skupiny (ANOVA, ANCOVA, faktoriální ANOVA atd.)
•Liší se jednotlivé kraje v ČR z hlediska průměrné mzdy?
•Within design: srovnání skupinového průměru napříč různými podmínkami (Repeated Measures ANOVA)
•Lišily se průměrné výdaje domácností na pohonné hmoty během posledních 5 let?

One-Way ANOVA
Data
•Faktor – převažující kategorie vzdělání u obyvatel v dané brněnské čtvrti (základní,
středoškolské, vysokoškolské)
•Závislá proměnná – průměrná cena za byt o rozměru 60 metrů čtverečních v roce 2016 dle městské
části v Brně
•Nulová hypotéza:
•Všechny skupiny mají shodný průměr (i.e. V Brně není rozdíl v průměrné ceně bytu o rozloze 60
metrů čtverečních pro čtvrti s obyvateli s převažujícím základním, středoškolským a vysokoškolským
stupněm vzdělání.)
•Alternativní hypotéza:
•S převažujícím vyšším stupněm vzdělání v městských částech Brna se pojí vyšší průměrná cena bytu o
rozloze 60 metrů čtverečních.

One-Way ANOVA
Kód
•Bydleni_Brno$Vzdelani = factor(Bydleni_Brno$Vzdelani, order = TRUE, levels = c(0, 1, 2), labels =
c("Základní", "Středoškolské", "Vysokoškolské"))
•Bydleni_Brno_60m2_2016 <- Bydleni_Brno %>%
filter(Prodej_60m2_2016 > 0)

One-Way ANOVA
F-test a F-Ratio


One-Way ANOVA
F-test a F-Ratio
Jak získáme příslušnou p-hodnotu?
•Obdoba t-testu a "rodině" t-rozložení
•"Rodina" F-rozložení se odvíjí od:
•Počtu pozorování (případů) ve vzorku
•Počtu srovnávaných skupin

One-Way ANOVA
F-test a F-Ratio
# Create the vector x
x <- seq(from = 0, to = 10, length = 2000)
# Evaluate the densities
y_1 <- df(x, 3, 100)
y_2 <- df(x, 1, 1)
y_3 <- df(x, 2, 100)
y_4 <- df(x, 3, 30)
y_5 <- df(x, 3, 500)
y_6 <- df(x, 3, 50)
y_7 <- df(x, 6, 1000)
# Plot the densities
plot(x, y_1, col = 1, type = "l")
lines(x, y_2, col = 2)
lines(x, y_3, col = 3)
lines(x, y_4, col = 4)
lines(x, y_5, col = 5)
lines(x, y_6, col = 6)
lines(x, y_7, col = 7)
# Add the legend
legend("topright", title = "F distributions",
c("df = (3, 100)", "df = (1, 1)", "df = (2, 100)", "df = (3, 30)",
"df = (3, 500)", "df = (3, 50)", "df = (6, 1000)"),
col = c(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), lty = 1)

One-Way ANOVA
Summary Table


One-Way ANOVA
F-test a F-Ratio
Prozkoumání dat
# Summary statistics by group
library(psych)
describeBy(Bydleni_Brno_60m2_2016$Prodej_60m2_2016, group = Bydleni_Brno_60m2_2016$Vzdelani)
# Boxplot
library(ggplot2)
bp1 = ggplot(Bydleni_Brno_60m2_2016, aes(Vzdelani, Prodej_60m2_2016))
bp1 + geom_boxplot(aes(fill=Vzdelani), alpha=I(0.5)) +
  geom_point(position="jitter", alpha=0.5) +
  geom_boxplot(outlier.size=0, alpha=0.5) +
  theme(
    axis.title.x = element_text(face="bold", color="black", size=12),
    axis.title.y = element_text(face="bold", color="black", size=12),
    plot.title = element_text(face="bold", color = "black", size=12)) +
  labs(x="Převažující kategorie vzdělání ",
       y = "Cena za byt o rozloze 60 metrů čtverečních (v Kč)",
       title= "Cena za byt o rozloze 60 metrů čtverečních (v Kč) dle převažující kategorie
vzdělání") + theme(legend.position='none')

One-Way ANOVA
F-test a F-Ratio
Funkce aov
aov(dependent_var ~ independent_var)
summary()
# Apply the aov function
anova_BydleniBrno <- aov(Prodej_60m2_2016 ~ Vzdelani, data = Bydleni_Brno_60m2_2016)
# Look at the summary table of the result
summary(anova_BydleniBrno)

One-Way ANOVA
F-test a F-Ratio
Velikost účinku
library(lsr)
etaSquared(anova_wm, type = 2,
anova = FALSE)
library(sjstats)
anova_wm2 <- lm(iq ~ condition2, data =ANOVA)
r2(anova_wm2, n = NULL)




One-Way ANOVA
Předpoklady použití
Povaha proměnných
•"Závislá" proměnná kardinální úrovně měření
Normalita rozložení závislé proměnné
•V rámci každé sledované skupiny
•Narušení nepředstavuje závažný problém, pokud jsou skupiny stejně velké + mají velikost alespoň
okolo 30
•Neparametrická alternativa – Kruskal-Wallisův test
Homogenita rozptylu
•Sledujeme Levenův F-test, nulová hypotéza hovoří o homogenitě napříč skupinami
•Pokud Levenův F-test vychází statisticky signifikantní:
•Sledujeme poměr rozptylu u skupin s největším a nejmenším rozptylem, přičemž chceme, aby byl tento
poměr menší než 3
•Narušení by nemělo vadit, pokud jsou skupiny stejně velké
•Při narušení lze použít Welchovo F
Nezávislost pozorování

One-Way ANOVA
Předpoklady použití
library("car")
If you don't specify additional arguments, the deviation scores are
calculated by comparing each score to its group median.
•This is the default behaviour, even though they are typically calculated by comparing each score
to its group mean.
•If you want to use means and not medians, add an argument center = mean. Do this now and compare
the results to the first test.
# Levene's test
leveneTest(Prodej_60m2_2016 ~ Vzdelani, data = Bydleni_Brno_60m2_2016)
# Levene's test with center = mean
leveneTest(Prodej_60m2_2016 ~ Vzdelani, data = Bydleni_Brno_60m2_2016, center = mean)

One-Way ANOVA
Předpoklady použití
# Normalita rozložení
ggplot(data=Bydleni_Brno_60m2_2016, aes(Prodej_60m2_2016)) +
  geom_histogram(binwidth = 250000, col="red",
                 aes(fill=..count..)) +
  scale_fill_gradient("Count", low = "green", high = "red") +
  labs(title="Histogram ceny za byt o rozloze 60 metrů čtverečních v Brně v roce 2016") +
  labs(x="Cena", y="Četnost") + theme(legend.position='none')

One-Way ANOVA
Welchův F-test
anova_wm_VNE = oneway.test(Prodej_60m2_2016 ~ Vzdelani, data = Bydleni_Brno_60m2_2016,
var.equal=FALSE)
anova_wm_VNE
anova_wm_VE = oneway.test(Prodej_60m2_2016 ~ Vzdelani, data = Bydleni_Brno_60m2_2016,
var.equal=TRUE)
anova_wm_VE

Post-Hoc Testy
 Úvod
Allow for multiple pairwise comparisons without an increase in the probability of a Type I error
Používáme, pokud nemáme dopředu jasné hypotézy
•Srovnávají vše se vším – každou skupinu s každou (ale neumí slučovat skupiny jako kontrasty)
Z principu jsou oboustranné
Je jich mnoho – liší se v několika parametrech:
•Konzervativní (Ch. II. typu) versus Liberální (Ch. I. typu)
•Most liberal = no adjustment
•Most conservative = adjust for every possible comparison that could be made
•Ne/vhodné pro rozdílně velké skupiny
•Ne/vhodné pro rozdílné skupinové rozptyly

Post-Hoc Testy
 Doporučení podle Fielda
Stejně velké skupiny a skupinové rozptyly (ideální situace):
•REGWQ
•Tukey
Pokud si chceme být jistí, že P chyby I. typu nepřekročí zvolenou hladinu:
•Bonferroni
Pokud jsou velikosti skupin trochu/hodně rozdílné:
•Gabriel
•Hochberg GT2
Pokud pochybujeme o shodnosti skupinových rozptylů:
•Games-Howell

Post-Hoc Testy
 Tukey
# Conduct ANOVA
anova_BydleniBrno = aov(Prodej_60m2_2016 ~ Vzdelani, data = Bydleni_Brno_60m2_2016)
# View summary
summary(anova_BydleniBrno)
# Conduct Tukey procedure
tukey <- TukeyHSD(anova_BydleniBrno)
# Plot confidence intervals
plot(tukey)

Post-Hoc Testy
 Bonferroni
The Bonferroni correction compensates for that increase by testing each individual hypothesis at a
significance level of α/m, where α is the desired overall alpha level and m is the number of
hypotheses.
•For example, if a trial is testing m = 20 hypotheses with a desired α = 0.05, then the Bonferroni
correction would test each individual hypothesis at α = 0.05/20 = 0.0025.
# Pairwise t-test
pairwise.t.test(Bydleni_Brno_60m2_2016$Prodej_60m2_2016, Bydleni_Brno_60m2_2016$Vzdelani, p.adjust
= "bonferroni")




Kontrasty
 Úvod
Umožňují porovnat jednotlivé skupiny v jednom kroku bez nutnosti korigovat hladinu významnosti (bez
snížení síly testu)
•Jen když máme dopředu hypotézy
•Kontrastů lze provést tolik, kolik je počet skupin – 1
Každý kontrast srovnává 2 průměry
•Průměr skupiny nebo průměr více skupin dohromady
•Např. „Základní" vs. „Středoškolské"
Ortogonální (nezávislé) kontrasty
•Skupina použitá v jednom srovnání není použitá v dalším
Neortogonální kontrasty

Kontrasty
 Úvod
c1 = c(-1,0,1)
c2 = c(0,-1,1)
mat <- cbind(c1,c2)
contrasts(Bydleni_Brno_60m2_2016$Vzdelani) <- mat
model1 <- lm(Prodej_60m2_2016 ~ Vzdelani, data = Bydleni_Brno_60m2_2016)
summary(model1)
options(contrasts = c("contr.helmert", "contr.poly"))
contrasts(Bydleni_Brno_60m2_2016$Vzdelani) <- "contr.helmert"
model1 <- lm(Prodej_60m2_2016 ~ Vzdelani, data = Bydleni_Brno_60m2_2016)
summary(model1)

Zdroje
Conway, A. (n.d.) Intro to Statistics with R: Student's T-test. Dostupné online na:
https://www.datacamp.com/courses/intro-to-statistics-with-r-
students-t-test
Effect size (n.d.). In Wikipedia: Staženo dne 10. 10. 2016 z
https://en.wikipedia.org/wiki/Effect_size
Field, A., Miles, J., & Field, Z. (2012). Discovering Statistics Using R. Sage: UK.
Navarro, D. J. (2014). Learning statistics with R: A tutorial for psychology students and other
beginners. Available online: http://health.adelaide.edu.au/psychology/ccs/teaching/lsr/
Standard error (n.d.). In Wikipedia: Staženo dne 10. 10. 2016 z
https://en.wikipedia.org/wiki/Standard_error
Student's t-test (n.d.). In Wikipedia: Staženo dne 10. 10. 2016 z
https://en.wikipedia.org/wiki/Student%27s_t-test