Stationery anabnr2
1
nNěkdy chceme více než prezentovat data v tabulkách nebo grafech
nChceme např. najít typickou hodnotu a v jaké míře se data od této typické hodnoty odchylují
nPoužití:
nk základnímu popisu distribuce proměnné
nfundamentální k pochopení složitějších analýz
Kapitola 3: Centrální tendence a variabilita

Stationery anabnr2
2
Míry centrální tendence
nTypický klient, typická mzda
nPři analýze dat typické = hledání hodnoty (čísla), která reprezentuje distribuci hodnot proměnné
n3 nástroje: průměr (mean), medián (median), modus (mode)
n…mají 2 vlastnosti:
nSumarizují data
npř. Průměrně jsme v minulém roce denně 16.4 klientových zakázek)
nPoskytují společný referenční bod k porovnání dvou skupin dat
nPř. Průměrná nástupní mzda absolventa BcSW je 2223 $, průměrná nástupní mzda MgrSW je 3112 $
n

Stationery anabnr2
3
modus
nNejčetněji se vyskytující hodnota
nPř. Věk klienta (N=15)
n28, 31, 38, 39, 42, 42, 42, 42, 43, 47, 51, 54, 55, 56, 60
nBimodální distribuce – histogram dva vrcholy
nPř. Počet let praxe v sociální práci (N=22)
n0, 0, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 9, 11, 14
nNejméně předpokladů – použitelný pro každý typ proměnné
nNepoužívá se často – nejčastější hodnota není vždy nejtypičtější hodnota

Stationery anabnr2
percentil
nKolik procent případů se nachází pod konkrétním percentilem
nUžitečné percentily: decily, kvartily, 1st kvartil, 3rd kvartil
4

Stationery anabnr2
5
medián
n=50th percentil
nJsou-li data nejméně ordinální
nHodnota která dělí případy na dvě půlky
nPř.  Počet navštívených terapeutických sezení (n=21)
n2,2,2,3,3,4,5,5,7,8,9,10,11,11,14,14,15,16,18,20,41
nPř. Počet navštívených terapeutických sezení (n=24)
n1,1,1,1,1,2,2,3,3,3,4,5,6,6,7,8,11,11,13,14,15,17,20
nKlient, který navštívil sezení 41* = extrémní klient
nMedián neovlivněn extrémy - extrémní hodnoty se vyruší
npř. Bez ohledu zda byl na sezení 41*, 100*, nebo 1000*, medián tuto hodnotu vnímá jako nejvyšší a
vyruší ji – medián se nemění
n
n

Stationery anabnr2
6
Medián 2
Skóre experimentální skupiny (X) (N=300)
Skóre
Rel.četnost
Kum.rel. četnost
50-59
0
0
60-69
10
10
70-79
40
50
80-89
30
80
90-100
20
100
Skóre kontrolní skupiny (C) (N=200)
Skóre
Rel.četnost
Kum.rel. četnost
50-59
5
5
60-69
15
20
70-79
40
60
80-89
35
95
90-100
5
100
nMáme-li intervaly pak:
nVzorec využívající absolutní četnosti:
nMe = lrl + i * ((0.5N – cf) / f v intervalu )
nKde LRL= spodní hranice intervalu pod intervalem obsahujícím medián, i=šířka intervalu, N=celkový
počet případů, Cf = kumulativní frekvence pod spodním hranicí, f= frekvence
n
nVzorec využívající relativní četnosti:
nMe = lrl + i * ((50 – rcf) / rf v intervalu )
nKde rcf = relativní kumulativní frekvence pod spodním hranicí, rf= relativní frekvence
nPř. Medián (C) = 69.5 + (30/40)*10 = 77
nMedián (X) = 69.5 + (40/40)*10=79.5
n

Stationery anabnr2
7
Aritmetický průměr
n= součet všech hodnot dělený počtem hodnot (Xprům= Σ Xi / N)
n
nInterval/poměrová pr., nedává smysl pro nominální (vyjma dichotomické, př. Muž=1, žena=0)
n
nCitlivý na extrémy, vhodný pro symetrickou distribuci a velké N
n
nPř.  Počet navštívených terapeutických sezení (n=21)
n2,2,2,3,3,4,5,5,7,8,9,10,11,11,14,14,15,16,18,20,41
nXprům = (3*2 + 2*3 + 4 + 2*5 + 7 + 8 + 9 + 10 + 2*11 + 2*14 + 15 + 16+18+20+41) / 21 = 220 / 21 =
10,476
nPř. Zkreslenost průměru extrémem:
nPokud namísto 41 hodnota 20, pak xprům = (220 – (41-20)) / 21 = 9,476
n10,476 – 9,476 = 1 ! Pouze díky jednomu extrémnímu případu
n
n
n

Stationery anabnr2
8
Ořezaný průměr
n= průměr osekaný o horních a dolních 5% případů – vypořádání se s extrémy
nPočítá se jen s hodnotami uvnitř 5 – 95% percentilu

Stationery anabnr2
9
n

Stationery anabnr2
10
Vážený průměr
nNěkdy všechny hodnoty nemají stejnou váhu a je třeba je zvážit
nPř. Pracuji-li na poloviční úvazek, musím svůj výkon vynásobit 2* aby byl porovnatelný s člověkem
pracujícím na plný úvazek

Stationery anabnr2
11
Měření rozptýlenosti
nDistribuce mají stejné průměry ale vypadají jinak - centrální tendence nestačí – je třeba změřit
rozptýlenost
n= jak jsou hodnoty rozptýleny od průměru
Soubor: Srovnání standardní deviations.svg

Stationery anabnr2
12
Variační rozpětí (range)
n= x max – x min + 1
nPř. Věk (x max=35, x min=30)
nR = 35 – 30 + 1 = 6 (existuje šest potenciálních hodnota věk může nabýt)
nCitlivý na extrémy

Stationery anabnr2
13
Mezikvartilní rozpětí (interquartile range / difference)
nŘeší problém extrémů
n= 75th percentil – 25th percentil
File:Boxplot vs PDF.png

Stationery anabnr2
14
Průměrná odchylka
nDm = Σ |Da| / N
n= součet absolutních odchylek (odchýlení každé hodnoty od průměru) dělený počtem případů
nPř. Dm = (2 + 1 + 0 + 1 + 2) / 5 = 1.2
Hodnota
Průměr
odchylka
1
3
-2
2
3
-1
3
3
0
4
3
1
5
3
2

Stationery anabnr2
15
Rozptyl (variance)
nVar = součet čtverců individuálních  absolutních odchylek od průměru dělený počtem případů
n
nVar = (Xi – X prům)2 / N
n
nPř. ((-2)2 + (-1)2 + (0)2 + (1)2 + (2)2) / 5 = 2

Stationery anabnr2
16
Směrodatná odchylka (standard deviation)
nσ= √var

Stationery anabnr2
17
Př. Příklady distribucí se stejným průměrem ale různou variabilitou
graph A + B table agency A table agency B

Stationery anabnr2
18
Krabicový diagram
nUmožňuje identifikovat distribuci proměnné
nShora:
nExtrémní hodnoty
nNad horním kvartilem
nHorní kvartil (75 percentil)
nMedián
nDolní kvartil (25 percentil)
nHodnoty pod dolním kvartilem
nExtrémní hodnoty
458074b4803

Stationery anabnr2
19
Z skóre - základ
n= z-skor pro hodnotu x náhodné proměnné představuje jak daleko (kolik směrodatných odchylek) od
průměru se hodnota x nachází
n= rozdíl mezi individuální hodnotou (Xi) a průměrnou hodnotou (X prům) relativně k rozptylu
distribuce (s)
nZ = (Xi – X prům) / s
nProto Z = 0 = průměr (μ)
nA také 1 z = 1 SD, 2 z = 2 SD atd.
nDůkaz: z = (X – X prům) / s = (110-100)/10=s / s = 1
n(120-100)/10=20/10=2 atd.
n
nstandardizací původních hodnot distribuce vzniká Standardizované normální rozložení Z~N(0, 1)

Stationery anabnr2
20
nÚčel č.1: Zjištění relativní pozice individua k populaci
n
nPř. Výsledky IQ testu jsou aproximovány (blíží se) normálním rozložením o průměru μ = 100 a σ=16.
Bob skóroval 125. Jak „chytrý“ je Bob vzhledem k ostatním?
nZ = (X – μ) / σ = (125-100) / 16 = 1.56
nBob skóroval 1.56 standardní odchylky nad průměrem
nJaká část populace skórovala více (nebo méně)? Viz tabulka
n
Z skóre - výklad

Stationery anabnr2
21
nÚčel č.2: Porovnání relativních pozic dvou individuí z rozdílných vzorků (populací?)
n
nPř. Dvě kamarádky Rita a Miriam se účastnili jiných skupin kurzu praxe sociální práce, v ½
semestru složili zkoušku, Rita získala 21, Miriam 85 bodů, kdo byl lepší?
nSrovnat maximální počet bodů v obou testech
nRita 21 z 25 = 84 %, Miriam 85 ze 100 = 85 %, je Miriam lepší? Co když je Miriaminých 85 %
nejhorší výsledek ve skupině zatímco Ritiných 85 % nejlepší výsledek?
n nebo srovnat jednotlivé výsledky s výsledky ostatních studentů pomocí z-skóru

Stationery anabnr2
22
nPř. Deborah pracuje jako sociální pracovnice ve studentském zdravotním centru a vede kurzy pro
léčbu chronické úzkosti. Uvolnilo se jí místo ve skupině. Do skupiny se přijímá na základě testu
„Škála úzkosti A“ (μ =70, σ =10) . Pouze studenti kteří dosáhnou min. 80 bodů na škále A mohou být
přijati. Deborah se podívala do seznamu potenciálních klientů a zjistila že nejvyššího skóre 78
dosáhla Gina. Deborah však právě dostala doporučení o novém studentovi který trpí úzkostí a
potřebuje pokračovat v léčbě. Doporučení také obsahovalo že student Tom dosáhl 66 bodů na jiné
škále „Škále B“ (μ =50, σ =12).
n
nCo může Deborah udělat aby srovnala oba uchazeče a vybrala potřebnějšího?
nA) Nechat Toma otestovat „Škálou A“
nB) Zná-li průměr a směrodatnou odchylku obou škal, může porovnat Z-skóry.

Stationery anabnr2
23
nŘešení:
nZ Gina = (78 – 70) / 10 = 0.8
nTabulka Z 0.8 = 28.81 + 50 = 78.81 = 79th percentil
nZ Tom = (66 – 50) / 12 = 1.33
nTabulka Z 1.33 = 40.82 + 50 = 90.82 = 91st percentil
nTom byl vybrán jako potřebnější na základě relativně vyšší úrovně úzkosti
n
4_11

Stationery anabnr2
24
nÚčel č. 3: Odvození syrového skóre z percentilu (z-skóru)
nSociální pracovnice Lauren chce vytvořit skupinu pro léčbu studentů s vysokou úrovní úzkosti, na
základě výsledků z testů na „Škále B“(μ =50, σ =12), přičemž chce přijmout jen horních 10 procent
nejvážnějších případů.
nŘešení:
nLauren musí najít mezní bod (cut-off point) pro syrové skóre, který by nejlépe odpovídal 90th
percentilu. Studenti nad toto skóre budou přijati, ostatní ne.
nX = μ + z* σ
nPostup: najít z-skor pro kumulativní pravděpodobnost 90 – 50 = 40
nJaké Z odpovídá hodnotě 40?: Z = 1.28
n1.28 (Z-skóre)= (x – 50) / 12
n (12*1.28) + 50  = x
n 65.36  = x
nOdpověď: Pro vstup do skupiny je třeba získat 66 bodů.
n