Stationery anabnr2
1
Asociace / souvislost
nHlavním účelem analýzy dat s dvěma proměnnými je zjistit zda je mezi proměnnými souvislost a
popsat povahu této souvislosti
nSouvislost existuje, pokud nějaká hodnota jedné proměnné se vyskytne pravděpodobněji s určitými
hodnotami jinými proměnnými
npř. 1. Přežít určité období je pravděpodobnější pro kuřáky než pro nekuřáky. 2. V případě vyššího
užití energie, má úroveň CO2 v atmosféře tendenci být vyšší? 3. Daňoví poplatníci vyšší příjmové
skupiny mají tendenci být pravděpodobněji kontrolováni než poplatníci nižších příjmových skupin.
4.  Pokud dám první koš, mám vyšší pravděpodobnost dát druhý koš, než pokud ho nedám.
n2 otázky:
nExistuje souvislost?
nJak je silná?
n
n

Stationery anabnr2
2
Závislá a nezávislá proměnná
nJak výsledek závislé proměnné závisí / je vysvětlen hodnotou nezávisle proměnné
nZávislá proměnná = výsledek který je porovnáván
nNezávislá
nKategorická = definuje skupiny které srovnáváme vzhledem k hodnotám závislé proměnné
nKvantitativní = definuje jak změna mezi různými numerickými hodnotami souvisí s hodnotami výsledné
proměnné

Stationery anabnr2
3
Souvislost podle typu proměnné
n3 základní typy situací:
nObě proměnné kategorické
nZobrazujeme pomocí kontingenčních tabulek a asociaci zkoumáme prostřednictvím podmíněných
proporcí/pravděpodobností
nKvantitativní a kategorická proměnná
nSrovnáváme kategorie nezávisle proměnné (pohlaví) podle velikosti závislé proměnné (př. příjem) na
základě měr centrální tendence a variability (např. průměrný příjem)
nObě kvantitativní
nAnalyzujeme jak se výsledek závisle proměnné mění když se mění hodnota nezávisle proměnné
nZobrazujeme bodové rozptýlení (regulujeme extrémní/odlehlé hodnoty)

Stationery anabnr2
4
Asociace mezi kategorickými proměnnými
nPř. typ jídla (bio/běžné) vs. úroveň pesticidů (vysoká/nízká)
nProces: „křížení“ (crosstabulation) / třídění 2. stupně
nZpůsob zobrazení (výsledek): kontingenční tabulka
nObsahuje kombinace kategorií obou proměnných
nKaždá kombinace = buňka
nPodmíněné proporce vs. marginální proporce
nAsociaci zjistíme srovnáním podmíněných proporcí – je proporce potravin s obsahem pesticidů stejná
u bio potravin a běžných potravin? Ano = nezávislost, Ne = souvislost
n
n

Stationery anabnr2
5
nMíra asociace je statistika která sumarizuje sílu závislosti mezi dvěma proměnnými
nRozdíl v podmíněných proporcích
n(-1 až 1) , 0 = nezávislost (např. 0.6 - 0.6 = 0), 1 a -1 extrémní souvislost (např. 0 - 1)
nPoměr podmíněných proporcí (relativní riziko=RR, také „risk ratio“)
n(0 až nekonečno), 1 = nezávislost, čím dále od 1 tím větší závislost, nicméně RR = 4 (např.
0.8/0.2) a RR=0.25 (0.2/0.8) představují stejně silný vztah
nPoměr šancí (OR, také „odds ratio“)
n(0 až nekonečno), 1 = nezávislost
nStatistiky založené na chí-kvadrátu (Phí, Cramerovo V)…naučíme se později
Míry měření asociace mezi kategorickými proměnnými

Stationery anabnr2
nRR = 0,8 / 0,8 = 1
n
6
Příjem
Prošlo kontrolou
Neprošlo kontrolou
Celkem
Pod 200tis
  0,01  (1260)
    0,99      (132147)
    1 (133407)
200tis-1mil
  0,03    (131)
    0,97          (4311)
    1     (4442)
Více než 1mil
  0,07      (22)
    0,93            (371)
    1       (393)
2koš
2mimo
celkem
1koš
0,8 (41)
0,2 (10)
1 (51)
1mimo
0,8 (10)
0,2 (3)
1 (13)
nRR (pod 200tis. Vs. 200-1.mil.) = 0,01 / 0,03 = 0,3333
nNebo RR (200-1.mil. Vs. pod 200tis.) = 0,03 / 0,01 = 3
n
Relativní riziko

Stationery anabnr2
7
nŠance (odds) projít kontrolou spíše než neprojít kontrolou v případě příjmu pod 200tis  = 1260 /
132147 = 0,0095348
nŠance (odds) projít kontrolou spíše než neprojít kontrolou v případě příjmu 200tis.-1mil. = 131 /
4311 = 0,030387
nPoměr šancí (OR, odds ratio) = 0,0095348 / 0,030387 = 0,3137
nAlternativní výpočet do kříže (1260*4311)/(131*132147)=5431860/17311257=0,3137
Poměr šancí (odds ratio)
Příjem
Prošlo kontrolou
Neprošlo kontrolou
Celkem
Pod 200tis
  0,0091 (1260)
    0,9559  (132147)
    0,9650 (133407)
200tis-1mil
  0,0009   (131)
    0,0312      (4311)
    0,0321     (4442)
Více než 1mil
  0,0002     (22)
    0,0027        (371)
    0,0029       (393)
Celkem
  0,0102 (1413)
    0,9898  (136829)
    1          (138242)

Stationery anabnr2
8
Souvislost mezi dvěma kvantitativními proměnnými
nProzkoumáme bodové rozptýlení…
nBodové rozptýlení: bod = hodnoty na proměnných x a y pro daného člověka
nČeho si lze všimnout:
nJasný trend: Lidé s vyšší váhou mají obecně vyšší výšku.
nRůznost ve výšce v rozsahu cca 10 až 15 cm je relativně konstantní bez ohledu na váhu člověka
(homogenní rozptyl)
nČlověk s velkou vahou (83kg) a malou výškou (169cm) je relativně neobvyklý případ vzhledem k
celkovému trendu
n
n
n
n
n
File:Heteroscedasticity.png

Stationery anabnr2
9
nProzkoumáme bodové rozptýlení…(2)
nVypadá vztah pozitivně nebo negativně?
nPozitivní souvislost=když vysoké hodnoty x mají tendenci vyskytovat se s vysokými hodnotami y
(když x jde nahoru, y má tendenci jít také nahoru)
nNegativní souvislost=když vysoké hodnoty x mají tendenci vyskytovat se s nízkými hodnotami y (když
x jde nahoru, y má tendenci jít dolů)
Obrázek7.wmf
Obrázek7.wmf
Obrázek8.wmf
pozitivní souvislost
negativní souvislost

Stationery anabnr2
10
nProzkoumáme bodové rozptýlení…(3)
nJe trend v datech lineární tj. dá se aproximovat přímkou? Pokud ano, jak blízko přímky body leží?
n
n
n
n
n
Obrázek3.emf Obrázek4.emf
Obrázek4.emf
lineární
nelineární

Stationery anabnr2
11
nProzkoumáme bodové rozptýlení…(4)
nJsou některá pozorování neobvyklá, odporující celkovému trendu?
nPř. váha=50kg, výška=215cm
n
n
n
n
n
n

Stationery anabnr2
12
Měření síly souvislosti: dvě kvantitativní proměnné
nkoeficient korelace r = -1 až 1
nmezní hodnoty -1 a 1 značí absolutní souvislost
nhodnota 0 značí absolutní nezávislost
nrůzné druhy korelačních koeficientů, použití se liší podle druhu dat, typu závislosti a typu
rozložení
nnejčastěji používané:
nPearsonův koeficient součinové korelace
nSpearmanův koeficient pořadové korelace

Stationery anabnr2
13
Pearsonův koeficient součinové korelace
nIndikuje směr a sílu lineární souvislosti mezi dvěma kvantitativními proměnnými
nNabývá hodnot -1 až 1
nNegativní hodnota r indikuje negativní souvislost, pozitivní r značí pozitivní souvislost
nČím více se hodnota blíží +-1, tím blíže přímce body přiléhají a tím silnější je souvislost
nČím blíže 0, tím slabší souvislost
nHodnota koeficientu nezávisí na jednotce měření (např. pokud změníme jednotku z centimetrů na
milimetry, korelace se nemění)
nDvě proměnné mají stejnou korelaci, bez ohledu na to, kterou z nich vnímáme jako závislou resp.
nezávislou
n

Stationery anabnr2
14
Výpočet Pearsonova korelačního koeficientu
nNa pearsonův korelační koeficient lze pohlížet jako na průměrný násobek všech z-skórů pro proměnné
x a y
nr = Σ (zx*zy) / n – 1
nPři využití hodnot z tabulky: 7,35 / 9 = 0,816
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nNásledující snímek nabízí alternativní výpočet se stejným výsledkem…
x
y
2
0
2
2
3
1
3
3
4
2
4
4
5
3
5
5
6
4
6
6
 x
 y
 Zx
Zy
Zx*Zy
2
0
-1,34164
-1,64317
2,205
2
2
-1,34164
-0,54772
0,735
3
1
-0,67082
-1,09545
0,735
3
3
-0,67082
0
0
4
2
0
-0,54772
0
4
4
0
0,54772
0
5
3
0,67082
0
0
5
5
0,67082
1,09545
0,735
6
4
1,34164
0,54772
0,735
6
6
1,34164
1,64317
2,205
                                                                     suma =  7,35

ANABNR2
15
Korelace
 výpočet
s
příkladem
x
y
2
0
2
2
3
1
3
3
4
2
4
4
5
3
5
5
6
4
6
6
korelace mezi x a y, neboli R xy = cov(x,y) / s(x) * s(y),
Cov (x,y) = Σ dx * dy / n -1 = Σ (xi – x)*(yi – y) / n - 1
X = Σ xi / n = 40 / 10 = 4
Y = Σ yi / n = 30 / 10 = 3
Cov (x,y) = Σ dx * dy / n -1 = Σ (xi – x)*(yi – y) / n - 1 = (-2*-3) + (-2*-1) + (-1*-2) + 0 + 0 +
0 + 0 +(1*2) + (2*1) + (2*3) =  20 / 9 = 2,22
s(x) * s(y) = √ var (x) * √ var (y)
var (x) = Σ (xi – x )2 / n -1 = 20 / 9 = 2,22
var (y) = Σ (yi – y )2  / n -1 = 30 / 9 = 3,33
R xy= cov(x,y) / s(x) s(y) = 2,22 / √ 2,22 * √ 3,33 = 2,22 / 2,72 = 0,816
kovariance
Legenda
Xi = hodnota X pro jednotlivá individua
X = průměr pro x
d = absolutní odchylka
var(x)=rozptyl x
s(x)=směrodatná odchylka
Cov (x,y)=kovariance mezi x a y
R (x,y)= korelace mezi x a y
(Databáze korelace a regrese.sav)

Stationery anabnr2
16
Předpoklady použití Pearsonova korelačního koeficientu
n1) nejméně intervalová data
n2) normální rozložení v populaci
n3) neexistence extrémních případů
n4) linearita vztahu
n
n2, 3 a 4 třeba ověřit / otestovat
n
nNení-li jeden z předpokladů naplněn a máme-li alespoň ordinální data, používáme Spearmanův
koeficient
225px-Karl_Pearson_2

Stationery anabnr2
17
Předpoklad linearity vztahu
Obrázek3.emf Obrázek4.emf
Obrázek4.emf
lineární
nelineární

Stationery anabnr2
18
Ověřování předpokladu linearity vztahu
nNejlépe pomocí bodového rozptýlení (scatterplot)

Stationery anabnr2
19
Ověřování předpokladu neexistence extrémních hodnot
Např. pomocí krabicového diagramu (boxplot) nebo jiného zobrazení extrémních hodnot…

Stationery anabnr2
20
Jak nenaplnění předpokladu neexistence extrémních hodnot ovlivní Pearsonův r?

Stationery anabnr2
21
Ověřování předpokladu normality
a)Graficky – pozorované hodnoty ve vzorku vs. očekávané hodnoty pokud je populace normálně
rozložená
b)Kolmogorov-Smirnov test normality rozložení
225px-Kolmogorov-m Smirnov_2

Stationery anabnr2
22
Korelační koeficient a bodové rozptýlení proměnných x a y
priklady korelace bodove grafy

Stationery anabnr2
23
…další příklady
Soubor:Correlation examples.png
(zdroj: wikipedia)

Stationery anabnr2
24
nÚčel regresní analýzy: Predikce výsledku závislé proměnné na základě nezávisle proměnné
nRegresní přímka predikuje (odhaduje) hodnotu závislé proměnné (např. váha) jako lineární funkci
hodnoty nezávisle proměnné (např. výška)
nPredikovanou hodnotu proměnné y označujeme y^.
nRovnice regresní přímky má obecný tvar: y^ = a + bx,
n kdy a=úrovňová konstanta a b=sklon
nÚrovňová konstanta (a) je predikovaná
n (průměrná) hodnota y když x = 0
nSklon (b) představuje množství
n o které se změní y ^
n pokud se x zvýší o jednotku
regrese
                a
             b
 Úvod do regresní analýzy

Stationery anabnr2
25
Výpočet regresních koeficientů
nSklon b je roven součinu korelačního koeficientu xy s podílem směrodatných odchylek x a y
nb = r (Sy/Sx) = 0,816*(1,826/1,491)=0,816*1,225=1
nÚrovňová konstanta a je rovna rozdílu mezi průměrnou hodnotou y a součinem sklonu s průměrnou
hodnotou x
na= yprůměr – b(xprůměr) = 3 – 1(4) = -1
x
y
2
0
2
2
3
1
3
3
4
2
4
4
5
3
5
5
6
4
6
6

Stationery anabnr2
26
Interpretace regresních koeficientů: příklad fotbalistů
(databáze fotbal_korelace.sav)
n
nPř. Odhadujeme váhu fotbalisty na základě jeho výšky
nDostali jsme regresní rovnici y^ = - 65.85 + 0,784x,
nkde y^ =odhad váhy (v kg) a x=výška (v cm)
nInterpretace úrovňové konstanty a=-65.85: Fotbalisté kteří měří 0 cm váží v průměru -65.85kg
nInterpretace sklonu b=0,784: S každým centimetrem navíc roste váha fotbalisty o 0,784kg. Např.
fotbalisté, kteří měří 163cm váží v průměru yi = -65.85 + 0,784 *(163) = 62kg
n
n
n
n

Stationery anabnr2
27
Reziduál a metoda nejmenších čtverců
nV reálném světě kde „vše souvisí se vším“ a data tvoří velký počet případů nelze najít takové
koeficienty, které by přesně vyhovovaly každému jednotlivému případu – predikce bude zatížena
chybou (každý bod leží v různé vertikální vzdálenosti od přímky)
nNapř. regresní model predikuje člověku s výškou 163 cm váhu 62kg, ačkoli jeho skutečná váha je
59kg (viz další snímek), neboť váha souvisí kromě výšky i s jinými faktory, které jsme v regresní
analýze ignorovali
nAbsolutní hodnota reziduálu (e) každého člověka
npředstavuje rozdíl mezi skutečnou hodnotou závislé proměnné (např. y = 59kg) a jejím odhadem
(např. y^ = 62kg)
nIdeální stav: y^ = a + bx
nskutečný stav: y = a + bx + e
ny - y^ = e
nv bodovém rozptýlení se jedná o vertikální vzdálenost mezi bodem a přímkou u každého člověka (viz
další snímek)
nVolí se takový tvar regresní rovnice, jehož použitím dosáhneme nejmenší celkové chyby tj. nejmenší
sumy všech druhých mocnin reziduálů u všech lidí ve vzorku = metoda nejmenších čtverců
n
n
n
n
n
n

Stationery anabnr2
28


Stationery anabnr2
29
Regresní přímka a metoda nejmenších čtverců
(databáze korelace a regrese.sav)
kovariance
Regresní přímka je položena tak, aby součet všech čtverců (=součet všech rozdílů mezi odhadovanými
y a skutečnými y umocněných na druhou) byl nejmenší možný
Regresní rovnice:  y =  -1 + 1x + e
α
β

Stationery anabnr2
30
Koeficient determinace R2
nJako predikce hodnoty závislé proměnné y by mohl posloužit i průměrná hodnota y
nPokud však mezi x a y je souvislost, pak nám regresní přímka umožňuje predikovat y přesněji než za
použití pouhého průměru y
nSíla vztahu mezi x a y je dána tím, jak moc přesněji můžeme predikovat y použijeme-li regresní
rovnici namísto pouhého průměru y
nDruhá mocnina korelačního koeficientu udává, o kolik menší je chyba predikce za použití regresní
rovnice (y - y^) ve srovnání s použitím průměru (y – yprůměr).
nPř. r2 = 0,816*0,816=0,67 udává, že průměrná chyba predikce y použitím regresní rovnice je o 67%
menší, než v případě použití průměru
nNebo také jinak, že 67% rozptylu v proměnné y je vysvětleno lineárním vztahem mezi x a y (rozptyl
predikovaných hodnot y z regresní rovnice představuje 67% rozptylu pozorovaných hodnot y)
n
n

Stationery anabnr2
31
Nepravá korelace
Z
Y
X
Počet domácností
Počet čápů
Počet dětí
nKorelace neznamená kauzalitu (příčinný vztah mezi X a Y)
nKdykoli pozorujeme vztah mezi X a Y, je možné že existuje třetí proměnná Z která je zodpovědná za
tento vztah
nPř. znamená vysoká korelace mezi počtem čápů a počtem dětí, že čápi nosí děti?
n