ANABNR2
‹#›
1
7_Rozložení výběrových statistik
Distribuce výběrových proporcí
Distribuce výběrových průměrů

Stationery anabnr2
‹#›
2
Inferenční statistika
nInference používá statistiky (průměr,proporce) ze vzorku za účelem rozhodování o hodnotě parametrů
v populaci
nJak pravděpodobnost a normální rozložení poskytuje základnu pro statistickou inferenci

Stationery anabnr2
‹#›
3
nDruh pravděpodobnostního rozložení
nUmožňuje zjistit jak daleko od populačního parametru pravděpodobně statistika vzorku leží
Výběrová distribuce

Stationery anabnr2
‹#›
4
nPovolební průzkum (parametr dosud neznámý) na vzorku 3889 voličů ukazuje proporci pro zelené 4,5
procenta (0,045)
nJak víme že tento odhad je dobrým odhadem (blízko populační proporci)? Sestavením distribuce
výběrových proporcí
n
Příklad

Stationery anabnr2
‹#›
5
Distribuce výběrových proporcí
nHodnoty náhodné proměnné (0 = nezelení a 1 = zelení) a jejich četnost (0,955 a 0,045) z jednoho
průzkumu formují distribuci dat pro jeden vzorek (individuální data, část populace, mění se vzorek
od vzorku, tedy i proporce je proměnlivá)
n
nCelkový výsledek voleb dopadl pro zelené 3,19 procenta = populační proporce v době průzkumu
neznámá. Hodnoty náhodné proměnné (0=nezelení a 1=zelení) a jejich četnost (0,0319 a 0,9681) v
populaci = populační distribuce. (individuální data, distribuce z které bereme vzorek, parametr je
fixní ale neznámý)
n
nMěly by jiné průzkumy na jiných vzorcích tendenci být blíže nebo dále skutečné populační proporci?
Klíč se nachází v distribuci výběrových proporcí. (sdružuje hodnoty statistik vzorků, poskytuje
pravděpodobnosti všech možných hodnot konkrétní statistiky, hypotetická distribuce neboť ve
skutečnosti pozorujeme pouze data jednoho vzorku – distribuci dat)
n

Stationery anabnr2
‹#›
6
Distribuce výběrových statistik a její konstrukce
n
n= distribuce pravděpodobností všech možných výsledků konkrétní statistiky (př. proporce, průměr)
nJak často konkrétní hodnota statistiky je očekávána při náhodném výběru
nOpakovaně vybírám vzorek a hodnoty statistik všech vzorků nanáším na novou distribuci = distribuce
výběrových statistik
n
n

Stationery anabnr2
‹#›
7
Průměr, odchylka a tvar distribuce výběrových proporcí
nPrůměr a odchylka závisí na velikosti vzorku a populační proporci
nPrůměr = p = populační proporce (pokud neznáme používáme proporci ve vzorku jako nejlepší odhad
proporce v populaci)
nSměrodatná odchylka =
nPokud je velikost vzorku dostatečně velká takže očekávaný počet výskytu v kategorii zájmu (počet
hlasů pro zelené) a očekávaný počet výskytu v ostatní kategorii (počet hlasů pro jiné strany) jsou
větší než 15, pak má distribuce tvar normálního rozložení
n

Stationery anabnr2
‹#›
8
516615
Zdroj: ČT
Příklad: parlamentní volby ČR 2013
nPoslední předvolební průzkum ČR pro ČT naznačuje 4,5 procenta hlasů pro zelené
nOt. 1. Jak blízko je statistika proporce blízko skutečné proporci v populaci?
nOt. 2. Jaké jsou pravděpodobné hodnoty skutečného populační proporce?

Stationery anabnr2
‹#›
9
nOt. 1: směrodatná odchylka = √ (p(1-p) / n) = √ (0,045*0,955 / 1000) = 0,0065
nProtože je splněna podmínka pro normální rozložení (1000*0,0045 a 1000*0,955 > 15) leží 99,8%
plochy pod křivkou v rozmezí +- 3 směrodatné odchylky od průměru
n tj. 0,045+(3*0,0065) a 0,045-(3*0,0065) = 0,045 +- 0,02 = 0,043 až 0,047
nS pravděpodobností téměř 100% leží populační proporce někde v intervalu 0,043 až 0,047 tedy 4,3 až
4,7 procent
nZelení ve skutečnosti získali  pouze 3,19 procenta, proč?
n1. preference voličů se mezi posledním průzkumem a dnem voleb změnily – populační proporce se
změnila
n2. výběr nebyl proveden náhodně
n
n
n

Stationery anabnr2
‹#›
10
Distribuce výběrových průměrů
nopakovaně vybírám vzorek a jeho průměry nanáším na novou distribuci
nvzniká nová distribuce s těmito charakteristikami:
n1.  Průměr distribuce = průměr výběrových průměrů = populační průměr (zákon velkých čísel)
n2. Odchylka = chybu průměru = σ m(x¯) = σ  / √n
n3. Čím větší velikost vzorku, tím víc se distribuce blíže normální distribuci, bez ohledu na tvar
populační distribuce (centrální limitní věta)
ndistribuce se blíží normálnímu rozdělení když populační distribuce je normálně rozdělena (na
velikosti vzorku nezáleží) nebo když populace není normálně rozdělena a velikost výběru je větší
než 30

Stationery anabnr2
‹#›
11
Příklad: distribuce výběrových průměrů
nPř. Výsledky IQ testu jsou aproximovány (blíží se) normálním rozložením o průměru μ = 100 a σ=16.
Když vytáhneme z této populace vzorek o velikosti 36 dětí, jak je pravděpodobné, že dosáhne průměru
105 bodů a více?
n vypočítám chybu průměru = σ m(x¯) = σ  / √n = 16 / √36 = 2.67
nOčekáváme že pokud je populační předpoklad pravdivý (vzorek je tažen z populace s danými
parametry) pak výběrová distribuce bude v rozsahu 100 +- 8 = 92 až 108
nVypočítám z-skór pro vzorek = (x¯ - µ ) / σ m(x¯)
n = (105 – 100) / 2.67 = 1.87
nA příslušnou pravděpodobnost z tabulky pro Z = 1.87
nVýsledek: P (x¯ >= 105) = 0.03
nPravděpodobnost je velmi nízká