ROBERTMAŘÍK
Parciálnízlomky
fileint-parfrac-CZ.tex
Typ A
Typ B
Typ C
Typ D
Ú vodní strana
Print
Titulní strana
Strana 1 z 13
Zpět
Full Screen
Zavřít
Integrální počet
Integrace parciálních zlomků
Interaktivní kvízy
Robert Mařík
8. března 2007
Vyzkoušejte dva, tři nebo dvacet da-
lších mých kvízů a potom mi prosím
vyplňte na webu. Děkuji!
ROBERTMAŘÍK
Parciálnízlomky
fileint-parfrac-CZ.tex
Typ A
Typ B
Typ C
Typ D
Ú vodní strana
Print
Titulní strana
Strana 2 z 13
Zpět
Full Screen
Zavřít
ˇ V tomto souboru si rozdělíme parciální zlomky do několika kategorií a
procvičíme si, jak integrovat v jednotlivých případech. (Případ násob-
ných komplexně sdružených kořenů vynecháme.)
ˇ Vyplňte v testu vždy prázdná políčka a stiskněte Enter.
ˇ Zelený okraj políčka znamená správnou odpověd', červený špatnou.
ˇ Jako obvykle, pro nápovědu můžete použít tlačítko . Nedělejte to však
příliš často, protože všechny výpočty jsou relativně snadné a početně
málo obtížné (procvičujeme hlavně metodu).
ROBERTMAŘÍK
Parciálnízlomky
fileint-parfrac-CZ.tex
Typ A
Typ B
Typ C
Typ D
Ú vodní strana
Print
Titulní strana
Strana 3 z 13
Zpět
Full Screen
Zavřít
1. Typ A
Kvíz. Parciální zlomek tvaru
A
x - c
zintegrujeme snadno pomocí vzorce
A
x - c
dx = A ln(|x - c|) + C.
1.
4
x + 3
dx = + C
2.
3
x - 7
dx = + C
3.
5
x + 9
dx = + C
4.
10
x + 6
dx = + C
5.
5
x + 1
dx = + C
ROBERTMAŘÍK
Parciálnízlomky
fileint-parfrac-CZ.tex
Typ A
Typ B
Typ C
Typ D
Ú vodní strana
Print
Titulní strana
Strana 4 z 13
Zpět
Full Screen
Zavřít
6.
-1
x + 3
dx = + C
7.
5
x - 9
dx = + C
8.
7
x - 4
dx = + C
9.
3
x + 2
dx = + C
10.
9
x
dx = + C
11.
8
x - 2
dx = + C
12.
5
x - 4
dx = + C
13.
6
x +

2
dx = + C
ROBERTMAŘÍK
Parciálnízlomky
fileint-parfrac-CZ.tex
Typ A
Typ B
Typ C
Typ D
Ú vodní strana
Print
Titulní strana
Strana 5 z 13
Zpět
Full Screen
Zavřít
2. Typ B
Kvíz. Parciální zlomek tvaru
A
(x - c)n
, n > 1 zintegrujeme pomocí vzorce
A
(x - c)n
dx = A(x - c)-n
dx = A
(x - c)-n+1
-n + 1
=
A
(1 - n)(x - c)n-1
+ C.
1.
1
(x + 5)2
dx = + C
2.
5
(x - 2)3
dx = + C
3.
6
(x - 1)7
dx = + C
4.
6
(x + 5)3
dx = + C
5.
5
x2
dx = + C
ROBERTMAŘÍK
Parciálnízlomky
fileint-parfrac-CZ.tex
Typ A
Typ B
Typ C
Typ D
Ú vodní strana
Print
Titulní strana
Strana 6 z 13
Zpět
Full Screen
Zavřít
6.
12
x3
dx = + C
7.
12
x2
dx = + C
8.
12
x4
dx = + C
9.
1
(x + 2)2
dx = + C
10.
1
(x + 1)5
dx = + C
11.
3
(x - 1)3
dx = + C
ROBERTMAŘÍK
Parciálnízlomky
fileint-parfrac-CZ.tex
Typ A
Typ B
Typ C
Typ D
Ú vodní strana
Print
Titulní strana
Strana 7 z 13
Zpět
Full Screen
Zavřít
3. Typ C
Parciální zlomek tvaru
Ax + B
x2 + 2
zapíšeme jako lineární kombinaci dvou spe-
ciálních zlomků. Č itatel prvního zlomku bude 2x (derivace jmenovatele) a
čitatel druihé zlomku bude 1. Potom využijeme vzorce
f (x)
f (x)
dx = ln |x| + C
a
1
x2 + 2
dx =
1

atan
x

+ C
ROBERTMAŘÍK
Parciálnízlomky
fileint-parfrac-CZ.tex
Typ A
Typ B
Typ C
Typ D
Ú vodní strana
Print
Titulní strana
Strana 8 z 13
Zpět
Full Screen
Zavřít
Kvíz. Dopište koeficienty lineární kombinace (čísla) do modrých políček a
poté najděte primitivní funkci.
1.
3x + 7
x2 + 9
dx =
2x
x2 + 9
+
1
x2 + 9
dx
= + C
2.
5x - 2
x2 + 25
dx =
2x
x2 + 25
+
1
x2 + 25
dx
= + C
3.
x + 1
x2 + 4
dx =
2x
x2 + 4
+
1
x2 + 4
dx
= + C
4.
4x - 6
x2 + 3
dx =
2x
x2 + 3
+
1
x2 + 3
dx
= + C
ROBERTMAŘÍK
Parciálnízlomky
fileint-parfrac-CZ.tex
Typ A
Typ B
Typ C
Typ D
Ú vodní strana
Print
Titulní strana
Strana 9 z 13
Zpět
Full Screen
Zavřít
5.
7x + 1
x2 + 5
dx =
2x
x2 + 5
+
1
x2 + 5
dx
= + C
6.
4 - 3x
x2 + 9
dx =
2x
x2 + 9
+
1
x2 + 9
dx
= + C
ROBERTMAŘÍK
Parciálnízlomky
fileint-parfrac-CZ.tex
Typ A
Typ B
Typ C
Typ D
Ú vodní strana
Print
Titulní strana
Strana 10 z 13
Zpět
Full Screen
Zavřít
4. Typ D
Parciální zlomek typu
Ax + B
x2 + x + 
integrujeme podobně jako předchozí
typ: napíšeme zlomek jako lineární kombinaci dvou speciálních zlomků:
čitatel prvního zlomku bude 2x +  (derivace jmenovatele) a čitatel druhého
zlomku bude 1. Ve jmenovateli druhého zlomku doplníme na čtverec a
integrujeme podle vzorců
f (x)
f (x)
dx = ln |x| + C
a
1
(x + m)2 + n2
dx =
1
n
atan
x + m
n
+ C.
Kvíz.
ˇ Upravte nejprve zadanou funkci na požadovaný tvar ­ musíte najít
správná čísla, která je nutno vepsat do modrých políček a derivaci jme-
novatele (do červeného políčka) tak aby se funkce v prvním a druhém
integrálu rovnaly.
ROBERTMAŘÍK
Parciálnízlomky
fileint-parfrac-CZ.tex
Typ A
Typ B
Typ C
Typ D
Ú vodní strana
Print
Titulní strana
Strana 11 z 13
Zpět
Full Screen
Zavřít
ˇ Nakonec napište celou primitivní funkci do bílého políčka. Integrační
konstantu můžete vynechat.
1.
x
x2 + 2x + 2
dx =
x2 + 2x + 2
+
1
(x + )2 +
dx
= + C
2.
2x + 1
x2 + 4x + 9
dx =
x2 + 4x + 9
+
1
(x + )2 +
dx
= + C
3.
3x + 1
x2 - 2x + 9
dx =
x2 - 2x + 9
+
1
(x + )2 +
dx
= + C
ROBERTMAŘÍK
Parciálnízlomky
fileint-parfrac-CZ.tex
Typ A
Typ B
Typ C
Typ D
Ú vodní strana
Print
Titulní strana
Strana 12 z 13
Zpět
Full Screen
Zavřít
4.
-5x - 7
x2 + 8x + 20
dx =
x2 + 8x + 20
+
1
(x + )2 +
dx
= + C
5.
x - 1
x2 - 6x + 10
dx =
x2 - 6x + 10
+
1
(x + )2 +
dx
= + C
6.
x - 1
x2 + x + 1
dx =
x2 + x + 1
+
1
(x + )2 +
dx
= + C
7.
3x + 7
x2 + 10x + 29
dx =
x2 + 10x + 29
+
1
(x + )2 +
dx
= + C
ROBERTMAŘÍK
Parciálnízlomky
fileint-parfrac-CZ.tex
Typ A
Typ B
Typ C
Typ D
Ú vodní strana
Print
Titulní strana
Strana 13 z 13
Zpět
Full Screen
Zavřít
8.
x - 1
x2 - 4x + 6
dx =
x2 - 4x + 6
+
1
(x + )2 +
dx
= + C
9.
x + 7
x2 - 4x + 8
dx =
x2 - 4x + 8
+
1
(x + )2 +
dx
= + C
10.
x
x2 - x + 1
dx =
x2 - x + 1
+
1
(x + )2 +
dx
= + C
11.
5x - 6
x2 + 2x + 10
dx =
x2 + 2x + 10
+
1
(x + )2 +
dx
= + C