ROBERTMAŘÍK
Parciálnízlomky
fileint-parfrac0-CZ.tex
Rozklad . . .
Test
Ú vodní strana
Print
Titulní strana
Strana 1 z 5
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
Integrální počet
Rozklad na parciální zlomky
Interaktivní kvízy
Robert Mařík
8. března 2007
Vyzkoušejte dva, tři nebo dvacet da-
lších mých kvízů a potom mi prosím
vyplňte na webu. Děkuji!
ROBERTMAŘÍK
Parciálnízlomky
fileint-parfrac0-CZ.tex
Rozklad . . .
Test
Ú vodní strana
Print
Titulní strana
Strana 2 z 5
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
1. Rozklad na parciální zlomky
Necht'R(x) =
Pn(x)
Qm(x)
je ryze lomená funkce. Předpokládejme že polynomy Pn(x) a Qm(x)
nemají společné kořeny a jmenovatel má komplexní kořeny násobnosti nejvýše jedna.
ˇ Ke každému jednoduchému reálnému kořenu c polynomu Qm(x) přiřadíme zlomek
A
x - c
,
kde A je jistá (dosud neurčená) konstanta.
ˇ Ke každému reálnému k-násobnému kořenu c polynomu Qm(x) přořad'me k-tici zlomků
A1
x - c
,
A2
(x - c)2
, . . . ,
Ak
(x - c)k
,
kde Ai jsou nějaké (dosud neurčené) konstanty.
ˇ Každému páru komplexně sdružených kořenů polynomu Qm(x) odpovídá v rozkladu
na součin výraz tvaru (x2
+ Mx + N). Přiřad'me tomuto páru kořenů zlomek
Bx + C
x2 + Mx + N
,
kde B a C jsou nějaké (dosud neurčené) konstanty.
Pro vhodnou volbu konstant A, Ai, B, C, . . . je možné funkci R(x) zapsat jako součet výše
uvažovaných zlomků. Tento rozklad je jednoznačný, až na pořadí zlomků v součtu.
Definice 1 (parciální zlomky) Zlomky uvedené v předchozí větě se nazývají parciální
zlomky.
ROBERTMAŘÍK
Parciálnízlomky
fileint-parfrac0-CZ.tex
Rozklad . . .
Test
Ú vodní strana
Print
Titulní strana
Strana 3 z 5
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
2. Test
ˇ Najděte rozklad (s neurčitými koeficienty, které nemusíte počítat) ná-
sledujících ryze lomených funkcí.
ˇ Parciální zlomky oddělte čárkou. Používejte konstanty A, B, C . . . .
ˇ Pro funkci
x
(x - 1)2(x + 1)
je možnou správnou odpovědí kterýkoliv
z následujících výrazů
ˇ A/(x+1) , B/(x-1) , C/(x-1)^2
ˇ B/(x+1) , A/(x-1) , C/(x-1)^2
ˇ A/(x-1) , B/(x+1) , C/(x-1)^2
a nesprávnou odpovědí jsou všechny následující
ˇ A/(x+1) , B/(x-1) , D/(x-1)^2
(použijte C jako třetí koeficient)
ˇ B/(x+1) , A/(x-1) , C/(x-1)
(na první pohled špatně)
ˇ A/(x-1) , A/(x+1) , A/(x-1)^2
(nemůžete použít stejná jména pro všechny konstanty)
ˇ Zelený okraj políčka znamená správnou odpověd', červený špatnou.
ˇ Jako obvykle, pro nápovědu můžete použít tlačítko . Nedělejte to však
příliš často, protože všechny výpočty jsou relativně snadné a početně
málo obtížné (procvičujeme hlavně metodu).
ROBERTMAŘÍK
Parciálnízlomky
fileint-parfrac0-CZ.tex
Rozklad . . .
Test
Ú vodní strana
Print
Titulní strana
Strana 4 z 5
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
Kvíz.
1.
x
(x - 1)2(x + 1)

2.
1
(x - 1)2(x + 1)

3.
2x - 7
(x - 1)2(x + 1)

4.
2
x2(x - 1)

5.
2x + 1
x2(x - 1)2

6.
5x2 - 1
(x2 + 3)(x2 + 1)

7.
x3 - 1
x(x + 2)4

8.
5
(x2 + 3)(x - 1)2

ROBERTMAŘÍK
Parciálnízlomky
fileint-parfrac0-CZ.tex
Rozklad . . .
Test
Ú vodní strana
Print
Titulní strana
Strana 5 z 5
Zpět
Full Screen
Zavřít
Konec
9.
x
x2 - 1

10.
1
x3 + x

11.
x2 + 1
(x - 3)2(x + 1)

12.
3x2 - 9
x(x + 6)3