Povrch pláště rotačního tělesa
Lenka Přibylová 6. února 2007
Povrch pláště rotačního tělesa vzniklého rotací plochy omezené spojitou nezápornou funkcí y = f (x), osou x a přímkami x = a a x = b:
b      x
y = f(x)
P = 2tz f f(x)Jl + (f'(x))2dx
Ja             v
©Lenka Přibylová. 2007 |
Vypočtěte povrch pláště tělesa, které vznikne rotací křivky y = x   na intervalu (0,1) kolem osy x.
1
©Lenka Přibylová. 2007 |
I  y = x3, xe (0,1), P=?~j
1     x
Nakreslíme graf funkce y = x
^^ffffi^^W^W^ÍW^^
y = x3, x e (0,1), P=?|
P = 2n
Vyjádříme povrch pláště rotačního tělesa jako určitý integrál
2zr
'my/T+imy
dx
B   B   B
^mwmWy^S^^
y = x3, x e (0,1), P=?|
1     x
P = 2tv      x3^Jl + (3x2)2dx
Vyjádříme povrch pláště rotačního tělesa jako určitý integrál
B   B   B
^mw^BS^^^H
y = x3, x e (0,1), P=?|
1     x
1
P = 2n      x3y/l + (3x2)2dx = 27T /   xVl+9x4dx
Upravíme. EH   Q   B   BS
(SLenka Přibylová. 201
y = x3, x e (0,1), P=?|
t= Vi + 9x4
P = 2n í  x3y/l + (3x2)2dx = 27T / rVl+9x4dx =
Zavedeme vhodnou sustituci
läLenka Přibylová. 201
y = x3, x e (0,1), P=?|
1
P = 2n      x3y/l + (3x2)2dx = 27T /   rVl+9x4dx =
ŕ = Vi + 9x4 í2 = 1 + 9x4
Zavedeme vhodnou sustituci
läLenka Přibylová. 201
y = x3, x e (0,1), P=?|
1
P = 2n      x3y/l + (3x2)2dx = 27T /   rVl+9x4dx
ŕ = Vi + 9x4
í2 = 1 + 9x4
2ŕdŕ = 36x3dx
Vyjdříme vztah pro diferenciály. eh  b  B  M-----
leUnka Přibylová. 201
y = x3, x e (0,1), P=?|
P = 2n      ryi + (3x2)2dx = 27r
x3 Vi
9x4 dx =
t= Vi + 9x4
ŕ2 = l
9x4
2ŕdŕ = 36xádx
— ŕdŕ = x3dx 18
Upravíme pro dosazení.
ES   El   ET
(SLenka Přibylová. 201
y = x3, x e (0,1), P=?|
P = 2n      x3y/l + (3x2)2dx = 27r
x3 VI
9x4 dx =
t= Vi + 9x4
ŕ2 = l
9x4
2ŕdŕ = 36xádx
— ŕdŕ = x3dx 18
h = 1, h = VlÔ
Vyjádříme změnu mezí. eh  b  B  M—
(SLenka Přibylová. 201
y = x3, x e (0,1), P=?|
1
P = 2n      x3y/l + (3x2)2dx = 27T /   xVl+9x4dx
ŕ = Vi + 9x4
t2 = 1 + 9x4
2ŕdŕ = 36x3dx
—ŕdŕ = x3dx 18
h = 1, h = VlÔ
= 2tt /       ŕ-—ŕdŕ h       18
Substituujeme. EH   B   B   M--------
leUnka Přibylová. 201
y = x3, x e (0,1), P=?|
1
P = 2n      x3y/l + (3x2)2dx = 27T /   xVl+9x4dx
ŕ = Vi + 9x4
t2 = 1 + 9x4
2ŕdŕ = 36x3dx
—ŕdŕ = x3dx 18
h = 1, h = VlÔ
2tt /       ŕ-—ŕdŕ = —
h        18            9
/io
Najdeme primitivní funkci. eh  b  B  M-----------------------
(SLenka Přibylová. 201
y = x3, x e (0,1), P=?|
1
P = 2n      x3y/l + (3x2)2dx = 27T /   xVl+9x4dx =
ŕ = Vi + 9x4
t2 = 1 + 9x4
2ŕdŕ = 36x3dx
—ŕdŕ = x3dx 18
h = 1, h = VlÔ
= 2n          ŕ-—ŕdŕ = —
h        18            9
/io
= ^(i(h/Tö-i)
27
Dosadíme meze.
löLenka Přibylová. 201
Konec
El   B
©Lenka Přibylová. 2007 Q