Racionální funkce
Robert Mařík
16. května 2005
Každou racionální funkci lze zintgerovat (alespoň teoreticky,
musíme totiž být schopni rozložit jmenovatel na součin). Metody
integrování se pro jednotlivé typy racionálních funkcí liší. Není zde
však nad čím váhat, zpravidla okamžitě identifikujeme, o jaký typ
racionální funkce se jedná a potom postupujeme podle daného
schématu, příslušného tomuto typu funkce.
1. Úvod
Racionální funkce je funkce tvaru R(x) = " , ,, kde P,,(x)
\2m\X)
je polynom stupně n a Qra(x) polynom stupně m.
Racionální funkce dělíme do několika skupin. V každé skupině
integrujeme jiným způsobem a proto je nutno jednotlivé racionální
funkce odlišovat.
* Parciální zlomky lze integrovat přímo použitím vzorců a případně
algebraických úprav (u zlomků s kvadratickým výrazem
ve jmenovateli).
* Ryze lomené funkce, které nejsou samy parciálními zlomky,
lze rozložit na součet parciálních zlomků a pak integrujeme
jednotlivé parciální zlomky samostatně.
* Neryze lomené funkce lze převést na součet polynomu a ryze
lomené funkce (pomocí dělení polynomů). Každou ze dvou
obdržených částí integrujeme samostatně.
1.1. Ryze a neryze lomené racionální funkce
pn(x)
NechťK(x) = " , N je racionální funkce. Je-li n > m, nazývá
Qm{x)
se funkce R(x) neryze lomená, je-li n < m, nazývá se funkce
R(x) ryze lomená.
Ryze lomená funkce má tedy v čitateli polynom menšího stupně
než ve jmenovateli.
1.2. Typy parciálních zlomků
Parciální zlomky jsou jedny z nejjednodušších ryze lomených funkcí.
Jedná se o následující typy zlomků (vynecháváme případ
násobných komplexních kořenů).
Ai An Ax + B
x-a' (x-a)"' x2
+ Mx + N
n > 2 je přirozené číslo, x je proměnná a všechno ostatní jsou reálné
konstanty takové, že polynom x2
+ Mx + N nemá reálné kořeny.
2. Testi
Poznáte racionální funkce? Zatrhněte správnou možnost. Zelená
fajka značí správnou a červený křížek špatnou odpověď.
Kviz.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
X
X2
+ 4
X
X2
X
- 4
+ 1
(x - l ) 2
X
(x - l ) 2
3
(x - l ) 2
\/x
X2
X3
+ X+1
- 1
x + 2
^ CD CD CD
CD O O O
E
o
^ ^ ^E
o C C C
E
o 3 3 3
N H-- H-- H--
-CO -CO C
C c c
C
-co CD CD -CO
'o E E o
^_ o o
o
CÖ oQ. CD CD CO
>CD N N>CD
CC >^ c
m CC CD CD
cö
>o Z Z
3
O
in
CÖ
-CO
cCD
E
o
CD
N
>^CC
Home Page
Print
Title Page
 ˇˇ
Page' of,
Go Back
Full Screen
Close
Quit
& Ul ^
H H H H
+ H ^ K) ^> H
h ^
1
K)
1 1
1?
H 1
1
OJ
i
OJ
OJ KJ >^ 00
^--v
^--*. H H H
H x H H w K) K)
M 1
+ | + * + +<> ^ N> ^ ^ hr- H ^
oil co H H H
J^
+ +0\ 0\
+
K)
Ryze lomená a současně parciální zlomek
Ryze lomená funkce
Neryze lomená funkce
Není racionální funkce
? CD
o
CD
0)
Q
3?
* i rH s
1
o
&
CD

S
CD
o
CD
0)
Q
ro
o
í i 3?
^B>-^^J I B ^ ^ ^ I E I
1
o
&
CD

S
CD
o
CD
0)
Q
ro
o
í i 3? ^Bi W ^1 L
-~ -- <^^^H
3 ˇ
? í ˇ8
wß
^1
KJ
O VO 00
+ co
w
+
K)
cos(x)
6xh
^ 00
cos(x)
6x-+
i
O
o
N>
"íT KT X K) I^T H
<
+
KT X
^+ <* + H K)
KT X
OJ
+
1 ^
CO N>
1
VO
+
Ryze lomená a současně parciální zlomek
Ryze lomená funkce
Neryze lomená funkce
Není racionální funkce
? CD
o
CD
0)
Q
3?
* i rH s
1
o
&
CD

S
CD
o
CD
0)
Q
CD
O
ar
í i CD
3?
^B>-^^J I B ^ ^ ^ I E I
1
o
&
CD

S
CD
o
CD
0)
Q
CD
O
ar
í i CD
3? ^Bi W ^1L
-~ -- j
"-^^^Ěřj§
3 ˇ
í
ar
í 'S wß
3. Test2
Umíte dělit polynomy se zbytkem? Tato dovednost je nezbytná,
pokud chcete integrovat neryze lomené funkce. Tyto funkce je totiž
nutné nejprve upravit na podíl polynomu a ryze lomené funkce.
Do bílého políčka vepište podíl (polynom) a do žlutého zbytek
(polynom stupně menšího než stupeň polynomu ve jmenovateli.)
Kviz.
x2
+ 2x + 1 , 1 ^ Z ^ D
x
x + 1 x + 1
2 I I
1.
2.
3.
x2
+ 4x + 1
4.
x + 2 x + 2
x3
+ x + 1 i 1
5.
x - 2 x - 2
x4
+ 3x2
+ 4x + 5 ,-- -n