Derivace
Robert Mařík 23. června 2006
BEI     Q     Q
©Robert Mařík. 2006 H
Obsah
x
U = —3-------7      ..........................        5
y        X2 +1
1 -x3
y=—.......................... 9
y = xln2x...........................     14
y = (x2 + 3x)e~2x.......................    20
-0......................... »
-mt.........................-
y = xln(x2-1)........................    45
1 ,   x2 - 1
y = - In -5—-........................    50
y      4     x2 +1
Q     Q     03                                                                                                                                      ©Robert Mařík. 2006 Q
y = Vx+I - ln(1 + Vx + 1).................     56
y = yl—x. arcsln y/x....................     61
y = (x  + 1) slnx + xcosx..................     66
y = (x2 + 1) cos(2x)......................     72
» = ^.........................     "
» = ^.........................     B3
y = ln(x + arcsln(2v/x))...................     89
u = arcsln-i/-------    ......................     94
y = (x3 + 2x)e~2x.......................   100
y = (x2 - 1) sin(2x) - (3x - 1) cos(2x)............   106
y = y/2 + cos(2x).......................   111
u = ln-\/------.........................115
V slnx
■     Q     13     G3                                                                                                                                      ©Robert Marík. 2006 El
y = In i/------.........................119
V sin x
y = lnsLne3x .   .  ........................123
y = V*+Ln(9-x)......................128
x2
y = -,-------T--T..........................132
y      (x+1)3
x2
u = xln--------.........................137
y          x + ^
y = 2xarctgx-ln(1 + x2)    ..................143
y = x3 arcsln x + ■y/'l — x2     ..................147
,;=VTIZ.........................153
arcsln x y = Vx+1 arctg V x + 1    ...................159
BEI     Q     Q
©Robert Mařík. 2006 H
Derivujte y
xl +
a
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y
xl +
a
/= {x)> ■{x2 + ^)-x■{x2 + ^)>
J~                (X2 + 1)2
•   Funkce je ve tvaru podílu.
•   Užijeme pravidlo
(7)' = -
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y
xl +
a
/= (xy-tf + ^-x-tf + w
y"                (X2 + 1)2
1 -(x2 + 1)-x-(2x + 0)
-              (x2 + 1)2
•  x' = 1 podle derivace mocninné funkce.
•  (x  + 1)' = (x )' + (1)' = 2x + 0 = 2x podle derivace součtu a derivace mocninné funkce.
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y =	x   \
	x2 + 1 ■ |
	,   (x)'■(x2 + i)-x-(x2 + iy
	y~                         (X2 +1)2
	1 -(x2+1)-x-(2x + 0)
	(X2 + 1)2
	1-x2
(1+x2)2
Roznásobíme závorky a upravíme čitatele. Hotovo!
g     03                                                                                                                                      ©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y
1 -x3
,      (1 -x3)'-x1-^ -x3)-(x1)'
<i\i
•   Funkce je ve tvaru podílu.
•   Užijeme pravidlo
(7)' = -
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y
1 -x3
,      (1 -x3)'-x1-^ -x3)-(x1)'
vi\i
(O - 3x2) ■ x2 - (1 -x3)-2x
<i\i
•  Výraz (1 — x )' derivujeme jako součet.
•  Výrazy x   a x   derivujeme jako mocninné funkce.
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y
1 -x3
,      (1 -x3)'-x1-^ -x3)-(x1)'
vi\i
(O - 3x2) ■ x2 - (1 -x3)-2x
ví\í
-3x4 - 2x + 2x4
Roznásobíme.
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y =	1-x3l *2     I
	,      (1-x3)'-x2-(1-x3)-(x2)'
	y                  (*2)2 (0 - 3x2) • x2 - (1 -x3)-2x
	(x2)2 -3x4 - 2x + 2x4         2 + x3 x4                          x3
Upravíme (sečteme v čitateli, vytkneme (—x) a zkrátíme). Hotovo!
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = x In
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = x In  x. I
y' = (x In2 x )' = (x)' • In2 x + x • (In2 x)'
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = xln  x.
y' = ( x In2 x )' = (x)' • In2 x + x • (In2 x)' = 1 -In2 x
Derivace funkce x je vzorec.                                                                    I
|     |     B     B                                                                                                                ©Robert Marík. 2006 Q
)
Derivujte y = x In  x. I
y' = ( x In2 x )' = (x)' • In2 x + x • (In2 x)' = 1 -ln2x + x-2lnx-(lnx)'
•   Funkce In  x je složená, jedná se o funkci (Inx) .
•  Vnější složka je druhá mocnina, vnitřní je logaritmus.
•   Pro derivaci složené funkce užijeme řetězové pravidlo
[%(*))]' = ''(</(*))</'(*)        (9»)' = 2gWg'(x
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = x In  x. I
y' = ( x In2 x )' = (x)' • In2 x + x • (In2 x)' = 1 -ln2x + x-2lnx-(lnx)'
In  x + x 2 Inx -x
Derivace logaritmu je tabelována.
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = x In x. I
y' = ( x In2 x )' = (x)' • In2 x + x • (In2 x)' = 1 -ln2x + x-2lnx-(lnx)'
?                        1
In x + x 2 Inx -
x
(2 +In x) In x
1 x- = 1 a vytkneme Inx. Hotovo! x
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = (x  + 3x)e
-2x
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = (x2 + 3x)e 2x
y' = (x2 + 3x)' ■ e-2x + (x2 + 3x) ■ (e-2*)
f							
Derivujeme součin funkce		u =	--x2 + 3x	a	v =	e-2x	
							
	(uv)'		= u'v + uv'				
v							
ESI     Q     Q
©Robert Mařík. 2006 H
Derivujte y = (x2 + 3x)e 2x I
y' = (x2 + 3x)'■ e-2x + (x2 + 3x) • (e-2x)' = ((x2)' + 3(x)')
e-2x
Derivujeme součet. Užijeme pravidlo pro derivaci součtu a pravidlo pro derivaci násobku konstantou.
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = (x2 + 3x)e 2x I
y' = (x2 + 3x)'■ e-2x + (x2 + 3x) • (e-2x)' = ((x2)' + 3(x)'\ ■ e-2x + (x2 + 3x) ■ e-2x(-2x)'
•   Derivujeme složenou funkci e      .
•  Vnější složka je exponenciální funkce a ta se při derivaci nemění.
/(*))' = ef(x)f'(x)
Vnitřní složka je —2x.
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = (x2 + 3x)e 2x I
y' = (x2 + 3x)'■ e-2x + (x2 + 3x) • (e-2*)' = ((x2)' + 3(x)'\ ■ e-2x + (x2 + 3x) ■ e-2x(-2x)' = Í2x+3-l) -e-2x +
Derivace funkcí x   a x jsou tabelovány.
BEI     Q     Q
©Robert Mařík. 2006 H
Derivujte y = (x2 + 3x)e 2x I
y' = (x2 + 3x)'■ e-2x + (x2 + 3x) • (e-2*)' = ((x2)' + 3(x)'\ ■ e-2x + (x2 + 3x) ■ e-2x(-2x)' = hx + 3 ■ 1) • e-2x + (x2 + 3x) ■ e-2x ■ (-2) • (x)'
Derivace funkce (—7.x) může být vypočítána podle derivace násobku
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = (x2 + 3x)e 2x I
y' = (x2 + 3x)'■ e-2x + (x2 + 3x) • (e-2*)' = ((x2)' + 3(x)'\ ■ e-2x + (x2 + 3x) ■ e-2x(-2x)' = hx + 3 ■ 1) • e-2x + (x2 + 3x) ■ e-2x ■ (-2) • (x)'
(2x+3J
,-2x
+ [x1 + 3x) ■ e-zx ■ (-2) • 1
. a derivace mocninné funkce (x = x1 a tedy x' = 1x   =1).
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = (x2 + 3x)e 2x I
x2 + 3x\' ■ e-2x + (x2 + 3x) ■ ie-2x\ (x2)' + 3(x)'\ ■ e-2x + (x2 + 3x) ■ e-2x(-2x)' 2x + 3 ■ 1) • e-2x + (x2 + 3x) ■ e"2x • (-2) • (x)' 2x + 3J • e-2x + (x2 + 3x) ■ e-2x ■ (-2) • 1 2x+3 + (-2)(x2 + 3x))e-
,-2x
Vytkneme e
-2x
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = (x2 + 3x)e 2x I
x2 + 3x\' ■ e-2x + (x2 + 3x) ■ ie-2x\
(x2)' + 3(x)'\ ■ e-2x + (x2 + 3x) ■ e-2x(-2x)'
2x + 3 ■ 1) • e-2x + (x2 + 3x) ■ e"2x • (-2) • (x)'
2x + 3J • e-2x + (x2 + 3x) ■ e-2x ■ (-2) • 1
2x + 3 + (-2)(x2 + 3x))e-
-2x2-4x+3\e-2x
„-2x
Upravíme uvnitř závorky.
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = (x2 + 3x)e 2x I
x2 + 3x\' ■ e-2x + (x2 + 3x) ■ ie-2x\
(x2)' + 3(x)'\ ■ e-2x + (x2 + 3x) ■ e-2x(-2x)'
2x + 3 • 1) • e-2x + (x2 + 3x) • e~2x • (-2) • (x)'
2x + 3J • e-2x + (x2 + 3x) ■ e-2x • (-2) • 1
2x + 3 + (-2)(x2 + 3x))e-2x
-2x2 - 4x + 3J e-2x = -bx2 + 4x - 3Je-2*
Vytkneme. Hotovo!
©Robert Mařík. 2006 |
©Robert Mařík. 2006 |
y =ö
1   / 1 + x3
3    1
3 \ -2/3
Třetí odmocninu bereme jako mocninu s exponentem —. Derivujeme tedy jako mocninnou funkci.
©Robert Mařík. 2006 |
y =ö
1   / 1 + x3 \   2/3 / 1 + x3
3    1
1 -x3
Výraz pod odmocninou je vnitřní funkce. Podle řetězového pravidla násobíme derivací vnitřní složky.
1
(ýfW)'=-fl-\x)f'(x
©Robert Mařík. 2006 |
y=3
_ 1 ~ 3
1  /1 + x3
-2/3
3 \ 2/3
1 + X3
1 + X3 1 -X3
(1 + X3)'(1 -x3)-(1 + X3)(1
(1
^3\2
Vnitřní složka je podíl. Užijeme pravidlo
(;)' = -
V— Í7V
©Robert Mařík. 2006 |
y=3
_ 1
~~ 3
_ 1 ~ 3
1  /1 + x3
1
x
-2/3
3 \ 2/3
1 + X3
,3\2/
1 + X3
1  + X3 1 -X3
(1 + x3)'(1 -x3)-(1 + x3)(1
(1
^3\2
1 - x3 \ '   3x2(1 - x3) - (1 + x3)(-3x2)
(1
„3\2
Derivace v čitateli a jmenovateli je možno vypočítat jako derivace součtu (rozdílu) a mocninné funkce.
ES     Q     13     G3                                                                                                                                      ©Robert Mařík. 20061
y      3 \ 1 + x3
1  /1 - x3 \ '   3x2(1 - x3) - (1 + x3)(-3x2)
(1
,3U
Tohle zatím máme.
©Robert Mařík. 2006 |
y      3 \ 1 + x3
1  /1 - x3 \ '   3x2(1 - x3) - (1 + x3)(-3x2)
1  /1
3 \ 1 + x3
(1
„3\2
3 \ 2/3
6x2
(1
^3\2
Upravíme čitatel
©Robert Mařík. 2006 |
3x2(1 -x3)-(1 +x3)(-3x2)
(1
„3\2
6x2
v3\7
2x2
(1
„3\2
. a ještě více upravíme.
©Robert Mařík. 2006 |
3x2(1 -x3)-(1 +x3)(-3x2)
(1
„3\2
6x2
v3\7
2x2
(1
^3\2
'1+X3    2x2 1 - X3 1 - X1
Hotovo!
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y
x + 1
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y
x-1
,x-1   [x-\
'x + ^   \x+1
•  Jedná se o druhou mocninu zlomku. Vnější složka, druhá mocnina, se derivuje jako mocninná funkce.
•   Derivace vnitřní složky následuje (podle řetězového pravidla).
(f2(x)Y = 2f(x)f'(x)
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y
x-1
y'= 2
= 2
x-1   /x-1 \'
x + 1   \x+1
x-1    (x-1);(x + 1)-(x-1)(x + 1)
X + 1   '                    (X + 1)2
Derivace podílu:
(;)' = -
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y
x + 1
x ■
1
x + 1
1
x+1
(x-1)'(x + 1)-(x-1)(x + 1)
1.ÍX+1)
(X + 1)2
(x-1).1
(X+1)2
Derivace čitatele a jmenovatele jsou již lehké.
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y
x + 1
x ■
1
x + 1
x-1
1
x+1
(x-1)'(x + 1)-(x-1)(x + 1)
1.ÍX+1)
(X + 1)2
(x-1).1
(X+1)2
X + 1       (x + 1)2
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y
x-1
y'= 2 = 2 = 2
x-1  /x-1 \'
x + 1  \x+1
x-1    (x-1);(x + 1)-(x-1)(x + 1)
X + 1   '                    (X+1)2
x-1    1.(x + 1)-(x-1).1
"X + 1              (X+1)2
>x-1         2       _     x-1
~^+T'(7+T)2~  (x + 1)3
Vynásobíme. Hotovo!
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = xin(x  — 1)-
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = x In (x2 — 1). I
y' = x'ln(x2-1) + x(ln(x2-1)ť
D
envace soucmu
luv)  = u v + uv
kde u = x a v = ln(x  — 1 ]
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = x In (x2 — 1). I
y/ = x/ln(x2-1) + x(ln(x2-1))/
1
'x~}
1m(x2-1)+x^^(x2-1)'
c	•  Derivace u = x je lehká.	I
	•  Funkce ln(x   — 1) je složená s vnější složkou ln(-	a vnitrní
\	složkou x  — 1.	j
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = x In (x2 — 1). I
y/ = x/ln(x2-1) + x(ln(x2-1))/ = 1ln(x2_1)+x_l_(x2_1),
= ln(x2-1) + x^—-2x
(x2-1)' = 2x-0 = 2x
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = x In (x2 — 1). I
y/ = x/ln(x2-1) + x(ln(x2-1))/
1ln(x2_1)+x__(x2_1)/
1
^x~^
ln(x2-1) + x^—-2x ln(x2-1) +
2-1
Upravíme. Hotovo!
©Robert Mařík. 2006 |
1      x1 — 1
Derivujte u = - In -^------
y      4     x2 +1
©Robert Mařík. 2006 |
1      x1 — 1
Derivujte u = - In -^------
y      4     x2 +1
y=4
Funkce je konstantní násobek logaritmické funkce.
BEI     El     H     laa                                                                                                                                      ©Robert Mařík. 20061
1      x2 — 1
Derivujte u = - In -^------
y      4     x2 +1
,      1    x2 + 1
y = 7
4   x2-1
•   Logaritmus je pouze vnější funkce. Vnitřní funkcí je zlomek.
,      1
•   Derivujeme vnější složku podle pravidla (ln(x))  = - a  podle
řetězového pravidla.
•  Platí
(in« = 7^n*)
1         x2 + 1
x2-1
r2-1
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y
1 ,   x1 - 1
T Ln —3------7
4     x2 + 1
y=4
1    x2+1    2x(x2+1)-(x2-1)2x
1
(x2 + 1)2
Pokračujeme derivací vnitřní složky.
©Robert Mařík. 2006 |
1 ,   x2 - 1   \ Derivujte u = — In -^-----. I y      4     x2 +1   J	2x(x2+1)-(x2-(x2 + 1)2 4x	
,      1    x2 +1 y=4V-1 1    x2+1		-1)2*
4   x2-1    (x2 + 1)2
Upravíme čitatel druhého zlomku. Členy s x   se ruší a zůstane 4x.
©Robert Mařík. 2006 |
1      x2 — 1
Derivujte u = - In -^------
y      4     x2 +1
,     1    x2+1    2x(x2+1)-(x2-1)2x
y = 7
4    x2-1                 (x2 + 1)2
1    x2 +1          4x
4 'xT^\' (x2 + 1)2
(x2-1)(x2 + 1)
Vynásobíme. Hotovo!
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = Vx + 1 — ln(1 + t/x + 1). I
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = VxTT- Ln(1 + \fx~+^\). j
1      ,-—L^/o+    1
2v/xTT       '\ + y/xT^\     2VxTi
(V*ľ = (**)' = 5*'
^"5
2             2^
podle derivace mocninné funkce. Toto musíme spojit s řetězovým pravidlem
1         .           1
(Vx+T)' =      -----_ • 1
2VXTT        2VXTT
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = VxTT- ln(1 + \fx~+^\). j
1
1
2V/^TT
1 2V/^TT
1 + v^TT 1
o +
2v^TT
Vytkneme
1
2^^+!
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = \/x + 1 — ln(1 + Vx + I).
•1----------■-------    0+      ;
2v/xTT        i + v/^TTy      2VxTT
2v/xTT \     1 + v^TT 2v/xTT ' 1 + v^TT
Převedeme na společného jmenovatele a sečteme.
BEI     Q     Q
©Robert Mařík. 2006 H
Derivujte y = \/x + 1 — ln(1 + Vx + I).
•1----------■-------    0+      ;
2v/xTT        i + v/^TTy      2VxTT
2v/xTT \     1 + v^TT
2v/xTT ' 1 + v^TT
1 2(1 + v^TT)
Zkrátíme y/x + 1. Hotovo!
BEI     Q     Q
©Robert Mařík. 2006 H
Derivujte y = yl — xarcsin y7* I
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = yl — x arcsln y/x I
/ = (y 1 — x)' • arcsln y^K + v 1 ~~ x ' (arcsln V*)'
D
envace soucmu.
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = yl — xarcsln y/x I
y' = (y 1 — x)' • arcsLn y^K + v 1 — -f • (arcsLn V*)'
1
(1 —x)' ■ arcsLn y/x
2VT
x
+ V^ ■-,====■(y/x)'
Řetězové pravidlo pro y1 —x a pro arcsinfy^)
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = yl — xarcsln y/x I
y' = (y 1 — x)' • arcsLn y^K + v 1 — -f • (arcsLn V*)' 1
2VT"
(1 —x)' ■ arcsLn y/x
+ VT"
1
Vi-(v^)2
(v^r
i
2/Y^x
arcsin y/x
+ VT
1        1
v/T^   2^
Derivace vnitřní složky.
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = yl — xarcsln y/x I
y' = (y 1 — x)' • arcsLn y^K + v 1 — -f • (arcsLn V*)'
1
(1 —x)' ■ arcsLn \[x
2VT
■x
V1 - (v^)2
1                •     r-       ^------        1           1
■ arcsin vx+ y 1
2v^T^                     v           v^T^    2^
arcsln y/x         1
2v^^7      2^
Výraz yl — x se zkrátí. Hotovo!
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = (x  + 1) sin x -\- x cos x I
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = (x  + 1) sin x + x cos x I y'= í (x + 1)slnx]  + (x cos x)'
Derivace součtu.
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = (x  + 1) sin x + x cos x I
y'= í (x + 1)slnx]  + (x cos x)'
= (x   + 1)'sinx + (x  + 1)(sLnx)' + x' cos x + x(cosx)'
Dvakrát derivace součinu.
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = (x  + 1) sin x + x cos x I
y' = I (x  + 1)slnx]   + (x cos x)'
= (x   + 1)'sLnx + (x  + 1)(sLnx)' + x' cos x + x(cosx)' = 2xslnx + (x  + 1)cosx + 1 • cos x + x(—sLnx)
Aplikace vzorců.
(x )'= 2x           (slnx)'= cosx           (cos x)'
■sinx
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = (x  + 1) sin x + x cos x I
y' = I (x  + 1)slnx]   + (x cos x)'
= (x   + 1)'sinx + (x  + 1)(sLnx)' + x' cos x + x(cosx)' = 2xsLnx + (x  + 1)cosx + 1 • cos x + x(—sLnx) = (2x — x) sln(x) + (x  + 1 +1) cos x
Vytkneme goniometrické funkce
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = (x  + 1) sin x + x cos x I
y' = I (x  + 1)slnx]   + (x cos x)'
= (x   + 1)'sLnx + (x  + 1)(sLnx)' + x' cos x + x(cosx)' = 2xsLnx + (x  + 1)cosx + 1 • cos x + x(—sLnx) = (2x — x) sln(x) + (x  + 1 +1) cos x = x sLn x + (x  + 2) cos x
Upravíme. Hotovo!
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y
+ 1)cos(2x)
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = (x2 + 1) cos(2x) I
y' = (x2 + 1)'cos(2x) + {x2 + 1)(cos(2x))'
D
envace soucmu.
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = (x  + 1) cosi
(2^)1
y' = (x2 + 1)'cos(2x) + (x2 + 1)(cos(2x))' = 2x cos(2x) + (x2 + 1) (- sin(2x)) (2x)'
Vypočteme derivace. Derivujeme složenou funkci.
cos x   = — sin x
s(f(x))l[ =-sin(f(x)) ■ f'(x)
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = (x2 + 1) cos(2x) I
(x2 + 1)'cos(2x) + (x2 + 1)(cos(2x))' 2x cos(2x) + (x2 + 1) (- sln(2x)) (2x)' 2xcos(2x)-(x2+1)sin(2x)2
Dopočítame derivaci.
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = (x2 + 1) cos(2x) I
(x2 + 1)'cos(2x) + (x2 + 1)(cos(2x))' 2x cos(2x) + (x2 + 1) (- sln(2x)) (2x)' 2xcos(2x)-(x2 + 1)sin(2x)2 2xcos(2x)-2(x2 + 1)sln(2x)
Upravíme. Hotovo!
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y
(x2 + 1):
]
©Robert Mařík. 2006 |
(*2 + 1)3
Derivujte u =------------
v4
]
ľ(x2 + 1)3]x4-(x2 + 1)3(x4)'
.4\2
Derivace podílu.
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y
M + i):
]
ľ(x2 + 1)3]V-(x2 + 1)3(x4)'
^4\2
3a„3
3M + 1)V+1)y-(x2 + 1 )34x
v2Ä
Derivujeme složenou funkci.
(x3)' = 3x2
(y(x))3]' = 3(y(x))2n
©Robert Mařík. 2006 |
2   i   1\3
Derivujte y
(x2+1)
]
r(x2+i)3ix4-(x2+i)3(x4)'
^4\2
3(x2 + 1 )2(x2 + 1 ) V - (x2 + 1 )34x3 3(x2 + 1)2(2x)x4-(x2 + 1)34x3
©Robert Mařík. 2006 |
2   i   1\3
Derivujte y
(x2+1)
]
r(x2+i)3ix4-(x2+i)3(x4)'
^4\2
3(x2 + 1 )2(x2 + 1 ) V - (x2 + 1 )34x3 3(x2 + 1)2(2x)x4-(x2 + 1)34x3
2(x2 + 1)2x3[3x2-2(x2 + 1)
Vytkneme v čitateli.
©Robert Mařík. 2006 |
(*2 + 1)3
Derivujte y =------------
I
r(x2+i)3ix4-(x2+i)3(x4)'
_  3(x2 + 1 )2(x2 + 1 ) V - (x2 + 1 )34x3 "                          x^
_  3(x2 + 1 )2(2x)x4 - (x2 + 1 )34x3 "                       ^
_  2(x2 + 1)2x3[3x2-2(x2 + 1)] "                       78
= 2(x2 + 1)2(x2-2)
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y
{x2 + ^Ý
tak, že nejprve upravíte.
©Robert Mařík. 2006 |
(x2 _|_ i \3
Derivujte u =------------ tak, že nejprve upravíte.
+ 3xA + 3x2 + 1
Umocníme podl	e vzorce		>
	(a + b)3--	= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.	
			
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y
(*2+1)3      ,    v        .
------------ tak, ze nejprve upravíte.
x6 + 3x4+3x2 + 1~ľ
ľx2 + 3 + 3x~2 + x"4]'
Vydělíme každý člen čitatele.
©Robert Mařík. 2006 |
t x2 4-1 )3 Derivujte u =------------ tak, že nejprve upravíte.
x6 + 3x4+3x2 + 1~ľ
ľx2 + 3 + 3x-2+x-4]'
2x + O + 3(-2)x~3 + (-4)x~5
Derivujeme součet (přesněji lineární kombinaci) čtyř mocninných funkcí.
BBl     BI     H     laa                                                                                                                                      ©Robert Mařík. 20061
t x2 4-1 )3 Derivujte u =------------ tak, že nejprve upravíte.
x6 + 3x4+3x2 + 1~ľ
ľx2 + 3 + 3x-2+x-4]'
2x + O + 3(-2)x~3 + (-4)x~5
2x----
x3      x5
Přepíšeme záporné mocniny na zlomky.
©Robert Mařík. 2006 |
t x2 4-1 )3 Derivujte u =------------ tak, že nejprve upravíte.
x6 + 3x4+3x2 + 1~ľ
ľx2 + 3 + 3x-2+x-4]'
2x + O + 3(-2)x~3 + (-4)x-5 6       4   _ 2x6 - 6x2 - 4
x3      x5                 x5
Upravíme. Derivovaní bylo jednodušší než v předchozím postupu, ale hůř se bude řešit rovnice y' = 0. Hotovo!
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = In í x + arcsln(2-\/*)) I
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = In í x + arcsln(2v/x)
y' = —,--------■  n r\ \x + arcsLn(2 V*)
x+ arcsinf/Vx) \                            I
Derivujeme složenou funke		:i			N ■1
	(ln*)' = l		(in'M)'	= íf5rM	
					
]
BEI     Q     Q
©Robert Mařík. 2006 H
Derivujte y = In í x + arcsln(2v/x) I
y' = —,--------■  n r\ \x + arcsLn(2 V*) I
x+ arcsin^-^*) \                            /
" x + arcsln(2V*) '1 + V^HV^F          '
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = In í x + arcsln(2v/x) I
í x + arcsln(2v/x) I
x+ arcsln(2v/x)
x+arcsin(2y/x) V + ^/T^yfp       '
____]_____(l+_!___2.1
x+arcsin(2v/x) \        ^1 - 4x         2
1/2
Derivujeme složen	ou funkci				
			(v^r	1     !_•,	
	V/X = X2				
					
V					
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = In í x + arcsln(2v/x) I I
I x + arcsln(2v/x) I
O + vOT^r)
1 x+ arcsln(2v/x)
1 x + arcsvn{2y/x\V   '   ^1 - (2^)2
1             /.           1
x+arcsin(2v/x) \        ^1 - 4x
______]______(1+____í_____)
x+arcsin(2v/x) \        yfi^ — 4x /
Upravíme. Hotovo!
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = arcsln
x+1
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = arcsln
x+1
ynT^ľ
2      \ V *+1
f						\
	(arcsln x)'	1		(arcsln ŕ(x))'	Vi-[ŕMF	
		Vi-*2				
						
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = arcsln
x+1
ynT^ľ
x+1   _      x x+1       x+1
X+1
X + 1
x+1
(v^)' = (^)' = ^-'
(vm]=\[mrV2-f'{x)
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = arcsln
x+1
ynT^ľ
x+1
x+1___x_    2    \ x4
x+1       x+1
x+1
J_    1    í 1 + 1V    1 -(x + 1)-x-(1+0) "2' l    x    j    '           (x+1)2
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = arcsln
x+1
ynT^ľ
x+1
x+1 _ _j<_    2    \ x + 1
x+1       x+1
x+1
1        1     /x+1\2    1 -(x + 1)-x-(1+0)
X   2
x+1
(X+1)2
V^ + T
1    v^+T     1
2       v^    (x + 1)
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = arcsln
x+1
VnT^ľ
x+1
x+1___x_      2      \ X + 1
x+1       x+1
x+1
1        1     /x+1\2    1 -(x + 1)-x-(1+0)
X   2
x+1
v^+T
1    v^+T     1
(X+1)2 1
2       V^    (x+1)2      2(x+1)V^
Hotovo!
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = (x3 + 2x)e
-2x
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = (x3 + 2x)e 2x. I
y' = (x3 + 2x)'e-2x + (x3 + 2x) (e""2*)'
Derivujeme součin funkcí
luv)  = u v + uv
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = (x3 + 2x)e 2x. I
y' = (x3 + 2x)'e-2x + (x3 + 2x) [e^)' = (3x2 + 2)e-2x + (x3 + 2x)e-2x(-2x)'
Derivujeme složenou funke		i			
	(exY = ex		(efM)':	= efM • f'(x)	
v					
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = (x3 + 2x)e 2x.
y' = (x3 + 2x)'e-2x + (x3 + 2x) (e""2*)' = (3x2 + 2)e-2x + (x3 + 2x)e-2x(-2x)' = (3x2 + 2)e-2x + (x3 + 2x)e-2x(-2)
BEI     El     H     laa                                                                                                                                      ©Robert Marík. 2006 Q
Derivujte y = (x3 + 2x)e 2x.
y' = (x3 + 2x)'e-2x + (x3 + 2x) (e""2*)' = (3x2 + 2)e-2x + (x3 + 2x)e-2x(-2x)' = (3x2 + 2)e-2x + (x3 + 2x)e-2x(-2) = e-2xhx2+2-2(x3 + 2x)\
Derivujte y = (x3 + 2x)e
-2x
{x3 + 2x)'e-2x + (x3 + 2x)[e-2x) (3x2 + 2)e-2x + (x3 + 2x)e-2x(-2x)' (3x2 + 2)e-2x + (x3 + 2x)e-2x(-2) e-2xÍ3x2+2-2(x3 + 2x)\
e-2x(-2x3 + 3x2-4x + 2J
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte funkci y = (x  — 1) sin(2x) — (3x — 1) cos(2x).
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte funkci y = (x  — 1) sln(2x) — (3x — 1) cos(2x
3
y = (x2 - 1)' sln(2x) + (x2 - 1) (sin(2x))'
(3x - 1)' cos(2x) + (3x - 1) l cos(2x))'
Derivujeme dvakrát součin (barevně odlišeno)
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte funkci y = (x  — 1) sln(2x) — (3x — 1) cos(2x
3
y = (x2 - 1)' sin(2x) + (x2 - 1) (sin(2x))'
-    (3x - 1)' cos(2x) + (3x - 1) í cos(2x))'
= 2xsin(2x) + (x2 - 1)cos(2x)2
-  ľ3cos(2x) + (3x - 1) (-sin(2x)) 2]
Argumentem sinu a kosinu není x ale funkce 2x, užijeme tedy pravidlo pro derivaci složené funkce (řetězové pravidlo).
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte funkci y = (x  — 1) sln(2x) — (3x — 1) cos(2x). I
y = (x2 - 1)/sLn(2x) + (x2 - 1)(sin(2x)ť
(3x - 1)' cos(2x) + (3x - 1) ŕ cos(2x))'
2xsin(2x) + (x2-1)cos(2x)2 -ľ3cos(2x) + (3x-1)(-sin(2x))2]
sin(2x) hx + 2(3x -1)1 + cos(2x) |~2(x2 - 1) - 3J
Vytkneme sinus a kosinus ze členů, kde se tyto výrazy vyskytují.
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte funkci y = (x  — 1) sln(2x) — (3x — 1) cos(2x
3
y = (x2 - 1)/sLn(2x) + (x2 - 1)(sin(2x)ť -   (3x - 1)' cos(2x) + (3x - 1) l cos(2x))'
= 2xsin(2x) + (x2 - 1)cos(2x)2 -ľ3cos(2x) + (3x-1)(-sln(2x))2]
= sin(2x)ľ2x + 2(3x - 1)1 + cos(2x)Í2(x2 - 1) - 3J
= sin(2x) \öx - 2J + cos(2x) Í2x2 - 5J
Hotovo!
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = y2 + cos(2x)
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = -y/2 + cos(2x) I
y/=[(2+cos(2x))2]'
1 • [2 + cos(2x)]^ • [2 + cos(2x)]'
r
•  Odmocninu derivujeme jako mocninnou funkci s exponentem 1
r
•   Pod odmocninou není x, ale vnitřní složka. Musíme proto násobit derivací vnitřní složky.
Q     Q     03                                                                                                                                      ©Robert Mařík. 20061

Derivujte y = -y/2 + cos(2x) I
y'= [(2+cos(2x))*]'
1 • [2 + cos(2x)]-* • [2 + cos(2x)]'
9  /9J     n     •[0-sin(2x).2] 2y 2 + cos(2x)
•   Derivujeme součet.
•   Při derivaci funkce cos(2x) opět užíváme pravidlo pro derivaci složené funkce, protože argumentem není x, ale (2x).
J
Q     Q     G3                                                                                                                                      ©Robert Mařík. 2006 Q
Derivujte y = -y/2 + cos(2x) I
y'= [(2+cos(2x))*]'
1 • [2 + cos(2x)]-* • [2 + cos(2x)]'
1  hJ     n     •[0-sin(2x).2] 2y 2 + cos(2x)
sln(2x)
Ty/2 + cos(2x)
Upravíme. Hotovo!
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = In

©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = In
^
;inx J
1        1/1
1       2 \ slnx
sin x
(—1)(slnx)     • cos x
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = In
^
;inx J
1        1/1
1       2 \ slnx
(—1)(slnx)     • cos x
1       ____               i
Vslnx • — • VsLnx • (—1) —: z
2
sin x
cos x
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = In
^
;inx J
1        1/1
1       2 \ slnx
(—1)(slnx)     • cos x
1       ____               i
VsLnx • — • VsLnx • (—1) —;
2
sin x
cos x
--cotg x
Hotovo!
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = In
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = In
(/' = —-• (In sin x)
Nejprve upravíme.
y=lnvsln    x = lnsln   2x
-— ■ Inslnx
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = In
(In sin x)'
1
"2
1       1
2    sin x
Derivujeme složenou funkci. Vnější složka je In(-) a vnitřní složka je sln(x).
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = In
(In sin x)' 1
2    sin x
1 -- • cotg x
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = In sin e
3x
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = In sin e   . I
1
y' = -—T • (sine3x) 3       sine3x    v             '
r Derivujeme logaritmus, vnitřní složka je		sin e3x.	N
	(ln*)' = l		
			
BEI     Q     Q
©Robert Mařík. 2006 H
Derivujte y = In sin e3x. I
1
q3x
sin e
3xV
sin eJ
cose3x- le3xY
sin e
3x
Derivujeme sinus, vnitřní složka je e
3x
sin x   = cos x
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = In sin e3x. I
1
q3x
sin e
3x\'
sin eJ
cose3x- (e3x)
sin e
3x
cotg (e3x) ■e3x{3x)'
Derivujeme exponencielu, vnitřní složka		je 3x.
	(ex)' = ex	
v		
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = In sin e3x. I
1
ísine3xť
cose3x- (e3xY
cotg(e3x) -e3x(3x)' cotg(e3x) -e3x-3
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = ^Jx + ln(9 ■
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = -y/x + ln(9 — x
]
y'=-. (x+[n(9-x))   ' • (x+ln(9-x))'
Derivujeme odmocninu.		N	
(Vm)'	= l(n*)) if'M	J	
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = -y/x + ln(9 — x
]
y'=l. (x+ln(9-x))   ' • (x + ln(9-x))'
2    ^x+[n{9-x) \       9-x
^77^T-(°-1)
Upravíme zápornou mocninu a doderivujeme vnitřní složku původní odmocniny. U logaritmu se jedná se opět o složenou funkci a derivujeme i vnitřní složku.
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = -y/x + ln(9 — x
]
y'=l. (x+ln(9-x))   ' • (x+ln(9-x))'
1               1/1
1+7^--(°"1)
2    ^x+[n(9-x) \       9-x 8-x
2(9-x)V^+ln(9-x)
Sečteme výraz v závorce a upravíme. Hotovo!
Q    B     B    B                                                                                                                ©Robert Marík. 20061
Derivujte y
(x+1)3
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y
(x+1)3
(x2)'(x + 1)3-x2[(x+1)3]'
(X +1)3 2
Derivujeme podíl.
(;)' = -
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y
(x+1)3
(x2)'(x + 1)3-x2[(x+1)3]'
y/=                (X+1)3-2
_ 2x(x + 1)3-x23(x + 1)2-1
Vypočteme jednotlivé derivace. Funkci (x + 1)   derivujeme jako funkci složenou.
ES     Q     13     G3                                                                                                                                      ©Robert Mařík. 20061
Derivujte y
(x+1)3
(x2)+y + 1)3-x2[(x + 1)3]'
y/=                    (X+1)3-2
_ 2x(x + 1)3-x23(x+1)2-1
x(x + 1)2[2(x + 1)-3x] =             (x+1)6
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y
(x+1)3
(x2)'(x + 1)3-x2[(x + 1)3]'
2x(,	(X+1)3-2 r + 1)3-x23(x	+ 1)2-1
x(x	(x + 1)6 + 1)2[2(x + 1)	-3x1
(x+1)6
*(2 -x)
(x+ 1)4
Zkrátíme (x + 1)   a upravíme v hranaté závorce. Hotovo!
BEI     El     H     laa                                                                                                                                      ©Robert Mařík. 20061
Derivujte y = x In
x + 1
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = x In
x + 1
y' = (x)' • In — -^- + x • ( In
x + 1
x+1
Derivujeme součin.
(oi/)' = u'v + uv'
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = x In
x + 1
y' = (x)' • In
1 -In
x + 1
+ *•    In
x+1
x + 1
+ x
x+1
x+1
Derivujeme jednotlivé členy. Logaritmus derivujeme jako složenou funkci.
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = x In
x + ^
u' = (x)' • In------- + x •    In-------
y    v'     x+^        \   x+^
1 -UV
x + ^
1 -In
x + 1
+ x
+ 1
x+1
x + 1    2x-(x + 1)-x2-(1+0)
—                  (x+1)2
Vnitřní složka logaritmu je podíl,  použijeme tedy pravidlo pro derivaci podílu.
i u y      u'v—uv'
Ul   =       V2
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = x In
x + ^
y' = [x)' ■ In —— + x ■ ( In
x + ^
x + ^
1 -In-
x + ^
1 -In-
x + ^
+ x
+ 1
x + ^
x+^    2x-(x + 1)-x2-(1+0)
(X+1)2
x1        \    xL+ 2x n x + 1      x     x+1
Zkrátíme (x + 1) a upravíme čitatel posledního zlomku.
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = x In
x + ^
y' = {x)' • In
1 -In.
x + ^
+ x-    In
x + ^
x + ^
1 -In-
x + ^
+ x
+ 1
x + ^
x + ^
x + ^    2x-(x + 1)-x2-(1+0)
(X+1)2
In
+
1    x2+2x
x + ^    x   x + ^
In
+
x+2
x+^    x+^
Upravíme do finálního tvaru. Hotovo!
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = 7.xarctgx — Ln(1 + x
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = 2xarctgx — Ln(1 + x ). I
.            .                                         .          1                  , .
y = (2x)  ■ arctgx + 2x ■ (arctgx) —--------~ ■ (1 + x )
Derivujeme součin a složenou funkci.
(uv)' = u'v + uv'
(u(v(x)))'= u'(v(x)) ■ v'(x)
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = 2xarctgx — Ln(1 + x ). I
1
y' = (2x)' • arctgx + 2x ■ (arctgx)' —--------j • (1 + x )'
1            1
2 • arctg x + 2x ■--------^ —--------^ • 2x
a              1 + x2      1 + x2
Dokončíme derivovaní
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = 2xarctgx — Ln(1 + x ). I
.             .                                         .          1                  , .
y = (2x)  ■ arctgx + 2x ■ (arctgx) —--------~ ■ (1 + x )
= 2 • arctgx + = 2arctgx
Poslední dva členy se odečtou. Hotovo!
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = x  arcsln x + y 1 — x2.\
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = x  arcsLn x + y 1 — x2. I
y' = (x3)' ■ arcsLn x + x3 ■ (arcsLn x)' + - ■ (1 — x2)   2 • (1 — x2)'
Derivujeme součin a složenou funkci.
(uv)' = u'v + uv'
(u(v(x)))'= u'(v(x)) ■ v'(x)
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = x  arcsLn x + y 1 — x2.\
y' = (x3)' ■ arcsLn x + x3 ■ (arcsLn x)' + - ■ (1 — x2)   2 • (1 — x2)'
x3                   1
= 3x   ■ arcsLn x -\-----,            -\-------,            • l—2x)
VT^2    2VT^2
Dokončíme derivovaní
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = x  arcsLn x + y 1 — x2.\
y' = (x3)' ■ arcsLn x + x3 ■ (arcsLn x)' + - ■ (1 — x2)   2 • (1 — x2)'
o   2            •                  *3                     1             ,        ,
= 3x   ■ arcsin x -\-----^=^= +
3x  arcsLn x +
3 X    — X
VT
Zkrátíme dvojku a sečteme zlomky.
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = x  arcsLn x + y 1 — x2.
y' = (x3)' ■ arcsLn x + x3 ■ (arcsLn x)' + - ■ (1 — x2)   2 • (1 — x2)'
o 2          •                    *                          1
3x   ■ arcsin x -\-----^=^= +
VT^2    2VT^2
-2x)
3x  arcsLn x +
VT"
3x  arcsLn x — x
\-x2
Vytkneme (—x)
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = x  arcsLn x + y 1 — x2.
y' = (x3)' ■ arcsLn x + x3 ■ (arcsLn x)' + - ■ (1 — x2)   2 • (1 — x2)'
x3                   1
= 3x   • arcsLn x -\-----,            -\-------,            • (—2x)
VT^2    2VT^2
3x  arcsLn x +
3x  arcsLn x — x
3 x  —x
yT^2 1-x2
V^*2
3x arcsLn x — x • y 1 — x2
Zkrátíme. Hotovo!
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y
VT"
a rcsin x
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y
VT"
arcsinx
í y 1 — x2 I   • arcsln x — y 1 — x2 ■ (arcsln x)'
arcsin  x
Funkce je ve tvaru podílu, použijeme tedy pravidlo pro derivaci podílu.
(;)'-
vi               VA
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y
VT"
arcsinx
í y 1 — x2 I   • arcsLn x — y 1 — x2 • (arcsln x)'
arcsin  x
2\/1-x2
-2x) • arcsLn x — yl
/"I-x2
arcsin  x
f	
	•  Dopočítame derivace.
	•  Pod odmocninou je vnitřní složka a užijeme pravidlo pro deri-
\	vace složené funkce.
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y
VT"
arcsinx
í y 1 — x2 I   • arcsLn x — y 1 — x2 • (arcsln x)'
arcsin  x
2\/1-x2
-2x) • arcsLn x — yl—x^ ■
1-x2
2\/1-x2
arcsin  x -2x)arcsLnx
arcsin  x
arcsin  x
Rozdělíme na dva zlomky a zkrátíme v čitateli druhého zlomku.
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y
VT"
arcsinx
í y 1 — x2 I   • arcsLn x — y 1 — x2 • (arcsln x)'
arcsin  x
i\h-x2
-7.x) ■ arcsLn x — yl^x^ • —-
1-x2
2%/1-x2
arcsin  x -2x)arcsLnx
arcsin  x
arcsin  x
'1-x2
arcsinx          arcsinzx
Provedeme krácení
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y
VT"
a resin x
í y 1 — x2 I   • arcsln x — y 1 — x2 • (arcsLn x)'
arcsin  x
i\h-x2
-7.x) ■ arcsLn x — yl^x^ • —-
1-x2
2V1-X2
arcsin  x -2x)arcslnx
arcsin  x
arcsin  x
/1-x2
arcsinx          aresíri  x
-x                         1
Hotovo!
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = yx+Tarctg yx+T. I
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = \fk + 1 arctg y/x + 1. I
1
2v^Tl
(1 + 0) • arctg v/x+T+ 1                      1
1 + (V7+T)2   2v^TT
(1+0)
Derivujeme součin a složenou funkci podle pravidel
(uv)' = u'v + uv'
(u(v(x)))'= u'(v(x)) ■ v'(x)
©Robert Mařík. 2006 |
Derivujte y = y/x + 1 arctg y/x + 1. I 1
2v^Tl
(1 + 0) • arctg y/x + l + 1                    1
1 + (V7+T)2   2v^TT
(1+0)
arctg \A" +1      1        1
2V^TT       2   x+2
Upravíme a zkrátíme.
©Robert Mařík. 2006 |
Konec
©Robert Mařík. 2006 |