Určitý integrál Robert Mařík 27. června 2006 Obsah 1 Konstrukce (definice) Riemannova integrálu. 2 2 Výpočet -- Newtonova­Leibnizova věta. 18 3 Numerický odhad -- Lichoběžníkové pravidlo 19 4 Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů 30 c Robert Mařík, 2006 × 1 Konstrukce (definice) Riemannova integrálu. Na následujících stranách si vysvětlíme geometricky hlavní myšlenky definice Riemannova integrálu. Konstrukce (definice) Riemannova integrálu. c Robert Mařík, 2006 × 0 22 3 Integrál 3 0 (x2 - 2x + 2) dx. Křivka na obrázku je grafem funkce y = x2 - 2x + 2 Rozdělíme interval. Norma dělení je 2. Konstrukce (definice) Riemannova integrálu. c Robert Mařík, 2006 × 0 2 0.8 2 3 2.9 Integrál 3 0 (x2 - 2x + 2) dx. Křivka na obrázku je grafem funkce y = x2 - 2x + 2 Rozdělíme interval. Norma dělení je 2. Zvolíme reprezentanty v každém podintervalu. Konstrukce (definice) Riemannova integrálu. c Robert Mařík, 2006 × 0 2 0.8 2 3 2.9 Integrál 3 0 (x2 - 2x + 2) dx. Křivka na obrázku je grafem funkce y = x2 - 2x + 2 Rozdělíme interval. Norma dělení je 2. Zvolíme reprezentanty v každém podintervalu. Nakreslíme integrální součet ­ plocha červeného obrazce. Konstrukce (definice) Riemannova integrálu. c Robert Mařík, 2006 × 0 11 22 3 Integrál 3 0 (x2 - 2x + 2) dx. Zjemníme dělení. Norma tohoto dělení je 1. Konstrukce (definice) Riemannova integrálu. c Robert Mařík, 2006 × 0 1 0.8 1 2 1.6 2 3 2.9 Integrál 3 0 (x2 - 2x + 2) dx. Zjemníme dělení. Norma tohoto dělení je 1. Zvolíme reprezentanty v každém podintervalu. Konstrukce (definice) Riemannova integrálu. c Robert Mařík, 2006 × 0 1 0.8 1 2 1.6 2 3 2.9 Integrál 3 0 (x2 - 2x + 2) dx. Zjemníme dělení. Norma tohoto dělení je 1. Zvolíme reprezentanty v každém podintervalu. Nakreslíme integrální součet ­ plocha červeného obrazce. Konstrukce (definice) Riemannova integrálu. c Robert Mařík, 2006 × 0 1 0.1 1 2 1.7 2 3 2.2 Integrál 3 0 (x2 - 2x + 2) dx. Ponecháme dělení. Norma dělení je pořád 1. Zvolíme reprezentanty v každém podintervalu, ale jinak, než v předchozím kroku. Nakreslíme integrální součet ­ plocha červeného obrazce. Integrální součet závisí na výběru reprezentantů. Konstrukce (definice) Riemannova integrálu. c Robert Mařík, 2006 × 0 0.5 0.2 0.5 1 0.55 1 1.5 1.2 1.5 2 1.75 2 2.4 2.3 2.4 3 2.8 Integrál 3 0 (x2 - 2x + 2) dx. Zjemníme dělení. Norma tohoto dělení je 0.6 (nejdelší interval je ten poslední). Zvolíme reprezentanty a určíme integrální součet ­ plocha červeného obrazce. Konstrukce (definice) Riemannova integrálu. c Robert Mařík, 2006 × 0 0.2 0.15 0.2 0.4 0.35 0.4 0.6 0.55 0.6 0.8 0.75 0.8 1 0.95 1 1.2 1.15 1.2 1.4 1.35 1.4 1.6 1.55 1.6 1.8 1.75 1.8 2 1.95 2 2.2 2.15 2.2 2.4 2.35 2.4 2.6 2.55 2.6 2.8 2.75 2.8 3 2.95 Integrál 3 0 (x2 - 2x + 2) dx. Opět zjemníme dělení. Norma tohoto dělení je 0.2 Zvolíme reprezentanty a určíme integrální součet. Konstrukce (definice) Riemannova integrálu. c Robert Mařík, 2006 × 0 3 Integrál 3 0 (x2 - 2x + 2) dx. Pokračujeme ve zjemňování dělení. Nyní je norma 0.1. Konstrukce (definice) Riemannova integrálu. c Robert Mařík, 2006 × 0 3 Integrál 3 0 (x2 - 2x + 2) dx. Pokračujeme ve zjemňování dělení ad infimum. Nyní je norma 0.05. Pokud se hodnota integrálních součtů ustálí (integrální součty mají limitu při normě dělení jdoucí k nule) a pokud tato limita nezávisí ani na konkrétním výběru reprezentantů ani na způsobu, jak dělení zjmeňujeme, říkáme, že funkce je Riemannovsky integrovatelná a její Riemannův (= určitý) integrál je ona limita integrálních součtů. Konstrukce (definice) Riemannova integrálu. c Robert Mařík, 2006 × Definice (dělení intervalu). Buď [a, b] uzavřený interval - < a < b < . Děle- ním intervalu [a, b] rozumíme konečnou posloupnost D = {x0, x1, . . . , xn} bodů z intervalu [a, b] s vlastností a = x0 < x1 < x2 < x3 < < xn-1 < xn = b. Čísla xi nazýváme dělící body. Normou dělení D rozumíme maximální číslo, které udává vzdálenost sousedních dělících bodů. Normu dělení D označujeme (D). Je tedy (D) = max{xi - xi-1, 1 i n}. Definice (integrální součet). Buď [a, b] uzavřený interval a f funkce definovaná a ohraničená na [a, b]. Buď D dělení intervalu [a, b]. Buď R = {1, . . . , n} posloup- nost čísel z intervalu [a, b] splňující xi-1 i xi pro i = 1..n. Potom součet ( f, D, R) = n i=1 f (i)(xi - xi-1) nazýváme integrálním součtem funkce f příslušným dělení D a výběru reprezentantů R. Konstrukce (definice) Riemannova integrálu. c Robert Mařík, 2006 × Definice (Riemannův integrál). Buď [a, b] uzavřený interval a f funkce definovaná a ohraničená na [a, b]. Buď Dn posloupnost dělení intervalu [a, b] a Rn posloupnost reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na intervalu [a, b], jestliže existuje číslo I R s vlastností lim n ( f, Dn, Rn) = I pro libovolnou posloupnost dělení Dn, splňující lim n (Dn) = 0 při libovolné volbě reprezentantů Rn. Číslo I nazýváme Riemannův integrál funkce f na intervalu [a, b] a označujeme b a f (x) dx. Definice (horní a dolní mez). Číslo a v definici Riemannova integrálu se nazývá dolní mez a číslo b horní mez Riemannova integrálu. Konstrukce (definice) Riemannova integrálu. c Robert Mařík, 2006 × Věta 1 (postačující podmínky pro integrovatelnost funkce). 1. Funkce spojitá na intervalu [a, b] je na tomto intervalu Riemannovsky integrova- telná. 2. Funkce ohraničená na [a, b], která má na tomto intervalu konečný počet bodů nespojitosti je Riemannovsky integrovatelná. 3. Funkce monotonní na [a, b] je na tomto intervalu Riemannovsky integrovatelná. Věta 2 (linearita určitého integrálu vzhledem k funkci). Nechť f, g jsou funkce inte- grovatelné na [a, b], c nechť je reálné číslo. Pak platí b a [f (x) + g(x)] dx = b a f (x) dx + b a g(x) dx, b a c f (x) dx = c b a f (x) dx. Věta 3 (aditivita určitého integrálu vzhledem k mezím). Nechť f je funkce integrova- telná na [a, b]. Buď c (a, b) libovolné. Pak je f integrovatelná na intervalech [a, c] a [c, b] a platí b a f (x) dx = c a f (x) dx + b c f (x) dx. Konstrukce (definice) Riemannova integrálu. c Robert Mařík, 2006 × Věta 4 (monotonie vzhledem k funkci). Buďte f a g funkce integrovatelné na [a, b] takové, že f (x) g(x) pro x (a, b). Pak platí b a f (x) dx b a g(x) dx. Definice (střední hodnota). Buď f funkce (Riemannovsky) integrovatelná na inter- valu [a, b]. Číslo 1 b - a b a f (x) dx se nazývá střední hodnota funkce f na intervalu [a, b]. Funkce a b Střední hodnota stř. hodnota a b Konstrukce (definice) Riemannova integrálu. c Robert Mařík, 2006 × 2 Výpočet -- Newtonova­Leibnizova věta. Věta 5 (Newtonova­Leibnizova věta). Nechť funkce f (x) je Riemannovsky integrova- telná na [a, b]. Nechť F(x) je funkce spojitá na [a, b], která je intervalu (a, b) primitivní k funkci f (x). Pak platí b a f (x) dx = [F(x)]b a = F(b) - F(a). Příklad. 3 0 (x2 - 2x + 2) dx = x3 3 - x2 + 2x 3 0 = 33 3 - 32 + 2.3 - 03 3 - 02 + 2.0 = 32 - 32 + 6 - 0 = 6 Výpočet -- Newtonova­Leibnizova věta. c Robert Mařík, 2006 × 3 Numerický odhad -- Lichoběžníkové pravidlo ˇ Vrátíme se k definici Riemannova integrálu a k integrálním součtům. ˇ Budeme se snažit co nejlépe aproximovat plochu pod křivkou. ˇ Pro větší početní komfort budeme interval dělit na stejně dlouhé dílky. Numerický odhad -- Lichoběžníkové pravidlo c Robert Mařík, 2006 × 0 3 Integrál 3 0 (x2 - 2x + 2) dx. Dělení a integrální součet Numerický odhad -- Lichoběžníkové pravidlo c Robert Mařík, 2006 × I h 2 f (x0) + 2 f (x1) + 2 f (x2) + f (x3) h = 1 je délka mezi sousedními značkami na ose x x0 = 0 x1 = 1 x2 = 2 x3 = 3 Integrál 3 0 (x2 - 2x + 2) dx. Nahradíme každý obdélník lichoběžníkem. Aproximace je lepší a výpočet se moc nezhorší. Numerický odhad -- Lichoběžníkové pravidlo c Robert Mařík, 2006 × I h 2 f (x0) + 2 f (x1) + 2 f (x2) + 2 f (x3) + 2 f (x4) + f (x5) h = 0.6 je délka mezi sousedními značkami na ose x x0 = 0 x1 = 0.6 x2 = 1.2 x3 = 1.8 x4 = 2.4 x5 = 3 Integrál 3 0 (x2 - 2x + 2) dx. Volíme kratší výšku lichoběžníků a aproximace je ještě lepší, počítání je však delší. Numerický odhad -- Lichoběžníkové pravidlo c Robert Mařík, 2006 × I h 2 f (x0) + 2 f (x1) + + 2 f (x5) + f (x6) h = 0.5 je délka mezi sousedními značkami na ose x x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 Integrál 3 0 (x2 - 2x + 2) dx. Pro jemnější dělení je aproximace ještě lepší. Chyba, které se dopustíme, je malá jestliže ˇ použijeme "dostatečně jemné" dělení, ˇ funkce se "příliš neliší" od lineární funkce (to ale neovlivníme). Numerický odhad -- Lichoběžníkové pravidlo c Robert Mařík, 2006 × Příklad. Hledejme 2 1 sin x x dx. n = 10, h = 0.1. i xi = a + hi yi = sin xi xi m myi 0 1 0.841471 1 0.841471 1 1.1 0.810189 2 1.620377 2 1.2 0.776699 2 1.553398 3 1.3 0.741199 2 1.482397 4 1.4 0.703893 2 1.407785 5 1.5 0.664997 2 1.329993 6 1.6 0.624734 2 1.249467 7 1.7 0.583332 2 1.166664 8 1.8 0.541026 2 1.082053 9 1.9 0.498053 2 0.996105 10 2 0.454649 1 0.454649 Součet v posledním sloupci je S = 13.184361 a proto 2 1 sin x x dx h S 2 = S 20 = 0.659218. Numerický odhad -- Lichoběžníkové pravidlo c Robert Mařík, 2006 × Příklad. Hledejme 2 1 sin x x dx. n = 10, h = 0.1. i xi = a + hi yi = sin xi xi m myi 0 1 0.841471 1 0.841471 1 1.1 0.810189 2 1.620377 2 1.2 0.776699 2 1.553398 3 1.3 0.741199 2 1.482397 4 1.4 0.703893 2 1.407785 5 1.5 0.664997 2 1.329993 6 1.6 0.624734 2 1.249467 7 1.7 0.583332 2 1.166664 8 1.8 0.541026 2 1.082053 9 1.9 0.498053 2 0.996105 10 2 0.454649 1 0.454649 Součet v posledním sloupci je S = 13.184361 a proto 2 1 sin x x dx h S 2 = S 20 = 0.659218. ˇ Rozdělíme interval na 10 dílků, n = 10. Délka jednoho dílku bude h = b - a n = 2 - 1 10 = 0.1. ˇ Výpočet zaznamenáme v následující tabulce (budeme zaokrouhlovat na 6 dese- tinných míst). Numerický odhad -- Lichoběžníkové pravidlo c Robert Mařík, 2006 × Příklad. Hledejme 2 1 sin x x dx. n = 10, h = 0.1. i xi = a + hi yi = sin xi xi m myi 0 1 0.841471 1 0.841471 1 1.1 0.810189 2 1.620377 2 1.2 0.776699 2 1.553398 3 1.3 0.741199 2 1.482397 4 1.4 0.703893 2 1.407785 5 1.5 0.664997 2 1.329993 6 1.6 0.624734 2 1.249467 7 1.7 0.583332 2 1.166664 8 1.8 0.541026 2 1.082053 9 1.9 0.498053 2 0.996105 10 2 0.454649 1 0.454649 Součet v posledním sloupci je S = 13.184361 a proto 2 1 sin x x dx h S 2 = S 20 = 0.659218. Numerický odhad -- Lichoběžníkové pravidlo c Robert Mařík, 2006 × Příklad. Hledejme 2 1 sin x x dx. n = 10, h = 0.1. i xi = a + hi yi = sin xi xi m myi 0 1 0.841471 1 0.841471 1 1.1 0.810189 2 1.620377 2 1.2 0.776699 2 1.553398 3 1.3 0.741199 2 1.482397 4 1.4 0.703893 2 1.407785 5 1.5 0.664997 2 1.329993 6 1.6 0.624734 2 1.249467 7 1.7 0.583332 2 1.166664 8 1.8 0.541026 2 1.082053 9 1.9 0.498053 2 0.996105 10 2 0.454649 1 0.454649 Součet v posledním sloupci je S = 13.184361 a proto 2 1 sin x x dx h S 2 = S 20 = 0.659218. Numerický odhad -- Lichoběžníkové pravidlo c Robert Mařík, 2006 × Příklad. Hledejme 2 1 sin x x dx. n = 10, h = 0.1. i xi = a + hi yi = sin xi xi m myi 0 1 0.841471 1 0.841471 1 1.1 0.810189 2 1.620377 2 1.2 0.776699 2 1.553398 3 1.3 0.741199 2 1.482397 4 1.4 0.703893 2 1.407785 5 1.5 0.664997 2 1.329993 6 1.6 0.624734 2 1.249467 7 1.7 0.583332 2 1.166664 8 1.8 0.541026 2 1.082053 9 1.9 0.498053 2 0.996105 10 2 0.454649 1 0.454649 Součet v posledním sloupci je S = 13.184361 a proto 2 1 sin x x dx h S 2 = S 20 = 0.659218. Numerický odhad -- Lichoběžníkové pravidlo c Robert Mařík, 2006 × Příklad. Hledejme 2 1 sin x x dx. n = 10, h = 0.1. i xi = a + hi yi = sin xi xi m myi 0 1 0.841471 1 0.841471 1 1.1 0.810189 2 1.620377 2 1.2 0.776699 2 1.553398 3 1.3 0.741199 2 1.482397 4 1.4 0.703893 2 1.407785 5 1.5 0.664997 2 1.329993 6 1.6 0.624734 2 1.249467 7 1.7 0.583332 2 1.166664 8 1.8 0.541026 2 1.082053 9 1.9 0.498053 2 0.996105 10 2 0.454649 1 0.454649 Součet v posledním sloupci je S = 13.184361 a proto 2 1 sin x x dx h S 2 = S 20 = 0.659218. Použití přesnějších metod vede k přesnější hodnotě I . = 0.659329906435512, od které jsme se odchýlili na čtvrtém desetinném místě. Numerický odhad -- Lichoběžníkové pravidlo c Robert Mařík, 2006 × 4 Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů Obsah křivočarého lichoběžníku a objem rotačního tělesa x y x y x y x S = b a f (x) dx V = b a f2 (x) dx Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × Obsah množiny mezi křivkami a objem tělesa, vzniklého rotací této množiny x y a b f (x) g(x) x y x y S = b a [f (x) - g(x)] dx V = b a f2 (x) - g2 (x) dx Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 - (x - 1)2 a x + y = 0. 1 - (x - 1)2 = -x 1 - (x2 - 2x + 1) = -x 1 - x2 + 2x - 1 = -x 3x - x2 = 0 (3 - x)x = 0 S = 3 0 1 - (x - 1)2 - (-x) dx = 3 0 1 - (x2 - 2x + 1) + x dx = 3 0 -x2 + 3x dx = - x3 3 + 3 x2 2 3 0 = - 33 3 + 3 32 2 - - 03 3 + 3 02 2 = -9 + 27 2 = 9 2 Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 - (x - 1)2 a x + y = 0. 1 - (x - 1)2 = -x 1 - (x2 - 2x + 1) = -x 1 - x2 + 2x - 1 = -x 3x - x2 = 0 (3 - x)x = 0 S = 3 0 1 - (x - 1)2 - (-x) dx = 3 0 1 - (x2 - 2x + 1) + x dx = 3 0 -x2 + 3x dx = - x3 3 + 3 x2 2 3 0 = - 33 3 + 3 32 2 - - 03 3 + 3 02 2 = -9 + 27 2 = 9 2 ˇ První z křivek je parabola, druhá z křivek je přímka y = -x. ˇ Křivky se protínají v bodě, jehož x-ová splňuje rovnici 1 - (x - 1)2 = -x Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 - (x - 1)2 a x + y = 0. 1 - (x - 1)2 = -x 1 - (x2 - 2x + 1) = -x 1 - x2 + 2x - 1 = -x 3x - x2 = 0 (3 - x)x = 0 S = 3 0 1 - (x - 1)2 - (-x) dx = 3 0 1 - (x2 - 2x + 1) + x dx = 3 0 -x2 + 3x dx = - x3 3 + 3 x2 2 3 0 = - 33 3 + 3 32 2 - - 03 3 + 3 02 2 = -9 + 27 2 = 9 2 Průsečíky křivek jsou body [0, 0] a [3, -3]. Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 - (x - 1)2 a x + y = 0. 1 - (x - 1)2 = -x 1 - (x2 - 2x + 1) = -x 1 - x2 + 2x - 1 = -x 3x - x2 = 0 (3 - x)x = 0 30 -3 2 x y 3 3 y = 1 - (x - 1)2 = 1 - (x2 - 2x + 1) = 2x - x2 = x(2 - x) Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 - (x - 1)2 a x + y = 0. 30 -3 2 x y S = 3 0 1 - (x - 1)2 - (-x) dx = 3 0 1 - (x2 - 2x + 1) + x dx = 3 0 -x2 + 3x dx = - x3 3 + 3 x2 2 3 0 = - 33 3 + 3 32 2 - - 03 3 + 3 02 2 = -9 + 27 2 = 9 2 x + y = 0 y = -x Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 - (x - 1)2 a x + y = 0. 30 -3 2 x y S = 3 0 1 - (x - 1)2 - (-x) dx = 3 0 1 - (x2 - 2x + 1) + x dx = 3 0 -x2 + 3x dx = - x3 3 + 3 x2 2 3 0 = - 33 3 + 3 32 2 - - 03 3 + 3 02 2 = -9 + 27 2 = 9 2 Umocníme. Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 - (x - 1)2 a x + y = 0. 30 -3 2 x y S = 3 0 1 - (x - 1)2 - (-x) dx = 3 0 1 - (x2 - 2x + 1) + x dx = 3 0 -x2 + 3x dx = - x3 3 + 3 x2 2 3 0 = - 33 3 + 3 32 2 - - 03 3 + 3 02 2 = -9 + 27 2 = 9 2 Upravíme integrand. Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 - (x - 1)2 a x + y = 0. 30 -3 2 x y S = 3 0 1 - (x - 1)2 - (-x) dx = 3 0 1 - (x2 - 2x + 1) + x dx = 3 0 -x2 + 3x dx = - x3 3 + 3 x2 2 3 0 = - 33 3 + 3 32 2 - - 03 3 + 3 02 2 = -9 + 27 2 = 9 2 b a f (x) dx = [F(x)]b a = F(b) - F(a) Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 - (x - 1)2 a x + y = 0. 30 -3 2 x y S = 3 0 1 - (x - 1)2 - (-x) dx = 3 0 1 - (x2 - 2x + 1) + x dx = 3 0 -x2 + 3x dx = - x3 3 + 3 x2 2 3 0 = - 33 3 + 3 32 2 - - 03 3 + 3 02 2 = -9 + 27 2 = 9 2 b a f (x) dx = [F(x)]b a = F(b) - F(a) Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × Určete obsah množiny mezi křivkami y = 1 - (x - 1)2 a x + y = 0. 30 -3 2 x y S = 3 0 1 - (x - 1)2 - (-x) dx = 3 0 1 - (x2 - 2x + 1) + x dx = 3 0 -x2 + 3x dx = - x3 3 + 3 x2 2 3 0 = - 33 3 + 3 32 2 - - 03 3 + 3 02 2 = -9 + 27 2 = 9 2 Dopočítáme obsah množiny. Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × Určete obsah množiny mezi křivkami y = ex a y = e-x pro x [0, 1] a objem tělesa, které vznikne rotací této množiny okolo osy x. S = 1 0 ex - e-x dx = ex + e-x 1 0 = e1 + e-1 - e0 + e0 = e + 1 e - 2 V = 1 0 (ex )2 - (e-x )2 dx = 1 0 e2x - e-2x dx = 1 2 e2x + 1 2 e-2x 1 0 = 1 2 e2 + 1 2 e-2 - 1 2 e0 + 1 2 e0 = 1 2 e2 + 1 2e2 - 1 Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × y = ex , y = e-x , x [0, 1], S =?, V =?. 10 1 x y S = b a f (x) - g(x) dx V = b a f2 (x) - g2 (x) dx S = 1 0 ex - e-x dx = ex + e-x 1 0 = e1 + e-1 - e0 + e0 = e + 1 e - 2 V = 1 0 (ex )2 - (e-x )2 dx = 1 0 e2x - e-2x dx = 1 2 e2x + 1 2 e-2x 1 0 = 1 2 e2 + 1 2 e-2 - 1 2 e0 + 1 2 e0 = 1 2 e2 + 1 2e2 - 1 Zakreslíme křivky. Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × y = ex , y = e-x , x [0, 1], S =?, V =?. 10 1 x y S = b a f (x) - g(x) dx V = b a f2 (x) - g2 (x) dx S = 1 0 ex - e-x dx = ex + e-x 1 0 = e1 + e-1 - e0 + e0 = e + 1 e - 2 V = 1 0 (ex )2 - (e-x )2 dx = 1 0 e2x - e-2x dx = 1 2 e2x + 1 2 e-2x 1 0 = 1 2 e2 + 1 2 e-2 - 1 2 e0 + 1 2 e0 = 1 2 e2 + 1 2e2 - 1 Vyjádříme obsah plochy jako určitý integrál. Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × y = ex , y = e-x , x [0, 1], S =?, V =?. 10 1 x y S = b a f (x) - g(x) dx V = b a f2 (x) - g2 (x) dx S = 1 0 ex - e-x dx = ex + e-x 1 0 = e1 + e-1 - e0 + e0 = e + 1 e - 2 V = 1 0 (ex )2 - (e-x )2 dx = 1 0 e2x - e-2x dx = 1 2 e2x + 1 2 e-2x 1 0 = 1 2 e2 + 1 2 e-2 - 1 2 e0 + 1 2 e0 = 1 2 e2 + 1 2e2 - 1 Vypočteme neurčitý integrál. Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × y = ex , y = e-x , x [0, 1], S =?, V =?. 10 1 x y S = b a f (x) - g(x) dx V = b a f2 (x) - g2 (x) dx S = 1 0 ex - e-x dx = ex + e-x 1 0 = e1 + e-1 - e0 + e0 = e + 1 e - 2 V = 1 0 (ex )2 - (e-x )2 dx = 1 0 e2x - e-2x dx = 1 2 e2x + 1 2 e-2x 1 0 = 1 2 e2 + 1 2 e-2 - 1 2 e0 + 1 2 e0 = 1 2 e2 + 1 2e2 - 1 Vypočítáme určitý integrál pomocí Newtonovy­Leignizovy formule. Dosadíme tedy meze. Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × y = ex , y = e-x , x [0, 1], S =?, V =?. 10 1 x y S = b a f (x) - g(x) dx V = b a f2 (x) - g2 (x) dx S = 1 0 ex - e-x dx = ex + e-x 1 0 = e1 + e-1 - e0 + e0 = e + 1 e - 2 V = 1 0 (ex )2 - (e-x )2 dx = 1 0 e2x - e-2x dx = 1 2 e2x + 1 2 e-2x 1 0 = 1 2 e2 + 1 2 e-2 - 1 2 e0 + 1 2 e0 = 1 2 e2 + 1 2e2 - 1 Dopočítáme numericky. Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × y = ex , y = e-x , x [0, 1], S =?, V =?. 10 1 x y S = b a f (x) - g(x) dx V = b a f2 (x) - g2 (x) dx S = 1 0 ex - e-x dx = ex + e-x 1 0 = e1 + e-1 - e0 + e0 = e + 1 e - 2 V = 1 0 (ex )2 - (e-x )2 dx = 1 0 e2x - e-2x dx = 1 2 e2x + 1 2 e-2x 1 0 = 1 2 e2 + 1 2 e-2 - 1 2 e0 + 1 2 e0 = 1 2 e2 + 1 2e2 - 1 Vyjádříme objem tělesa jako určitý integrál. Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × y = ex , y = e-x , x [0, 1], S =?, V =?. 10 1 x y S = b a f (x) - g(x) dx V = b a f2 (x) - g2 (x) dx S = 1 0 ex - e-x dx = ex + e-x 1 0 = e1 + e-1 - e0 + e0 = e + 1 e - 2 V = 1 0 (ex )2 - (e-x )2 dx = 1 0 e2x - e-2x dx = 1 2 e2x + 1 2 e-2x 1 0 = 1 2 e2 + 1 2 e-2 - 1 2 e0 + 1 2 e0 = 1 2 e2 + 1 2e2 - 1 Upravíme, abychom mohli použít vzorec. Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × y = ex , y = e-x , x [0, 1], S =?, V =?. 10 1 x y S = b a f (x) - g(x) dx V = b a f2 (x) - g2 (x) dx S = 1 0 ex - e-x dx = ex + e-x 1 0 = e1 + e-1 - e0 + e0 = e + 1 e - 2 V = 1 0 (ex )2 - (e-x )2 dx = 1 0 e2x - e-2x dx = 1 2 e2x + 1 2 e-2x 1 0 = 1 2 e2 + 1 2 e-2 - 1 2 e0 + 1 2 e0 = 1 2 e2 + 1 2e2 - 1 Vypočteme neurčitý integrál. Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × y = ex , y = e-x , x [0, 1], S =?, V =?. 10 1 x y S = b a f (x) - g(x) dx V = b a f2 (x) - g2 (x) dx S = 1 0 ex - e-x dx = ex + e-x 1 0 = e1 + e-1 - e0 + e0 = e + 1 e - 2 V = 1 0 (ex )2 - (e-x )2 dx = 1 0 e2x - e-2x dx = 1 2 e2x + 1 2 e-2x 1 0 = 1 2 e2 + 1 2 e-2 - 1 2 e0 + 1 2 e0 = 1 2 e2 + 1 2e2 - 1 Použijeme Newtonovu­Leibnizovu formuli. Dosadíme tedy meze. Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × y = ex , y = e-x , x [0, 1], S =?, V =?. 10 1 x y S = b a f (x) - g(x) dx V = b a f2 (x) - g2 (x) dx S = 1 0 ex - e-x dx = ex + e-x 1 0 = e1 + e-1 - e0 + e0 = e + 1 e - 2 V = 1 0 (ex )2 - (e-x )2 dx = 1 0 e2x - e-2x dx = 1 2 e2x + 1 2 e-2x 1 0 = 1 2 e2 + 1 2 e-2 - 1 2 e0 + 1 2 e0 = 1 2 e2 + 1 2e2 - 1 Upravíme. Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × Určete objem tělesa, vzniklého rotací množiny pod grafem funkce y = e x pro x [0, 1] okolo osy x. V = 1 0 e x 2 dx e x 2 dx = e2 x dx 2 x = t 4x = t2 4 dx = 2t dt dx = 1 2 t dt = 1 2 t et dt u = t u = 1 v = et v = et = 1 2 t et - 1 et dt = 1 2 tet - et = 1 2 et (t - 1) = 1 2 e2 x 2 x - 1 e x 2 dx = 1 2 e2 x 2 x - 1 V = 1 2 e2 x 2 x - 1 1 Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × V =?, x [0, 1], y = e x y(0) = e 0 = e0 = 1 y(1) = e 1 = e1 2.72 y = 1 2 e x x 0 y = 1 2 e x 1 2 x x - e x 1 2 x x = 1 2 e x x - 1 x x Obrázek 1 1 e x y V = 1 0 e x 2 dx e x 2 dx = e2 x dx 2 x = t 4x = t2 4 dx = 2t dt 1 = 1 2 t et dt ˇ Odhadneme průběh funkce y = e x . ˇ Doma si spočíteje obsah tohoto obrazce (postup je podobný jako postup uvedený níže, výsledek je S = 2). Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × V =?, x [0, 1], y = e x V = 1 0 e x 2 dx e x 2 dx = e2 x dx 2 x = t 4x = t2 4 dx = 2t dt dx = 1 2 t dt = 1 2 t et dt u = t u = 1 v = et v = et = 1 2 t et - 1 et dt = 1 2 tet - et = 1 2 et (t - 1) = 1 2 e2 x 2 x - 1 e x 2 dx = 1 2 e2 x 2 x - 1 V = 1 2 e2 x 2 x - 1 1 0 Užijeme vzorec pro objem. Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × V =?, x [0, 1], y = e x V = 1 0 e x 2 dx e x 2 dx = e2 x dx 2 x = t 4x = t2 4 dx = 2t dt dx = 1 2 t dt = 1 2 t et dt u = t u = 1 v = et v = et = 1 2 t et - 1 et dt = 1 2 tet - et = 1 2 et (t - 1) = 1 2 e2 x 2 x - 1 e x 2 dx = 1 2 e2 x 2 x - 1 V = 1 2 e2 x 2 x - 1 1 0 Vypočítáme bokem neurčitý integrál. Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × V =?, x [0, 1], y = e x V = 1 0 e x 2 dx e x 2 dx = e2 x dx 2 x = t 4x = t2 4 dx = 2t dt dx = 1 2 t dt = 1 2 t et dt u = t u = 1 v = et v = et = 1 2 t et - 1 et dt = 1 2 tet - et = 1 2 et (t - 1) = 1 2 e2 x 2 x - 1 e x 2 dx = 1 2 e2 x 2 x - 1 V = 1 2 e2 x 2 x - 1 1 0 Upravíme funkci. Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × V =?, x [0, 1], y = e x V = 1 0 e x 2 dx e x 2 dx = e2 x dx 2 x = t 4x = t2 4 dx = 2t dt dx = 1 2 t dt = 1 2 t et dt u = t u = 1 v = et v = et = 1 2 t et - 1 et dt = 1 2 tet - et = 1 2 et (t - 1) = 1 2 e2 x 2 x - 1 e x 2 dx = 1 2 e2 x 2 x - 1 V = 1 2 e2 x 2 x - 1 1 0 Použijeme substituci. Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × V =?, x [0, 1], y = e x V = 1 0 e x 2 dx e x 2 dx = e2 x dx 2 x = t 4x = t2 4 dx = 2t dt dx = 1 2 t dt = 1 2 t et dt u = t u = 1 v = et v = et = 1 2 t et - 1 et dt = 1 2 tet - et = 1 2 et (t - 1) = 1 2 e2 x 2 x - 1 e x 2 dx = 1 2 e2 x 2 x - 1 V = 1 2 e2 x 2 x - 1 1 0 Použijeme substituci. Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × V =?, x [0, 1], y = e x V = 1 0 e x 2 dx e x 2 dx = e2 x dx 2 x = t 4x = t2 4 dx = 2t dt dx = 1 2 t dt = 1 2 t et dt u = t u = 1 v = et v = et = 1 2 t et - 1 et dt = 1 2 tet - et = 1 2 et (t - 1) = 1 2 e2 x 2 x - 1 e x 2 dx = 1 2 e2 x 2 x - 1 V = 1 2 e2 x 2 x - 1 1 0 Použijeme metodu per-partés u v dx = u v - u v dx Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × V =?, x [0, 1], y = e x V = 1 0 e x 2 dx e x 2 dx = e2 x dx 2 x = t 4x = t2 4 dx = 2t dt dx = 1 2 t dt = 1 2 t et dt u = t u = 1 v = et v = et = 1 2 t et - 1 et dt = 1 2 tet - et = 1 2 et (t - 1) = 1 2 e2 x 2 x - 1 e x 2 dx = 1 2 e2 x 2 x - 1 V = 1 2 e2 x 2 x - 1 1 0 Dokončíme integraci. Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × V =?, x [0, 1], y = e x V = 1 0 e x 2 dx e x 2 dx = e2 x dx 2 x = t 4x = t2 4 dx = 2t dt dx = 1 2 t dt = 1 2 t et dt u = t u = 1 v = et v = et = 1 2 t et - 1 et dt = 1 2 tet - et = 1 2 et (t - 1) = 1 2 e2 x 2 x - 1 e x 2 dx = 1 2 e2 x 2 x - 1 V = 1 2 e2 x 2 x - 1 1 0 Vytkneme Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × V =?, x [0, 1], y = e x V = 1 0 e x 2 dx e x 2 dx = e2 x dx 2 x = t 4x = t2 4 dx = 2t dt dx = 1 2 t dt = 1 2 t et dt u = t u = 1 v = et v = et = 1 2 t et - 1 et dt = 1 2 tet - et = 1 2 et (t - 1) = 1 2 e2 x 2 x - 1 e x 2 dx = 1 2 e2 x 2 x - 1 V = 1 2 e2 x 2 x - 1 1 0 Použijeme zpětnou substituci pro návrat k proměnné x. Integrační konstanta může být libovolná, volíme ji například nulovou. Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × V =?, x [0, 1], y = e x V = 1 0 e x 2 dx e x 2 dx = 1 2 e2 x 2 x - 1 V = 1 2 e2 x 2 x - 1 1 0 = 1 2 e2 2 - 1 - 1 2 e0 0 - 1 = e2 2 + 1 2 = e2 + 1 2 Použijeme Newtonovu­Leibnizovu větu. Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × V =?, x [0, 1], y = e x V = 1 0 e x 2 dx e x 2 dx = 1 2 e2 x 2 x - 1 V = 1 2 e2 x 2 x - 1 1 0 = 1 2 e2 2 - 1 - 1 2 e0 0 - 1 = e2 2 + 1 2 = e2 + 1 2 Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 × Konec Aplikace ­ výpočet objemů a obsahů c Robert Mařík, 2006 ×