Pomocný matematický aparát


Množina je souhrn prvků, přičemž každá množina je určena pouze svými prvky a žádný prvek se nemůže
opakovat.

Skutečnost, že prvek x patří do množiny A, zapíšeme , opačný případ .

Množina, která neobsahuje žádný prvek, se nazývá prázdná množina  a značí se .


Řekneme, že A je podmnožina B, právě když každý prvek A patří zároveň do B. Píšeme .

Řekneme, že množiny A, B se rovnají, právě když obsahují tytéž prvky. Píšeme A = B.

Řekneme, že množiny A, B, C, … jsou po dvou disjunktní, právě když žádné dvě z nich neobsahují
společné prvky.


Označme  neprázdnou množinu, kterou nazveme základní prostor. Nechť A, B, C, … jsou její libovolné
podmnožiny.

Množina právě těch prvků základního prostoru , které náležejí aspoň do jedné z množin A, B, C, …,
se nazývá sjednocení těchto množin. Píšeme

Množina právě těch prvků základního prostoru , které náležejí zároveň do každé množin A, B, C, …,
se nazývá průnik těchto množin. Píšeme

Množina právě těch prvků základního prostoru , které náležejí do množiny A, nikoli však do množiny
B, se nazývá rozdíl množin A, B. Píšeme A \ B.

Množina právě těch prvků základního prostoru , které nenáležejí do množiny A, se nazývá doplněk
(komplement) množiny A. Píšeme .

Základní množinové pojmy a jejich vztahy ilustrují tzv. Vennovy diagramy:





Uveďme některé vlastnosti, které mají operace s množinami:


a)     Pro sjednocení a průnik množin platí komutativní zákon, který pro dva jevy A, B má tvar:

     A B = B A, A B = B A.

b)    Pro sjednocení a průnik tří množin A, B, C platí zákon asociativní:
A (B  C) = (A B)  C, A  (B  C) = (A  B)  C
distributivní: A (B  C) = (A B) (A C), A  (B  C) = (A  B) (A  C)

c)     Pro sjednocení a průnik doplňků množin platí de Morganovy zákony, které pro dva jevy A, B
zapíšeme takto: = ,   = .


Sumační symbol

Součet n čísel x[1], x[2], …, x[n] označujeme symbolem , tj. .


Vlastnosti sumy:

Nechť c je konstanta nezávislá na sčítacím indexu a x[1], x[2], …, x[n], y[1], y[2], …, y[n] jsou
čísla.

Pak platí:

a)

b)

c)

d)