Úkol 1: Testování hypotézy o střední hodnotě μ Systematická chyba měřicího přístroje se eliminuje nastavením přístroje a měřením etalonu, jehož správná hodnota je μ = 10,00. Nezávislými měřeními za stejných podmínek byly získány hodnoty: 10,24 10,12 9,91 10,19 9,78 10,14 9,86 10,17 10,05, které považujeme za realizace náhodného výběru rozsahu 9 z rozložení N(μ, σ^2). Je možné při riziku 0,05 vysvětlit odchylky od hodnoty 10,00 působením náhodných vlivů? Návod: Na hladině významnosti 0,05 testujeme hypotézu H[0]: μ = 10 proti oboustranné alternativě H[1]: μ 10. Jde o úlohu na jednovýběrový t-test. Ten je ve STATISTICE implementován. Vytvoříme datový soubor o jedné proměnné a devíti případech, kam zapíšeme naměřené hodnoty. 1. způsob: V Základních statistikách a tabulkách vybereme t-test, samostatný vzorek. Do Referenční hodnoty zapíšeme 10. Ve výstupu se podíváme na hodnotu testového kritéria a na p-hodnotu. Pokud p-hodnota bude menší nebo rovna 0,05, zamítneme hypotézu H[0]: μ = 10 ve prospěch oboustranné alternativní hypotézy H[1]: μ ≠ 10 na hladině významnosti 0,05. V opačném případě H[0] nezamítáme. V našem případě je Protože p-hodnota 0,373470 > 0,05 nulovou hypotézu nezamítáme na hladině významnosti 0,05. S rizikem omylu nejvýše 5% lze tedy odchylky od hodnoty 10 vysvětlit působením náhodných vlivů. Všimněme si ještě hodnoty testového kriteria: = 0,942611. Kritický obor Protože , nezamítáme na hladině významnosti 0,05 hypotézu . 2. způsob: V Základních statistikách a tabulkách vypočteme průměr a směrodatnou odchylku. Pak použijeme Testy rozdílů: r, %, průměry – OK – vybereme Rozdíl mezi dvěma průměry (normální rozdělení) – zaškrtneme Výběrový průměr vs. Střední hodnota – do políčka Pr1 napíšeme 10,05111, do políčka SmOd1 napíšeme 0,162669, do políčka N1 napíšeme 9, do políčka Pr2 napíšeme 10 - Výpočet. Dostaneme p-hodnotu 0,3735, tedy nezamítáme nulovou hypotézu na hladině významnosti 0,05. Úkol k samostatnému řešení 1: Při kontrole balicího automatu, který má plnit cukrem balíčky o hmotnosti 1000 g, byly při přesném převážení 5 balíčků zjištěny tyto odchylky (v gramech) od požadované hodnoty: 3, -2, 2, 0, 1. Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že automat nemá systematickou odchylku od požadované hodnoty. Úkol 2: Testování hypotézy o směrodatné odchylce σ U 25 náhodně vybraných dvoulitrových lahví s nealkoholickým nápojem byl zjištěn přesný objem nápoje. Výběrový průměr činil m = 1,99 l a výběrová směrodatná odchylka s = 0,1 l. Předpokládejme, že objem nápoje v láhvi je náhodná veličina s normálním rozložením. Na hladině významnosti 0,05 ověřte tvrzení výrobce, že směrodatná odchylka je 0,08 l. Návod: Na hladině významnosti 0,05 testujeme hypotézu H[0]: σ = 0,08 proti oboustranné alternativě H[1]: σ ≠ 0,08 neboli H[0]: σ^2 = 0,0064 proti oboustranné alternativě H[1]: σ^2 ≠ 0,0064. Jde o úlohu na test o rozptylu. Vypočteme realizaci testového kritéria . Jelikož hodnota testového kritéria 37,5 neleží v kritickém oboru , nejsme oprávněni na hladině významnosti 0,05 zamítnout tvrzení výrobce. V systému STATISTICA otevřeme datový soubor o třech proměnných a jednom případu. Do Dlouhého jména první proměnné napíšeme vzorec pro výpočet testového kritéria: =24*0,1^2/0,08^2 Další dvě proměnné nám poslouží k výpočtu kvantilů Pearsonova χ^2 – rozložení. Do Dlouhého jména druhé proměnné napíšeme =VChi2(0,025;24) a do Dlouhého jména třetí proměnné napíšeme =VChi2(0,975;24) Úkol 3: Testování hypotézy o rozdílu parametrů μ[1 ]- μ[2] dvourozměrného normálního rozložení Bylo vybráno šest nových vozů téže značky a po určité době bylo zjištěno, o kolik mm se sjely jejich levé a pravé přední pneumatiky. Výsledky: (1,8; 1,5), (1,0; 1,1), (2,2; 2,0), (0,9; 1,1), (1,5; 1,4), (1,6; 1,4). Za předpokladu, že uvedené dvojice tvoří náhodný výběr z dvourozměrného normálního rozložení s vektorem středních hodnot (μ[1], μ[2]), testujte na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že obě pneumatiky se sjíždějí stejně rychle. Návod: Označme μ = μ[1 ]- μ[2]. Na hladině významnosti 0,05 testujeme hypotézu H[0]: μ = 0 proti oboustranné alternativě H[1]: μ ≠ 0. Jde o úlohu na párový t-test.Ten je ve STATISTICE implementován.Vytvoříme datový soubor o dvou proměnných a šesti případech. Do proměnných v1 a v2 zapíšeme naměřené přírůstky. V Základních statistikách vybereme t-test, závislé vzorky. Zadáme názvy obou proměnných a ve výstupu se podíváme na hodnotu testového kritéria a na p-hodnotu. Protože p-hodnota 0,580456 > 0,05, nezamítáme na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že obě přední pneumatiky se sjíždějí stejně rychle. Všimněme si ještě hodnoty testového kriteria: = 0,590624. Kritický obor Protože , nezamítáme na hladině významnosti 0,05 hypotézu . Úkol k samostatnému řešení 2: Zkouška ze statistiky se skládá z písemné části, v níž je možno získat maximálně 20 bodů a z ústní části, kde je možno získat maximálně 10 bodů. Výsledky 20 náhodně vybraných studentů (X – počet bodů z písemné části, Y – počet bodů z ústní části): č. st. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X 6 11 8 18 6 11 6 3 14 7 Y 4 7 6 8 3 5 6 4 9 8 č. st. 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 X 17 12 8 4 15 20 13 5 10 0 Y 10 9 6 5 7 10 8 6 7 3 Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že rozdíl středních hodnot počtu bodů v písemné a ústní části se liší o 3 body proti oboustranné alternativě.