© Institut biostatistiky a analýz
Analýza dat pro Neurovědy
RNDr. Eva Janoušová
doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr.
Jaro 2012
Blok 2
Jak a kdy použít parametrické a
neparametrické testy I.
2
Osnova
1. Vhodná volba testu v různých situacích
2. Jednovýběrové testy
3. Párové testy
4. Dvouvýběrové testy
5. Neparametrické testy
3
1. Vhodná volba testu v různých
situacích
4
Statistické testování - opakování
• Cíle:
1. Chceme srovnávat:
- 1 náhodný výběr s předpokládanou hodnotou
- 2 náhodné výběry mezi sebou
- Více náhodných výběrů mezi sebou
2. Chceme hodnotit změnu náhodné veličiny vzhledem k vnějšímu zásahu.
3. Chceme rozhodovat o nezávislosti dvou náhodných veličin.
4. Chceme rozhodovat o charakteru rozdělení náhodné veličiny.
• Postup:
1. Máme danou hypotézu k ověření (např. pacienti a kontroly se liší v
hodnotách MMSE skóre).
2. Provedli jsme výběr z populace.
3. Aplikujeme statistický test.
4. Hypotézu prohlásíme za statisticky platnou nebo neplatnou.
5
Statistické testy – příklady předpokladů
• Typ dat – pokud je předepsáno, že se test má použít na ordinální či
nominální data, nemůžeme ho použít na hodnocení spojitých hodnot.
• Normalita rozdělení dat – předpoklad
u mnoha parametrických testů.
• Homogenita rozptylu srovnávaných
skupin – tzn. předpoklad, aby byl
rozptyl ve skupinách přibližně stejný.
• Vyrovnané počty subjektů ve srovnávaných skupinách – nutné z důvodu,
aby byly odhady ve srovnávaných skupinách podobně přesné a spolehlivé.
Pokud to experimentální situace dovoluje, měly by být přibližně stejné
počty opakování standardem.
6
0
1
2
3
Pacienti Kontroly
Parametrické a neparametrické testy
• Parametrické testy:
– Mají předpoklady o rozdělení vstupních dat (např. předpoklad
normálního rozdělení), protože se zabývají testováním tvrzení o
neznámých parametrech rozdělení (např. střední hodnoty).
– Mají větší sílu než neparametrické testy.
• Neparametrické testy:
– Nemají předpoklady o rozdělení vstupních dat, je tedy možné je použít
při asymetrickém rozdělení nebo odlehlých hodnotách.
– Mají menší sílu, protože dochází k redukci informační hodnoty
původních dat z důvodu, že neparametrické testy nevyužívají původní
hodnoty, ale nejčastěji pouze jejich pořadí („rank“).
– Menší sílu testu je možné vykompenzovat větší velikostí vzorku.
• Testování v případě chybně určeného rozdělení pravděpodobnosti testové
statistiky může vést k mylným závěrům z důvodu nerelevantní p-hodnoty
→ používání neparametrických testů je „bezpečnější“.
7
Parametrické a neparametrické testy pro kvantitativní
data – přehled
8
Typ srovnání Parametrický test Neparametrický test
1 skupina dat s referenční
hodnotou
– jednovýběrové testy:
Jednovýběrový t-test,
jednovýběrový z-test
Wilcoxonův test
2 skupiny dat párově
– párové testy:
Párový t-test
Wilcoxonův test,
znaménkový test
2 skupiny dat nepárově
– dvouvýběrové testy:
Dvouvýběrový t-test
Mannův-Whitneyův test,
mediánový test
Více skupin nepárově: ANOVA Kruskalův- Wallisův test
Jednostranné a oboustranné testy
• Souvislost s jednostranou a oboustrannou alternativní hypotézou.
• Jednostranné („One-Tailed“) testy:
– Jednostranná alternativní hyp.:
– Např. testujeme,
zda je objem
mozkové struktury
menší u žen než u
mužů či zda je
průměrná spotřeba
tišících léků větší u pacientů než je populační průměr apod.
• Oboustranné („Two-Tailed“) testy:
– Oboustranná alternativní hyp.:
– Např. testujeme, zda se objem mozkové
struktury liší u žen a mužů apod.
9
01 : qq ¹H Kritický obor
01 : qq <H
Kritický oborKritický obor nebo
01 : qq >H
Zásady při testování
1. Znát základní typy testů a vědět, pro jaká data se používají.
2. Ověřit předpoklady testu – smysl má pouze aplikace „správného“ testu
na „správná“ data.
3. Posoudit, zda je výsledek významný i z klinického hlediska.
4. Být si vědom toho, že statistický test není nic víc než matematický vzorec
aplikovaný na data, tedy existuje nenulová pravděpodobnost, že výsledek
bude chybný (viz chyba I. a II. druhu). Ovlivnit výsledky testu můžeme
například změnou velikosti vzorku.
10
2. Jednovýběrové testy
11
Jednovýběrové („One-Sample“) testy
• Srovnávají jeden vzorek („one sample“) s referenční hodnotou
(popřípadě se statistickým parametrem cílové populace).
• V testu je tedy srovnáváno rozložení hodnot (vzorek) s jediným číslem
(referenční hodnota, hodnota cílové populace).
• Otázka položená v testu může být vztažena k průměru, rozptylu, podílu
hodnot i dalším statistickým parametrům popisujícím vzorek.
• Parametrické jednovýběrové testy, kterým se budeme věnovat:
– jednovýběrový t-test (test o střední hodnotě při neznámém rozptylu)
– jednovýběrový z-test (test o střední hodnotě při známém rozptylu)
12
referenční
hodnota
Jednovýběrový t-test
• Srovnáváme střední hodnotu jednoho výběru s referenční hodnotou.
• Jde o test o střední hodnotě při neznámém rozptylu – tzn. testujeme, zda
se průměr dané proměnné v našem výběru liší od referenční hodnoty
(často populačního průměru), přičemž rozptyl dané proměnné počítáme z
našeho výběru.
• Předpoklad: normalita dat
• Testová statistika:
13
μ𝑥̅
ns
x
T /
m-
=
Jednovýběrový t-test
• Příklad: Chceme srovnat průměrný objem hipokampu u 406 pacientů s
MCI v našem souboru s průměrným objemem hipokampu 6575 mm3
zjištěným při populačním epidemiologickém průzkumu.
• Tzn. hypotézy budou mít tvar: a
• Postup:
1. Ověření normality – vykreslíme histogram objemu hipokampu
pacientů s MCI.
2. Aplikujeme statistický test – 3 možnosti:
I. Testování pomocí intervalu spolehlivosti
II. Testování pomocí kritického oboru
III. Testování pomocí p-hodnoty
3. Nulovou hypotézu zamítneme nebo nezamítneme.
14
6575:0 =xH 6575:1 ¹xH
Testování pomocí intervalu spolehlivosti
15
Příklad: Chceme srovnat průměrný objem hipokampu u 406 pacientů s MCI v
našem souboru s průměrným objemem hipokampu 6575 mm3 zjištěným při
populačním epidemiologickém průzkumu.
Výpočet intervalu spolehlivosti:
𝑛 = 406
𝑥̅ = 6552,6 mm3
s = 176,2 mm3
( ) ( )11 2/12/1 -+££-- -- ntxntx n
s
n
s
aa m
( ) ( )14066,655214066,6552 2/05,01406
2,176
2/05,01406
2,176
-+££-- -- tt m
8,65694,6535 ££ m
Protože 95% interval spolehlivosti (6535,4; 6569,8) neobsahuje populační
průměr 6575 → zamítáme nulovou hypotézu → Průměrný objem hipokampu u
pacientů s MCI v našem souboru se statisticky významně liší od populačního
průměru.
Testování pomocí kritického oboru
16
Příklad: Chceme srovnat průměrný objem hipokampu u 406 pacientů s MCI v
našem souboru s průměrným objemem hipokampu 6575 mm3 zjištěným při
populačním epidemiologickém průzkumu.
Výpočet testové statistiky:
Stanovení kritického oboru:
kritické hodnoty:
𝑛 = 406
𝑥̅ = 6552,6 mm3
s = 176,2 mm3
Protože testová statistika t=-2,56 leží v kritickém oboru → zamítáme nulovou
hypotézu → Průměrný objem hipokampu u pacientů s MCI v našem souboru
se statisticky významně liší od populačního průměru.
56,2406/2,176
65756,6552
/
-=== --
ns
x
t m
𝑡 𝛼/2 405 ≅ −1,96
𝑡1−𝛼/2 405 ≅ 1,96
Zamítá se Ho
95 %
1,96-1,96
t statistika
2,5 %2,5 %
Zamítá se Ho
Testování pomocí p-hodnoty
17
Příklad: Chceme srovnat průměrný objem hipokampu u 406 pacientů s MCI v
našem souboru s průměrným objemem hipokampu 6575 mm3 zjištěným při
populačním epidemiologickém průzkumu.
Výpočet testové statistiky:
Výpočet p-hodnoty:
𝑛 = 406
𝑥̅ = 6552,6 mm3
s = 176,2 mm3
Protože p-hodnota 0,0108 < 0,05 → zamítáme nulovou hypotézu → Průměrný
objem hipokampu u pacientů s MCI v našem souboru se statisticky významně
liší od populačního průměru.
56,2406/2,176
65756,6552
/
-=== --
ns
x
t m
2,56-2,56
t statistika
0,54 %0,54 %
( )( ) 0108,00054,0256,22 =×=-£×= TPp
Zmenšení N
18
Mean Std.Dv. N Std.Err. Lower CI Upper CI Reference t-value df p
6552,6 176,2 406 8,7 6535,4 6569,8 6575 -2,56 405 0,0108
Mean Std.Dv. N Std.Err. Lower CI Upper CI Reference t-value df p
6552,2 171,4 100 17,1 6518,2 6586,2 6575 -1,33 99 0,1865
N = 406
N = 100
p=0,0108 < 0,05 → zamítáme nulovou hypotézu
p=0,1865 > 0,05 → nezamítáme nulovou hypotézu
Vliv velikosti vzorku na výsledky testování - opakování
n1 = 10, n2 = 10 n1 = 1000, n2 = 1000
p = 0.797 p < 0.001p = 0.140
n1 = 100, n2 = 100
Statistická významnost
způsobená velkým N
Dvě skupiny pacientů s
nepatrným rozdílem v dané
charakteristice, který ale
není klinicky významný.
19
Oboustranný vs. jednostranný jednovýběrový t-test
Oboustranný jednovýběrový t-test:
Příklad: Chceme srovnat objem hipokampu u pac. s MCI
s populačním průměrem. Tzn. chceme ověřit, zda se
objem hipokampu u pac. s MCI v našem souboru liší od
populačního průměru.
Alternativní hypotéza:
p = 0,0108
Jednostranný jednovýběrový t-test:
1. Levostranný – příklad: Chceme ověřit, zda je
objem hipokampu u pac. s MCI v našem souboru
menší než populační průměr:
p = 0,0108/2 = 0,0054
2. Pravostranný – příklad: Chceme ověřit, zda je
objem hipokampu u pac. s MCI v našem souboru
větší než populační průměr:
p = 1 - 0,0108/2 = 0,9946
20
m<xH :1
𝑥̅ = 6552,6 mm3
𝜇 = 6575 mm3
m>xH :1
m¹xH :1
t statistika
0,54 %0,54 %
0,54 %
99,46 %
Jednostranný jednovýběrový t-test
Skutečnost: 𝒙� < 𝝁
Levostranný jednovýběrový t-test:
𝐻1: 𝑥̅ < 𝜇
Pravostranný jednovýběrový t-test:
𝐻1: 𝑥̅ > 𝜇
21
Skutečnost: 𝒙� > 𝝁
Levostranný jednovýběrový t-test:
𝐻1: 𝑥̅ < 𝜇
Pravostranný jednovýběrový t-test:
𝐻1: 𝑥̅ > 𝜇
Úkol 1
• Zadání: Zjistěte, zda se liší průměrný objem amygdaly u mužů v našem
souboru od populačního průměrného objemu 2800 mm3 (nezapomeňte
ověřit předpoklady).
• Řešení:
22
Z-test
• Srovnáváme střední hodnotu jednoho výběru s referenční hodnotou.
• Jde o test o střední hodnotě při známém rozptylu – tzn. testujeme, zda se
průměr dané proměnné v našem výběru liší od referenční hodnoty (často
populačního průměru), přičemž známe rozptyl dané proměnné pro celou
populaci.
• Předpoklad: normalita dat
• Testová statistika:
23
n
x
Z /s
m-
=
μ𝑥̅
Z-test
• Příklad: Při populačním průzkumu bylo zjištěno, že průměrná hodnota
MMSE skóre je 27,5 (SD = 4). Chceme zjistit, zda se průměrná hodnota
MMSE skóre u 406 pacientů s MCI v našem souboru liší od populační
průměrné hodnoty.
• Tzn. hypotézy budou mít tvar: a
• Postup:
1. Ověření normality – vykreslíme histogram MMSE skóre u pacientů s MCI,
abychom ověřili, že průměr je dobrý ukazatel středu hodnot.
2. Aplikujeme statistický test – vypočítáme p-hodnotu:
• v Excelu:
=2*MIN(Z.TEST(A1:A406;27,5;4);1-Z.TEST(A1:A406;27,5;4))
• v Matlabu: [H,P] = ztest(X,27.5,4)
3. Nulovou hypotézu zamítneme nebo nezamítneme:
p=0,013 < 0,05 → zamítáme nulovou hypotézu → Průměrná hodnota MMSE
skóre u pacientů s MCI v našem souboru se statisticky významně liší od
populačního průměru.
24
5,27:0 =xH 5,27:1 ¹xH
Z-skóre
• Odečtení populačního průměru (μ) a vydělení populační směrodatnou
odchylkou (σ):
• Souvislost se standardizací:
• Často při hodnocení různých skóre – určuje se, kteří lidé jsou mimo normu.
25
s
xx
u i
i
-
=
v normě mimo normumimo normu
95%
s
m=
i
i
x
u
3. Párové testy
26
Párový t-test
• Srovnáváme dvě skupiny dat, které ale na sobě nejsou nezávislé – mezi
objekty existuje vazba (např. člověk před a po operaci, stejný kmen krys)
• Příklady: srovnání objem hipokampu na začátku léčby a 1 rok po zahájení
léčby, srovnání kognitivního výkonu pacientů před a po léčbě
• Předpoklad: normalita diferencí (rozdílů původních hodnot)
• Testová statistika: , kde 𝑑̅ je průměrný rozdíl, 𝑑0 je referenční
hodnota (většinou 0), 𝑠 𝑑 je směrodatná odchylka rozdílů
27
X1 X2 d = X1–X2
ns
dd
d
T /
0-
=
• Test je v podstatě prováděn na diferencích
skupin (rozdílech původních hodnot), nikoliv
na původních datech → obě skupiny tedy
musí mít shodný počet hodnot (všechna
měření v jedné skupině musí být spárována
s měřením v druhé skupině!)
Párový t-test
• Příklad: Chceme srovnat, zda se liší objem hipokampu u pacientů s
Alzheimerovou chorobou při vstupu do studie a 2 roky po zahájení studie
(tzn. chceme zjistit, zda došlo ke změně objemu hipokampu).
• Tzn. hypotézy budou mít tvar: a
• Postup:
1. Ověření existence vazby mezi oběma skupinami dat pomocí tečkového grafu.
2. Ověření normality rozdílů – vytvoříme novou proměnnou, která bude
obsahovat rozdíly objemů hipokampu, a vykreslíme histogram.
3. Aplikujeme statistický test (v softwaru STATISTICA: t-test, dependent samples).
4. Nulovou hypotézu zamítneme nebo nezamítneme:
p<0,001 < 0,05 → zamítáme nulovou hypotézu → Rozdíl v objemu
hipokampu u pacientů s AD při vstupu do studie a 2 roky po zahájení studie
je statisticky významný.
• Poznámka: Stejné výsledky dostaneme, pokud použijeme jednovýběrový
t-test a jako vstupní proměnnou vezmeme proměnnou s rozdílem objemů.
28
0:1 ¹dH0:0 =dH
Úkol 2
• Zadání: Zjistěte, zda se liší MMSE skóre u kontrolních subjektů (CN) při
vstupu do studie a dva roky po zahájení studie (nezapomeňte ověřit
předpoklady).
• Řešení:
29
4. Dvouvýběrové testy
30
Dvouvýběrové („Two-Sample“) testy
• Srovnávají navzájem dva nezávislé vzorky („two samples“).
• V testu jsou srovnávány dvě rozložení hodnot.
• Otázka položená v testu může být opět vztažena k průměru, rozptylu,
podílu hodnot i dalším statistickým parametrům popisujícím vzorek.
• Parametrické dvouvýběrové testy, kterým se budeme věnovat:
– dvouvýběrový t-test (test o rozdílu průměrů dvou nezávislých vzorků)
– F-test (test o shodnosti rozptylů dvou nezávislých vzorků)
31
Dvouvýběrový t-test
• Srovnáváme dvě skupiny dat, které jsou na sobě nezávislé – mezi objekty
neexistuje vazba.
• Příklady: srovnání objem hipokampu u mužů a u žen, srovnání kognitivního
výkonu podle dvou kategorií věku.
• Předpoklad: normalita dat v OBOU skupinách, shodnost (homogenita)
rozptylů v obou skupinách
• Testová statistika: , kde 𝑠∗ je vážená směrodatná odchylka,
c je konstanta, o kterou se rozdíl průměrů má lišit (většinou rovna 0)
32
𝑥̅1 𝑥̅2
21
11
*
21
nns
cxx
T
+
--
=
Dvouvýběrový t-test
• Příklad: Chceme srovnat, zda se liší objem putamenu podle pohlaví.
• Tzn. hypotézy budou mít tvar: a
• Postup:
1. Popisná sumarizace objemu putamenu podle pohlaví.
2. Ověření normality hodnot v OBOU skupinách pomocí histogramu (tzn.
vykreslíme histogram zvlášť pro muže a zvlášť pro ženy).
3. Ověření shodnosti rozptylů – vizuálně pomocí krabicových grafů.
4. Aplikujeme statistický test (v softwaru STATISTICA: t-test,
independent, by groups).
5. Nulovou hypotézu zamítneme nebo nezamítneme:
p=0,097 > 0,05 → nezamítáme nulovou hypotézu → Neprokázali jsme
rozdíl objemu putamenu podle pohlaví (na hladině významnosti
α=0,05.)
33
0: 210 =- xxH 0: 211 ¹- xxH
Úkol 3.
• Zadání: Zjistěte, zda se liší objem thalamu podle pohlaví (nezapomeňte
ověřit předpoklady).
• Řešení:
34
5. Neparametrické testy
35
Neparametrické testy
• Nemají předpoklady o rozdělení vstupních dat, je tedy možné je použít při
asymetrickém rozdělení nebo odlehlých hodnotách.
• Používání neparametrických testů je „bezpečnější“.
• Mají však menší sílu, protože dochází k redukci informační hodnoty
původních dat z důvodu, že neparametrické testy nevyužívají původní
hodnoty, ale nejčastěji pouze jejich pořadí („rank“).
• Menší sílu testu je možné vykompenzovat větší velikostí vzorku.
• Neparametrické testy:
– Wilcoxonův test – jednovýběrový i párový test
– Znaménkový test – párový test
– Mannův-Whitneyův test – dvouvýběrový test
– Mediánový test – dvouvýběrový test
36
Wilcoxonův test
• Neparametrická alternativa jednovýběrového i párového t-testu a z-testu.
• Je testem o mediánu – hypotézy mají tvar: a
• Princip Wilcoxonova testu:
1. Spočítáme diference všech hodnot x1, x2, … , xn od c.
2. Podíváme se, jestli je zhruba ½ diferencí kladných a ½ záporných. (To
je ekvivalentní s tím, že zhruba polovina hodnot x1, x2, … , xn je
menších než c a polovina hodnot x1, x2, … , xn je větších než c).
• Je zřejmé, že odlehlé hodnoty nebudou v tomto testu problém, protože
nehodnotíme velikost diferencí, ale pouze, zda je zhruba ½ z nich kladných
a ½ záporných.
37
cxH =~:0 cxH ¹~:1
Wilcoxonův test jako párový test
• Příklad: Chceme srovnat, zda se liší MMSE skóre u pacientů s MCI při
vstupu do studie a 2 roky po zahájení studie.
• Tzn. hypotézy budou mít tvar: a
• Postup:
1. Ověření existence vazby mezi oběma skupinami dat pomocí
tečkového grafu.
2. Vykreslení histogramu nové proměnné s rozdíly MMSE skóre,
abychom viděli, že u rozdílů není splněn předpoklad normálního
rozdělení → proto použijeme neparametrický test.
3. Aplikujeme statistický test.
4. Nulovou hypotézu zamítneme nebo nezamítneme:
p<0,001 < 0,05 → zamítáme nulovou hypotézu → Rozdíl MMSE skóre
u pacientů s MCI při vstupu do studie a 2 roky po zahájení studie je
statisticky významný.
38
0
~
:0 =dH 0
~
:1 ¹dH
Wilcoxonův test jako jednovýběrový test
• Příklad: Chceme zjistit, zda se průměrná hodnota MMSE skóre u 197
pacientů s Alzheimerovou chorobou v našem souboru liší od populační
průměrné hodnoty 27,5.
• Tzn. hypotézy budou mít tvar: a
• Postup:
1. Vykreslíme histogram a spočítáme popisnou statistiku, abychom viděli, že u
MMSE skóre u pacientů s AD není splněn předpoklad normálního rozdělení
→ proto použijeme neparametrický test.
2. Aplikujeme statistický test (Software STATISTICA neumožňuje počítat
jednovýběrový Wilcoxonův test přímo. Lze to však obejít vytvořením nové
proměnné, která ve všech řádcích bude mít hodnotu 27,5, a použitím
párového Wilcoxonova testu).
3. Nulovou hypotézu zamítneme nebo nezamítneme:
p<0,001 < 0,05 → zamítáme nulovou hypotézu → Průměrná hodnota MMSE
skóre u pacientů s AD v našem souboru se statisticky významně liší od
populačního průměru.
39
5,27~:0 =xH 5,27~:1 ¹xH
Úkol 4.
• Zadání: Zjistěte, zda se liší váha u žen v našem souboru od populační
průměrné váhy žen 65 kg.
• Řešení:
40
Mannův-Whitneyův (U) test
• Někdy nazýván jako dvouvýběrový Wilcoxonův test.
• Neparametrická alternativa dvouvýběrového t-testu.
• Testuje se, zda jsou srovnatelné distribuční funkce (tzn. zda mediány obou
výběrů jsou srovnatelné).
• Hypotézy mají tvar: a
• Princip Mannova-Whitneyova testu:
1. Všechny hodnoty z obou výběrů dohromady (tedy n1+n2 hodnot)
uspořádáme vzestupně podle velikosti → každé hodnotě přiřadíme
pořadí.
2. Spočítáme součet pořadí hodnot prvního výběru a součet pořadí
hodnot druhého výběru.
3. Na základě těchto dvou součtů vypočteme testové statistiky.
• Je zřejmé, že odlehlé hodnoty nebudou v tomto testu problém, protože
pracujeme s pořadími namísto původních hodnot.
41
)()(:0 yFxFH = )()(:1 yFxFH ¹
Mannův-Whitneyův (U) test
• Příklad: Chceme srovnat, zda se liší objem hipokampu podle pohlaví.
• Tzn. hypotézy budou mít tvar: a
• Postup:
1. Popisná sumarizace objemu hipokampu podle pohlaví.
2. Vykreslení histogramů objemu hipokampu u mužů a u žen, abychom
viděli, že není splněn předpoklad normálního rozdělení → proto
použijeme neparametrický test.
3. Aplikujeme statistický test.
4. Nulovou hypotézu zamítneme nebo nezamítneme:
p<0,001 < 0,05 → zamítáme nulovou hypotézu → Objem hipokampu
je u mužů a u žen statisticky významně odlišný.
42
)()(:0 yFxFH = )()(:1 yFxFH ¹
Úkol 5.
• Zadání: Zjistěte, zda se liší MMSE skóre u kontrolních subjektů a pacientů s
AD.
• Řešení:
43
Poznámka 1
• Všechny dosud uvedené testy se zabývají hodnocením spojitých
náhodných veličin (mohou nabývat jakýchkoliv hodnot v určitém rozmezí).
• Příklady: výška, váha, vzdálenost, čas, teplota.
• Uvedené testy lze ale použít i pro hodnocení diskrétních náhodných veličin
– ale musí to být odůvodnitelné (např. velký počet možných hodnot).
• Příklady: počet krevních buněk, počet hospitalizací, počet krvácivých
epizod za rok.
44
Poznámka 2
• Parametrické a neparametrické testy nemusí vycházet stejně. Důvody:
1. Nesplněné předpoklady parametrického testu.
2. Malá síla neparametrického testu.
• Jsou-li však splněny předpoklady parametrického testu a je-li dostatek dat,
bude to vycházet stejně.
• Měli bychom preferovat parametrické testy, ALE pouze po důkladném
ověření jejich předpokladů!
45
Úkol 6.
• Zadání: Chceme ověřit, zda se liší objem jednotlivých mozkových struktur
podle pohlaví. Vykreslete histogramy a rozmyslete si, jaký test (jaké testy)
byste použili.
46