© Institut biostatistiky a analýz
Analýza dat pro Neurovědy
RNDr. Eva Janoušová
doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr.
Jaro 2012
Blok 3
Jak a kdy použít parametrické a
neparametrické testy II.
2
Parametrické a neparametrické testy pro kvantitativní
data – přehled
3
Typ srovnání Parametrický test Neparametrický test
1 skupina dat s referenční
hodnotou
– jednovýběrové testy:
Jednovýběrový t-test,
jednovýběrový z-test
Wilcoxonův test
2 skupiny dat párově
– párové testy:
Párový t-test
Wilcoxonův test,
znaménkový test
2 skupiny dat nepárově
– dvouvýběrové testy:
Dvouvýběrový t-test
Mannův-Whitneyův test,
mediánový test
Více skupin nepárově: ANOVA Kruskalův- Wallisův test
Osnova
1. F-test
2. Analýza rozptylu (ANOVA) a její předpoklady
3. Problém násobného testování hypotéz a použití korekčních procedur
4. Kruskalův-Wallisův test
5. Analýza rozptylu jako lineární model
4
1. F-test
5
F-test
• Srovnáváme rozptyly (variabilitu) dvou skupin dat, které jsou na sobě
nezávislé (mezi objekty neexistuje vazba).
• F-test patří mezi dvouvýběrové parametrické testy.
• Příklady: srovnání variability objemu hipokampu u pacientů s AD a kontrol.
• Použití: ověření předpokladu shodnosti (homogenity) rozptylů u
dvouvýběrového t-testu.
• Předpoklad: normalita dat v OBOU skupinách.
• Testová statistika: , kde s1
2 je rozptyl prvního výběru a s2
2 je rozptyl
druhého výběru
6
0
1
2
3
Pacienti Kontroly
2
2
2
1
s
s
F =
F-test
• Příklad: Chceme srovnat, zda se liší variabilita objemu putamenu podle
pohlaví.
• Tzn. hypotézy budou mít tvar: a
• Postup:
1. Ověření normality hodnot v OBOU skupinách pomocí histogramu
(tzn. vykreslíme histogram zvlášť pro muže a zvlášť pro ženy).
2. Vykreslení krabicových grafů, které nám napoví, zda máme očekávat
shodu nebo neshodu rozptylů.
3. Aplikujeme statistický test (F-test je součástí dvouvýběrového t-testu
v softwaru STATISTICA (tedy zvolíme t-test, independent, by groups)).
4. Nulovou hypotézu zamítneme nebo nezamítneme:
p=0,935 > 0,05 → nezamítáme nulovou hypotézu → Neprokázali jsme
rozdíl ve variabilitě objemu putamenu podle pohlaví (na hladině
významnosti α=0,05.)
7
22
0 : ZMH ss = 22
1 : ZMH ss ¹
2. Analýza rozptylu (ANOVA) a
její předpoklady
8
Motivace
Jak můžeme ověřit, zda se liší objem hipokampu u pacientů s AD, pacientů s
MCI a u zdravých kontrol?
A. Můžeme použít vhodný test pro dva výběry (např. dvouvýběrový t-test) a
otestovat, jak se liší AD od MCI, AD od CN a MCI od CN – tedy provést 3
testy.
B. Můžeme použít vhodný test pro více než dvě srovnávané skupiny.
V čem je zásadní rozdíl mezi A a B?
9
Objemhipokampu(mm3)
AD MCI CN
Motivace – pokračování
• Problém s možností A je v násobném testování hypotéz:
‖ S narůstajícím počtem testovaných hypotéz nám roste také
pravděpodobnost získání falešně pozitivního výsledku, tedy
pravděpodobnost toho, že se při našem testování zmýlíme a ukážeme na
statisticky významný rozdíl tam, kde ve skutečnosti žádný neexistuje
(chyba I. druhu).
• Máme tři testy, v každém 95% pravděpodobnost, že neuděláme chybu I.
druhu.
• Pro všechny tři testy to tedy znamená: 0,95 × 0,95 × 0,95 = 0,857.
• Pravděpodobnost, že neuděláme chybu I. druhu nám celkově klesla na
0,857.
• Pravděpodobnost, že uděláme chybu I. druhu nám celkově stoupla na
0,143.
10
Motivace – pokračování
• Lepší volbou je:
B. Použít vhodný test pro více než dvě srovnávané skupiny.
• Analýza rozptylu (ANOVA = „ANalysis Of VAriance“) je statistickou
metodou, která umožňuje testovat rozdíl v průměrech více než dvou
skupin. Přitom se jedná o jeden test.
• Více než dvě skupiny mohou být dány přirozeně (např. sledujeme rozdíl
mezi věkovými kategoriemi) nebo uměle (např. sledujeme rozdíl v
účinnosti několika typů léčby).
11
Analýza rozptylu (ANOVA) jednoduchého třídění
• Srovnáváme tři a více skupin dat, které jsou na sobě nezávislé (mezi
objekty neexistuje vazba).
• Příklady: srovnání objemu hipokampu u pacientů s AD, pacientů s MCI a
kontrol, srovnání kognitivního výkonu podle čtyř kategorií věku.
• Předpoklady: normalita dat ve VŠECH skupinách, shodnost (homogenita)
rozptylů VŠECH srovnávaných skupin, nezávislost jednotlivých pozorování.
• Testová statistika: - vysvětlení později
12
𝑥̅1 𝑥̅2 𝑥̅3
0
1
2
3
AD MCI Kontroly
ee
AA
dfS
dfS
F
/
/
=
Analýza rozptylu (ANOVA) jednoduchého třídění
• Příklad: Chceme srovnat, zda se liší objem hipokampu podle typu
onemocnění (tzn. u pacientů s AD, pacientů s MCI a zdravých kontrol).
• Tzn. hypotézy budou mít tvar:
• Postup:
1. Popisná sumarizace objemu hipokampu podle typu onemocnění.
2. Ověření normality hodnot ve VŠECH skupinách.
3. Ověření shodnosti rozptylů VŠECH skupin.
4. Aplikujeme statistický test.
5. Nulovou hypotézu zamítneme nebo nezamítneme:
p<0,001 < 0,05 → zamítáme nulovou hypotézu → Rozdíl v objemu
hipokampu podle typu onemocnění je statisticky významný (na
hladině významnosti α=0,05.)
13
CNMCIADH mmm ==:0
ostatníchododlišnéjejednonejméně: i1 mH
Ověření normality dat
• Graficky:
– histogram
– krabicový graf (box-plot)
– Q-Q graf
• Testy normality:
– Shapirův-Wilkův test
– Kolmorovův-Smirnovův test
• Testy nejsou vždy nejlepším nástrojem! Vždy je důležité se podívat i očima!
• Pokud o sledované veličině prokazatelně víme, že v cílové populaci nabývá
normální rozdělení (např. výška lidské postavy), ale v daném souboru
normální rozdělení nepotvrdíme, pak s naším náhodným výběrem není
něco v pořádku – např. není reprezentativní.
14
Ověření normality graficky – krabicový graf a histogram
• Normální
rozdělení
• Log-normální
rozdělení
15
Ověření normality graficky – krabicový graf a histogram
• Normální
rozdělení
s odlehlými
hodnotami
• Rovnoměrně
spojité
rozdělení
16
Ověření normality graficky – Q-Q graf
• Q-Q graf proti sobě zobrazuje kvantily pozorovaných hodnot a kvantily
teoretického rozdělení pravděpodobnosti (zde normálního rozdělení).
• V případě shody leží všechny body na přímce.
• Normální rozdělení:
17
Ověření normality graficky – Q-Q graf
18
1. Log-normální rozdělení
2. Normální rozdělení s odlehlými hodnotami
3. Rovnoměrně spojité rozdělení
1. 2. 3.
Ověření normality pomocí testů
• Shapirův-Wilkův test – v podstatě se jedná o proložení seřazených hodnot
regresní přímkou vzhledem k očekávaným hodnotám normálního
rozdělení. Má tedy přímý vztah k Q-Q plotu – vyhodnocuje, jak moc se Q-Q
plot liší od ideální přímky. Doporučován pro menší vzorky, může být „moc“
přísný pro velké vzorky.
• Kolmogorovův-Smirnovovův test – založen na srovnání výběrové
distribuční funkce s teoretickou distribuční funkcí odpovídající normálnímu
rozdělení. K-S test hodnotí maximální vzdálenost mezi těmito dvěma
distribučními funkcemi. V praxi se používá korekce dle Lillieforse.
19
Ověření shody (homogenity) rozptylů
• Grafické ověření – krabicový graf,
histogram.
• Leveneův test – často používaný.
• Bartlettův test
20
Analýza rozptylu (ANOVA) – princip
• Srovnání variability (rozptylu) mezi výběry s variabilitou uvnitř výběrů.
• Tabulka analýzy rozptylu jednoduchého třídění (One-Way ANOVA):
21
Variabilita
Součet
čtverců
Počet stupňů
volnosti
Průměrný
čtverec
F statistika p-hodnota
Mezi skupinami SA dfA = k – 1 MSA = SA/dfA p
Uvnitř skupin
(reziduální var.)
Se dfe = n – k MSe = Se/dfe
Celkem ST dfT = n – 1
ee
AA
dfS
dfS
F
/
/
=
AD MCI CNAD MCI CN
celkový
průměr
ANOVA – 2 ukázkové situace
• Rozdíl ve všech třech skupinách:
• Žádný rozdíl mezi skupinami:
22
AD MCI CNAD MCI CN
celkový
průměr
AD MCI CNAD MCI CN
celkový
průměr
Výsledky ANOVA testu
• Tabulka analýzy rozptylu jednoduchého třídění:
• Výsledek ze softwaru STATISTICA:
23
Variabilita
Součet
čtverců
Počet stupňů
volnosti
Průměrný
čtverec
F statistika
p-
hodnota
Mezi skupinami
SA =
71 422 222
dfA = k – 1 =
2
MSA = SA/dfA =
35 711 111
0,00
Uvnitř skupin
(reziduální var.)
Se =
26 857 142
dfe = n – k =
830
MSe = Se/dfe =
32 358
Celkem
ST =
98 279 364
dfT = n – 1 =
832
6,1103
/
/
==
ee
AA
dfS
dfS
F
Analýza rozptylu (ANOVA) jednoduchého třídění
• Příklad: Chceme srovnat, zda se liší objem hipokampu podle typu
onemocnění (tzn. u pacientů s AD, pacientů s MCI a zdravých kontrol).
• Tzn. hypotézy budou mít tvar:
• Postup:
1. Popisná sumarizace objemu hipokampu podle typu onemocnění.
2. Ověření normality hodnot ve VŠECH skupinách.
3. Ověření shodnosti rozptylů VŠECH skupin.
4. Aplikujeme statistický test.
5. Nulovou hypotézu zamítneme nebo nezamítneme:
p<0,001 < 0,05 → zamítáme nulovou hypotézu → Rozdíl v objemu
hipokampu podle typu onemocnění je statisticky významný (na
hladině významnosti α=0,05.)
24
CNMCIADH mmm ==:0
ostatníchododlišnéjejednonejméně: i1 mH
Další kroky analýzy
25
ANOVA
H0 zamítáme
H0 nezamítáme STOP
Provést
mnohonásobné
porovnávání
3. Problém násobného
testování hypotéz a použití
korekčních procedur
26
Korekce na násobné srovnání výběrů
• Zamítneme-li analýzou rozptylu nulovou hypotézu o celkové rovnosti
středních hodnot, má smysl se ptát, jaké skupiny se od sebe nejvíce liší.
• Toto srovnání lze provést pomocí testů pro dva výběry, ale je nutné
korigovat výslednou hladinu významnosti testu, abychom se vyhnuli chybě
I. druhu.
• Nejjednodušší metoda: Boferroniho procedura - korekce hladiny
významnosti: α* = α/m, kde m je počet provedených testů. Ekvivalentně
lze vynásobit p-hodnotu počtem provedených testů. Nevýhodou je, že je
konzervativní pro velké m, tedy počet provedených testů.
• Pro analýzu rozptylu: Tukeyho a Scheffého post hoc testy.
• Může se stát, že při použití různých korekcí nám mohou vyjít výsledky
různě (např. při použití Scheffého testu nám vyjde statisticky významný
rozdíl mezi skupinou AD a MCI a při použití Tukeyho testu nám rozdíl
statisticky významný nevyjde).
27
Poznámka
• Může nastat situace, kdy zamítneme H0 u ANOVY, ale metodami
mnohonásobného porovnávání nenajdeme významný rozdíl u žádné
dvojice středních hodnot. K tomu dochází zvláště tehdy, když p-hodnota
pro ANOVU je jen o málo nižší než zvolená hladina významnosti.
• Důvod: post-hoc testy (tzn. metody mnohonásobného porovnávání) mají
obecně menší sílu než ANOVA, proto nemusí odhalit žádný rozdíl.
28
Korekce na násobné srovnání – jiná situace
• Problém násobného testování („Multiple Testing Problem“) nastává, i když
je provedeno větší množství testů na různých proměnných v rámci
jednoho hodnocení dat.
• Příklad: zjišťování, zda se liší objem šedé hmoty u dvou skupin subjektů v
každém voxelu obrazu.
• Korekce:
– Bonferroniho korekce – kontroluje pravděpodobnost, s jakou
dostaneme falešně pozitivní výsledek (kontroluje chybu I. druhu);
konzervativní pro velký počet provedených testů.
– False discovery rate (FDR) – kontroluje podíl falešně pozitivních
výsledků mezi všemi statisticky významnými výsledky (např. pokud je
FDR 0,05 a počet všech statisticky významných výsledků bude 1000,
tak můžeme očekávat, že 50 výsledků bude falešně pozitivních).
29
Úkol 1.
• Zadání: Zjistěte, zda se liší objem pallida podle typu onemocnění
(nezapomeňte ověřit předpoklady).
• Řešení:
30
4. Kruskalův-Wallisův test
31
Co dělat, když nejsou splněny předpoklady u ANOVy?
1. Zkusit data transformovat – např. logaritmická transformace by měla
pomoci s normalizací rozdělení a stabilizací rozptylu u log-normálních dat.
2. Použít neparametrické testy – např. Kruskalův-Wallisův test nevyžaduje
předpoklad normality, pracuje stejně jako neparametrický MannůvWhitneyův
test.
32
Kruskalův-Wallisův test
• Neparametrická alternativa analýzy rozptylu (ANOVy).
• Testuje se, zda jsou srovnatelné distribuční funkce (obdobně jako u
Mannova-Whitneyova testu).
• Hypotézy mají tvar:
• Princip Kruskalova-Wallisova testu (podobný jako u Mannova-Whitneyova
testu):
1. Všechny hodnoty ze všech výběrů dohromady uspořádáme
vzestupně podle velikosti → každé hodnotě přiřadíme pořadí.
2. Spočítáme součet pořadí hodnot u každého výběru.
3. Na základě těchto dvou součtů vypočteme testovou statistiku.
• Tzn. za platnosti nulové hypotézy jsou spojená data dobře promíchaná a
průměrná pořadí v jednotlivých souborech jsou podobná.
• Odlehlé hodnoty nejsou problém, protože pracujeme s pořadími.
33
)(...)()(: 210 xFxFxFH k===
ostatníchododlišnájeFjednanejméně: i1H
Kruskalův-Wallisův test
• Příklad: Chceme srovnat, zda se liší MMSE skóre podle typu onemocnění.
• Tzn. hypotézy budou mít tvar:
• Postup:
1. Popisná sumarizace MMSE skóre podle typu onemocnění.
2. Vykreslení histogramů MMSE skóre pro jednotlivé skupiny subjektů,
abychom viděli, že není splněn předpoklad normálního rozdělení →
proto použijeme neparametrický test.
3. Aplikujeme statistický test.
4. Nulovou hypotézu zamítneme nebo nezamítneme:
p<0,001 < 0,05 → zamítáme nulovou hypotézu → MMSE skóre je u
pacientů s AD, MCI a u kontrol statisticky významně odlišné.
34
)()()(:0 xFxFxFH CNMCIAD ==
ostatníchododlišnájeFjednanejméně: i1H
Úkol 2.
• Zadání: Zjistěte, zda se liší objem pěti mozkových struktur podle typu
onemocnění (použijte Kruskalův-Wallisův test).
35
Výsledky srovnání objemů mozkových podle typu
onemocnění
36
Hipokampus (p < 0,001*)
* Statisticky významný rozdíl:
ADxMCI, ADxCN, MCIxCN
Objem(mm3)Objem(mm3)
Amygdala (p < 0,001*)
* Statisticky významný rozdíl:
ADxCN, MCIxCN
Thalamus (p = 0,214)
Pallidum (p = 0,078) Putamen (p < 0,001*)
* Statisticky významný rozdíl:
ADxMCI, ADxCN, MCIxCN
Úkol 3.
• Zadání: Zjistěte, zda se liší váha podle typu onemocnění. Pokud nejsou
splněny předpoklady, zkuste váhu logaritmovat. Proveďte i popisnou
sumarizaci váhy podle typu onemocnění včetně výpočtu intervalů
spolehlivosti.
• Řešení:
p<0,001*
*Statisticky významný rozdíl: ADxMCI, ADxCN
37
N
Geometrický
průměr
Dolní mez
IS
Horní mez
IS
Medián Minimum Maximum
CN 230 76,9 75,3 78,5 76,0 52,0 135,0
MCI 406 75,4 74,1 76,7 75,5 52,0 140,0
AD 197 70,3 68,6 71,9 70,0 44,0 106,0
5. Analýza rozptylu jako lineární
model
38
Analýza rozptylu jako lineární model
• Analýza rozptylu pro jednu vysvětlující proměnnou (jednoduché třídění)
lze zapsat jako lineární model:
• Nulovou hypotézu pak lze vyjádřit jako:
• Rozšířením tohoto zápisu můžeme definovat další modely ANOVA: více
faktorů, hodnocení interakcí, opakovaná měření na jednom subjektu.
39
kH aaa === K210 :
Analýza rozptylu dvojného třídění
• Uvažujeme dvě vysvětlující proměnné zároveň.
• Zápis modelu:
• Nulové hypotézy pak máme dvě: ,
40
kH aaa === K2101 : rH bbb === K2102 :
Variabilita
Součet
čtverců
Počet stupňů volnosti
Průměrný
čtverec
F statistika p-hodnota
Faktor A SA dfA = k – 1 MSA = SA / dfA FA p
Faktor B SB dfA = r – 1 MSB = SB / dfB FB p
Rezidua Se dfe = (k – 1)(r – 1) MSe= Se / dfe
Celkem ST dfT = n – 1 = kr – 1
Analýza rozptylu dvojného třídění s interakcí
• Uvažujeme dvě vysvětlující proměnné a zároveň i jejich společné
působení.
• Zápis modelu:
• Nulové hypotézy pak máme tři:
41
kH aaa === K2102 :krH ggg === K121101 :
Variabilita
Součet
čtverců
Počet stupňů volnosti
Průměrný
čtverec
F statistika p-hodnota
Faktor A SA dfA = k – 1 MSA = SA / dfA FA p
Faktor B SB dfA = r – 1 MSB = SB / dfB FB p
Interakce A×B SAB dfAB = (k – 1)(r – 1) MSAB = SAB / dfAB FAB p
Rezidua Se dfe = n – kr MSe= Se / dfe
Celkem ST dfT = n – 1
rH bbb === K2103 :
Blok 4
Jak analyzovat kategoriální a binární
data.
42
Typy dat - opakování
• Kvalitativní (kategoriální) data:
- Binární data
- Nominální data
- Ordinální data
• Kvantitativní data:
- Intervalová data
- Poměrová data
43
Osnova
1. Binomické rozdělení
2. Poissonovo rozdělení
44
Motivace
• Kromě spojitých dat se setkáváme také s daty kategoriálními, jejichž
nejjednodušším případem jsou data binární.
• Binární data jsou popsána binomickým rozložením.
• Od chování binomického rozložení je odvozena:
– popisná statistika binárních dat (procento výskytu jevu)
– interval spolehlivosti pro binární data
– binomické testy pro srovnání procentuálního výskytů jevů v různých
skupinách.
45
Binomické rozdělení
Binomické rozdělení
• Diskrétní rozdělení, které popisuje počet výskytů sledované události (ve
formě nastala/nenastala) v sérii n nezávislých pokusech, kdy v každém
pokusu je stejná pravděpodobnost výskytu této události.
• Značení: Bi(n,π)
• Parametry:
‖ n ... počet nezávislých pokusů
‖ r ... počet, kolikrát nastala sledovaná událost (r = 0...n)
‖ p = r/n ... pravděpodobnost nastání sledované události (p ̴π)
• Pravděpodobnost, že sledovaná událost nastane r-krát, lze vypočítat:
• Střední hodnota: EX = n · p
• Rozptyl: DX = n · p · (1 - p)
• Příklady: výskyt nežádoucích účinků léku u léčených pacientů, počet
zemřelých pacientů mezi léčenými pacienty, počet pacientů s výsledkem
neuropsychologického testu pod normou
( )
( ) rnrrnr
pp
rnr
n
pp
r
n
rXP
--
-××
-
=-÷÷
ø
ö
çç
è
æ
== 1
!!
!
)1()(
Binomické rozdělení – příklad
• Př. Pravděpodobnost narození chlapce je 0,5. Jaká je pravděpodobnost
toho, že mezi čtyřmi dětmi v rodině je 0, 1,... až 4 chlapců. Vypočítejte i
jaký je nejpravděpodobnější počet chlapců v této rodině.
• Řešení: n = 4 (4 děti v rodině)
r = 0, 1, 2, 3, 4 chlapců
( )
( ) rnrrnr
pp
rnr
n
pp
r
n
rXP
--
-××
-
=-÷÷
ø
ö
çç
è
æ
== 1
!!
!
)1()(
( ) 0625,05,015,0
4!0!
!4
)0(
40
=-××==XP
( ) 2500,05,015,0
3!1!
!4
)1(
31
=-××==XP
( ) 3750,05,015,0
2!2!
!4
)2(
22
=-××==XP
Nejpravděpodobnější počet chlapců – střední
hodnota: E(X) = n · p = 4 · 0,5 = 2
2500,0)3( ==XP
0625,0)4( ==XP
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0 1 2 3 4
n = 4
p = 0,5
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 5 10 15 20 25 30
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
0,2
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
0,2
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Binomické rozdělení – tvar pro různé n a p
• Čím vícekrát opakujeme experiment, tím menší relativní podíl připadá na
jednotlivé hodnoty X, neboť všechny dohromady musí dát součet 1 (100%).
• Rozdělení s p=0,5 je symetrické kolem středu osy x, menší či větší p posouvá
střed rozdělení směrem k limitním hodnotám (tedy hodnotám 0 či n).
n = 10
p = 0,3
n = 30
p = 0,3
n = 100
p = 0,3
n = 50
p = 0,1
n = 50
p = 0,5
n = 50
p = 0,9
P(r)
P(r)
P(r)
P(r)
P(r)
P(r)
r r r
r r r
Binomické rozložení – speciální případy
• Pokud n=1, jde o tzv. alternativní rozdělení a daná událost buď nenastane
nebo nastane jednou.
• Pokud náhodný experiment opakujeme mnohokrát (n je velké), rozdělení
se začne podobat spojitému rozdělení → aproximace na normální
rozdělení.
• Aproximace normálním rozdělením však nebude platit pro velmi nízké a
velmi vysoké hodnoty p → u nízkých hodnot p aproximace na Poissonovo
rozdělení (pro n > 30 a p < 0,1).
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
n = 100
p = 0,3
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
0,2
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
n = 50
p = 0,09
P(r)
r
P(r)
r
Binomické rozdělení - interval spolehlivosti - příklad
• Př. Sledování výskytu nežádoucích účinků u n = 100 pacientů se
schizofrenií léčených daným přípravkem. Nežádoucí účinky se vyskytly u
60 jedinců. Odhadněte pravděpodobnost výskytu nežádoucích účinků a
tento odhad doplňte o 95% interval spolehlivosti.
• Vzorečky:
• Řešení:
• Pravděpodobnost výskytu nežádoucích účinků je 0,6 (0,503; 0,697).
n
rpp =» ;p (bodový odhad parametru π)
( ) ( )
1
1
1
1
2
1
2
1
-
-
×+££
-
×-
--
n
pp
Zp
n
pp
Zp aa p
(interval spolehlivosti
pro π)
6,0100/60 ==p
( ) ( )
1100
6,016,0
96,16,0
1100
6,016,0
96,16,0
-
-×
×+££
-
-×
×- p
049,096,16,0049,096,16,0 ×+££×- p
697,0503,0 ££ p
Binomické rozdělení – interval spolehlivosti
• Ovlivnění šířky intervalu spolehlivosti (IS):
– hodnotou p – IS bude nejširší pro p = 0,5
– hodnotou n – IS širší při malém n než při velkém
– hodnotou α – IS širší pro malé α (hladinu spolehlivosti) – tzn. 99% IS
bude širší než 95% IS
• Interval spolehlivosti bez aproximace na normální rozdělení (pokud
hodnoty p jsou velmi nízké nebo velmi vysoké):
( )
1
1
2
1
-
×±
-
n
pp
Zp a
( ) ( )21;
2
1 nn
aFrnr
r
D
×+-+
=
( ) rrn 2;12 21 =+-= nn
( ) ( )
( ) ( )21
21
;
2
;
2
1
1
nn
a
nn
a
¢¢
¢¢
×++-
×+
=
Frrn
Fr
H ( )
( ) 22
212
12
21
-=-=¢
+=+=¢
nn
nn
rn
r
... kde:
Dolní hranice IS:
Horní hranice IS:
... kde:
Statistické testování binomických dat
1. Liší se odhad p od předpokládané (referenční) hodnoty π?
(Např. liší se procento pacientů s nežádoucími účinky léčby od
předpokládaného procenta?)
→ jednovýběrový binomický test (tzn. test pro podíl u jednoho výběru)
2. Liší se p ve dvou souborech?
(Např. liší se podíl pacientů s nežádoucími účinky léčby podle typu léčby?)
→ dvouvýběrový binomický test (tzn. test pro podíl u dvou výběrů)
53
Jednovýběrový binomický test
• Příklad: Mezi 50 pacienty s Alzheimerovou chorobou je 12 pacientů s
MMSE skóre nižším než daná hranice. Ověřte, zda podíl pacientů s nižším
skóre je stejný jako v běžné populaci.
• Tzn. hypotézy budou mít tvar: a
• Řešení:
• π = 0,05 (v populaci – hranice
skóre jsou dělána tak, aby 5%
populace bylo nižší než hranice)
• p = 12/50 = 0,24
• Závěr:
Podíl pacientů s nižším MMSE skóre
je statisticky významně odlišný od
podílu v běžné populaci.
p=pH :0 p¹pH :1
Co největší N2 Vypočtená p-hodnota
Dvouvýběrový binomický test
• Příklad: Mezi 42 pacienty s Alzheimerovou chorobou (AD) je 11 pacientů s
MMSE skóre nižším než daná hranice. Mezi 18 pacienty s mírnou kognitivní
poruchou (MCI) je 6 pacientů s MMSE skóre nižším než daná hranice.
Ověřte, zda se podíly pacientů s nižším skóre u pacientů s AD a MCI liší.
• Tzn. hypotézy budou mít tvar: a
• Řešení:
• p1 = 11/42 = 0,262
• p2 = 6/18 = 0,333
• Závěr:
Neprokázali jsme, že by se podíl
subjektů s nižším MMSE skóre
lišil u pacientů s AD a MCI.
210 : ppH = 211 : ppH ¹
Vypočtená p-hodnota
Poissonovo rozdělení
Poissonovo rozdělení
• Diskrétní rozdělení, které popisuje počet výskytů sledované události na
danou jednotku (času, plochy, objemu), když se tyto události vyskytují
vzájemně nezávisle s konstantní intenzitou (parametr λ).
• Značení: Po(λ)
• Jedná se o zobecnění binomického rozdělení pro a
‖ (aproximace je funkční již při n > 30, p < 0,1):
‖ Pravděpodobnost, že sledovaná událost nastane r-krát, lze vypočítat:
• Střední hodnota: EX = λ (λ vyjadřuje střední počet jevů na jednu
experimentální jednotku)
• Rozptyl: DX = λ
• Příklady: počet krvinek v poli mikroskopu, počet pooperačních komplikací
během určitého časového intervalu po výkonu, počet pacientů, kteří přišli
do ordinace během jedné hodiny, počet částic, které vyzáří zářič za danou
časovou jednotku
¥®n 0®p
!
)(
r
e
rXP
r l
l -
==
( ) ( )pnpn ×® Po,Bi
Poissonovo rozdělení – příklady
Výskyt jevu na experimentální jednotku
(mutace bakterií na inkubačních miskách)
Výskyt jevu v prostoru
(počet buněk v sčítacím poli preparátu)
Orientační stanovení jevu
(např. produkce plynu bakteriemi)
+ + +- Výskyt
jevu v čase
(vyzáření částice v určitých časových
intervalech)
čas
Poissonovo rozdělení – příklad
• Příklad: Předpokládejme, že v určité populaci krys se vyskytuje albín
s pravděpodobností π=0,001, ostatní krysy jsou normálně pigmentované.
Ve vzorku 100 krys náhodně vybraných z této populace určete
pravděpodobnost, že vzorek a) neobsahuje albína, b) obsahuje právě
jednoho albína.
• Řešení: Pravděpodobnost výskytu albína je π=0,001. Předpokládaný počet
albínů ve výběru o rozsahu n je λ=n*π (průměr binomické náhodné
veličiny), tj. v našem příkladu λ=n*π=100*0,001=0,1. Počet albínů
označme x. Potom:
• Jak je vidět, pravděpodobnost, že ve vzorku 100 krys nebude žádný albín,
je desetkrát vyšší než pravděpodobnost, že ve vzorku bude právě jeden
albín. Pravděpodobnosti výskytu dvou a více albínů jsou již velmi malé.
Převzato z Zvárová, J. (2001) Základy statistiky pro biomedicínské obory. Praha: Karolinum.
Poissonovo rozdělení – předpoklady
• výskyt jevu je zcela náhodný (tedy náhodný v čase nebo prostoru podle
typu situace)
• výskyt jevu v konkrétní experimentální jednotce nijak nezávisí na tom, co
se stalo v jiných jednotkách
• není možné, aby 2 nebo více jevů nastaly současně, přesně ve stejném
místě prostoru nebo ve stejném časovém okamžiku
• pro každý dílčí časový okamžik, prostorou jednotku apod. je
pravděpodobnost výskytu stejná
ms <2
ms >2
ms =2
Poissonovo rozdělení
výskyt uniformní výskyt shlukový výskyt náhodný
Poissonovo rozdělení – tvar pro různé λ
• Čím větší je λ, tím více se tvar Poissonova rozdělení blíží normálnímu
rozdělení.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l = 0.01 l = 0.1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l = 0.5
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
0,2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
l = 5 l = 10
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l = 1
Poissonovo rozdělení – intervaly spolehlivosti - příklad
• Př. Za 10 hodin vyzářil zářič 1500 částic. Spočtěte průměrný počet
vyzářených částic za hodinu a tento odhad průměrného počtu částic
doplňte o 95% interval spolehlivosti.
• Vzorečky:
• Řešení:
• Průměrný počet částic vyzářených za hodinu je 150 (142;158).
x»l (bodový odhad parametru λ)
n
x
Zx
n
x
Zx ×+££×- --
2
1
2
1 aa l (interval spolehlivosti pro λ)
15010/1500 ==x
10
150
96,1150
10
150
96,1150 ×+££×- l
873,396,1150873,396,1150 ×+££×- l
158142 ££ l
Poissonovo rozdělení – interval spolehlivosti
• Ovlivnění šířky intervalu spolehlivosti (IS):
– hodnotou λ – IS širší při velkém λ
– hodnotou n – IS širší při malém n než při velkém
– hodnotou α – IS širší pro malé α (hladinu spolehlivosti) – tzn. 99% IS
bude širší než 95% IS
• Interval spolehlivosti bez aproximace na normální rozdělení:
n
x
Zx ×± -
2
1 a
( )
2
1
2
2 nac
=D r21 =n
22212 +=+= rnn
... kde:
Dolní hranice IS:
Horní hranice IS:
... kde:( )
2
2
2
21 nac -
=H