VII. DVOJ VÝBEROVÉ TESTY



Anotace
•Jedným z najčastejších úloh štatistickej analýzy dát je porovnanie spojitých dát vo dvoch
skupinách pacientov. Na výber je celá škála testov, výber konkrétneho testu sa potom odvíja od
toho, či ide o porovnanie párové alebo  nepárové a či je vhodné použiť test parametrický (má
predpoklady o rozložení dát) alebo neparametrický (nemá predpoklady o rozložení dát, ale má nižšiu
vypovedaciu silu).
•Najznámejšími testami z tejto skupiny sú tzv. t-testy používané na porovnanie priemerov dvoch
skupín hodnôt

Nepárový vs. párový design
•NEPÁROVÝ DESIGN
•Skupiny porovnávaných dát sú na sebe úplne nezávislé (tiež nezávislý, independent design), napr.
Ľudia z rôznych zemí, nezávislé skupiny pacientov s odlišnou liečbou atď.
•Pri výpočte je nevyhnutné brať v úvahu charakteristiky oboch skupín dát
•PÁROVÝ DESIGN
•Medzi objektami v porovnávaných skupinách existuje väzba, daná napr. človekom pred a po operácii,
reakcie rovnakého kmeňa krýs atď.
•Väzba môže byť buď priamo daná alebo len predpokladaná (v tom prípade je nutné ju overiť)
•Test je v podstate uskutočňovaný na diferenciach skupín, nie na ich pôvodných dátach
•
Typ srovnání
Parametrický test
Neparametrický test
2 skupiny dat nepárově:
Nepárový t-test
Mann Whitney test
2 skupiny dat párově:
Párový t-test
Wilcoxon test, znaménkový test
Více skupin nepárově:
ANOVA
Kruskal- Wallis test
Korelace:
Pearsonův koeficient
Spearmanův koeficient

Dvojvýberové testy: párové a nepárové I
•Pri použití two sample testov porovnávame spolu dve rozloženia. Ich základným delením je podľa
designu experimentu na testy párové a nepárové.
Základným testom na porovnávanie dvoch nezávislých rozložení spojitých čísel je nepárový two-sample
t-test
Základným testom na porovnanie dvoch závislých rozložení spojitých čísel je párový two-sample
t-test

Dvojvýberové testy: párové a nepárové II
Dáta
Nezávislé usporiadanie
Párové usporiadanie
 X1     X2
 X1- X2 = D
 X1        X2
Design usporiadania
zásadne ovplyvňuje interpretáciu parametrov
(n = n2 = n1)

Identifikácia párovitosti (Korelácia, Kovariancia)
 X1        X2
X1
X2
X1
X2
    r = 0,954
(p < 0,001)
    r = 0,218
(p < 0,812)
Dvojvýberové testy: párové a nepárové III

Predpoklady nepárového dvojvýberového t-testu
•Náhodný výber subjektov jednotlivých skupín z ich cieľových populácií
•Nezávislosť oboch porovnávaných vzoriek
•Približne normálne rozloženie premennej vo vzorkách, drobné odchýlky od normality však nie sú
kritické, test je robustný proti drobným odchýlkam od tohto predpokladu, normalita môže byť
testovaná testami normality
•Rozptyl v oboch vzorkách by mal byť približne zhodný (homoscedastic). Tento predpoklad je
testovaný niekoľkými možnými testami – Levenov test alebo F-test.
•Vždy je vhodné prezrieť si histogramy premennej v jednotlivých vzorkách pre okometrické porovnanie
a overenie predpokladov normality a homogenity rozptylu – nenahradí štatistické testy, ale poskytne
prvotnú predstavu.
•
0
j(x)
μ
|

Nepárový dvojvýberový t-test – výpočet I
1.nulová hypotéza: priemery oboch skupín sú zhodné, alternatívna hypotéza je, že nie sú zhodné, two
tailed test
2.prezrieť priebeh dát, priemer, medián apod. pre zistenie odchýlok od normality a nehomogenitu
rozptylu, uskutočniť F –test
3.
F-test na porovnanie dvoch výberových rozptylov
Používa sa na porovnanie rozptylu dvoch skupín hodnôt, často za účelom overenia homogenity rozptylu
týchto skupín dát.
V prípade overenia homogenity je testovaná hypotéza zhody rozptylov (two tailed); v prípade
zhodných rozptylov je všetko v poriadku a je možné pokračovať vo výpočte t-testu, v opačnom prípade
nie je vhodné test počítať.
H0
HA
Testová štatistika

Nepárový dvojvýberový t-test – výpočet II
3.Výpočet testovej štatistiky (stupne voľnosti sú                             ):
4.
4.
4.
•
4.výsledné t porovnávame s tabuľkovou hodnotou t pre dané stupne voľnosti a a (obvykle a=0,05)
5.Je možné spočítať interval spoľahlivosti pre rozdiel priemerov (napr. 95%), počet stupňov
voľnosti a s2 zodpovedajú predchádzajúcim vzorcom
6.
•
vážený odhad rozptylov

Dvojvýberový t-test - príklad
•Průměrná hmotnost ovcí v čase páření byla srovnávána pro kontrolní skupinu a skupinu krmenou
zvýšenou dávkou potravy. Kontrolní skupina obsahuje 30 ovcí, skupina se zvýšeným příjmem potravy
pak 24 ovcí.
•Vlastní experiment byl prováděn tak, že na začátku máme  54 ovcí (ideálně stejného plemene, stejně
staré atd.), které náhodně rozdělíme do dvou skupin (náhodné rozdělování objektů  do pokusných
skupin je objektem celého specializovaného odvětví statistiky nazývaného randomizace). Poté co
experiment proběhne, musíme nejprve ověřit teoretický předpoklad pro využití nepárového t-testu.
Pro obě proměnné jsou vykresleny grafy (můžeme též spočítat základní popisnou statistiku), na
kterých můžeme posoudit normalitu a homogenitu rozptylu, kromě  okometrického pohledu můžeme pro
ověření normality použít testy normality, pro ověření homogenity rozptylu pak F-test
•Pokud platí všechny předpoklady Two sample nepárového t-testu, můžeme spočítat testovou
charakteristiku, výsledné t je 2,43 s  52 stupni volnosti, podle tabulek je a t0,975 (52)= 2,01,
tedy t> t0,975 (52)= a nulovou hypotézu můžeme zamítnout, skutečná pravděpodobnost je pak 0,018.
Rozdíl mezi skupinami je 1,59 kg ve prospěch skupiny s lepší výživou.
•
•
•
•
•Pro rozdíl mezi oběma soubory jsou spočítány 95% konfidenční intervaly  jako 1,59±2.01*(0,655) kg,
což odpovídá rozsahu 0,28 až 2,91 kg. To, že konfidenční interval nezahrnuje 0 je dalším
potvrzením, že mezi skupinami je významný rozdíl – jde o další způsob testování významnosti rozdílů
mezi skupinami dat – nulovou hypotézu o tom, že rozdíl průměrů dvou skupin dat je roven nějaké
hodnotě zamítáme v případě, kdy 95% konfidenční interval rozdílu nezahrnuje tuto hodnotu (v tomto
případě 0).

Neparametrické alternatívy nepárového t-testu
•Mann Whitney U-test
•Rovnako ako rada iných neparametrických testov počíta i tento test s poradím dát v súboroch
namiesto s originálnymi dátami. Ide o neparametrickú obdobu nepárového t-testu a z týchto
neparametrických testov má najvyššiu silu testu (95% párového t-testu).
•V prípade Mann-Whitney testu sú najskôr čísla oboch súborov zlúčené a je vytvorené ich poradie v
tomto zlúčenom súbore, potom sú hodnoty vrátené do pôvodných súborov a naďalej sa pracuje už len s
ich poradím.
•Pre obidva súbory je teda vytvorený súčet poradí a menší z oboch súčtov je porovnaný s kritickou
hodnotou testu, pokiaľ je táto hodnota menšia než kritická hodnota testu, zamietame nulovú hypotézu
zhody distribučných funkcií oboch skupín.
•Podobným spôsobom je počítaný i
•Wilcoxon rank sum test
•(pozor, existuje ešte
•Wilcoxnov párový test!!!)
X1
X2
ALL
Rank ALL
X1 rank
X2 rank
27
25
25
5
6
5
35
29
29
7,5
11
7,5
38
31
31
9
13
9
37
23
23
4
12
4
39
18
18
2
14
2
29
17
17
1
7,5
1
41
32
32
10
15
10
19
19
3
3
27
6
35
11
38
13
37
12
39
14
29
7,5
41
15
•
•
•
•
•

Mann – Whitney U test - príklad
•17 štěňat bylo trénováno v chození na záchod metodou pozitivního posilování (pochvala, když jde na
záchod venku) nebo negativního (trest, když jde na záchod doma). Jako parametr bylo měřeno, za
kolik dní je štěně vycvičeno.
•nulová hypotéza je, že není rozdíl v metodách tréninku, tedy, že oběma metodami je štěně vycvičeno
za stejnou dobu.
•po srovnání rozložení + malý počet hodnot je vhodné použít neparametrický test
•je vytvořeno pořadí sloučených hodnot
•pořadí hodnot v jednotlivých skupinách dat je sečteno a menší ze součtů je použit pro srovnání
s kritickou hodnotou testu
•výsledkem testu je p<a, nulovou hypotézu tedy zamítáme a výsledkem testu je, že pozitivní působení
při výcviku štěňat dává lepší výsledky
•

Párové dvojvýberové testy – predpoklady
•Skupiny dát sú spojené cez objekt merania, príkladom môže byť meranie parametrov pacienta pred
liečbou a po liečbe (nemusí ísť priamo o rovnaký objekt, ďalším príkladom môžu byť napr. krysy z
rovnakej línie).
•Obidva súbory musia mať rovnaký počet hodnôt, pretože všetky merania v jednom súbore musia byť
spárované s meraním v druhom súbore. Pri vlastnom výpočte sa potom počíta so zmenou hodnôt
(diferencií) subjektov v obidvoch súboroch.
•Pred párovým testom je vhodné overiť si či existuje väzba medzi obomi skupinami – vynesenie do
grafu, korelácia.
•Existuje niekoľko možných designov experimentu, stručne je možné sumarizovať:
1.pokus je párový a ako párový sa prejaví
2.párové prevednie pokusu – párovo sa neprejaví
•možná párovosť nie je
•nesprávne uskutočnený pokus – malé n, veľká variabilita, nesprávny výber jedincov
3.čakali sme nezávislé a sú
4.čakali sem nezávislé a nie sú
•väzba
•náhoda

Párový dvojvýberový t-test
•Tento test nemá žiadne predpoklady o rozložení vstupných dát, pretože je počítaný až na základe
ich diferencií.
•Tieto diferencie by mali byť normálne rozložené a otázkou v párovom t-teste je, či sa priemerná
hodnota diferencií rovná nejakému číslu, typicky ide o porovnanie s nulou ako dôkaz neexistencie
zmeny medzi obidvomi spárovanými skupinami.
•V podstate ide o one sample t-test, kde namiesto rozdielu priemeru vzorku a cieľovej populácie je
uvedený priemer diferencií a porovnávané číslo (0 v prípade otázky, či nie je rozdiel medzi
vzorkami).
•
•Na porovnanie s 0 (testovou štatistikou je t rozloženie):
•
•Niekedy je obtiažne rozhodnúť, či ide alebo nejde o párové usporiadanie, párový test by mal byť
použitý len v prípade, že môžeme potvrdiť väzbu (korelácie, vynesenie do grafu), jedným z dôvodov
prečo toto overovať je fakt, že v prípade párového t-testu nie je nutné brať ohľad na variabilitu
pôvodných dvoch súborov, tento predpoklad však platí len v prípade väzby medzi premennými. Výpočet
obidvoch typov testov sa vlastne líši v použitej s, raz ide o s diferencií, v druhom prípade o
zložený odhad rozptylov obidvoch súborov.
•Či je párové usporiadanie efektívnejšie je možné určiť na základe:
–Sily väzby
–Ak je sD výrazne menšie než sx1-x2
–
• Závislosť je možné rozpísať pomocou vzorca:
•v prípade Cov=0, teda v prípade neexistencie väzby potom sD2 odpovedá súčtu
•pôvodných rozptylov, teda približne Sx1-x2.

Párový dvojvýberový t-test – príklad
•Byl prováděn pokus s dietou 11 diabetických psů, každý pes byl vystaven dvěma dietám s odlišným
typem sacharidů (snadno vstřebatelné X pozvolna se rozkládající na glukózu), hodnoty krevní glukózy
v průběhu jednotlivých diet mají být srovnány pro zjištění vlivu diety na hladinu krevní glukózy.
Protože každý pes absolvoval obě diety, jde o párové uspořádání, kdy výsledky hodnoty v obou
pokusech jsou spojeny přes pokusné zvíře.
1.
1.Nulová hypotéza zní, že skutečný průměrný rozdíl mezi oběma dietami je 0, alternativní hypotéza
zní, že to není 0.
2.Pro každého psa je spočítán rozdíl mezi jeho hladinou glukózy při obou dietách a měly by být
ověřeny předpoklady pro one sample t-test – tedy alespoň přibližně normální rozložení.
3.Je spočítána testová charakteristika, výpočet vlastně probíhá jako one-sample t-test, kde je
zjišťována významnost průměru diferencí obou souborů jako rozdíl mezi touto hodnotou a nulou (nula
je hodnota, kterou by průměrná diference měla nabývat, pokud platí nulová hypotéza). T=4.37 s 10
stupni volnosti, skutečná hodnota p=0,0014 a tedy na hladině p=0,05 můžeme nulovou hypotézu
zamítnou
4.
4.
4.
4.
4.Závěrem můžeme říci, že nulová hypotéza neexistence rozdílu mezi oběma dietami byla zamítnuta,
což znamená, že high-fibre dieta má  významný vliv na snížení hladiny krevní glukózy.
5.

Neparametrická obdoba párového t-testu
•Wilcoxon test
•Sú vytvorené diferencie medzi súbormi, je vytvorené ich poradie bez ohľadu na znamienko a potom je
sčítané poradie kladných a poradie záporných rozdielov. Menší z týchto dvoch hodnôt je porovnaná
s kritickou hodnotou testu a pokiaľ je menšia než kritická hodnota testu, potom zamietame hypotézu
zhody oboch súborov hodnôt. Pre test existuje aproximácia na normálne rozloženie, ale len pre veľké
n>25.
Před zásahem
Po zásahu
Změna
Absolutní pořadí
6
2
4
10
2,5
3
-0,5
1,5
6,3
5
1,3
6
8,1
9
-0,9
5
1,5
2
-0,5
1,5
3,4
4
-0,6
3
2,5
1
1,5
8
1,11
2
0,89
4
2,6
4
-1,4
7
1
3
-2
9

Wilcoxonov test – příklad I
člověk
A
B
diference
pořadí
1
142
138
4
4,5
2
140
136
4
4,5
3
144
147
-3
3
4
144
139
5
7
5
142
143
-1
1
6
146
141
5
7
7
149
143
6
9,5
8
150
145
5
7
9
142
136
6
9,5
10
148
146
2
2
A…….parameter krvi pred podaním lieku
B…….parameter krvi po podaní lieku
W+  …… Σ poradie kladných rozdielov = 51
W-   …… = 4
                           W = min(W+;W-) = 4
                              počet párů = n = 10
Pokiaľ je W menšie než kritická hodnota testu,
potom zamietame hypotézu zhody distribučných funkcií obidvoch skupín.

Wilcoxonov test – príklad II
•Byla testována nová dieta pro laboratorní krysy, při pokusu byl zjišťován její vliv na různých
liniích krys, bylo proto zvoleno párové uspořádání kdy krysy v obou dietách jsou spojeny přes svoji
linii, tj. na začátku byly dvojice krys stejné linie, jedna z nich byla náhodně přiřazena k dietě,
druhá z dvojice pak do druhé diety.
•
1.nulová hypotéza je, že váha krys není ovlivněna použitou dietou, alternativní, že ovlivnění
dietou existuje
2.spočítáme diference – tyto diference jsou nenormální a proto je vhodné využít neparametrický test
3.Spočítáme sumu pořadí kladných a záporných diferencí, zde je menší suma záporných diferencí – 31
4.výsledkem výpočtu je p>0,05 a tedy nemáme dostatečné důkazy pro zamítnutí nulové hypotézy, nelze
říci, že by nová dieta byla efektivnější než stará
5.pro doplnění výsledků je vhodné zjistit také skutečnou velikost rozdílu hmotností ve skupinách,
např. ve formě mediánu

Znamienkový test – príklad I
•
Párovo usporiadaný experiment pre nominálne dáta
I. Dva preparáty, každý na ½ listu
     - sledovaná veličina: počet škvŕn (hodnotené len ako rozdiel)
Počet skvrn
A
V
V
M
V
V
M
M
V
V
V
B
M
M
V
M
M
V
V
M
M
M
V – väčší; M – menší
n = 10 listov s rozdielnymi výsledkami
               A je väčší: +     n+ = 7
jav
               B je menší: -    n- = 3
    min(n+; n-) = 3
II. dve protilátky z rôznych zdrojov (A;B)
      – aplikované na vzorku s antigénom
      n = 10
A
+
+
-
+
-
+
-
+
+
-
B
-
-
+
-
+
+
-
-
+
-
  n – nenulových rozdielov: 6                 A: n+ = 4
                                                               A: n- = 2
min(n+; n-) = 2

Znamienkový test – príklady II
•Na konferenci veterinářů bylo předneseno,že průměrný čas konzultace  je 12 minut. Následovala
debata, zda je lepší použít medián nebo průměr. Jeden z nich se rozhodl ověřit teorii, že průměrná
konzultace trvá 12 minut na vlastní praxi a zaznamenal si trvání svých 43 konzultací. K otestování
hypotézy, že podíl konzultací kratších a delších než 12 minut použil znaménkový test.
Délka konzultace
Počet
<12
22
12
6
>12
15
Celkem
43
Další výpočet probíhá obdobně jako v případě klasického znaménkového testu na diferencích dvou
skupin dat.

Dvojvýberové testy: schéma analýzy
Nezávislé usporiadanie
neparametrické testy
testy:
ANO
NE
ANO
t-test
nezávislý
aproximácia
Man - Whitney
Mediánový test
normalita
?
homogenita rozptylu
?
NE
transformácia
NE
c2 test
Kolmogorov-Smirnov test
Shapiro-Wilks test
F-test

Dvojvýberové testy: schéma analýzy
Párové usporiadanie
neparametrické testy
 testy:
ANO
Diferencia
D
t-test
párový
Znamienkový test
Wilcoxonův test
normalita
?
NE
transformácia
NE
c2 test
Kolmogorov-Smirnov test
Shapiro-Wilks test