Užití komplexních čísel.
Lenka Přibylová 17. listopadu 2010
Pomocí Eulerova vzorce dokažte, že platí cos x = e"+2e
eix
cos x + i sin x
e lx   =   cos x - i sin x
e—ix = ei(—x) = cos(— x) + i sin(—x). Přitom funkce cos je sudá, tj. cos(— x) = cos x, a funkce sin lichá, tj. sin(—x) = — sin x. Sectením dostáváme
eix + e—ix = 2 cos x,
cos x
elx-\-e lx
Dokažte nejkrasnejsí formuli matematiky:    -1 = eÍK.
Stačí dosadit do Eulerova vžorce eix = cos x + i sin x číslo x = n. Pak
ein = cos n + i sin n = —1.
Dokažte^že^plat^o^^^o^^^^o^-^o^+^
«-|6 ,«+|6N
Re í e!~ • el~ + e~l~ ■ el~ j
Re ^(cos      + í sin ^2^^
)(cos^+ísin^£) +
i I x—B + (cos --Ľ
■  •    x—B\,       x+B  .  ■  ■ x+B\\
i sin -j^) (cos  2^ + 2 sin —^)
eix eiB
Re (eix + eiB) = cos x + cos B
x— B x+ B 2 cos —j- cos —j-1-
2
EB1   Q   Q OS
©Lenka Přibylová, 2010 Q
Složte vlnění s posunutou fází fa (x, t) = A cos(wt - kx) a fa(x, t) = A cos(wt - k(x - S)).
Označme   a = cot — k(x — S)    a   [ = cot — kx. Pak
_ kó 2      ~     2 '
^   = wt-kx+k4.
Podle vzorce
cos a + cos p = 2 cos —cos —
tedy platí
fa(x, t) + ip2(x, t) = 2Acos ^ cos(o;ř - kx + ^).
amplituda      harmonická vlna
Složte vlnění s opačným směrem šíření fa (x, t) = A cos(wt - kx) a fa (x, t) = A cos(wt + kx) a ukažte, že jde o stojaté vlnění.
Označme   a = wt + kx   a   f = wt — kx. Pak
= kx,
—f-     = LOt.
Podle vžorče
COS OL + COS p = 2 cos —y~ cos —y~
tedý platí
fa1 (x, t) + fa2(x, t) = 2A čos(kx) čos(wt).
Funkče je tedý pro libovolne pevne t nasobkem čos(kx), tedý harmonickou vlnou s nulovou počateční faží - s časem se vlna neposouva po ose x, jde o stojate vlnení.
fa1 (x, t) + fa(x, t) = 2A čos(kx) čos(wt).
Maxima odpovídají
čos(kx) = ±1   ==   kx = mn,
a minima
cos(fcx) = 0   =>-   kx = j + mn, kde m je libovolné celé číslo. Protože k = ^ je fa + fa = 0 pro
f + mn    2m +
k 4
h.
x
EB1   Q   Q Q3
©Lenka Přibylová, 2010 Q