Užití matic. Lenka Přibylova 17. listopadu 2010 Napište zobrazovací rovnice a přenosovou matici pro úsek volného prostoru o délce d. x2 = Ax1 + By1 y2 = Cx1 + Dy1, kde A — X2\ n — Xl i — 1 OžnaCením vyraz\y1=0 rozumíme, že výraž poCítame pro y1 = 0. Paprsek je rovnoběžný s optickou osou, protože, y1 = tg p = 0, jeho vzdálenost x1 od optickě osy na vstupu se na výstupu nezmění. y xi y x2 volný prostor delky optickýa osa vstup d výstup B = %\Xl=0 = d, Na vstupu leží paprsek na optické ose (xi = 0) a pro úhel vstupu platí yi = tg V = f. } X2 ~~~~ vstup volnú prostor delky d optickía osa víystup C = glw=o = 0, Paprsek je rovnobežný s optickou osou, protože y1 = 0, jeho uhel se na výstupu nemení, tj. y2 = 0. ^ ~~ yi 1*1=0 ~ yi ~ Tangens uhlu vstupu y1 se na výstupu nemení, tj. y2 = y1. Zobražovací rovnice jsou tedy X2 = y2 = a prenosova matice je (0 x1 + dy1 EB1 Q Q Q3 ©Lenka Přibylová, 2010 Q Napište zobrazovací rovnice a přenosovou matici pro tenkou čočku o ohniskové vzdálenosti /. Ax\ + Byi Cxi + Dy1, kde = A = 1, X2 y2 A — fil ^ ~~ lyi=° X! Označením ví/raz\yl=o rozumíme, že vyraz počítáme pro yi = 0. Předpokládáme, že jde o tenkou čočku, tj. vstup xi a vystup x2 je stejný. B = %\X1=0 = 0, Pro vstup Xi = 0 je vystup x2 = 0. C - ^1 n x\ lyi=o 7 Paprsek vstupuje rovnoběžně s optickou osou a y2 = tg = —f1, optická osa vstup i výstup tenká CoCka n - Vi \ n - a - i ^ - yi 1*1=0 - yi - x- Úhel na výstupu y2 je v případe vstupu v míste opticke osy xi = 0 totožný s uhlem vstupu (symetrie). Zobrazovací rovnice jsou tedy x2 = xi y2 =~jx1 a prenosova matice je ' 1 0' Napiste přenosovou matici pro opticky system slozeny z tenke čočky o ohniskove vzdalenosti /i = 1 cm, useku volneho prostoru o delce d = 26 cm a dalsí tenke čočky s ohniskovou vzdaleností /2 = 5 cm. Jedna se o mikroskop s tubusovou vzdaleností A = 200 mm. ' 1 0\ v 1 1 / , prenosova i.± ^^^^^^ vlvilv j^-iuchwinjv. ^0 1 1. 1 0 1 26 Prenosova matice první tenke čočky je í 1 ,° J , prenosova matice useku volneho prostoru je í 0 1 J a prenosova matice druhé tenké čočky je ^ \ ^ . Výstup z prvního optického prvku (tenké čočky) je dán zobrazovací rovnicí Ky2j V"1 V Vy1, vystup z druhého optickeho prvku (useku prostoru) je dan zobrazovací rovnicí y 0 1 y2 tj. x = 1 26 1 0 x1 W V° A A-1 v Ay1, a vystup z tretího optickeho prvku (tenke čočky) je dan zobrazovací rovnicí EBl El la laa ©Lenka Přibylová, 2010 Q tj- g)={-i;)■ c. i)■ s)■ go j4; v-5 v vo u v-1 v vyi Přenosová matice je tedy dána součinem matic 1 0\ A 26\ / 1 0' 1 i ' lo 1 / ' 1-1 1. U v V° V" U 'U V 4 21 5 , Napište přenosovou matici pro opticky systém složeny z úseku volného prostoru o délce d = 1 m, konkávního zakřiveného zrcadla s polomerem křivosti R = 2 m, useku volneho prostoru o delce d = 0.8 m, rovinneho zrcadla, úseku volneho prostoru o delce d = 0.3 m a tenke cocky o ohniskove vzdalenosti /1 = 0.1 m. ] Jedná se o Newtonův dalekohled. Abychom nemuseli počítat s desetinnými čísly, převedeme jednotky na dm. Přenosova matice úseku volneho prostom je pak , přenosová matice zakřiveného zrcadla je ^ \ ^ , přenosová matice úseku volného prostoru je a 8\ a 0\ a 3^ ^ , přenosova matice rovinného zrcadla je ^ ^ , přenosova matice dalsího useku volneho prostoru je ^ 1 a přenosova matice tenke cocky je ^ ^ ^ - Přenosova matice optickeho systemu je proto dana soucinem f 1 0\ (1 3\ (1 0\ (1 8\ / 1 0\ A 10\ V-10 iJA-to VVo O Nasobení jednotkovou maticí vysledek nemení. Volny prostor delky 8 dm a 3 dm oddelelny řovinnym zrcadlem je vlastne totoZnyy volnem prostorem delky 11 dm^1 ^ • ^ ^ • ^ ^ = q ^ • ^ ^ = ^ - ( 1 0\ (1 3\ (1 0\ /1 8\ ( 1 0\ (1 10\ = ( 1 0\ (1 11\ ( 1 0\ (1 10\ V-10 ij> VAo ij> iJA-to vvo 17 V-10 ij> iJVto v v° O (-10 -109) '(-^ o°) -100) Odvod'te přenosovou matici tenke cocky o polomeřech křivosti vstupu R1 a vystupu R2, ktera je z mateřialu o indexu lomu n, umístena ve vzduchu. Uřcete její ohniskovou vzdalenost a mohutnost. Tenka cocka je slozena ze dvou povrchu, vzdalenost mezi nimi zanedbavame. Přenosova řefřakcní matice vstupní zakřivené plochy je \ \-n 1 ) a refrakční matice výstupní zakřivené plochy je ( n-i ) , tj- přenosová matice čočky ( 1 0\ ( 10 \ ( 1 0\ / 1 0\ , je dana součinem „_i • i_„ 1 = «-1 , 1-« 1 = _I 1 • To odpovídá vztahu pro mohutnost tenke čočky jako součtu mohutností jednotlivých povrchů D = D\ + D2 = + ^jrp = (n — — "R^) = }• EB1 Q Q OS ©Lenka Přibylová, 2010 Q Plastová tyč s indexem lomu n = 1.56 je ukončena sférickým povrchem o poloměru R = 2.8 cm. Objekt vysoký 2 cm je umísten ve vzdálenosti d = 15 cm od tyče. Zjistete umístení a velikost obrazu v tyči. 2 cm \ R =2.8 cm rovina obrazu V 15 cm x cm Systém je složen z volného prostoru s přenosovou maticí ^ ^ , sférického povrchu s přenosovou refrakční maticí l-n 1 I — 1 -0.56 1 \ Rn n J V 2.8-1.56 1.56/ a volneho prostoru od vrcholu tyce k obrazu v neznáme vzdálenosti x. Prenosovou matici systemu proto muzeme napsat jako soucin g d'g 0=(o í)-(4 ^+*)- Protoze víme, ze vstupní a výstupní roviny optickeho systemu jsou konjugovane, musí byt pravy horní clen prenosove matice nulový. Pravy horní clen matice je skalarním soucinem prvního radku první matice a druheho sloupce druhe matice, tj. platí d + x(^^ + \) = 0. Odtud r = ~^ _ ~^ -dRn -15-2.8-1.56 _ 11 7 rrn X rf(l-n) i rf(l-n)+R d(l-n)+R 15-(-0.56)+2.8 11,7 Lm-Rn n Rn Pro výstup platí %2 = Ax\ = (1 + x^^)xi = (1 + 11.72'80j5|6) • 2 = -1 cm, obraz ve vzdálenosti 11.7 cm má tedy velikost 1 cm a je prevraceny EB1 Q Q ©Lenka Přibylová, 2010 Q