Optimalizace.
Lenka Přibylová 12. srpna 2010
Obsah
Najde teminimum funkce...................... 3
Najděte extrému funkce...................... 11
Najdete minimum funkke f (x, y) = x2 + xy + y2 — 2x + 1.
bei ej iaj iaa
©Lenka Přibylová, 2010
Najděte minimum funkce /(x, y) = x2 + xy + y2 — 2x + 1.
Najdeme stacionární bodd
/X (x, y) = 0 /y (x, y) = 0
©Lenka Přibylová, 2010 ^9
bei ei 19 rag
©Lenka Přibylová, 2010 ^9
-2y,tj. 2(-2y) +y - 2 = 0, y=-|ax=4
BEI   d   laj   lag (c'iLenka Přibylová. 2010 Bl
x=
Najděte minimum funkce /(x, y) = x2 + xy + y2 — 2x + 1.
Najdeme stacionární bodd
/X(x,y)
fy (x,y)
2x + y — 2 x + 2y
0, 0.
Řešením je bod [xo,yo] = |]
Determinant Hessovy matice drahých derivací v tomto bodě je
/Xx(x0,y0)    /Xy (x0,y0)
/y,x(xo,yo) /y/y(xo,yo)
	2	1
=	1	2
-
©Lenka Přibylová, 2010 ^9
Najděte minimum funkce /(x, y) = x2 + xy + y2 — 2x + 1.
Najdeme stacionární bodd
/X(x,y)
fy (x,y)
2x + y — 2 x + 2y
0, 0.
Řešením je bod [xo,yo] = |]
Determinant Hessovy matice drahých derivací v tomto bodě je
/Xx(x0,y0)    /Xy (x0,y0)
/y,x(xo,yo) /y/y(xo,yo)
	2	1
=	1	2
3 > 0,
—
©Lenka Přibylová, 2010 ^9
Najděte minimum funkce f (x, y) = x2 + xy + y2 — 2x + 1. Najdeme staciokamí bocfy
f X (x,y)= 2x + y — 2 =0, f y (x,y)=      x + 2y =0.
Řešením je bod [xo,yo] = f]-
Determikakt Hessovy matice drnhf ch derivací v tomto boOě je
= 3 > 0, extrém v tomto Oode tedd skntecně maskane kpaotooeje fX'e(xo, yo) = 2 > 0, jde o lokalkí
©Lenka Přibylová, 2010 ^9
Najděte minimum funkce /(x, y) = x2 + xy + y2 — 2x + 1. Najdeme stacionární bodd
/X (x,y)= 2x + y — 2 =0, /y (x,y)=      x + 2y =0.
Řešením je bod [xo,yo] = §]•
Determinant Hessovy matice drnnych derivací v tomto bodě je
= 3 > 0, extrém v tomto Oode tedy
skntecnň nastane npaotooeje /X'e(x0, yo) = 2 > 0, jde o lokalní minimnm. Protože funn^^ n^^újijin stacionnrníbodo a jej^ dofinicní oboo je cela rovina, je to take gloOalní nminmum TT je víddj take ž toho, že grafem fnnkce je elipticky paraOoloid (vrstevnice json elipsy, ňezy paraboly).
©Lenka Přibylová, 2010 ^9
bei bj laj rag
©Lenka Přibylová, 2010
bei ei 19 rag
©Lenka Přibylová, 2010 ^9
bei bj laj rag
©Lenka Přibylová, 2010
bei ei 19 rag
©Lenka Přibylová, 2010 ^9
Najděte extrémy funkce /(x, y) = e^2
Najdeme staciokarkí bodd
fX (x,y) fy (x,y)
ex2-y2 2x
ex2-y2 (-2y)
0, 0.
Řešením je boO [x0, y0] = [0,0].
Determikakt Hessovf matice druhých derivací v tomto bodě še
'/X'x(0,0) /X'y(0,0) /yx(0,0) /yy(0,0)
	2	0
=	0	-2
f' = ex2-y2 (4x2) + ex2-y2 2
£ = 2xex2-y2'(-2y)
/y'y = ex2-y2 (4y2) + ex2-y2 (-2)
eei El 19 iaa
©Lenka Přibylová, 2010
Najděte ěxtrému fUUnce f (x, y) = e*2""2
Najděmě stacionarní bocfy
fX(x,y)
fy(x,y)
ex2-y2 2x
ex2-y2 (-2y)
o, o.
Řešením je boO [x0, y0] = [o, o].
Dětěrminant Hěssovy maticě druhých děrivací v tomto booě še
fXX (o, o) fXy(o, o)
fyX(o, o) fy (o, o)
	2	o
=	o	-2
-4 < o,
bei b 19 rag
©Lenka Přibylová, 2010 *Q
Najděte extrémy funkce /(x, y) = e*2-y2
Najdeme staciokarkí bodd
7(x,y)
7(x,y)
e*2-y2 (-2y)
0, 0.
Řešením je boO [x0, y0] = [0,0].
Determikakt Hessovf matice druhých derivací v tomto bodě še
7x*(0,0) /*'„(0,0)
1/y,*(0,0) /yy(0,0)
kekastava, je zde sedlo. Funkce tedf kema extremf.
	2 0
=	0 -2
—4 < 0, extrém v tomto Oode
eei El 19 iaa
©Lenka Přibylová, 2010
Najděte extrémy funkce /(x, y) = e*2-y2
Najdeme staciokarkí bodd
/*(x,y)
/y(x,y)
e*2-y2 (-2y)
0, 0.
Řešením je boO [x0, y0] = [0,0].
Determikakt Hessovf matice drnhf ch derivací v tomto bodě še '/x*(0,0)   /*'„(0, 0)
1/y,*(0,0) /yy(0,0)
kekastava, je zde sedlo. FnkCce tedf kema extremf.
	2 0
=	0 -2
—4 < 0, extrém v tomto Oode
eei El 19 iaa
©Lenka Přibylová, 2010
Konec