Užití vekeorů.
Lenka Přibyl oůk 15. lístůpadu 2010
Obsah
Najděte velikost vektoru (2, —3,1)................ 3
Najděte vektor kolmý k oektoru (3,7)............... 5
Najděte vektor kolmý k oektoru (2,3, —4)............. 10
Najděte vektorkolmý k oovině dané vvktěiy (1,3,0) a (1,1, —2). 16
JaOy úhěl syírajj vektory (—3,1,7) a (5,1, —2)?......... 23
NajděteVomrý průmět vektem (2, — 2,1) vawotor (1,0,0).  . . 32
Najděte ěo^ntý průmět vekteni (1,2) va yěotrr (3, —4)...... 36
Najděteho^^ průmět vektem (3,1,1) va Yěotrr (2,2, 5).   ... 40
Najděte velikorl vektoru (2, —3, l).
bei El 19 iaa
©Lenka Přibylová, 2010 ^9
Najdětevelikost vektoru (2, —3, l). I
|(2, -3,1)| = V22 + (-3)2 + l2 = a/14
bei ei 19 rag
©Lenka Přibylová, 2010 ^9
NajdVte vektor kolmý k vektoru (3, 7).
Hledáme veVtrr u = (ui, U2) Vrlmy V veVtrru (3, 7),
bei El 19 iaa
©Lenka Přibylová, 2010 ^9
Najdete ekktor kklmý y kkktoru (S, T).
Hledame kektrr u = (ui, u2) krlmy k kektrru (S, T), tj.
(u!,U2) • (S, T) = 0
Prr krlme kektrry platí a • b = jaj • jbj • cos
2
0.
bei ei 19 rag
©Lenka Přibylová, 2010 ^9
Najděte vektor kolmý k vektoru (S, 7).
Hlvdamv vvVtnr u = (u1, u2) Vnlmy V věVtnru (S, 7), tj.
(ui,U2) • (S, 7) = 0
rdtud
Su1 + 7u2 = O^^^^^^^^l
(01,02) • (61,62) = ai&i + «262
BEI   El   19   iaa ©Lenka Přibylová, 2010 Q
Najděte vektor kolmý k vektoru (3, 7).
Hledáme vvVtor u = (u\, u2) Volmý V vvVtoru (3, 7), tj.
(ui,U2) • (3, 7) = 0
rdtud
3u1 + 7u2 = 0 u =(7, -3).
Řešení sarriýzrejmě mění jednozedčné. Všecvny vektory Volme V veVtrru (3,7) jsou násobVy veVtoru u.
EEI   El   19   199 ©Lenka Přibylová, 2010 Q
Najděte wktor kotmý k ooktoru (2, S, -4).
bei El 19 iaa
©Lenka Přibylová, 2010 ^9
Najděd tě věotrkorlýlr o věotrku(2, S, -4).
Hlědarně věotoku = (u1,u2,u3) orlrny o věOtoru (2, S, -4),
EEI   El   19   199 ©Lenka Přibylová, 2010 Q
Najděte vektor kolmý k vektoru (2, 3, —4).
Hledáme vektor u = (ui,u2,u3) kolmý V vvVtoru (2,3, — 4), tj.
(uuu2,us) • (2, 3, — 4) = 0
Pro kolmé vektory platí a ■ b = \a\ ■ \b\ ■ cos — = 0.
Najděte wktor kotmý k oektoru (2, S, —4).
Hlědaměwottru = (u1,u2,u3) trlmy t wotoru (2, S, — 4), tj.
(ui,u2,us) • (2, S, —4) = O
ndtud
2ui + Su2 — 4u3 = 0.
(ai, a2, as) • (bi, b2, bs) = aibi + a2b2 + asbs
BEI   El   I9J   lag ©Lenka Přibylová, 2010 Q
Najděte vektor kolmý k vektoru (2, 3, —4).
Hledáme vektor u = (ui,u2,u3) kolmý V vvVtoru (2,3, — 4), tj.
(ui,U2,u3) • (2, 3, — 4) = 0
rdtud
2u1 + 3u2 — 4u3 = 0.
Toto je obecný tvar roviný procházející počátkato s nonroálovým vektorem (2,3, —4). Vtechnn ývkODiy, které v veto rovinň težletou komik na vektor (2,3, — 4).^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^l
©Lenka Přibylová, 2010 ^9
Najděte vektor kolmý k vektoru (2, 3, —4).
Hledáme vektor u = (ui,u2,u3) kolmý V vvVtoru (2,3, — 4), tj.
(ui,U2,u3) • (2, 3, — 4) = 0
rdtud
2u1 + 3u2 — 4u3 = 0.
Toto je obecný tvar roviný procházející počátkato s nonroálovým vektorem (2,3, —4). Vtechnn ývkODiy, které v veto rovinň težletou komik na vektor (2,3, —4). Můžeme melit: například veátov u =o (2,0,1).
©Lenka Přibylová, 2010 ^9
Najděte vektor kVlmý k rovinč dané naktoVy (l, S, 0) a (1,1, —2).
bei El 19 iaa
©Lenka Přibylová, 2010 ^9
Najdete wktor kolmý k ^(^vieiě dané vekeety
(1, 3,0) a (1,1, -2).
Hledame wtor u = (u1, u2, u3) trlmy t rbemmaektorům (1, 3,0) a
BEI   d   19   lag ©Lenka Přibylová, 2010 BI
Nájdete vektor kolmý k rovine dané vektory (1, 3,0) a (1,1, —2).
Pro Orlmó voOtory platí a • b = jaj • jbj • cos
2
0.
eei 0 laj iaa
©Lenka Pŕibylová, 2010 ^9
Najděte wktor korný k rovině dané
avěktoty (i, S, O) a (l, l, -2).
Hlědamě věttoku = (ul, u2, u3) tolmy o oběmýavktorům (ý, S, O) a
( , , - 2) , tj.
(ui,u2,us) • (l, S,O) = O   a   (ui,u2,us) • (l, l, -2) = O
odtud
ul + Su2 = O   a   ul + u2 - 2u3 = O.
(al, a2, as) • (61, 62, 63) = al&l + a2&2 + asbs
BEI   d   |9   igg ©Lenka Přibylová, 2010 El
Najděte wktor ^1!^ k ^(^vieiě dané vekeěty
(i, S, 0) a (l, l, -2).
HlědaměeěVtrr u = (u1, u2, u3) Vrlmý V oběmmaektorům (l, S, 0) a (l, l, -2), tj.
(ui,U2,us) • (l, S,0) = 0   a   (ui,U2,us) • (l, l, -2) = 0
rdtud
u1 + Su2 = 0 a u1 + u2 - 2u3 = 0. u1 = -Su2        -Su2 + u2 - 2u3 = 0,
Vyjadríme uc1 z previ rarevce a doraaíme ěo rruhé.
EEI   El   19   199 ©Lenka Přibylová, 2010 Q
Najděte vektor kolmý k rovině dané vektory
(1, 3,0) a (1,1, -2).
Hlodamo voOtor u = (ui, u2, u3) Orlmy O rběmmaektorům (1, 3,0) a (1,1, -2), tj.
(ui,U2,us) • (1, 3,0) = 0   a   (ui,U2,us) • (1,1, -2) = 0
rdtud
u1 + 3u2 = 0 a u1 + u2 - 2u3 = 0. u1 = -3u2    == -3u2 + u2 - 2u3 = 0,
tj.
u3 = - u2,
EEI   El   19   199 ©Lenka Přibylová, 2010 Q
Najděte vektor kolmý k rovině dané vektoty (1, 3,0) a (1,1, —2).
Hledáme vektor u = (ui, u2, u3) Volmý V oběn^ýaelett)růui (1, 3,0) a (1,1, —2), tj.
(ui,u2,us) • (1, 3,0) = 0   a   (ui,u2,us) • (1,1, —2) = 0
rdtud
ui + 3u2 = 0   a   ui + u2 — 2u3 = 0.
ui = —3u2    == —3u2 + u2 — 2u3 = 0,
tj.
u3 = — u2,    ==    u =(—3,1, —1).
Řešení semýzreéme mení jednezeděoé. Vševeny nektorý Volme v rovive g jsou vasobVý věVtoru u.
EEI  El   19 199
©Lenka Přibylová, 2010
JaVy uOěl svíaaijvektorr (—S, 1, T) a (B, 1, —2)?]
bei ej 19 igg
©Lenka Přibylová, 2010
Jaty Uhel syíeaiJvektorr (S, l, 7) a (B, l, -1)?]
(-3,1,7) -(5,1,-2) <p - arccos |(_3jlj7)| . |(5,1,-2)|
Jaky úhel svírajívektory (-3, l, 7) a (5, l, -1)?]
(-3,1,7) -(5,1,-2) <p - arccos |(_3jlj7)| . |(5,1,-2)|
l4
= arccos -
-15 + 1
~1   i Jn
a/9 + 1 + 49a/25 + 1 + 4
(ai, a2, as) • (hi, h2, hs) — aihi + a2h2 + a3h3,
		n
I a I — '	Ja\ + a\-{-----h a?n = ,	E a2
	\	
bei ej 19 igg
©Lenka Přibylová, 2010
Jaky uhel skícaijvektorů (-S, 1, T) a (B, 1, -Ij?]
(-3,1,7) -(5,1,-2) <p - arccos |(_3jlj7)| . |(5,1,-2)|
14
= arccos -
-15 + 1
~1   i   Xň .
a/9 + 1 + 49a/25 + 1 + 4
= arccos   ^_28_ = arccos(-0.66) = 131, 7° V59V3Ö
bei ej raj rag
©Lenka Přibylová, 2010
Dokažte, že platí A cos a + B sin a = \J A2 + B2 cos(a - arctg f).
bei ej 19 rag
©Lenka Přibylová, 2010
Dokažte, že platí A cos a + B sin a = \J A2 + B2 cos(a - arctg f). A cos a + B sin a
bei ej 19 rag
©Lenka Přibylová, 2010
Dokažte, že platí A cos a + B sin a = \J A2 + B2 cos(a - arctg f). A cos a + B sin a = (A, B) • (cos a, sin a)
Výraz můžeme lepéatjako tkalóanl součin
EE1  El   19 199
©Lenka Přibylová, 2010
Dokažte, že platí A cos a + B sin a = \JA2 + B2 cos(a - arctg f). A cos a + B sin a = (A, B) ■ (cos a, sin a) = \JA2 + B2 cos <p
Podle vzorce a • b = \a\ ■ \b\ ■ cos ip dosadíme: \{A,B)\ = V A2 + B2, |(cos a, sin a) j = cos2 a + sin2 a =1, jě uOěl, Vtěkl svíakjjsael^^oty (A, B) a (cos a, sin a).
©Lenka Přibylová, 2010
■■
bi ia
Dokažte, že platí A cos a + B sin a = \J A2 + B2 cos(a - arctg f). A cos a + B sin a = (A, B) ■ (cos a, sin a) = \JA2 + B2 cos <p
Najděte ěottlm pPruiětvdkteěu (2, —2, l) va wotnr (l, O, O).
bei ej laj rag
©Lenka Přibylová, 2010
Najdete ^111$ ppimětvektveu (2,-2, l) na vektya (l, 0,0).
^_ (2, -2,1)-(1,0,0)
C~  (1,0,0) • (1,0,0) ( ' ' '
Pay paúmtt c vektoaú h na vektya a platí
a •h
C — -Qj
bei ej 19 nag
©Lenka Přibylová, 2010 ^9
Najděte Vtlrně ppímětvakteru (2, —2, l) na vdttrr (l, 0,0).
^_ (2, -2,1)-(1,0,0)
C~  (1,0,0) • (1,0,0) ( ' ' '
'(1,0,0)
—
Stakámí souutnin defivonŕtCakto:
(2, —2, l) • (l, 0,0) = 2 • l + (—2) • O + l • 0 = 2, (l, 0,0) • (l, 0,0) = l • l+O • 0 + 0 • 0 = l.
BEI   d   19   lag ©Lenka Přibylová, 2010 R9
Najděte ěolmý průmět: vektwt (2,-2, l) va věttok (l, O, O).
^_ (2, -2,1)-(1,0,0)
C~  (1,0,0) • (1,0,0) ( ' ' '
O, O) = (2, O, O).
Frinnýtje dvotv0jěbkemCýdnotVového hoktoou (i, O, O).
BEI   BJ   19   iaa ©Lenka Přibylová, 2010 Q
—
Najděte ěolnm pPm^ vdkteěu (l, 2) va wotnr (S, —4).
bei ej laj rag
©Lenka Přibylová, 2010
Najděte Vtlrně yrůmětvakteru (l, 2) na věttor (S, —4).
c =  v ' '—y—-'—(Z -A)
(3,-4)-(3,-4)V ' '
Prr průmět c vettrru b na vittrr a platí
a • b
C — -Qj
bei ej 19 igg
©Lenka Přibylová, 2010 ^9
Najdete eklirm ppímět vřktkeu (1,2) nakektrr (S, -4).
^     (1, 2) • (S, -4) ,
c =  v ' '—y—-'—(Z -A)
(3,-4)-(3,-4)V ' '
-B/ — -( o —4 )
Skalarní ssuiuiiijn defivonůICakjk:
(1, 2) • (S, -4) = 1 • S + 2 • (-4) = -B, (S, -4) • (S, -4) = S • S + (-4) • (-4) = 2B.
BEI   EJ   19   IBB (c'iLenka Přibylová. 2010 BI
Najděte ěolnm pp^iči: vdkteěu (l, 2) va wotrr (S, —4).
c =  v ' '—y—-'—(Z -A)
(3,-4)-(3,-4)V ' '
^(3,-4) = (-*,*).
Prummtje pětinou vrktem (—S, 4).
bei b laj rag
©Lenka Přibylová, 2010
—
Najděte ěVlmá prihnemvdktvra (S, l, l) va věVtnr (2, 2,5). j
bei bj iaj iaa
©Lenka Přibylová, 2010
Najdete Volmý ypunět vdkteeu (3, l, l) va vettOT (2, 2, B).
^_ (3,1,1) • (2,2,5)
C~ (2,2,5) • (2,2,5)( ' '5)
Pro priimýt d vetrom b va vettOT a platí
a • b
C — -Qj
bei Bj 19 igg
©Lenka Přibylová, 2010 ^9
Najděte VoIu^I ptůmě! vdktOTit (S, l, l) va věVtnr (2, 2, S).
^_ (3,1,1) • (2,2,5)
C~ (2,2,5) • (2,2,5)( ' '5)
= 1(2,2,5).
SValarvs sonuiniě defivovŕetakto:
(S, l, l) • (2, 2, S) = S • 2 + l • 2 + l • S = lS, (2, 2, S) • (2, 2, S) = 2 • 2 + 2 • 2 + S • S = SS.
BEI   BJ   laj   lag (c'iLenka Přibylová. 2010 Bl
Konec