© Institut biostatistiky a analýz
Analýza dat pro Neurovědy
RNDr. Eva Janoušová
doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr.
Jaro 2013
Blok 5
Jak analyzovat kategoriální a binární
data I.
2
Typy dat - opakování
• Kvalitativní (kategoriální) data:
- Binární data
- Nominální data
- Ordinální data
• Kvantitativní data:
- Intervalová data
- Poměrová data
3
Osnova
1. Analýza kontingenčních tabulek
2. Relativní riziko („relative risk“) a poměr šancí („odds ratio“)
3. Binomické rozdělení
4. Poissonovo rozdělení
4
1. Analýza kontingenčních
tabulek
Kontingenční tabulka
• Frekvenční sumarizace dvou binárních, nominálních nebo ordinálních
proměnných.
• Obecně: R x C kontingenční tabulka (R – počet kategorií jedné proměnné,
C – počet kategorií druhé proměnné).
• Speciální případ: 2 × 2 tabulka = čtyřpolní tabulka.
• Př.: Sumarizace vyšetřených osob podle typu onemocnění a věkových
kategorií.
6
Typ
onemocnění
Věk
Celkem
<60 let 60-70 let 70-80 let ≥80 let
CN 1 7 176 46 230
MCI 13 85 201 107 406
AD 9 34 90 64 197
Celkem 23 126 467 217 833
Kontingenční tabulky – absolutní četnosti, řádková,
sloupcová a celková procenta
7
Skupina
Věk
Celkem
<60 let 60-70 let 70-80 let ≥80 let
CN 1 7 176 46 230
MCI 13 85 201 107 406
AD 9 34 90 64 197
Celkem 23 126 467 217 833
Kontingenční tabulka absolutních četností
Skupina
Věk
Celkem
<60 let 60-70 let 70-80 let ≥80 let
CN 0,4 3,0 76,5 20,0 100,0
MCI 3,2 20,9 49,5 26,4 100,0
AD 4,6 17,3 45,7 32,5 100,0
Celkem 2,8 15,1 56,1 26,1 100,0
Kontingenční tabulka řádkových procent
Skupina
Věk
Celkem
<60 let 60-70 let 70-80 let ≥80 let
CN 4,3 5,6 37,7 21,2 27,6
MCI 56,5 67,5 43,0 49,3 48,7
AD 39,1 27,0 19,3 29,5 23,6
Celkem 100,0 100,0 100,0 100,0 100,0
Kontingenční tabulka sloupcových procent
Skupina
Věk
Celkem
<60 let 60-70 let 70-80 let ≥80 let
CN 0,1 0,8 21,1 5,5 27,6
MCI 1,6 10,2 24,1 12,8 48,7
AD 1,1 4,1 10,8 7,7 23,6
Celkem 2,8 15,1 56,1 26,1 100,0
Kontingenční tabulka celkových procent
Kontingenční tabulky – hypotézy
• Kontingenční tabulky umožňují testování různých hypotéz:
• Nezávislost (Pearsonův chí-kvadrát test)
- Jeden výběr, dvě charakteristiky – obdoba nepárového uspořádání
- Př.: pacienti s AD – pohlaví × vzdělání (VŠ, SŠ, ZŠ)
• Shoda struktury (Pearsonův chí-kvadrát test)
- Více výběrů, jedna charakteristika – obdoba nepárového
uspořádání
- Př.: pacienti s AD v několika nemocnicích × věková struktura
• Symetrie (McNemarův test)
- Jeden výběr, opakovaně jedna charakteristika – obdoba párového
uspořádání
- Př.: MMSE v normě a pod normou na začátku studie a dva roky po
zahájení studie
8
Pearsonův chí-kvadrát test
• Založen na myšlence srovnání pozorovaných a očekávaných četností
kategorií dvou proměnných.
• Pozorované četnosti jednotlivých kategorií první proměnné a druhé
proměnné nám vyjadřují nij.
• Očekávané četnosti jednotlivých
kategorií lze vypočítat pomocí:
‖ (ni. je součet hodnot v řádku,
n.j je součet hodnot ve sloupci)
• Výpočet testové statistiky:
• Nulovou hypotézu o nezávislosti dvou kategoriálních proměnných
zamítáme na hladině významnosti α, když
9
n
nn
e
ji
ij
..
=
åå= =
-
=C
r
i
c
j ij
ijij
e
en
1 1
2
2 )(
( )1)1(2
)1(
2
--³C - crac
Typ
onemocnění
Věk
Celkem
<60 let 60-70 let 70-80 let ≥80 let
CN 𝑛11 𝑛12 𝑛13 𝑛14 𝑛1.
MCI 𝑛21 𝑛22 𝑛23 𝑛24 𝑛2.
AD 𝑛31 𝑛32 𝑛33 𝑛34 𝑛3.
Celkem 𝑛.1 𝑛.2 𝑛.3 𝑛.4 𝑛
Pearsonův chí-kvadrát test
Příklad: Chceme zjistit, jestli existuje vztah mezi typem onemocnění a
věkovými kategoriemi v našem souboru.
Postup:
10
Typ
onemocnění
Věk
Celkem
<60 let 60-70 let 70-80 let ≥80 let
CN 1 7 176 46 230
MCI 13 85 201 107 406
AD 9 34 90 64 197
Celkem 23 126 467 217 833
Tabulka
pozorovaných
četností:
Typ
onemocnění
Věk
Celkem
<60 let 60-70 let 70-80 let ≥80 let
CN 6,4 34,8 128,9 59,9 230
MCI 11,2 61,4 227,6 105,8 406
AD 5,4 29,8 110,4 51,3 197
Celkem 23 126 467 217 833
Tabulka
očekávaných
četností:
4,6
833
23023
11 =
×
=e
2,11
833
40623
21 =
×
=e
8,34
833
230126
12 =
×
=e ...
Testová statistika:
( ) ( ) 4,69...
8,34
8,347
4,6
4,61)( 22
1 1
2
2
=+
-
+
-
=
=C
åå= =
r
i
c
j ij
ijij
e
en
( ) 6,12)6(14)13(4,69 2
)95,0(
2
)95,0(
2
==--³=C cc → zamítáme H0 o nezávislosti → Vztah
mezi typem onemocnění a věkovými kategoriemi je statisticky významný.
Předpoklady Pearsonova chí-kvadrát testu
• Nezávislost jednotlivých pozorování
• Alespoň 80 % buněk musí mít očekávanou četnost (eij) větší než 5
• 100 % buněk musí mít očekávanou četnost (eij) větší než 2
• Může nám pomoci slučování kategorií, ale můžeme slučovat jen slučitelné
kategorie!
11
Úkol 1.
• Zadání: Vhodně kategorizujte výšku a zjistěte, zda existuje vztah
kategorizované výšky a pohlaví.
12
Čtyřpolní tabulky
• Nejjednodušší možná kontingenčí tabulka, kdy obě sledované veličiny mají
pouze dvě kategorie.
• Příklad: Sumarizace vztahu pohlaví a kategorizovaného MMSE skóre
(MMSE skóre v normě (tzn. MMSE ≥ 25) a pod normou (MMSE < 25)) u
pacientů s Alzheimerovou chorobou.
13
Asociace ve čtyřpolní tabulce
• Můžeme rozhodovat o závislosti/nezávislosti dvou sledovaných veličin.
• Můžeme rozhodovat i o míře (těsnosti) této závislosti – relativní riziko,
poměr šancí.
• Při rozhodování o nezávislosti můžeme použít Pearsonův chí-kvadrát test,
ale pro malá n je standardem v klinických analýzách tzv. Fisherův exaktní
test („Fisher exact test“).
14
Veličina X
Veličina Y
Y = 1 Y = 2 Celkem
X = 1 a b a + b
X = 2 c d c + d
Celkem a + c b + d n
Fisherův exaktní test
• Určen pro čtyřpolní tabulky, je vhodný i pro tabulky s malými četnostmi –
pro ty, které nesplňují předpoklad Pearsonova chí-kvadrát testu.
• Založen na výpočtu „přesné“ p-hodnoty (pravděpodobnosti, s jakou
bychom dostali stejný nebo ještě extrémnější výsledek při zachování
součtu řádků i sloupců v tabulce).
• Příklad: Chceme ověřit vztah dvou typů
nežádoucích účinků, které jsou sumarizovány
následující tabulkou:
• Postup: Všechny varianty tabulky při zachování součtu řádků a sloupců:
15
2 3
6 4
NÚ I
NÚ II
ano
ne
ano ne
0 5
8 2
1 4
7 3
2 3
6 4
3 2
5 5
4 1
4 6
5 0
3 7
Pravděpodobnosti výskytu jednotlivých tabulek:
0,007 0,093 0,326 0,392 0,163 0,019
Oboustranná p-hodnota (sečtení pravděpodobností stejných nebo
menších než je pravděpodobnost pozorované varianty):
p = 0,326 + 0,093 + 0,007 + 0,163 + 0,019 = 0,608
Fisherův exaktní test
• Příklad: Chceme ověřit vztah pohlaví a kategorizovaného MMSE skóre
(MMSE skóre v normě (tzn. MMSE ≥ 25) a pod normou (MMSE < 25)) u
pacientů s Alzheimerovou chorobou.
• Řešení:
16
Fisherův x Pearsonův test
• Pearsonův chí-kvadrát test lze použít na jakoukoliv kontingenční tabulku,
ALE je nutné hlídat předpoklady: 80 % očekávaných četností větších než 5
– u čtyřpolní tabulky to znamená 100 %.
• Nedodržení předpokladů pro Pearsonův chí-kvadrát test může stejně
jako u t-testu a analýzy rozptylu vést k nesmyslným závěrům!
• Situace s malými nij a tedy i eij jsou ale v medicíně i biologii velmi časté –
Fisherův exaktní test je klíčový pro hodnocení čtyřpolních tabulek.
17
Úkol 2.
• Zadání: Zjistěte, zda existuje vztah mezi typem onemocnění (AD a MCI) a
kategorizovaného MMSE skóre (pod normou a v normě) u žen.
• Řešení:
18
McNemarův test
• Je to obdoba párového testu (test symetrie pro kontingenční tabulku).
• Testová statistika pro čtyřpolní tabulku:
• Zaměřuje se pouze na pozorování, u kterých jsme při opakovaném měření
zaznamenali rozdílné výsledky – za platnosti H0 by jejich četnosti
(označeny b a c) měly být stejné.
• Testová statistika pro obecnou čtvercovou kontingenční tabulku:
19
cb
cb
+
-
=C
2
2 )( Veličina X
Veličina Y
Y = 1 Y = 2 Celkem
X = 1 a b a + b
X = 2 c d c + d
Celkem a + c b + d n
å< +
-
=C
ji jiij
jiij
nn
nn 2
2 )(
McNemarův test
• Příklad: Zjistěte, zda se liší kategorizované MMSE skóre při vstupu do
studie a dva roky po zahájení studie.
• Řešení:
20
rozdílné výsledky
2. Relativní riziko („relative risk“)
a poměr šancí („odds ratio“)
21
Motivace
• Sledujeme souvislost věku matky a výskytu náhlého úmrtí kojence (SIDS).
Výsledky dány v tabulce:
• Pomocí Pearsonova chí-kvadrát nebo Fisherova exaktního testu můžeme
rozhodovat o závislosti/nezávislosti dvou sledovaných veličin. Testy ale
neumožňují tento vztah kvantifikovat.
• Má-li to smysl a chceme-li kvantifikovat (rozhodovat o těsnosti této
závislosti) můžeme použít tzv. relativní riziko a poměr šancí.
22
SIDS
Věk matky
Do 25 let 25 a více let Celkem
Ano 29 15 44
Ne 7301 11241 18542
Celkem 7330 11256 18586
Relativní riziko („Relative Risk“)
• Výpočet relativního rizika (RR) umožňuje srovnat pravděpodobnosti
výskytu sledovaného jevu ve dvou různých skupinách.
• 1. skupina – experimentální nebo skupina s expozicí určitému faktoru
• 2. skupina – kontrolní nebo skupina bez expozice
23
db
b
ca
a
P
P
RR
+
+==
0
1
=RR
Pravděpodobnost výskytu jevu v 1. skupině (experimentální)
Pravděpodobnost výskytu jevu ve 2. skupině (kontrolní) 0
1
P
P
=
Sledovaný jev
Skupina
Experimentální Kontrolní Celkem
Ano a b a + b
Ne c d c + d
Celkem a + c b + d n
Relativní riziko
• Příklad: Sledujeme souvislost věku matky a výskytu náhlého úmrtí kojence
(SIDS). Výsledky dány v tabulce:
24
SIDS
Věk matky
Do 25 let 25 a více let Celkem
Ano 29 15 44
Ne 7301 11241 18542
Celkem 7330 11256 18586
97,2
1124115
15
730129
29
0
1
=
+
+=
+
+==
db
b
ca
a
P
P
RR
Riziko výskytu SIDS u dětí
matek ve věku do 25 je
téměř třikrát vyšší než u
dětí matek rodících ve
vyšším věku.
Relativní riziko
• Výpočet pomocí webového kalkulátoru
(http://www.medcalc.org/calc/relative_risk.php):
25
SIDS
Věk matky
Do 25 let
25 a více
let
Celkem
Ano 29 15 44
Ne 7301 11241 18542
Celkem 7330 11256 18586
Poměr šancí („Odds ratio“)
• Poměr šancí (OR) je další charakteristikou, která umožňuje srovnat výskyt
sledovaného jevu ve dvou různých skupinách.
• 1. skupina – experimentální nebo skupina s expozicí určitému faktoru
• 2. skupina – kontrolní nebo skupina bez expozice
26
=OR
Pravděpodobnost výskytu jevu v 1. skupině (experimentální)
Pravděpodobnost výskytu jevu ve 2. skupině (kontrolní)
0
0
1
1
0
1
1
1
P
P
P
P
O
O
-
-
==
1 – Pravděpodobnost výskytu jevu v 1. skupině (experimentální)
1 – Pravděpodobnost výskytu jevu ve 2. skupině (kontrolní)
d
b
c
a
P
P
P
P
OR =
-
-
=
0
0
1
1
1
1
Sledovaný jev
Skupina
Experimentální Kontrolní Celkem
Ano a b a + b
Ne c d c + d
Celkem a + c b + d n
Poměr šancí
• Příklad: Sledujeme souvislost věku matky a výskytu náhlého úmrtí kojence
(SIDS). Výsledky dány v tabulce:
27
SIDS
Věk matky
Do 25 let 25 a více let Celkem
Ano 29 15 44
Ne 7301 11241 18542
Celkem 7330 11256 18586
98,2
11241
15
7301
29
1
1
0
0
1
1
===
-
-
=
d
b
c
a
P
P
P
P
OR
„Šance“ na výskyt SIDS u
dětí matek ve věku do 25 je
téměř třikrát vyšší než u
dětí matek rodících ve
vyšším věku.
Poměr šancí
28
• Výpočet pomocí webového kalkulátoru
(http://www.medcalc.org/calc/odds_ratio.php):
SIDS
Věk matky
Do 25 let
25 a více
let
Celkem
Ano 29 15 44
Ne 7301 11241 18542
Celkem 7330 11256 18586
Grafické srovnání RR a OR
29
A B
RR = 2
10
3
10
6
== OR = 5.3
7
3
4
6
==
Výskyt sledovaného jevu
Bez výskytu sledovaného jevu
Úkol 3.
• Zadání: Sledujeme výskyt nežádoucích účinků u mužů a u žen (viz tabulka).
Vypočtěte relativní riziko a poměr šancí.
30
Nežádoucí
účinky
Pohlaví
Muž Žena Celkem
Ano 34 19 53
Ne 16 31 47
Celkem 50 50 100
79,1
3119
19
1634
34
=
+
+=
+
+=
db
b
ca
a
RR 47,3
31
19
16
34
===
d
b
c
a
OR
Riziko výskytu nežádoucích
účinků u mužů je téměř
1,8-krát vyšší než u žen.
„Šance“ na výskyt nežádoucích
účinků u mužů je téměř 3,5-krát
vyšší než u žen.
Výhody a nevýhody RR a OR
• Nevýhoda OR:
– obtížná interpretace.
• Výhoda i nevýhoda RR:
– nezajímá ho samotná pravděpodobnost výskytu jevu, ale pouze jejich
podíl → korektní použití RR je však pouze v případě, že
pravděpodobnost výskytu jevu v kontrolní skupině je reprezentativní
(není ovlivněna výběrem sledovaných subjektů).
31
Prospektivní a retrospektivní studie
• Prospektivní studie
• U některých subjektů je rizikový
faktor přítomen a u jiných ne →
sledujeme v čase, zda se
vyskytne událost.
• Retrospektivní studie
• U některých subjektů se událost
vyskytla a u jiných ne → zpětně
hodnotíme, zda se liší s ohledem
na nějaký rizikový faktor.
32
Exponovaní jedinci
Jedinci bez expozice
Případy (s událostí)
Případy (s událostí)
Kontroly (bez události)
Kontroly (bez události)
Exponovaní jedinci
Jedinci bez expozice
Historie Začátekstudie Čas
Začátekstudie Čas
S událostí
Bez události
Průběh studie
Kohorta
subjektů
(náhodně
vybranáze
studované
populace)
S událostí
Bez události
Exponovaníjedinci
Jedinci bez expozice
Použití RR a OR
• Prospektivní studie – u některých subjektů je rizikový faktor přítomen a u
jiných ne → sledujeme, zda se vyskytne událost.
• Zjištěná pravděpodobnost výskytu události v kontrolní skupině je
reprezentativní, neboť prospektivně zařazujeme všechny pacienty
‖ → korektní použití RR.
• Retrospektivní studie – u některých subjektů se událost vyskytla a u jiných
ne → zpětně hodnotíme, zda se liší s ohledem na nějaký rizikový faktor.
• Zjištěná pravděpodobnost výskytu události v kontrolní skupině není
reprezentativní, neboť ji ovlivňujeme zpětným výběrem skupin subjektů.
‖ → nekorektní použití RR.
‖ → korektní použití OR.
33
Srovnávané skupiny
• Pomocí RR i OR můžeme srovnat pravděpodobnosti výskytu sledovaného
jevu ve dvou různých skupinách:
• 1. skupina s pravděpodobností výskytu události P1:
– experimentální skupina – např. léčená novou léčbou
– riziková skupina – např. hypertonici
– skupina s expozicí určitému faktoru – např. horníci
• 2. skupina s pravděpodobností výskytu události P0:
– kontrolní skupina
– skupina bez expozice
34
Další způsoby vyjádření rozdílu rizika
• Relativní redukce rizika (RRR)
• Absolutní redukce rizika (ARR)
35
ARR = %202.0
10
3
10
5
==-=
Bez léčby S léčbou
RRR = 1 - RR = 1 - %406.01
10
5
10
3
1 =-=-=
Další způsoby vyjádření rozdílu rizika
• Počet pacientů, které je potřeba léčit, abychom zabránili výskytu jedné
události – „number needed to treat“ (NNT).
36
ARR = 20% Pro snížení počtu událostí o 20 je třeba léčit 100 pacientů.
5
20
100
2,0
1
==NNT =
NNT = Pro snížení počtu událostí
o 1 je třeba léčit 5 pacientů.
Absolutní vs. relativní četnost
• Vyjádření výsledků v relativní formě (procento) má často příjemnou
interpretaci, ale může být zavádějící.
• Relativní vyjádření účinnosti by mělo být vždy doprovázeno absolutním
vyjádřením účinnosti.
• Příklad: Srovnání účinnosti léčiva ve smyslu prevence CMP u kardiaků.
‖ Studie 1: Výskyt CMP ve skupině A je 12 %, ve skupině B je 20 %.
‖ Relativní změna v účinnosti = 40 %; absolutní změna = 8 %.
‖ Studie 2: Výskyt CMP ve skupině A je 0,9 %, ve skupině B je 1,5 %.
‖ Relativní změna v účinnosti = 40 %; absolutní změna = 0,6 %.
• Výsledkem je rozdílný přínos léčby při stejné relativní účinnosti.
37
NNT a absolutní vs. relativní četnost
• Srovnání účinnosti léčiva ve smyslu prevence CMP u kardiaků.
‖ Studie 1: Výskyt CMP ve skupině A je 12 %, ve skupině B je 20 %.
‖ Relativní změna v účinnosti = 40 %; absolutní změna = 8 %.
‖ Studie 2: Výskyt CMP ve skupině A je 0,9 %, ve skupině B je 1,5 %.
‖ Relativní změna v účinnosti = 40 %; absolutní změna = 0,6 %.
38
7,166
6,0
100
006,0
1
==NNT =
NNT = Pro snížení počtu událostí
o 1 je třeba léčit 167 pacientů.
5,12
8
100
08,0
1
==NNT =
NNT = Pro snížení počtu událostí
o 1 je třeba léčit 13 pacientů.
3. Binomické rozdělení
Typy dat - opakování
• Kvalitativní (kategoriální) data:
- Binární data
- Nominální data
- Ordinální data
• Kvantitativní data:
- Intervalová data
- Poměrová data
40
Motivace
• Nejjednodušším případem kategoriálních dat jsou data binární.
• Binární data jsou popsána binomickým rozložením.
• Od chování binomického rozložení je odvozena:
– popisná statistika binárních dat (procento výskytu jevu)
– interval spolehlivosti pro binární data
– binomické testy pro srovnání procentuálního výskytů jevů v různých
skupinách.
41
Binomické rozdělení
• Diskrétní rozdělení, které popisuje počet výskytů sledované události (ve
formě nastala/nenastala) v sérii n nezávislých pokusech, kdy v každém
pokusu je stejná pravděpodobnost výskytu této události.
• Značení: Bi(n,π)
• Parametry:
‖ n ... počet nezávislých pokusů
‖ r ... počet, kolikrát nastala sledovaná událost (r = 0...n)
‖ p = r/n ... pravděpodobnost nastání sledované události (p ̴π)
• Pravděpodobnost, že sledovaná událost nastane r-krát, lze vypočítat:
• Střední hodnota: EX = n · p
• Rozptyl: DX = n · p · (1 - p)
• Příklady: výskyt nežádoucích účinků léku u léčených pacientů, počet
zemřelých pacientů mezi léčenými pacienty, počet pacientů s výsledkem
neuropsychologického testu pod normou
( )
( ) rnrrnr
pp
rnr
n
pp
r
n
rXP
--
-××
-
=-÷÷
ø
ö
çç
è
æ
== 1
!!
!
)1()(
Binomické rozdělení – příklad
• Př. Pravděpodobnost narození chlapce je 0,5. Jaká je pravděpodobnost
toho, že mezi čtyřmi dětmi v rodině je 0, 1,... až 4 chlapců. Vypočítejte i
jaký je nejpravděpodobnější počet chlapců v této rodině.
• Řešení: n = 4 (4 děti v rodině)
r = 0, 1, 2, 3, 4 chlapců
( )
( ) rnrrnr
pp
rnr
n
pp
r
n
rXP
--
-××
-
=-÷÷
ø
ö
çç
è
æ
== 1
!!
!
)1()(
( ) 0625,05,015,0
4!0!
!4
)0(
40
=-××==XP
( ) 2500,05,015,0
3!1!
!4
)1(
31
=-××==XP
( ) 3750,05,015,0
2!2!
!4
)2(
22
=-××==XP
Nejpravděpodobnější počet chlapců – střední
hodnota: E(X) = n · p = 4 · 0,5 = 2
2500,0)3( ==XP
0625,0)4( ==XP
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0 1 2 3 4
n = 4
p = 0,5
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 5 10 15 20 25 30
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
0,2
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
0,2
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Binomické rozdělení – tvar pro různé n a p
• Čím vícekrát opakujeme experiment, tím menší relativní podíl připadá na
jednotlivé hodnoty X, neboť všechny dohromady musí dát součet 1 (100%).
• Rozdělení s p=0,5 je symetrické kolem středu osy x, menší či větší p posouvá
střed rozdělení směrem k limitním hodnotám (tedy hodnotám 0 či n).
n = 10
p = 0,3
n = 30
p = 0,3
n = 100
p = 0,3
n = 50
p = 0,1
n = 50
p = 0,5
n = 50
p = 0,9
P(r)
P(r)
P(r)
P(r)
P(r)
P(r)
r r r
r r r
Binomické rozložení – speciální případy
• Pokud n=1, jde o tzv. alternativní rozdělení a daná událost buď nenastane
nebo nastane jednou.
• Pokud náhodný experiment opakujeme mnohokrát (n je velké), rozdělení
se začne podobat spojitému rozdělení → aproximace na normální
rozdělení.
• Aproximace normálním rozdělením však nebude platit pro velmi nízké a
velmi vysoké hodnoty p → u nízkých hodnot p aproximace na Poissonovo
rozdělení (pro n > 30 a p < 0,1).
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
n = 100
p = 0,3
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
0,2
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
n = 50
p = 0,09
P(r)
r
P(r)
r
Binomické rozdělení - interval spolehlivosti - příklad
• Př. Sledování výskytu nežádoucích účinků u n = 100 pacientů se
schizofrenií léčených daným přípravkem. Nežádoucí účinky se vyskytly u
60 jedinců. Odhadněte pravděpodobnost výskytu nežádoucích účinků a
tento odhad doplňte o 95% interval spolehlivosti.
• Vzorečky:
• Řešení:
• Pravděpodobnost výskytu nežádoucích účinků je 0,6 (0,503; 0,697).
n
rpp =» ;p (bodový odhad parametru π)
( ) ( )
1
1
1
1
2
1
2
1
-
-
×+££
-
×-
--
n
pp
Zp
n
pp
Zp aa p
(interval spolehlivosti
pro π)
6,0100/60 ==p
( ) ( )
1100
6,016,0
96,16,0
1100
6,016,0
96,16,0
-
-×
×+££
-
-×
×- p
049,096,16,0049,096,16,0 ×+££×- p
697,0503,0 ££ p
Binomické rozdělení – interval spolehlivosti
• Ovlivnění šířky intervalu spolehlivosti (IS):
– hodnotou p – IS bude nejširší pro p = 0,5
– hodnotou n – IS širší při malém n než při velkém
– hodnotou α – IS širší pro malé α (hladinu spolehlivosti) – tzn. 99% IS
bude širší než 95% IS
• Interval spolehlivosti bez aproximace na normální rozdělení (pokud
hodnoty p jsou velmi nízké nebo velmi vysoké):
( )
1
1
2
1
-
×±
-
n
pp
Zp a
( ) ( )21;
2
1 nn
aFrnr
r
D
×+-+
=
( ) rrn 2;12 21 =+-= nn
( ) ( )
( ) ( )21
21
;
2
;
2
1
1
nn
a
nn
a
¢¢
¢¢
×++-
×+
=
Frrn
Fr
H ( )
( ) 22
212
12
21
-=-=¢
+=+=¢
nn
nn
rn
r
... kde:
Dolní hranice IS:
Horní hranice IS:
... kde:
Statistické testování binomických dat
1. Liší se odhad p od předpokládané (referenční) hodnoty π?
(Např. liší se procento pacientů s nežádoucími účinky léčby od
předpokládaného procenta?)
→ jednovýběrový binomický test (tzn. test pro podíl u jednoho výběru)
2. Liší se p ve dvou souborech?
(Např. liší se podíl pacientů s nežádoucími účinky léčby podle typu léčby?)
→ dvouvýběrový binomický test (tzn. test pro podíl u dvou výběrů)
48
Jednovýběrový binomický test
• Příklad: Mezi 50 pacienty s Alzheimerovou chorobou je 12 pacientů s
MMSE skóre nižším než daná hranice. Ověřte, zda podíl pacientů s nižším
skóre je stejný jako v běžné populaci.
• Tzn. hypotézy budou mít tvar: a
• Řešení:
• π = 0,05 (v populaci – hranice
skóre jsou dělána tak, aby 5%
populace bylo nižší než hranice)
• p = 12/50 = 0,24
• Závěr:
Podíl pacientů s nižším MMSE skóre
je statisticky významně odlišný od
podílu v běžné populaci.
p=pH :0 p¹pH :1
Co největší N2 Vypočtená p-hodnota
Dvouvýběrový binomický test
• Příklad: Mezi 42 pacienty s Alzheimerovou chorobou (AD) je 11 pacientů s
MMSE skóre nižším než daná hranice. Mezi 18 pacienty s mírnou kognitivní
poruchou (MCI) je 6 pacientů s MMSE skóre nižším než daná hranice.
Ověřte, zda se podíly pacientů s nižším skóre u pacientů s AD a MCI liší.
• Tzn. hypotézy budou mít tvar: a
• Řešení:
• p1 = 11/42 = 0,262
• p2 = 6/18 = 0,333
• Závěr:
Neprokázali jsme, že by se podíl
subjektů s nižším MMSE skóre
lišil u pacientů s AD a MCI.
210 : ppH = 211 : ppH ¹
Vypočtená p-hodnota
4. Poissonovo rozdělení
Poissonovo rozdělení
• Diskrétní rozdělení, které popisuje počet výskytů sledované události na
danou jednotku (času, plochy, objemu), když se tyto události vyskytují
vzájemně nezávisle s konstantní intenzitou (parametr λ).
• Značení: Po(λ)
• Jedná se o zobecnění binomického rozdělení pro a
‖ (aproximace je funkční již při n > 30, p < 0,1):
‖ Pravděpodobnost, že sledovaná událost nastane r-krát, lze vypočítat:
• Střední hodnota: EX = λ (λ vyjadřuje střední počet jevů na jednu
experimentální jednotku)
• Rozptyl: DX = λ
• Příklady: počet krvinek v poli mikroskopu, počet pooperačních komplikací
během určitého časového intervalu po výkonu, počet pacientů, kteří přišli
do ordinace během jedné hodiny, počet částic, které vyzáří zářič za danou
časovou jednotku
¥®n 0®p
!
)(
r
e
rXP
r l
l -
==
( ) ( )pnpn ×® Po,Bi
Poissonovo rozdělení – příklady
Výskyt jevu na experimentální jednotku
(mutace bakterií na inkubačních miskách)
Výskyt jevu v prostoru
(počet buněk v sčítacím poli preparátu)
Orientační stanovení jevu
(např. produkce plynu bakteriemi)
+ + +- Výskyt
jevu v čase
(vyzáření částice v určitých časových
intervalech)
čas
Poissonovo rozdělení – příklad
• Příklad: Předpokládejme, že v určité populaci krys se vyskytuje albín
s pravděpodobností π=0,001, ostatní krysy jsou normálně pigmentované.
Ve vzorku 100 krys náhodně vybraných z této populace určete
pravděpodobnost, že vzorek a) neobsahuje albína, b) obsahuje právě
jednoho albína.
• Řešení: Pravděpodobnost výskytu albína je π=0,001. Předpokládaný počet
albínů ve výběru o rozsahu n je λ=n*π (průměr binomické náhodné
veličiny), tj. v našem příkladu λ=n*π=100*0,001=0,1. Počet albínů
označme x. Potom:
• Jak je vidět, pravděpodobnost, že ve vzorku 100 krys nebude žádný albín,
je desetkrát vyšší než pravděpodobnost, že ve vzorku bude právě jeden
albín. Pravděpodobnosti výskytu dvou a více albínů jsou již velmi malé.
Převzato z Zvárová, J. (2001) Základy statistiky pro biomedicínské obory. Praha: Karolinum.
Poissonovo rozdělení – předpoklady
• výskyt jevu je zcela náhodný (tedy náhodný v čase nebo prostoru podle
typu situace)
• výskyt jevu v konkrétní experimentální jednotce nijak nezávisí na tom, co
se stalo v jiných jednotkách
• není možné, aby 2 nebo více jevů nastaly současně, přesně ve stejném
místě prostoru nebo ve stejném časovém okamžiku
• pro každý dílčí časový okamžik, prostorou jednotku apod. je
pravděpodobnost výskytu stejná
ms <2
ms >2
ms =2
Poissonovo rozdělení
výskyt uniformní výskyt shlukový výskyt náhodný
Poissonovo rozdělení – tvar pro různé λ
• Čím větší je λ, tím více se tvar Poissonova rozdělení blíží normálnímu
rozdělení.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1,1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l = 0.01 l = 0.1
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l = 0.5
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
0,2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
l = 5 l = 10
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l = 1
Poissonovo rozdělení – intervaly spolehlivosti - příklad
• Př. Za 10 hodin vyzářil zářič 1500 částic. Spočtěte průměrný počet
vyzářených částic za hodinu a tento odhad průměrného počtu částic
doplňte o 95% interval spolehlivosti.
• Vzorečky:
• Řešení:
• Průměrný počet částic vyzářených za hodinu je 150 (142;158).
x»l (bodový odhad parametru λ)
n
x
Zx
n
x
Zx ×+££×- --
2
1
2
1 aa l (interval spolehlivosti pro λ)
15010/1500 ==x
10
150
96,1150
10
150
96,1150 ×+££×- l
873,396,1150873,396,1150 ×+££×- l
158142 ££ l
Poissonovo rozdělení – interval spolehlivosti
• Ovlivnění šířky intervalu spolehlivosti (IS):
– hodnotou λ – IS širší při velkém λ
– hodnotou n – IS širší při malém n než při velkém
– hodnotou α – IS širší pro malé α (hladinu spolehlivosti) – tzn. 99% IS
bude širší než 95% IS
• Interval spolehlivosti bez aproximace na normální rozdělení:
n
x
Zx ×± -
2
1 a
( )
2
1
2
2 nac
=D r21 =n
22212 +=+= rnn
... kde:
Dolní hranice IS:
Horní hranice IS:
... kde:( )
2
2
2
21 nac -
=H
Poděkování…
Příprava výukových materiálů předmětu „DSAN01 Analýza
dat pro Neurovědy “ je finančně podporována prostředky
projektu FRVŠ č. 942/2013 „Inovace materiálů pro
interaktivní výuku a samostudium předmětu Analýza dat pro
Neurovědy“