logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Princip statistického testování hypotéz Pojmy statistických testů Normalita dat a její význam pro testování V. Základy testování hypotéz logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Anotace —Testování hypotéz je po popisné statistice druhým hlavním směrem statistických analýz. Při testování pokládáme hypotézy, které se snažíme s určitou pravděpodobností potvrdit nebo vyvrátit. —Tzv. nulovou hypotézu lze nejlépe popsat jako situaci, kdy předpokládáme vliv náhody (rozdíl mezi skupinami je pouhá náhoda, vztah dvou proměnných je pouhá náhoda apod.), alternativní hypotéza předpokládá vliv nenáhodného faktoru. —Výsledkem statistického testu je v zásadě pravděpodobnost nakolik je hodnocený jev náhodný nebo ne, při překročení určité hranice (nejčastěji méně než 5% pravděpodobnost, že jev je pouhá náhoda) deklarujeme, že pravděpodobnost náhody je pro nás dostatečně nízká abychom jev prohlásili za nenáhodný —Statistická významnost je ovlivnitelná velikostí vzorku a tak je pouze indicií k prohlášení např. rozdílu dvou skupin pacientů za skutečně významný. V ideální situaci je nezbytné aby rozdíl byl významný nejenom statisticky (=nenáhodný), ale i prakticky (=nejde pouze o artefakt velikosti vzorku). logo-IBA logomuni Hypotézy —H0 - tvrdenie o parametroch alebo type rozloženia, z ktorého pochádza náhodný výber. Vyjadruje nejaký teoretický predpoklad, často skeptického rázu a užívateľ ho musí stanoviť vopred, bez prihliadnutia k dátovému súboru. —H1 – alternatívna hypotéza, ktorá hovorí, čo platí ak neplatí nulová hypotéza. —Hypotézy musia byť stanovené tak, aby nemohli platiť zároveň. —Testovanie hypotéz – postup, ktorý je založený na danom náhodnom výbere a s pomocou ktorého rozhodneme o zamietnutí alebo nezamietnutí nulovej hypotézy. Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Princip testování hypotéz Cílová populace Vzorek Reprezentativnost ? Závěr ? Interpretace —Formulace hypotézy —Výběr cílové populace a z ní reprezentativního vzorku —Měření sledovaných parametrů —Použití odpovídajícího testu závěr testu —Interpretace výsledků Měření parametrů Testy hypotéz logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Statistické testování – základní pojmy Nulová hypotéza HO Alternativní hypotéza HA Testová statistika Kritický obor testové statistiky 0 T Pozorovaná hodnota – Očekávaná hodnota Variabilita dat Testová statistika = HO: sledovaný efekt je nulový HA: sledovaný efekt je různý mezi skupinami * Velikost vzorku Statistické testování odpovídá na otázku zda je pozorovaný rozdíl náhodný či nikoliv. K odpovědi na otázku je využit statistický model – testová statistika. logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Možné chyby při testování hypotéz Závěr testu Hypotézu nezamítáme Hypotézu zamítáme β 1- β 1- α α —I přes dostatečnou velikost vzorku a kvalitní design experimentu se můžeme při rozhodnutí o zamítnutí/nezamítnutí nulové hypotézy dopustit chyby. Správné rozhodnutí Správné rozhodnutí Chyba II. druhu Chyba I. druhu logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Význam chyb při testování hypotéz Pravděpodobnost chyby 1. druhu a Pravděpodobnost nesprávného zamítnutí nulové hypotézy Pravděpodobnost chyby 2. druhu b Pravděpodobnost nerozpoznání neplatné nulové hypotézy Síla testu 1-b Pravděpodobnostně vyjádřená schopnost rozpoznat neplatnost hypotézy logo-IBA logomuni P-hodnota —Významnost hypotézy hodnotíme dle získané tzv. p-hodnoty, která vyjadřuje pravděpodobnost, s jakou číselné realizace výběru podporují H0, je-li pravdivá. —P-hodnotu porovnáme s α (hladina významnosti, stanovujeme ji na 0,05, tzn., že připouštíme 5% chybu testu, tedy, že zamítneme H0, ačkoliv ve skutečnosti platí). —P-hodnotu získáme při testování hypotéz ve statistickém softwaru. — —Je-li p-hodnota ≤ α, pak H0 zamítáme na hladině významnosti α a přijímáme HA. —Je-li p-hodnota > α, pak H0 nezamítáme na hladině významnosti α. — —P-hodnota vyjadřuje pravděpodobnost za platnosti H0, s níž bychom získali stejnou nebo extrémnější hodnotu testové statistiky. — Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Parametrické vs. neparametrické testy Parametrické testy Neparametrické testy •Mají předpoklady o rozložení vstupujících dat (např. normální rozložení) •Při stejném N a dodržení předpokladů mají vyšší sílu testu než testy neparametrické •Pokud nejsou dodrženy předpoklady parametrických testů, potom jejich síla testu prudce klesá a výsledek testu může být zcela chybný a nesmyslný •Nemají předpoklady o rozložení vstupujících dat, lze je tedy použít i při asymetrickém rozložení, odlehlých hodnotách, či nedetekovatelném rozložení •Snížená síla těchto testů je způsobena redukcí informační hodnoty původních dat, kdy neparametrické testy nevyužívají původní hodnoty, ale nejčastěji pouze jejich pořadí logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek One-sample vs. two sample testy Jedno-výběrové testy (one-sample) Dvou-výběrové testy (two-sample) •Srovnávají jeden vzorek (one sample, jednovýběrové testy) s referenční hodnotou (popřípadě se statistickým parametrem cílové populace) •V testu je tedy srovnáváno rozložení hodnot (vzorek) s jediným číslem (referenční hodnota, hodnota cílové populace) •Otázka položená v testu může být vztažena k průměru, rozptylu, podílu hodnot i dalším statistickým parametrům popisujícím vzorek •Srovnávají navzájem dva vzorky (two sample, dvouvýběrové testy) •V testu jsou srovnávány dvě rozložení hodnot •Otázka položená v testu může být opět vztažena k průměru, rozptylu, podílu hodnot i dalším statistickým parametrům popisujícím vzorek •Kromě testů pro dvě skupiny hodnot existují samozřejmě i testy pro více skupin dat logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek One-tailed vs. Two-tailed testy One – tailed testy= jednostranná alternatíva Two – tailed testy=obojstranná alternatíva •Hypotéza testu je postavena asymetricky, tedy ptáme se na větší než/ menší než •Test může mít pouze dvojí výstup – jedna z hodnot je větší (menší) než druhá a všechny ostatní případy •Hypotéza testu se ptá na otázku rovná se/nerovná se •Test může mít trojí výstup – menší - rovná se – větší než •Situace nerovná se je tedy souhrnem dvou možných výstupů testu (menší+větší) 1 Kritický obor 2 Kritický obor logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Nepárový vs. párový design Nepárový design Párový design •Skupiny srovnávaných dat jsou na sobě zcela nezávislé (též nezávislý, independent design), např. lidé z různých zemí, nezávislé skupiny pacientů s odlišnou léčbou atd. •Při výpočtu je nezbytné brát v úvahu charakteristiky obou skupin dat •Mezi objekty v srovnávaných skupinách existuje vazba, daná např. člověkem před a po operaci, reakce stejného kmene krys atd. •Vazba může být buď přímo dána nebo pouze předpokládána (v tom případě je nutné ji ověřit) •Test je v podstatě prováděn na diferencích skupin, nikoliv na jejich původních datech > logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Statistické testy a normalita dat —Normalita dat je jedním z předpokladů tzv. parametrických testů (testů založených na předpokladu nějakého rozložení) – např. t-testy —Pokud data nejsou normální, neodpovídají ani modelovému rozložení, které je použito pro výpočet (t-rozložení) a test tak může lhát — —Řešením je tedy: ¡Transformace dat za účelem dosažení normality jejich rozložení ¡Neparametrické testy – tyto testy nemají žádné předpoklady o rozložení dat Typ srovnání Parametrický test Neparametrický test 2 skupiny dat nepárově: Nepárový t-test Mann Whitney test 2 skupiny dat párově: Párový t-test Wilcoxon test, znaménkový test Více skupin nepárově: ANOVA Kruskal- Wallis test Korelace: Pearsonův koeficient Spearmanův koeficient logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Testy normality —Testy normality pracují s nulovou hypotézou, že není rozdíl mezi zpracovávaným rozložením a normálním rozložením. Vždy je ovšem dobré prohlédnout si i histogram, protože některé odchylky od normality, např. bimodalitu některé testy neodhalí. •Test dobré shody V testu dobré shody jsou data rozdělena do kategorií (obdobně jako při tvorbě histogramu), tyto intervaly jsou normalizovány (převedeny na normální rozložení) a podle obecných vzorců normálního rozložení jsou k nim dopočítány očekávané hodnoty v intervalech, pokud by rozložení bylo normální. Pozorované normalizované četnosti jsou poté srovnány s očekávanými četnostmi pomocí c2 testu dobré shody. Test dává dobré výsledky, ale je náročný na n, tedy množství dat, aby bylo možné vytvořit dostatečný počet tříd hodnot. •Kolgomorov –Smirnov test Tento test je často používán, dokáže dobře najít odlehlé hodnoty, ale počítá spíše se symetrií hodnot než přímo s normalitou. Jde o neparametrický test pro srovnání rozdílu dvou rozložení. Je založen na zjištění rozdílu mezi reálným kumulativním rozložením (vzorek) a teoretickým kumulativním rozložením. Pro testování normálního rozložení, ak odhadujeme parametry z výběru, se používá modifikace – Lilieforsův test. •Shapiro-Wilk`s test Jde o neparametrický test použitelný i při velmi malých n (10) s dobrou sílou testu, zvláště ve srovnání s alternativními typy testů, je zaměřen na testování symetrie. logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Šikmost a špičatost jako testy normality —Parametry normálního rozložení, skewness a kurtosis mohou být využity pro testování normality, ale pouze pro velké vzorky (šikmost – 100, špičatost – 500). > logo-IBA logomuni Shapiro-Wilksov test (S-W test) —H0: náhodný výber pochádza z normálneho rozloženia —Testová štatistika — —ai – váhy odvodené od stredných hodnôt a rozptylov náhodného výberu z rozloženia N(0,1) —Hodnota W určuje podobnosť s normálnym rozložením —Čím je W bližšie k 1, tým je zhoda väčšia —Rozhodujeme sa na základe p-hodnoty Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita logo-IBA Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Normal Probability Plot Normal Probability Plot 5 20 80 1 99 50 95 0,1 0 20 40 Zn 60 99,9 80 5 20 80 1 99 50 95 0,1 0 10 20 Pb 30 5 15 25 99,9 Grafická diagnostika normality logo-IBA logomuni N-P plot (Normal-probability plot) —Máme náhodný výber —Odhadneme strednú hodnotu — a rozptyl —Na osu x vynášame namerané — hodnoty (z našich dát) —Na osu y teoretické očakávané — hodnoty —Týmito bodmi preložíme krivku, — ak je priamka, výber pochádza — z normálneho rozloženia — — — — — — — — — — — — Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita 5 20 80 1 99 50 95 0,1 0 10 20 Pb 30 5 15 25 99,9 logo-IBA logomuni Testy normality Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita logo-IBA logomuni Vyberieme premenné a zaklikneme S-W test Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita logo-IBA logomuni Histogram —V záložke Grafy vyberieme Histogram, zvolíme premennú a v záložke Detaily v časti Statistiky zvolíme Shapiro-Wilksov test — Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita logo-IBA logomuni N-P plot —Záložka: Statistiky vyberieme Základní statistiky , zvolíme Popisné statistiky —V záložke Pravd. & bodové grafy vyberieme Normálni pravděpod. graf — nezabudneme vybrať premennú Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita logo-IBA logomuni Príklad —Otvorte si súbor 5 cvicenie.sta —Testujte normalitu premenných ¡Výška – prem. 1 ¡Váha – prem. 2 ¡Leukocyty– prem. 9 — — testujte pomocou histogramu s krivkou normálneho rozloženia, N-P testu a Shapiro-Wilksovho testu Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita logo-IBA logomuni Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Jednovýběrový t-test Jednovýběrový test rozptylu Statistické testy o parametrech jednoho výběrů logo-IBA logomuni Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Anotace —Jednovýběrové statistické testy srovnávají některou popisnou statistiku vzorku (průměr, směrodatnou odchylku) s jediným číslem, jehož význam je ze statistické hlediska hodnota cílové populace —Z hlediska statistické teorie jde o ověření, zda daný vzorek pochází z testované cílové populace. logo-IBA logomuni Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek “One sample“ testy I H0 HA Testová statistika Interval spolehlivosti t t > t t t < t t |t| > t Průměr – cílová vs. výběrová populace (n-1) 1-α (n-1) α (n-1) 1-α/2 V případě one sample testů jde o srovnání výběru dat (tedy one sample) s cílovou populací. Pro parametrické testy musí mít datový soubor normální rozložení. Softvér nám vypíše p-hodnotu, ktorú porovnáme s hladinou významnosti, inak by sme museli hľadať hodnotu Intervalu spoľahlivosti v Štatistických tabuľkách logo-IBA logomuni Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek “One sample“ testy II Rozptyl – cílová vs. výběrová populace H0 HA Testová statistika Interval spolehlivosti (n-1) nebo (n-1) V případě one sample testů jde o srovnání výběru dat (tedy one sample) s cílovou populací. Pro parametrické testy musí mít datový soubor normální rozložení. logo-IBA logomuni Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek Srovnání odhadu průměru s předpokládanou hodnotou I 10krát nezávisle bola odmeraná konštanta μ. Výsledky merania sú 2, 1.8, 2.1, 2.4, 1.9, 2.1, 2, 1.8, 2.3, 2.2. Smerodajná odchýlka bola určená ako 0.2. Nejaká teória tvrdí, že μ=0.95. •H0: •H1: •Testová štatistika: • •riadi sa normálnym rozložením N(0,1) • • logo-IBA logomuni Srovnání odhadu průměru s předpokládanou hodnotou I —Pomocou kritického oboru: ¢W=(-∞, uα/2>U