Proč se zabývat statistikou?
Předmět „Statistika“ je součástí osnov všech lékařských fakult. Vede k tomu
několik důvodů:
V praxi odborní zdravotničtí pracovníci často potřebují získat informace ze
shromážděných dat. Měli by tedy být schopni vybrat pro zpracování dat
adekvátní statistické metody, použít je ve vhodném statistickém programovém
systému a získané výsledky správně interpretovat.
Pokud se zdravotnický pracovník zabývá studiem odborné literatury, rovněž se
neobejde bez znalosti statistických pojmů, aby byl schopen text pochopit a
kriticky zhodnotit.
Při publikování článků v biomedicínských časopisech je používání
statistických metod pravidlem.
Čtyři etapy statistického zkoumání
1) plánování statistického šetření (důležité je stanovení cíle statistického šetření, výběr vhodných statistických metod,
ověření předpokladů jejich použitelnosti, stanovení rozsahu výběrového souboru)
2) sběr dat (orientace na vhodné objekty a jejich podstatné vlastnosti, realizace měření či příprava dotazníků, proškolení
týmu, který bude data sbírat)
3) průzkum získaných dat (kontrola dat z hlediska formálního, logického i početního, roztřídění dat, tvorba tabulek,
konstrukce grafů, práce s chybějícími a odlehlými hodnotami, výpočet číselných charakteristik dat)
4) analýza dat (získání bodových a intervalových odhadů důležitých parametrů dat, testování statistických hypotéz).
Jednotlivé etapy na sebe navazují a vzájemně se ovlivňují. Opomeneme-li některé podstatné okolnosti při plánování
statistického šetření nebo se dopustíme hrubých chyb při sběru dat, pak ani sebesložitější analýza nemůže poskytnout
věrohodné výsledky!
Při průzkumu a analýze dat se využívají různé statistické programové systémy. Umožňují každému uživateli získat velmi
snadno i výsledky náročných statistických analýz. Samozřejmě však neupozorní, že je prováděna analýzy, která pro daná
konkrétní data nemá smysl. Proto je důležité, aby uživatel rozuměl principům metod, znal a ověřoval jejich předpoklady.
Na základě statistického zkoumání lze získat adekvátní představu o věcném problému, který uživatel řeší.
Statistika – různé definice
Statistikou rozumíme soubor číselných údajů o hromadných jevech.
Statistikou rozumíme činnost, která spočívá ve sběru dat a jejich analýze.
Statistikou rozumíme vědeckou disciplínu, která se zabývá získáváním informací z numerických údajů – dat. (My se
budeme zabývat statistikou v tomto pojetí).
Rozdělení statistiky
Základem matematické statistiky je počet pravděpodobnosti, který se zabývá studiem zákonitostí v náhodných pokusech.
Matematickými prostředky modeluje situace, v nichž hraje roli náhoda. Pod pojmem náhoda rozumíme působení faktorů,
které se živelně mění při různých provedeních téhož pokusu a nepodléhají naší kontrole.
STATISTIKA
Popisná statistika
Sumarizuje informace obsažené
ve velkém množství dat.
Používá tabulky, grafy,
funkcionální a číselné
charakteristiky.
Matematická statistika
Analyzuje a interpretuje data za
účelem získání předpovědi a
zlepšení rozhodování.
Řídí se principem statistické
indukce.
Popisná statistika
Popisná statistika je disciplína, která popisuje a sumarizuje informace obsažené ve
velkém množství dat pomocí tabulek, grafů, funkcionálních a číselných charakteristik.
Činí tak pomocí základních matematických operací. Cílem popisné statistiky je
zpřehlednit informace „ukryté´” v datových souborech.
Popisná statistika je velmi důležitá minimálně ze dvou důvodů:
- v praxi se často používá (všichni znají takové pojmy, jako je průměr, směrodatná
odchylka, tabulka rozložení četností, výsečový graf apod.)
- motivuje pojmy, se kterými pak pracuje počet pravděpodobnosti (např. relativní
četnost motivuje pravděpodobnost, hustota četnosti motivuje hustotu
pravděpodobnosti, průměr motivuje střední hodnotu apod.)
Dobré pochopení pojmů popisné statistiky tedy velmi usnadní studium počtu
pravděpodobnosti.
Základní, výběrový a datový soubor
Základním souborem (population) rozumíme libovolnou neprázdnou množinu E.
Prvky množiny E značíme ε a nazýváme je objekty (units).
Libovolnou neprázdnou podmnožinu {ε1, ..., εn} základního souboru E nazýváme výběrový soubor rozsahu n (sample size
n).
Je-li množina G ⊆ E, pak symbolem N(G) rozumíme absolutní četnost (absolute frequency) množiny G ve výběrovém souboru,
tj. počet těch objektů množiny G, které patří do výběrového souboru.
Relativní četnost (absolute frequency) množiny G ve výběrovém souboru zavedeme vztahem
n
)G(N
)G(p = .
Ilustrace
Způsoby získání výběrového souboru
1. Prostý náhodný výběr (simple random sample) – objekty výběrového souboru získáme losováním z objektů základního
souboru.
2. Systematický náhodný výběr (systematic random sample) – objekty výběrového souboru získáme pomocí pořadových
čísel nebo podle nějaké vlastnosti, která nesouvisí se sledovanou vlastností (např. podle data narození, podle počátečního
písmena příjmení apod. Nevýhoda – při nevhodné volbě výběrového kritéria může dojít k nežádoucí selekci.
3. Stratifikovaný náhodný výběr (stratified random sample) – základní soubor rozdělíme do několika skupin a dále z každé
této skupiny vybíráme metodou prostého nebo systematického náhodného výběru.
4. Párový výběr (random pair) – užívá se zejména v klinické praxi. K osobám s určitou vlastností (např. s určitou nemocí) se
vyberou osoby, které tuto nemoc nemají, ale s původními osobami se shodují ve všech vlastnostech, které by mohly ovlivnit
výsledek výzkumu, např. věk, pohlaví, zaměstnání apod.
Příklad: Základním souborem E je množina všech ekonomicky zaměřených studentů 1. ročníku českých vysokých
škol. Množina G1 je tvořena těmi studenty, kteří uspěli v prvním zkušebním termínu z matematiky a
množina G2 obsahuje ty studenty, kteří uspěli v prvním zkušebním termínu z angličtiny. Ze základního souboru
bylo náhodně vybráno 20 studentů, kteří tvoří výběrový soubor {ε1, ..., ε20}. Z těchto 20 studentů 12
uspělo v matematice, 15 v angličtině a 11 v obou předmětech. Zapište absolutní a relativní četnosti úspěšných
matematiků, angličtinářů a oboustranně úspěšných studentů.
Řešení:
55,0
20
11
)GG(p
,75,0
20
15
)G(p
,6,0
20
12
)G(p
,20n,11)GG(N,15)G(N,12)G(N
21
2
1
2121
==∩
==
==
==∩==
Vidíme, že úspěšných matematiků je 60%, angličtinářů 75% a oboustranně úspěšných studentů jen 55%.
Vlastnosti relativní četnosti: Relativní četnost má následujících 12 vlastností, které jsou obdobné vlastnostem procent.
• p(∅) = 0
• p(G) ≥ 0 (nezápornost)
• p(G) ≤ 1
• p(G1 ∪ G2) + p(G1 ∩ G2) = p(G1) + p(G2)
• 1 + p(G1 ∩ G2) ≥ p(G1) + p(G2)
• p(G1 ∪ G2) + 0 ≤ p(G1) + p(G2) (subaditivita)
• G1 ∩ G2 = ∅ ⇒ p(G1 ∪ G2) = p(G1) + p(G2) (aditivita)
• p(G2 \ G1) = p(G2) – p(G1 ∩ G2)
• G1 ⊆ G2 ⇒ p(G2 \ G1) = p(G2) – p(G1) (subtraktivita)
• G1 ⊆ G2 ⇒ p(G1) ≤ p(G2) (monotonie)
• p(Έ) = 1 (normovanost)
• p(G) + p(G ) = 1 (komplementarita)
Pojem podmíněné relativní četnosti (conditional relative frequency): Pokud se v daném základním souboru
zajímáme o dvě podmnožiny, můžeme zavést pojem podmíněné relativní četnosti jedné podmnožiny
v daném výběrovém souboru za předpokladu, že objekt pochází z druhé podmnožiny.
Nechť E je základní soubor, G1, G2 jeho podmnožiny, {ε1, ..., εn} výběrový soubor. Definujeme:
podmíněnou relativní četnost množiny G1 ve výběrovém souboru za předpokladu G2:
( ) ( )
( )
( )
( )2
21
2
21
21
Gp
GGp
GN
GGN
G/Gp
∩
=
∩
= ,
podmíněnou relativní četnost G2 ve výběrovém souboru za předpokladu G1:
( ) ( )
( )
( )
( )1
21
1
21
12
Gp
GGp
GN
GGN
G/Gp
∩
=
∩
= .
Příklad: Pro údaje z příkladu o studentech vypočtěte podmíněnou
relativní četnost úspěšných matematiků mezi úspěšnými angličtináři a
podmíněnou relativní četnost úspěšných angličtinářů mezi úspěšnými
matematiky.
(Připomínáme, že z 20 studentů 12 uspělo v matematice, 15
v angličtině a 11 v obou předmětech.)
Řešení:
,20n,11)GG(N,15)G(N,12)G(N 2121 ==∩==
p(G1/G2) = ( )
( )2
21
GN
GGN ∩
=
15
11
= 0,73 (tzn., že 73% těch studentů, kteří
byli úspěšní v angličtině, uspělo i v matematice)
p(G2/G1) = ( )
( )1
21
GN
GGN ∩
=
12
11
= 0,92 (tzn., že 92% těch studentů, kteří byli
úspěšní v matematice, uspělo i v angličtině)
Pojem četnostní nezávislosti dvou množin (independence of two sets): O četnostní nezávislosti dvou
množin v daném výběrovém souboru hovoříme tehdy, když informace o původu objektu z jedné množiny
nijak nemění šance, s nimiž soudíme na jeho původ i z druhé množiny.
Řekneme že množiny G1, G2 jsou četnostně nezávislé v daném výběrovém souboru, jestliže
( ) ( ) ( )2121 GpGpGGp =∩ .
(V praxi jen zřídka dojde k tomu, že uvedený vztah platí přesně. Většinou je jen naznačena určitá tendence
četnostní nezávislosti.)
Příklad: Pro údaje z příkladu o studentech zjistěte, zda úspěchy v matematice a angličtině jsou v daném
výběrovém souboru četnostně nezávislé. (připomínáme, že oboustranně úspěšných studentů bylo 55 %,
úspěšných matematiků 60 % a úspěšných angličtinářů 45 %.)
Řešení:
p(G1 ∩ G2) = 0,55, p(G1)p(G2) = 0,6×0,75 = 0,45,
tedy skutečná relativní četnost oboustranně úspěšných studentů je větší než by odpovídalo četnostní
nezávislosti množin G1, G2 v daném výběrovém souboru. Znamená to, že úspěch v matematice se zpravidla
sdružuje s úspěchem v angličtině a naopak.
Pojem skalárního a vektorového znaku (scalar and vector variable): Vlastnosti objektů vyjadřujeme číselně
pomocí znaků.
Nechť E je základní soubor. Funkce X: E → R, Y: E → R, ..., Z: E → R, které každému objektu přiřazují číslo,
se nazývají (skalární) znaky. Uspořádaná p-tice (X, Y, ..., Z) se nazývá vektorový znak.
Ilustrace
Označení: Nechť je dán výběrový soubor {ε1, ..., εn} ⊆ E. Hodnoty znaků X, Y, ..., Z pro i-tý objekt označíme
xi = X(εi), yi = Y(εi), ..., zi = Z(εi), i = 1, ..., n.
Pojem datového souboru (data set):
Matice












nnn
222
111
zyx
zyx
zyx
L
LLLL
L
L
typu n × p se nazývá datový soubor.
Její řádky odpovídají jednotlivým objektům, sloupce znakům.
Libovolný sloupec této matice nazýváme jednorozměrným datovým souborem (one-dimensional data set).
Jestliže uspořádáme hodnoty některého znaku (např. znaku X) v jednorozměrném datovém souboru vzestupně podle
velikosti, dostaneme uspořádaný datový soubor (orderly data set)










)n(
)1(
x
x
M , kde x(1) ≤ x(2) ≤ ... ≤ x(n).
Vektor










]r[
]1[
x
x
M , kde x[1] < ... < x[r] jsou navzájem různé hodnoty znaku X, se nazývá vektor variant (vector of variants) .
Příklad:
Pro studenty z výběrového souboru uvedeného výše byly zjišťovány hodnoty těchto znaků:
X – známka z matematiky v 1. zkušebním termínu, Y – známka z angličtiny v 1.
zkušebním termínu, Z – pohlaví studenta (0 … žena, 1 … muž). Byl získán datový soubor:
Utvořte jednorozměrný neuspořádaný a uspořádaný datový soubor pro známky
z matematiky a vektor variant pro známky z matematiky.
Řešení:
Pojem jevu (event):
Nechť {ε1, ..., εn} je výběrový soubor, X, Y, ..., Z jsou znaky, B, B1, Bp jsou číselné množiny.
Zápis {X ∈B} znamená jev „znak X nabyl hodnoty z množiny B“ .
Zápis {X ∈B1 ∧ Y ∈B2 ∧ ... ∧ Z ∈Bp} znamená jev „znak X nabyl hodnoty z množiny B1 a současně znak Y nabyl hodnoty
z množiny B2 atd. až znak Z nabyl hodnoty z množiny Bp“.
Symbol N(X ∈B) značí absolutní četnost jevu {X ∈B} ve výběrovém souboru, tj. počet těch objektů ve výběrovém souboru,
pro něž xi ∈B.
Symbol p(X ∈ B) znamená relativní četnost jevu {X ∈ B} ve výběrovém souboru, tj. p(X ∈ B) =
n
)BX(N ∈
.
Analogicky N(X ∈ B1 ∧ Y ∈ B2 ∧ ... ∧ Z ∈ Bp) resp.
p(X ∈ B1 ∧ Y ∈ B2 ∧ ... ∧ Z ∈ Bp) znamená absolutní resp. relativní četnost jevu {X ∈ B1 ∧ Y ∈ B2 ∧ ... ∧ Z ∈ Bp} ve
výběrovém souboru.
Příklad:
Pro datový soubor s údaji o známkách a
pohlaví studentů najděte relativní četnost:
- matematických jedničkářů
- úspěšných matematiků
- oboustranně neúspěšných studentů.
Datový soubor má tvar:
Řešení:
Ad a) ( ) 35,0
20
7
1Xp ===
Ad b)
( ) 6,0
20
12
3Xp ==≤
Ad c)
( ) 2,0
20
4
4Y4Xp ===∧=
Zjistili jsme, že jedničku z matematiky má 35 % studentů,
zkoušku z matematiky úspěšně složilo 60 % studentů a
oboustranně neúspěšných bylo 20 % studentů.
Jednorozměrné bodové rozložení četností
Jestliže počet variant znaku X v jednorozměrném datovém souboru není příliš velký, pak přiřazujeme četnosti jednotlivým
variantám a hovoříme o bodovém rozložení četností.
Nechť je dán jednorozměrný datový soubor










n
1
x
x
M , v němž znak X nabývá r variant.
Pro j = 1, ..., r definujeme:
nj = N(X = x[j]) – absolutní četnost varianty x[j] ve výběrovém souboru
pj =
n
n j
− relativní četnost varianty x[j] ve výběrovém souboru
Nj = N(X ≤ x[j]) = n1 + ... + nj – absolutní kumulativní četnost prvních j variant ve výběrovém souboru
Fj =
n
N j
= p1 + ... + pj – relativní kumulativní četnost prvních j variant ve výběrovém souboru
Tabulka typu
x[j] nj pj Nj Fj
x[1] n1 p1 N1 F1
M M M M M
x[r] nr pr Nr Fr
se nazývá variační řada (nebo též tabulka rozložení četností – frequency table).
Příklad: Máme jednorozměrný datový soubor, který obsahuje údaje o známkách z matematiky (znak X) u 20 studentů.








































1
4
4
1
4
2
4
2
4
4
1
1
3
3
4
1
1
4
1
2
Sestavte tabulku rozložení četností.
Řešení:
x[j] nj pj Nj Fj
1 7 7/20=0,35 7 7/20=0,35
2 3 3/20=0,15 10 10/20=0,50
3 2 2/20=0,10 12 12/20=0,60
4 8 8/20=0,40 20 20/20=1,00
∑ 20 1,00 - -
Četnostní funkce
Pomocí relativních četností zavedeme četnostní funkci (frequency function).
Funkce p(x) =


 ==
jinak0
r...,1,j,xxprop [j]j
se nazývá četnostní funkce.
(Hodnota četnostní funkce v každé variantě znaku X je rovna relativní četnosti této varianty a
jinde je nulová.)
Četnostní funkce je
nezáporná (∀x ∈ R: p(x) ≥0)
a normovaná (součet všech jejích hodnot je 1, tj. ∑
∞
∞=-x
p(x)= 1).
Empirická distribuční funkce
Pomocí kumulativních relativních četností zavedeme empirickou distribuční funkci (empirical distribution function).
Funkce ( )





≥
=<≤
<
= +
[r]
1][j[j]j
[1]
xxpro1
1-r...,1,j,xxxproF
xxpro0
xF se nazývá empirická distribuční funkce.
(Vysvětlení: Funkce F(x) je nulová až do první varianty x[1] znaku X. Tam má skok na hodnotu F1 = p1. Na hodnotě F1
setrvá až do druhé varianty x[2], kde skočí na hodnotu F2, tedy skok má velikost p2. Tak se pokračuje dál, až v poslední
variantě x[r] skočí na 1 a tam už setrvá.)
Empirická distribuční funkce je
neklesající (∀x1, x2 ∈ R, x1 < x2: F(x1) ≤ F(x2)),
zprava spojitá (∀x0 ∈ R libovolné, ale pevně dané:
+→ 0xxlim F(x) = F(x0))
a normovaná ( −∞→x
lim F(x) = 0, ∞→x
lim F(x) = 1).
Příklad: Pro známky z matematiky nakreslete graf četnostní funkce a
empirické distribuční funkce.
Řešení:
Variační řada
x[j] nj pj Nj Fj
1 7 7/20=0,35 7 7/20=0,35
2 3 3/20=0,15 10 10/20=0,50
3 2 2/20=0,10 12 12/20=0,60
4 8 8/20=0,40 20 20/20=1,00
∑ 20 1,00 - -
Vzorce
( )


 ==
=
jinak0
r...,1,j,xxprop
xp
[j]j
( )





≥
=<≤
<
= +
[r]
1][j[j]j
[1]
xxpro1
1-r...,1,j,xxxproF
xxpro0
xF
Grafy
Vztah mezi četnostní funkcí a empirickou distribuční funkcí
( ) ( )∑
≤
=∈∀
xt
tpxF:Rx
Grafické znázornění bodového rozložení četností
Tečkový diagram (dot diagram): na číselné ose vyznačíme jednotlivé varianty znaku X a nad každou
variantu nakreslíme tolik teček, jaká je její absolutní četnost.
Polygon četnosti (frequency polygon): je lomená čára spojující body, jejichž x-ová souřadnice je varianta
znaku X a y-ová souřadnice je absolutní či relativní četnost této varianty.
Sloupkový diagram (bar chart): je soustava na sebe nenavazujících obdélníků, kde střed základny je varianta
znaku X a výška je absolutní či relativní četnost této varianty.
Výsečový graf (pie chart): je kruh rozdělený na výseče, jejichž vnější obvod odpovídá absolutním četnostem
variant znaku X.
Příklad: Pro jednorozměrný datový soubor známek z matematiky sestrojte tečkový diagram, polygon četností, sloupkový
diagram a výsečový graf.
Řešení:
Tečkový diagram Polygon četností
Sloupkový diagram Výsečový graf
Dvourozměrné bodové rozložení četností
Nechť je dán dvourozměrný datový soubor










nn
11
yx
yx
KK , kde znak X má r variant a znak Y má s variant. Pak definujeme:
njk = N(X = x[j] ∧ Y = y[k]) – simultánní absolutní četnost dvojice (x[j], y[k]) ve výběrovém souboru
pjk =
n
njk
– simultánní relativní četnost dvojice (x[j], y[k]) ve výběrovém souboru
nj. = N(X = x[j]) = nj1 + ... + njs – marginální absolutní četnost varianty x[j]
pj. =
n
nj.
= pj1 + ... + pjs – marginální relativní četnost varianty x[j]
n.k = N(Y = y[k]) = n1k + ... + nrk – marginální absolutní četnost varianty y[k]
p.k =
n
n.k
= p1k + ... + prk – marginální relativní četnost varianty y[k]
Simultánní četností zapisujeme do kontingenční tabulky (contingency table).
Kontingenční tabulka simultánních absolutních četností má tvar:
y
x njk
y[1] ... y[s] nj.
x[1] n11 ... n1s n1.
M ... ... ... ...
x[r] nr1 ... nrs nr.
n.k n.1 ... n.s n
Příklad: Máme datový soubor, který obsahuje údaje o známkách z matematiky (znak X), z angličtiny (znak Y) a pohlaví
studenta (znak Z, 0 – žena, 1 – muž) u 20 studentů:
Vytvořte kontingenční tabulku simultánních absolutních a relativních četností pro známky z matematiky a angličtiny.
Řešení:
Kontingenční tabulka simultánních absolutních četností
Kontingenční tabulka simultánních relativních četností
Simultánní a marginální četnostní funkce
Pomocí simultánních relativních četností zavedeme simultánní četnostní funkci:
Funkce p(x, y) = ( )


 ====
=
jinak0
s,1,kr,,1,j,yy,xxprop
y,xp
[k][j]jk KK
se nazývá simultánní četnostní funkce.
Pomocí marginálních relativních četností zavedeme marginální četnostní funkce pro znaky X a Y.
Odlišíme je indexem takto:
( )


 ==
=
jinak0
r,1,j,xxprop
xp
[j]j.
1
K
, ( )


 ==
=
jinak0
s,1,k,yyprop
yp
[k].k
2
K
.
Mezi simultánní četnostní funkcí a marginálními četnostními funkcemi platí vztahy:
( ) ∑
∞
−∞=
=
y
1 y)p(x,xp , ( ) ∑
∞
−∞=
=
x
2 y)p(x,yp .
Příklad: Sestrojte graf simultánní četnostní funkce pro známky z matematiky a angličtiny.
Řešení: Vyjdeme z kontingenční tabulky simultánních relativních četností.
Četnostní nezávislost znaků v daném výběrovém souboru
Řekneme, že znaky X, Y jsou v daném výběrovém souboru četnostně nezávislé, právě když
pro všechna j = 1, ..., r a všechna k = 1, ..., s platí multiplikativní vztah: pjk = pj. p.k
neboli pro ( ) ( ) ( ) ( )ypxpy,xp:Ry,x 21
2
=∈∀ .
Příklad: Ověřte, zda v našem datovém souboru jsou známky z matematiky a angličtiny četnostně nezávislé.
Řešení: Vyjdeme z kontingenční tabulky simultánních relativních četností:
Známky z matematiky a angličtiny nejsou četnostně nezávislé, protože už pro j = 1, k = 1 je multiplikativní vztah porušen:
p11 = 0,20, p1. = 0,35, p.1 = 0,20, tudíž 0,20 ≠ 0,35.0,20
Řádkově a sloupcově podmíněné relativní četnosti
( )
.k
jk
kj
n
n
p = - sloupcově podmíněná relativní četnost varianty x[j] za předpokladu y[k]
( )
j.
jk
kj
n
n
p = - řádkově podmíněná relativní četnost varianty y[k] za předpokladu x[j].
Podmíněné relativní četnosti zapisujeme do kontingenční tabulky. Často je vyjadřujeme v procentech.
Příklad: Pro datový soubor známek z matematiky a angličtiny sestavte kontingenční tabulku sloupcově a poté řádkově
podmíněných relativních četností.
Řešení:
Nejprve vypočítáme sloupcově podmíněné relativní četnosti. Použijeme kontingenční tabulku simultánních absolutních
četností.
Interpretujeme např. třetí sloupec: z těch studentů, kteří měli trojku z angličtiny, mělo 2/7 = 29% jedničku z matematiky, 1/7
= 14% dvojku z matematiky, 1/7 = 14% trojku z matematiky a 3/7 = 43% čtyřku z matematiky.
Nyní vypočítáme řádkově podmíněné relativní četnosti. Opět použijeme kontingenční tabulku simultánních absolutních
četností.
Interpretujeme např. první řádek: z těch studentů, kteří měli jedničku z matematiky, mělo 4/7 = 57% jedničku z angličtiny,
1/7 = 14% dvojku z angličtiny a 2/7 = 29% trojku z angličtiny.
Dvourozměrný tečkový diagram (scatter plot)
Dvourozměrné rozložení četností lze znázornit pomocí dvourozměrného tečkového diagramu. Na vodorovnou osu
vyneseme varianty znaku X, na svislou varianty znaku Y a do příslušných průsečíků nakreslíme tolik teček, jaká je absolutní
četnost dané dvojice.
V našem příkladě se studenty dostaneme tento diagram:
Dvourozměrný tečkový diagram svědčí o nepříliš výrazné tendenci k podobné klasifikaci v obou předmětech.
Zcela odlišný vzhled však mají diagramy pro muže a pro ženy:
Pro muže Pro ženy