Číselné charakteristiky intervalových a poměrových znaků
Připomenutí: Intervalový znak umožňuje obsahovou interpretaci u operace rozdílu, poměrový znak i u operace podílu.
Charakteristika polohy: aritmetický průměr (arithmetic mean or mean) m = ∑=
n
1i
ix
n
1
.
U poměrových znaků, které nabývají pouze kladných hodnot, lze použít geometrický průměr (geometric mean)
n
n1 xxg ⋅⋅= K . Vyskytuje se tam, kde má věcný význam součin hodnot znaku. Je zřejmé, že jde o aritmetický průměr
logaritmů hodnot x1, …, xn. Přitom geometrický průměr hodnot x1, …, xn je vždy menší nebo roven aritmetickému průměru
těchto hodnot (g ≤ m) a rovnosti je dosaženo právě tehdy, jsou-li všechny hodnoty znaku X stejné.
Příklad použití geometrického průměru: Máme-li obdélník a čtverec o stejných plochách, pak strana čtverce je
geometrickým průměrem stran obdélníku.
Pomocí průměru zavedeme i-tou centrovanou hodnotu xi – m (podle znaménka poznáme, zda i-tá hodnota je podprůměrná či
nadprůměrná).
Znázornění rozložení četností dvou datových souborů, které se liší aritmetickým průměrem:
R o z d ě l e n í s r ů z n ý m i p o l o h a m i
0
1 0 0
2 0 0
3 0 0
4 0 0
5 0 0
0 5 1 0 1 5 2 0
h o d n o t a z n a k u
četnost
Příklad na výpočet geometrického průměru: Růst cen za měsíce červen, červenec a srpen roku 2010 byl postupně 1,2 %,
1,9 % a 1,9 %. Vypočtěte průměrný růst cen.
Řešení: 63,19,19,12,1g 3
=⋅⋅=
Průměrný růst cen je přibližně 1,63 %. Znamená to, že výsledná cena by taková byla i v případě, že by růst cen byl
konstantní, každý měsíc o 1,63 %.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Vytvoříme nový datový soubor o třech případech a jedné proměnné X. Do X zapíšeme hodnoty 1,2 1,9 1,9.
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Popisné statistiky – Proměnné X – OK – Detailní výsledky – zaškrtneme Geom.
Průměr a všechny ostatní volby odškrtneme – Výpočet.
Proměnná
Geometrický
Průměr
X 1,630157
Vlastnosti aritmetického průměru
- Aritmetický průměr si lze představit jako těžiště dat – součet podprůměrných hodnot je stejný jako součet nadprůměrných
hodnot – oba součty jsou v rovnováze.
- Průměr centrovaných hodnot je nulový, protože ( ) 0mn
n
1
mm
n
1
x
n
1
mx
n
1 n
1i
n
1i
i
n
1i
i =⋅⋅−=−=− ∑∑∑ ===
.
- Výraz ( )∑=
−
n
1i
2
i ax (tzv. kvadratická odchylka) nabývá svého minima pro a = m. Uvedený výraz charakterizuje celkovou
chybu, které se dopustíme, když datový soubor nahradíme jedinou hodnotou a. Tato chyba je tedy nejmenší, když datový
soubor nahradíme aritmetickým průměrem, přičemž za míru chyby považujeme kvadratickou odchylku.
- Pokud každou hodnotu xi podrobíme lineární transformaci yi = a + bxi, pak průměr transformovaných hodnot je roven
lineární transformaci původního průměru, tj. m2 = a + bm1.
- Mají-li znaky X, Y průměry m1, m2, pak znak Z = X + Y má průměr m1 + m2.
- Aritmetický průměr je silně ovlivněn extrémními hodnotami.
- Aritmetický průměr je vhodné použít, pokud je rozložení dat přibližně symetrické.
Příklad na vlastnosti aritmetického průměru:
U skupiny 20 pracovníků v určité dílně byly zjišťovány měsíční mzdy. Průměr mezd činil 15 500 Kč. Určete průměr mezd,
jestliže mzdy všech pracovníků se zvýší
a) o 300 Kč, b) 1,1 krát, c) o 20%.
Řešení:
Označme m1 průměr hodnot x1, …, xn a m2 průměr hodnot y1, …, yn, přičemž yi = a + bxi , i = 1, …, n. Pak m2 = a + bm1.
ad a) m2 = 300 + m1 = 15 800
Průměr se zvýšil o 300 Kč na 15 800 Kč.
ad b) m2 = 1,1.m1 = 17 050
Průměr se zvýšil na 17 050 Kč.
ad c) m2 = 1,2.m1 = 18 600
Průměr se zvýšil na 18 600 Kč.
Charakteristiky variability intervalových a poměrových znaků
Variační rozpětí (range) R = x(n) - x(1) (nevýhoda – bere v úvahu pouze nejmenší a největší hodnotu datového souboru),
rozptyl (variance) ∑=
−=
n
1i
2
i
2
m)(x
n
1
s (nevýhoda – vychází ve druhých mocninách jednotek, v nichž byl měřen znak X)
směrodatná odchylka (standard deviation) s = 2
s .
Pomocí směrodatné odchylky zavedeme i-tou standardizovanou hodnotu
s
mxi −
(vyjadřuje, o kolik směrodatných odchylek
se i-tá hodnota odchýlila od průměru).
U poměrových znaků se jako charakteristika variability používá též:
koeficient variace (coefficient of variation)
m
s
cv = (často se udává v procentech a udává, kolika procent průměru dosahuje
směrodatná odchylka),
Znázornění rozložení četností dvou datových souborů, které se liší rozptylem:
R o z d ě l e n í s r ů z n ý m i v a r i a b i l i t a m i
0
1 0 0
2 0 0
3 0 0
4 0 0
5 0 0
0 5 1 0 1 5 2 0 2 5
h o d n o t a z n a k u
četnost
Příklad na výpočet charakteristik variability:
Kurzy akcií společnosti AAA Auto Group v průběhu 23 dní v měsíci srpnu 2010 byly následující: 17,75; 17,74; 17,85;
17,59; 17,92; 17,98; 18,39; 18,25; 18,30; 18,00; 18,15; 18,15; 18,22; 18,40; 18,25; 17,95; 18,25; 18,23; 17,95; 17,90; 17,80;
17,87; 17,87. Vypočtěte charakteristiky variability.
Řešení:
Nejprve vypočítáme variační rozpětí: ( ) ( ) 81,059,174,18xxR 1n =−=−= .
Před výpočtem dalších charakteristik variability musíme získat aritmetický průměr: ( ) 033,1887,1774,1775,17
23
1
m =+++= K .
Rozptyl: ( ) 049,0033,1887,1774,1775,17
23
1
mx
n
1
s 22222
n
1i
2
i
2
=−+++=−= ∑=
K
Směrodatná odchylka: 2213,0049,0ss 2
===
Koeficient variace: %23,1%100
033,18
2213,0
%100
m
s
==
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Otevřeme nový datový soubor o jedné proměnné X a 23 případech. Do proměnné X zapíšeme zjištěné kurzy akcií.
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Popisné statistiky – OK – Proměnné X – OK – Detailní výsledky – vybereme
Průměr, Rozptyl, Rozpětí – Výpočet.
Systém STATISTICA počítá rozptyl podle vzorce ∑=
−=
n
1i
2
i
2
m)(x
1-n
1
s , proto výsledek musíme vynásobit
n
1n −
.
Ve výstupní tabulce přidáme za proměnnou Rozptyl tři nové proměnné nazvané rozptyl, směr. odch. a koef. variace. Do
Dlouhého jména proměnné rozptyl napíšeme =v3*22/23, do Dlouhého jména proměnné směr. odch. napíšeme =sqrt(v4) a
do Dlouhého jména proměnné koef. variace napíšeme =100*v5/v1.
Proměnná
Průměr Rozpětí Rozptyl rozptyl
=v3*22/2
směr. odch.
=sqrt(v4)
koef. variace
=100*v5/v1
x 18,03304 0,810000 0,051231 0,049004 0,221367976 1,22756858
Vlastnosti rozptylu:
- Rozptyl je nulový pouze tehdy, když jsou všechny hodnoty stejné, jinak je kladný.
- Rozptyl centrovaných hodnot je roven původnímu rozptylu, neboť ( )[ ] ( ) 2
n
1i
2
i
n
1i
2
i smx
n
1
0mx
n
1
=−=−− ∑∑ ==
.
- Rozptyl standardizovaných hodnot je 1, protože ( )∑ ∑= =
==−⋅=





−
−n
1i
2
2n
1i
2
i2
2
i
1
s
s
mx
n
1
s
1
0
s
mx
n
1
.
- Rozptyl se zpravidla počítá podle vzorce s2
= 2
n
1i
2
i mx
n
1
−∑
=
.
- Pokud každou hodnotu xi podrobíme lineární transformaci yi = a + bxi, pak rozptyl transformovaných hodnot je roven
původnímu rozptylu vynásobenému b2
, tj. s2
2
= b2
s1
2
.
- Rozptyl je stejně jako průměr silně ovlivněn extrémními hodnotami.
- Rozptyl se nehodí jako charakteristika variability, je-li rozložení dat nesymetrické.
Příklad na využití vlastností rozptylu:
U skupiny 20 pracovníků v určité dílně byly zjišťovány měsíční mzdy. Směrodatná odchylka výše mezd činila 900 Kč.
Určete směrodatnou odchylku výše mezd, jestliže mzdy všech pracovníků se zvýší
a) o 300 Kč, b) 1,1 krát, c) o 20%.
Řešení:
Označme s1 směrodatnou odchylku hodnot x1, …, xn a s2 směrodatnou odchylku hodnot y1, …, yn, přičemž yi = a + bxi ,
i = 1, …, n. Pak s2 = bs1.
ad a) s2 = 1.s1 = 900
Směrodatná odchylka zůstala stejná.
ad b) s2 = 1,1s1 =1,1.900 = 990
Směrodatná odchylka se zvýšila na 990 Kč.
ad c) s2 = 1,2s1 = 1,2.900 = 1080
Směrodatná odchylka se zvýšila na 1080 Kč.
Vážené číselné charakteristiky polohy a variability
Známe-li absolutní četnosti n1, …, nr či relativní četnosti p1, …, pr variant x[1], ..., x[r], můžeme spočítat
vážený průměr (weighted mean) ∑∑ ==
==
r
1j
]j[j
r
1j
]j[j xpxn
n
1
m ,
vážený rozptyl (weighted variance) ( ) ( )∑∑ ==
−=−=
r
1j
2
]j[j
r
1j
2
]j[j
2
mxpmxn
n
1
s (výpočetní vzorec:
2
r
1j
2
]j[j
2
r
1j
2
]j[j
2
mxpmxn
n
1
s −=−= ∑∑ ==
)
Příklad na vážené číselné charakteristiky:
U 35 zaměstnanců byl zjištěn počet odpracovaných hodin za měsíc.
Počet odpracovaných hodin 184 185 186 187 188 189
Počet zaměstnanců 4 6 7 6 7 5
Vypočtěte průměr, směrodatnou odchylku a koeficient variace počtu odpracovaných hodin.
Řešení:
Hodnot je celkem 35, nikoliv 6 (častá chyba!)
Vážený průměr: ( ) 6,186189518871876186718561844
35
1
xn
n
1
m
r
1j
]j[j =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅== ∑=
Vážený rozptyl: ( ) 5257,26,186189518871876186718561844
35
1
mxn
n
1
s 22222222
r
1j
2
]j[j
2
=−⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=−= ∑=
Vážená směrodatná odchylka: 59,15257,2ss 2
=== h = 1h 35 min
Koeficient variace: %85,0%100
6,186
59,1
%100
m
s
==
Vidíme, že zaměstnanci odpracovali za měsíc v průměru 186,6 h, přičemž směrodatná odchylka dosahuje 0,85 % průměrné
odpracované doby.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Vytvoříme datový soubor o šesti případech a dvou proměnných X a četnost. Zapíšeme zjištěné údaje
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Popisné statistiky – OK – Proměnné X – OK – klikneme na ikonu závaží –
Proměnná vah četnost – OK – Stav Zapnuto – OK - Detailní výsledky – vybereme Průměr, Rozptyl – Výpočet.
Ve výstupní tabulce přidáme za proměnnou Rozptyl tři nové proměnné nazvané rozptyl, směr. odch. a koef. variace. Do
Dlouhého jména proměnné rozptyl napíšeme =v*34/35, do Dlouhého jména proměnné směr. odch. napíšeme =sqrt(v3) a do
Dlouhého jména proměnné koef. variace napíšeme =100*v4/v1.
Proměnná
Průměr Rozptyl rozptyl
=v2*34/3
smer. odch.
=sqrt(v3)
koef. variace
=100*v4/v1
X 186,6000 2,600000 2,525714 1,5892496 0,851687888
Převod desetinných částí hodiny na minuty můžeme provést např. pomocí aplikace na adrese http://www.prevody-
jednotek.cz/.
Počáteční a centrální momenty
Aritmetický průměr a rozptyl jsou speciální případy momentů. Zavedeme
k-tý počáteční moment ∑
=
=
n
1i
k
i
´
k x
n
1
m , k = 1, 2, ... ,
k-tý centrální moment ( )∑
=
−=
n
1i
k
ik mx
n
1
m , k = 1, 2, ...
Pomocí 3. a 4. centrálního momentu se definuje šikmost a špičatost.
Šikmost (skewness): 3
3
3
s
m
=α - měří nesouměrnost rozložení četností kolem průměru.
Je-li rozložení dat symetrické kolem aritmetického průměru (symmetrical distribution), pak α3 = 0.
Má-li rozložení dat prodloužený pravý konec, jde o kladně zešikmené rozložení, α3 > 0.
Má-li rozložení dar prodloužený levý konec, jde o záporně zešikmené rozložení, α3 < 0.
Příklad kladně sešikmeného rozložení
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Příklad symetrického rozložení
0
2
4
6
8
10
12
14
16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Příklad záporně sešikmeného rozložení
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Špičatost (kurtosis): 3
s
m
4
4
4 −=α - měří koncentraci rozložení četností kolem průměru.
Je-li rozložení dat normální (mesokurtic), pak α4 = 0.
Je-li rozložení dat strmé (leptokurtic), pak α4 > 0.
Je-li rozložení dat ploché (platykurtic), pak α4 < 0.
Znázornění rozložení četností tří datových souborů, které se liší špičatostí
A … normální rozložení
B … ploché rozložení
C … strmé rozložení
Příklad na výpočet šikmosti a špičatosti pomocí systému STATISTICA:
Datový soubor vysvah.sta obsahuje v proměnné X údaje o hmotnosti 50 náhodně vybraných studentů. Vypočtěte šikmost a
špičatost znaku X.
Řešení:
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Popisné statistiky – OK – Proměnné X – OK – Detailní výsledky – zaškrtneme
pouze Šikmost, Špičatost – Výpočet.
Proměnná Šikmost Špičatost
X 0,713596 -0,037538
Vidíme, že rozložení hmotností je kladně sešikmené a je poněkud plošší než normální rozložení. Asymetrie rozložení je
patrná z histogramu:
Histogram z X
vysvah_r.sta 5v*50c
50 56 62 68 74 80 86 92
X
0
2
4
6
8
10
12
14
Početpozorování
Charakteristika společné variability dvou intervalových znaků: kovariance
Předpokládejme, že máme dvourozměrný datový soubor










nn
11
yx
yx
LL . Označme m1, m2 průměry znaků X, Y a s1, s2 směrodatné
odchylky znaků X, Y. Zavedeme kovarianci (covariance) jako charakteristiku společné variability znaků X, Y kolem jejich
průměrů ( )( )∑=
−−=
n
1i
2i1i12 mymx
n
1
s .
Kovariance je průměrem součinů centrovaných hodnot.
Pokud se nadprůměrné (podprůměrné) hodnoty znaku X sdružují s nadprůměrnými (podprůměrnými) hodnotami znaku Y,
budou součiny centrovaných hodnot xi – m1 a yi – m2 vesměs kladné a jejich průměr (tj. kovariance) rovněž. Znamená to, že
mezi znaky X, Y existuje určitý stupeň přímé lineární závislosti. Říkáme, že znaky X, Y jsou kladně korelované.
Pokud se nadprůměrné (podprůměrné) hodnoty znaku X sdružují s podprůměrnými (nadprůměrnými) hodnotami znaku Y,
budou součiny centrovaných hodnot vesměs záporné a jejich průměr rovněž. Znamená to, že mezi znaky X a Y existuje
určitý stupeň nepřímé lineární závislosti. Říkáme, že znaky X, Y jsou záporně korelované.
Je-li kovariance nulová, pak řekneme, že znaky X, Y jsou nekorelované a znamená to, že mezi nimi neexistuje žádná
lineární závislost.
Pro výpočet kovariance používáme vzorec: s12 = ∑=
−
n
1i
21ii mmyx
n
1
.
Vážená kovariance
Má-li znak X r variant x[1], ..., x[r] a znak Y s variant y[1], ..., y[r] a známe-li simultánní absolutní
resp. relativní četnosti njk resp. pjk dvojic variant (x[j], y[k]), j = 1, …, r, k = 1, …, s, můžeme
spočítat váženou kovarianci
( )( ) ( )( ) ∑∑∑∑∑∑∑∑ = == == == =
−=−−=−=−−=
r
1j
21
s
1k
]k[]j[jk
r
1j
s
1k
2]k[1]j[jk
r
1j
21
s
1k
]k[]j[jk
r
1j
s
1k
2]k[1]j[jk12 mmyxpmymxpmmyxn
n
1
mymxn
n
1
s
Znázornění významu kovariance
= 5,5
2 4 6 8 10 12 14 16
x
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(m1, m2)
s12 = -5,5
2 4 6 8 10 12 14 16
x
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
y
(m1, m2)
s12 = 0
0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
x
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
y
Vlastnosti kovariance
- Kovariance je nulová, právě když aspoň jeden ze znaků X, Y má všechny hodnoty stejné.
- Nechť 21 m,m jsou aritmetické průměry, 2
2
2
1 s,s rozptyly a 12s kovariance znaků Y,X . Pak znak YXU += má aritmetický
průměr 213 mmm += a rozptyl 12
2
2
2
1
2
3 s2sss ++= .
- Nechť 12s je kovariance a 21 m,m jsou aritmetické průměry znaků Y,X . Pak znaky dYcV,bXaU +=+= mají kovarianci
1234 bdss =
Příklad na vlastnosti kovariance: Hodnoty znaků X a Y mají postupně aritmetické průměry 3 a –1, rozptyly 2 a 3 a jejich
kovariance je rovna 4. Vypočtěte aritmetický průměr a rozptyl hodnot znaku Z = X + Y.
Řešení:
m1 = 3, m2 = -1, s1
2
= 2, s2
2
= 3, s12 = 4
m3 = m1 + m2 = 3 – 1 = 2
s3
2
= s1
2
+ s2
2
+ 2 s12 = 2 + 3 + 2.4 = 13
Příklad: Pro datový soubor obsahující údaje o příjmu manžela (znak X) a příjmu manželky (znak Y) vypočtěte kovarianci
znaků X, Y.
příjem manželapříjem manželkypříjem manželapříjem manželkypříjem manželapříjem manželky
16210 13710 31760 30250 24420 14640
30310 27960 38620 21980 15460 12800
33900 24930 27030 25410 37600 24200
40580 36720 43670 37540 42190 28650
19070 12940 45270 30580 15960 14500
29800 25810 39210 25470 18650 20210
26000 24590 14470 10550 26020 30150
37500 34810 23630 14820 23570 18840
21950 18860 15840 16340 20630 12760
19020 21530 25720 18700 31450 26840
17460 19870 17290 11560 19950 17960
13840 14320 18900 12080 16840 20900
29200 21200 47920 35620 16790 15740
14400 17300 29740 31420 26930 23980
15340 11930 13930 15790 46090 27960
23400 13220 25920 12870 22020 17400
18780 12760 21770 15980 31230 13580
33290 27140 17670 14320 20320 18490
31890 36970 19880 14800 19960 20500
18990 15470 14880 12680 36550 24360
Řešení:
m1 = 23485, m2 = 20804,33, s1 = 9398,96, s2 = 7566,14
( ) 5577349933,2080423485243603655027960303101371016210
60
1
mmyx
n
1
s
n
1i
21ii12 =⋅−⋅++⋅+⋅=−= ∑=
K
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Otevřeme datový soubor prijmy.sta.
Výpočet kovariance: Statistiky – Vícenásobná regrese - Proměnné Nezávislá X, Závislá Y – OK – OK –
Residua/předpoklady/předpovědi – Popisné statistiky – Další statistiky - Kovariance.
Proměnná X Y
X
Y
88340482 56718812
56718812 57246442
Vysvětlení: Na hlavní diagonále jsou rozptyly proměnných X, Y, mimo hlavní diagonálu je kovariance. STATISTICA však
ve vzorci pro výpočet kovariance nepoužívá 1/n, ale 1/(n-1).
Získanou kovarianci přepočítáme: k výstupní tabulce přidáme novou proměnnou, kterou vložíme za proměnnou v2. Do
jejího Dlouhého jména napíšeme =v2*59/60. Dostaneme tabulku:
Proměnná
X Y NProm
=v2*59/60
X
Y
88340482 56718812 55773498,9
56718812 57246442 56292334,6
Na prvním řádku této nové proměnné najdeme kovarianci 55 773 499.
Charakteristika těsnosti závislosti dvou intervalových či poměrových znaků: Pearsonův koeficient korelace
Jsou-li směrodatné odchylky s1, s2 nenulové, pak definujeme Pearsonův koeficient korelace (Pearson correlation coefficient)
znaků X, Y vzorcem: ∑=
−−
=
n
1i 2
2i
1
1i
12
s
my
s
mx
n
1
r . Je to průměr součinů standardizovaných hodnot. Počítá se podle vzorce
21
12
12
ss
s
r = .
Ilustrace různých hodnot koeficientu korelace
Příklad: Pro datový soubor obsahující údaje o příjmu manžela (znak X) a příjmu manželky (znak Y) vypočtěte koeficient
korelace znaků X, Y. Přitom již víme, že s1 = 9 398,96, s2 = 7 566,14, s12 = 55 773 499.
Řešení:
7976,0
756696,9398
55773499
ss
s
r
21
12
12 =
⋅
==
Koeficient korelace svědčí o tom, že mezi oběma znaky existuje silná přímá lineární závislost – čím je vyšší příjem manžela,
tím je vyšší příjem manželky a čím je nižší příjem manžela, tím je nižší příjem manželky.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Otevřeme datový soubor prijmy.sta.
Výpočet koeficientu korelace: Statistiky – Vícenásobná regrese - Proměnné Nezávislá X, Závislá Y – OK – OK –
Residua/předpoklady/předpovědi – Popisné statistiky – Korelace
Proměnná X Y
X
Y
1,000000 0,797578
0,797578 1,000000
Dvourozměrný tečkový diagram
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
45000
50000
prijem manzela
5000
10000
15000
20000
25000
30000
35000
40000
45000
prijemmanzelky
Vlastnosti Pearsonova koeficientu korelace:
Pro koeficient korelace platí -1 ≤ r12 ≤ 1 a rovnosti je dosaženo právě když mezi hodnotami x1, ..., xn a y1, ..., yn existuje
úplná lineární závislost, tj. existují konstanty a, b tak, že yi = a + bxi, i = 1, ..., n, přičemž znaménko + platí pro b > 0,
znaménko – pro b < 0. (Uvedená nerovnost se nazývá Cauchyova – Schwarzova – Buňakovského nerovnost.)
Tedy čím je r12 bližší 1, tím je silnější přímá lineární závislost mezi znaky X a Y, čím je bližší –1, tím je silnější nepřímá
lineární závislost mezi X a Y.
Je-li r12 = 1 resp. r12 = -1, pak dvojice (xi, yi) leží na nějaké rostoucí resp. klesající přímce.
Hodnoty r12 se nezmění, když u x-ových a y-ových hodnot současně provedeme vzestupnou resp. sestupnou lineární
transformaci.
Hodnoty r12 se vynásobí -1, když u x-ových hodnot provedeme vzestupnou (resp. sestupnou) a u y-ových hodnot sestupnou
(resp. vzestupnou) lineární transformaci.
Koeficient je symetrický, tj. r12 = r21.
Z vlastností Pearsonova koeficientu korelace vyplývá, že se hodí pouze k měření těsnosti lineárního vztahu znaků X a Y. Při
složitějších závislostech může dojít k paradoxní situaci, že Pearsonův koeficient korelace je nulový.
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-1
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
Vysvětlení významu Pearsonova korelačního koeficientu:
Máme 4 dvourozměrné datové soubory
X Y1
4 4,260
5 5,680
6 7,240
7 4,820
8 6,950
9 8,810
108,040
118,330
1210,840
137,580
149,960
X Y2
4 3,100
5 4,740
6 6,130
7 7,260
8 8,140
9 8,770
109,140
119,260
129,130
138,740
148,100
X Y3
4 5,390
5 5,730
6 6,080
7 6,420
8 6,770
9 7,110
107,460
117,810
128,150
1312,740
148,840
X4 Y4
8 6,580
8 5,760
8 7,710
8 8,840
8 8,470
8 7,040
8 5,250
8 5,560
8 7,910
8 6,890
19 12,500
Pro každou z dvojic proměnných (X,Y1), (X,Y2), (X,Y3), (X4,Y4) vypočtěte Pearsonův korelační koeficient a nakreslete
dvourozměrný tečkový diagram. Pro které dvojice proměnných se hodí Pearsonův korelační koeficient jako vhodná míra
těsnosti lineární závislosti?
Pro všechny dvojice proměnných vyjde korelační koeficient roven 0,816, zdálo by se tedy, že ve všech čtyřech případech
existuje mezi proměnnými silná přímá lineární závislost. Oprávněnost této domněnky ověříme pomocí dvourozměrných
tečkových diagramů.
Dvourozměrný tečkový diagram
r = 0,81642
2 4 6 8 10 12 14 16
X
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Y1
Dvourozměrný tečkový diagram
r = 0,81624
2 4 6 8 10 12 14 16
X
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Y2
Dvourozměrný tečkový diagram
r = 0,81629
2 4 6 8 10 12 14 16
X
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Y3
Dvourozměrný tečkový diagram
r = 0,81652
6 8 10 12 14 16 18 20
X4
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Y4
Při pohledu na dvourozměrné tečkové diagramy je zřejmé, že pouze v prvním případě je použití Pearsonona korelačního
koeficientu oprávněné.
Příklad na výpočet vážených číselných charakteristik
Z dvourozměrného datového souboru rozsahu 27, v němž znak X má varianty 1, 2, 3 a znak Y má rovněž varianty 1, 2, 3, byly určeny
simultánní absolutní četnosti: n11 = 5, n12 = 1, n13 = 3, n21 = 4, n22 = 3, n23 = 4, n31 = 2, n32 = 3, n33 = 2.
Vypočtěte a interpretujte koeficient korelace znaků X a Y.
Řešení:
Kontingenční tabulka simultánních absolutních četností:
yx
1 2 3
nj.
1 5 1 3 9
2 4 3 4 11
3 2 3 2 7
n.k 11 7 9 27
Nejprve vypočteme vážené průměry: ( ) 926,1
27
52
7311291
27
1
m1 ==⋅+⋅+⋅= , ( ) 926,1
27
52
9372111
27
1
m2 ==⋅+⋅+⋅= .
Dále spočítáme vážené rozptyly:
( ) 729
428
729
2704
27
116
27
52
7311291
27
1
s
2
2222
1 =−=





−⋅++⋅= , s1 = 0,766
( ) 729
536
729
2704
27
120
27
52
9372111
27
1
s
2
2222
2 =−=





−⋅+⋅+⋅= , s2 = 0,857
Následuje výpočet vážené kovariance:
( )
0685871,0
729
50
729
27042754
729
2704
27
102
27
52
27
52
233323213432322412331121511
27
1
s12
==
−
=−=
⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
Dosadíme do vzorce pro výpočet koeficientu korelace: 10439,0
729
536
729
428
729
50
r12 =
⋅
= .
Mezi znaky X a Y existuje velmi slabá přímá lineární závislost.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Otevřeme nový datový soubor o 9 případech a 3 proměnných X, Y, četnost. Do proměnné X napíšeme 1 1 1 2 2 2 3 3 3, do
proměnné Y napíšeme 1 2 3 1 2 3 1 2 3 a do proměnné četnost napíšeme 5 1 3 4 3 4 2 3 2.
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Korelační matice – OK – 2 seznamy – 1. seznam X, 2. seznam Y – OK- klikneme
na ikonu závaží – zaškrtneme Stav zapnuto – Proměnná vah četnost - OK - OK – Výpočet
Ve výstupní tabulce zvětšíme počet desetinných míst.
Proměnná Y
X 0,1044