Cvičení 10: Hodnocení závislosti dvou náhodných veličin
Úkol 1.: Testování hypotézy o nezávislosti, měření síly závislosti
V roce 1950 zkoumali Yule a Kendall barvu očí a vlasů u 6800 mužů.
Barva očí Barva vlasů
světlá kaštanová černá rezavá
modrá 1768 807 180 47
šedá nebo zelená 946 1387 746 53
hnědá 115 438 288 16
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o nezávislosti barvy očí a barvy
vlasů. Vypočtěte Cramérův koeficient. Simultánní četnosti znázorněte graficky.
Návod:
Otevřeme datový soubor oci_vlasy.sta o 12 případech a třech proměnných (OCI, VLASY,
CETNOST).
Před provedením testu je zapotřebí ověřit podmínky dobré aproximace:
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Kontingenční tabulky - Specif. tabulky – List 1
OCI, List 2 VLASY, OK, Váhy - CETNOST, Stav zapnuto, OK – na záložce Možnosti
zaškrtneme Očekávané četnosti – Výpočet.
Souhrnná tab.: Očekávané četnosti (oci_vlasy.sta)
Četnost označených buněk > 10
Pearsonův chí-kv. : 1088,15, sv=6, p=0,00000
OCI VLASY
světlá
VLASY
kaštanová
VLASY
černá
VLASY
rezavá
Řádk.
součty
modrá 1167,259 1085,976 500,902 47,8622 2802,000
šedá nebo zelená 1304,731 1213,875 559,895 53,4990 3132,000
hnědá 357,010 332,149 153,202 14,6388 857,000
Vš.skup. 2829,000 2632,000 1214,000 116,0000 6791,000
Podmínky dobré aproximace jsou splněny. Všechny teoretické četnosti jsou větší než 5. Nyní
budeme testovat hypotézu o nezávislosti proměnných OCI, VLASY.
Návrat do Výsledky; kontingenční tabulky – na záložce Detaily zaškrtneme Pearsonův & M-L
Chi - kvadrát, Phi & Cramerovo V – Detailní výsledky – Detailní 2 rozm. tabulky.
Statist. Chí-kvadr. sv p
Pearsonův chí-kv.
M-V chí-kvadr.
Fí
Kontingenční koeficient
Cramér. V
1088,149 df=6 p=0,0000
1155,669 df=6 p=0,0000
,4002923
,3716246
,2830494
Ve výstupní tabulce najdeme mj. hodnotu testové stastistiky (Pearsonův chí-kv = 1088,149)
s počtem stupňů volnosti (sv = 6) a odpovídající p-hodnotou (p = 0,0000), dále Cramérův
koeficient (V = 0,283). Protože p-hodnota je mnohem menší než 0,05, nulovou hypotézu o
nezávislosti barvy očí a barvy vlasů zamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Cramérův koeficient svědčí o slabé závislosti barvy očí a vlasů.
Pro grafické znázornění četností se vrátíme do Výsledky; kontingenční tabulky – Detailní
výsledky – 3D histogramy. Graf lze natáčet pomocí volby Zorný bod.
Dvourozměrné rozdělení: OCI x VLASY
svetla
kastanova
cerna
rezava
VLASYmodra
seda nebo zelena
hneda
O
CI
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
Početpozorování
Úkol 2.: Fisherův faktoriálový test
100 náhodně vybraných mužů a žen bylo dotázáno, zda dávají přednost nealkoholickému
nápoji A či B. Údaje jsou uvedeny ve čtyřpolní kontingenční tabulce.
preferovaný nápoj pohlaví
muž žena
A 20 30
B 30 20
Na hladině významnosti 0,05 testujte pomocí Fisherova faktoriálového testu hypotézu, že
preferovaný typ nápoje nezáleží na pohlaví respondenta.
Návod: Vytvoříme nový datový soubor o třech proměnných NAPOJ, POHLAVI, CETNOST
a čtyřech případech. Do proměnné NAPOJ napíšeme dvakrát pod sebe 1 (nápoj A) a dvakrát
pod sebe 2 (nápoj B). Do proměnné POHLAVI napíšeme jedničku (1 – muž) a dvojku (2 –
žena) a znovu jedničku a dvojku. D proměnné CETNOST napíšeme uvedené četnosti.
Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Kontingenční tabulky - Specif. tabulky – List 1
NAPOJ, List 2 POHLAVI, OK, Váhy - CETNOST, Stav zapnuto, OK – na záložce Možnosti
zaškrtneme Fisher exakt, Yates, McNemar (2x2) – Detailní výsledky – Detailní 2-rozm.
tabulky.
Statist. : POHLAVI(2) x NAPOJ(2) (kap11_2)
Statist. Chí-kvadr. sv p
Pearsonův chí-kv.
M-V chí-kvadr.
Yatesův chí-kv.
Fisherův přesný, 1-str.
2-stranný
McNemarův chí-kv. (A/D)
(B/C)
4,000000 df=1 p=,04550
4,027103 df=1 p=,04478
3,240000 df=1 p=,07186
p=,03567
p=,07134
,0250000 df=1 p=,87437
,0166667 df=1 p=,89728
Ve výstupní tabulce je mimo jiné uvedena p-hodnota pro oboustranný a jednostranný test.
V našem případě se jedná o oboustranný test (nevíme, zda muži více preferují nápoj A či
nápoj B než ženy), zajímáme se tedy o Fisherův přesný, 2-str. Ta je 0,07134. Protože phodnota
je větší než 0,05, nezamítáme na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že preferovaný
typ nápoje nezáleží na pohlaví respondenta.
Úkol 3.: Podíl šancí
Pro údaje z úkolu 2 vypočtěte podíl šancí a sestrojte 95% asymptotický interval spolehlivosti
pro logaritmus podílu šancí. Pomocí tohoto intervalu spolehlivosti testujte na asymptotické
hladině významnosti 0,05 hypotézu, že preferovaný typ nápoje nezáleží na pohlaví
respondenta.
Návod:
V našem případě podíl šancí vypočteme ručně: 4,0
9
4
3030
2020
bd
ac
OR ==
⋅
⋅
== .
Dolní a horní mez intervalu spolehlivosti pro logaritmus podílu šancí zjistíme pomocí
STATISTIKY. Vytvoříme datový soubor o dvou proměnných DM a HM a dvou případech.
Do Dlouhého jména proměnné DM napíšeme vzorec pro dolní mez:
=log(4/9)-sqrt(1/20+1/30+1/30+1/20)*VNormal(0,975;0;1)
a analogicky do Do Dlouhého jména proměnné HM napíšeme vzorec pro horní mez:
=log(4/9)+sqrt(1/20+1/30+1/30+1/20)*VNormal(0,975;0;1)
1
DM
2
HM
1 -1,61108 -0,01078
Výsledek: -1,61108 < ln oρ < -0,01078 s pravděpodobností přibližně 0,95. Protože tento
interval spolehlivosti neobsahuje 0, na asymptotické hladině významnosti 0,05 zamítáme
hypotézu, že preferovaný typ nápoje nezáleží na pohlaví respondenta.
Tento výsledek je v rozporu s výsledkem, ke kterému dospěl Fisherův přesný test. Je to
způsobeno tím, že test pomocí asymptotického intervalu spolehlivosti je pouze přibližný.
Úkoly k samostatnému řešení:
Příklad 1.: 18 mužů onemocnělo určitou chorobou. Někteří z nich se léčili, jiní ne. Někteří se
uzdravili, jiní zemřeli. Údaje jsou uvedeny ve čtyřpolní kontingenční tabulce.
přežití léčení
ano ne
ano 5 3
ne 6 4
Vypočtěte a interpretujte podíl šancí.
Výsledek: 1,1OR = .
Příklad 2.: 200 respondentů, z nichž bylo 73 žen, hodnotilo úroveň jistého časopisu. 34 žen ji
hodnotilo kladně, stejně jako 47 mužů. Ostatní respondenti se o úrovni časopisu vyjádřili
záporně. Na hladině významnosti 0,05 testujte pomocí Fisherova přesného testu, že hodnocení
úrovně časopisu nezávisí na pohlaví respondenta. Vypočtěte Cramérův koeficient.
Výsledek: Sestavíme čtyřpolní kontingenční tabulku simultánních absolutních četností:
hodnocení časopisu pohlaví respondenta nj.
muž žena
kladné 47 34 81
záporné 80 39 119
n.k 127 73 200
Kladné hodnocení časopisu pozorujeme u 37% mužů a u 46,6 % žen.
Další výsledky máme v tabulce:
Statist. : hodnoceni(2) x pohlavi(2) (Tabulka13)
Statist. Chí-kvadr. sv p
Pearsonův chí-kv.
M-V chí-kvadr.
Yatesův chí-kv.
Fisherův přesný, 1-str.
2-stranný
McNemarův chí-kv. (A/D)
(B/C)
Fí pro tabulky 2 x 2
Tetrachorická korelace
Kontingenční koeficient
1,760835 df=1 p=,18452
1,752654 df=1 p=,18555
1,386184 df=1 p=,23905
p=,11967
p=,23131
17,76316 df=1 p=,00003
,5697674 df=1 p=,45035
,0938306
,1507792
,0934202
Fisherův přesný test poskytl p-hodnotu 0,23131, tedy na hladině významnosti 0,05
nezamítáme hypotézu o nezávislosti hodnocení úrovně časopisu na pohlaví respondenta.
Cramérův koeficient je 0,0938, což svědčí o zanedbatelné závislosti mezi sledovanými
veličinami.
Úkol 4.: Testování nezávislosti ordinálních veličin
12 různých softwarových firem nabízí speciální programové vybavení pro vedení účetnictví.
Jednotlivé programy byly posouzeny odbornou komisí složenou z počítačových odborníků a
komisí složenou z profesionálních účetních. Úkolem bylo doporučit vhodný program na
základě stanovení pořadí jednotlivých programů. Výsledky posouzení:
Produkt firmy číslo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Pořadí dle odborníků 6 7 1 8 4 2,5 9 12 10 2,5 5 11
Pořadí dle účetních 4 5 2 10 6 1 7 11 8 3 12 9
Vypočtěte Spearmanův koeficient pořadové korelace a na hladině významnosti 0,05 testujte
hypotézu, že hodnocení obou komisí jsou nezávislá.
Návod:
Testujeme vlastně nulovou hypotézu, že koeficient pořadové korelace je roven nule proti
oboustranné alternativě.
Otevřeme datový soubor hodnoceni_programu.sta o dvou proměnných X (hodnocení 1.
komise), Y (hodnocení 2. komise) a 12 případech.
Statistiky – Neparametrické statistiky – Korelace – OK – vybereme Vytvořit detailní report Proměnné
X, Y – OK – Spearmanův koef. R. Dostaneme tabulku
Spearmanovy korelace (Tabulka1)
ChD vynechány párově
Označ. korelace jsou významné na hl. p <,05000
Dvojice proměnných
Počet
plat.
Spearman
R
t(N-2) Úroveň p
X & Y 12 0,714537 3,229806 0,009024
Spearmanův koeficient pořadové korelace nabývá hodnoty 0,7145, testová statistika se
realizuje hodnotou 3,2298, odpovídající p-hodnota je 0,009024, tedy na asymptotické hladině
významnosti 0,05 zamítáme hypotézu o pořadové nezávislosti hodnocení dvou komisí ve
prospěch oboustranné alternativy.
Upozornění: Systém STATISTICA používá při testování hypotézy o pořadové nezávislosti
veličin X, Y asymptotickou variantu testu bez ohledu na rozsah náhodného výběru. Pokud
rozsah výběru nepřesáhne 20, měli bychom systém STATISTCA použít jen k výpočtu rS a
testování bychom měli provést pomocí tabelované kritické hodnoty. V našem případě pro n =
12 a α = 0,05 je kritická hodnota 0,5804. Vidíme, že nulovou hypotézu zamítáme na hladině
významnosti 0,05, protože 0,7145 ≥ 0,5804.
Příklad k samostatnému řešení: Bylo sledováno 10 žáků. Na základě psychologického
vyšetření byli tito žáci seřazeni podle nervové lability (čím byl žák labilnější, tím dostal vyšší
pořadí Ri). Kromě toho sledování žáci dostali pořadí Qi na základě svých výsledků
v matematice (nejlepší žák v matematice dostal pořadí 1). Výsledky jsou uvedeny v tabulce:
Pořadí Ri 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Pořadí Qi 9 3 8 5 4 2 10 1 7 6
Vypočtěte Spearmanův koeficient pořadové korelace a na hladině významnosti 0,05 testujte
hypotézu, že nervová labilita a výsledky v matematice jsou nezávislé.
Výsledek: rS = -0,127, H0 nezamítáme na hladině významnosti 0,05.
Úkol 5.: Testování nezávislosti intervalových a poměrových veličin
Zjišťovalo se, kolik mg kyseliny mléčné je ve 100 ml krve matek prvorodiček (veličina X) a u
jejich novorozenců (veličina Y) těsně po porodu. Byly získány tyto výsledky:
Číslo matky 1 2 3 4 5 6
xi 40 64 34 15 57 45
yi 33 46 23 12 56 40
Nakreslete dvourozměrný tečkový diagram, vypočtěte výběrový korelační koeficient a na
hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o nezávislosti výsledků obou měření.
Návod: Otevřeme datový soubor kyselina_mlecna.sta. Zobrazíme dvourozměrný tečkový
diagram, s jehož pomocí posoudíme dvourozměrnou normalitu dat.
Grafy – Bodové grafy – vypneme lineární proložení - Proměnné X, Y – OK – Detaily - Elipsa
normální – OK. Ve vzniklém grafu upravíme měřítka na vodorovné a svislé ose:
-40 -20 0 20 40 60 80 100 120
X
-40
-20
0
20
40
60
80
100
120
Y
Testování hypotézy o nezávislosti: Statistiky – Základní statistiky/tabulky – Korelační matice
– OK – 1 seznam proměn. – X, Y – OK – na záložce Možnosti vybereme Zobrazit detailní
tabulku výsledků – Výpočet.
Korelace (Tabulka3)
Označ. korelace jsou významné na hlad. p < ,05000
(Celé případy vynechány u ChD)
Prom. X &
prom. Y
Průměr Sm.Odch. r(X,Y) r2 t p N Konst.
záv.: Y
Směr.
záv: Y
Konst.
záv.: X
Směrnic
záv.: X
X
Y
42,50000 17,39828
35,00000 15,89969 0,934832 0,873912 5,265339 0,006232 6 -1,30823 0,854311 6,696994 1,022943
Ve výstupní tabulce je mj. hodnotu výběrového korelačního koeficientu R12 (r=0,9348), tzn.
že mezi X a Y existuje silná přímá lineární závislost), hodnota testové statistiky (t = 5,2653) a
p-hodnotu pro test hypotézy o nezávislosti (p=0,006232), H0 tedy zamítáme na hladině
významnosti 0,05. S rizikem omylu nejvýše 5% jsme tedy prokázali, že mezi oběma
koncentracemi existuje závislost.
Příklad k samostatnému řešení:: V náhodném výběru 10 dvoučlenných domácností byl
zjišťován měsíční příjem (veličina X, v tisících Kč) a vydání za potraviny (veličina Y,
v tisících Kč).
xi 15 21 34 35 39 42 58 64 75 90
yi 3 4,5 6,5 6 7 8 9 8 9,5 10,5
Vypočtěte výběrový koeficient korelace. Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o
nezávislosti veličin X, Y. (Data jsou uložena v souboru prijem_vydani.sta).
Výsledek: r12 = 0,9405, H0 zamítáme na hladině významnosti 0,05.